锐角三角函数知识点总结与习题附答案 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 9. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： 10. 仰角：视线在水平线上方的角； 11. 俯角：视线在水平线下方的角。 (3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成 1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 锐角三角函数（1） 基础扫描 1.求出下图中sinD ，sinE 的值． 12. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′， 那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）． A ．sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ．2sinA ＝sinA ′ D ．不能确定 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 13. 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24． 求sinA 的值． 5． 计算：sin30°·sin60°+sin45°． 能力拓展 6． 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin 8 5 F E D 25 247 C B A
2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l 。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线
【苏教版】初中数学九年级知识点总结 28锐角三角函数 一、知识框架 二、知识点、概念总结 １.Ｒｔ△ABC中 (１）∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA= ＼f(∠A的对边，斜边) (2）∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA= 错误! (３）∠Ａ的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA= 错误! (4)∠Ａ的邻边与对边的比值是∠Ａ的余切,记作cｏta= 错误! 2.特殊值的三角函数: a sina cosa ｔana cota 30°1 2 错误!错误!错误! ４5°错误!错误! 1 １ ６0°错误!1 2 3 错误! 3.互余角的三角函数间的关系 siｎ(90°－α)=cosα, cos(９0°-α)=sinα,
ｔaｎ(9０°-α）＝coｔα, coｔ(90°-α)＝ｔａnα.４. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)＋cos2(α）=1 tan2（α)+1=sｅc2(α） coｔ2（α)＋1=cｓc2（α) 积的关系： sinα=ｔanα·coｓα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·ｓｅｃα cotα=ｃｏｓα·cｓcα ｓecα＝tanα·cscα csｃα=secα·cotα 倒数关系： ｔanα·coｔα=1 sinα·cｓcα＝1 coｓα·secα＝1 5.三角函数值 （1)特殊角三角函数值 (2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 （3)锐角三角函数值的变化情况 (i）锐角三角函数值都是正值 （ｉi)当角度在0°~9０°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小）而增大(或减小） 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小（或增大） 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， ０≤sｉnα≤1, 1≥cosＡ≥０, 当角度在0°<∠A<90°间变化时，
锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别 听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（） A．B．C．D． 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（） A．1 B．C．3 D．
例3．cos 60°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 例4．如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB =45°，则sinC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 练习一 锐角三角函数 1．已知sinA= 2 1 （∠A 为锐角），则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________． 2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，1a =，2b =，则cosA=________，tanA=_________． 3．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________， tanA=_________． 4．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=30o，4b =，则a =__________，c =__________． 5．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA= 5 3 ，则cosB=_________． 6．已知cosA= 2 3 ，且∠B=90o-∠A ，则sinB=__________． 7．若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、不能确定 8．如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为 a ，则电线杆AB 的长可表示为 A ．a B ．2a C ．3 2a D ．52 a D C B A
1 锐角三角函数定义 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。 1）锐角三角函数值都是正值。 2）当角度在0°~90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 4同角三角函数基本关系式 sin? = cos a tan a a 5互为余角的三角函数间的关系 - sin(= 90 a cos ) a
a a sin )90cos(=- 6 解直角三角形的基础知识 在Rt ABC ?中， 90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c （1） 三边之间的关系：222c b a =+ （2） 锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠= 90 （3） 边角之间的关系：c a A = sin ；c b A =cos ；b a A =tan ； c a B =cos ；c b B =sin ；a b B =tan （4） 面积公式：ch ab S 2 121==?（h 为斜边上的高） 7 切），宁乘勿除，取原避中”。其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。 8 解直角三角形应用题中的常见概念 （1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示。 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则αtan ==l h i
2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中，A ∠，B ∠都是锐角，且1 sin 2 A = ，cos 2B =，则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2，在R t A B C ?中，90A ∠=?，AD BC ⊥于点D ，:3:2BD CD =，则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长 线于点E ，30A ∠=?，则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D.
6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量，如图4，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30o，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60o，若学生的身高忽略不计， 1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 7.如图5，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33o，测得圆心O 的仰角为21o，则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65?≈，tan 210.38?≈)( ) 图 5 A.169米 B.204米 C.240米 D.407米 8.如图6，在ABC ?中，已知90ABC ∠=?，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ， C 不重合)，作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，则BE CF +的值( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大，再变小 9.如图7，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30o方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75o的方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60o的方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( ) A. B.
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3.（2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45?，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4?（如图② ?≈，所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89 ?≈，tan63.4 2.00 ?≈ 1.41 cos63.40.45 ≈） ≈ 1.73 4. (2019甘肃中考 7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这-课题进行了探究，过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=°):冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角 ∠BDC最小(∠BDC=°);窗户的高度AB=2m 问题解决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长. (结果精确到,参考数据:°≈，°≈, °≈
初三解直角三角形基本模型复习
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角 度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义：
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B=b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 例2（2017?海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1：1（即DB ：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC ． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
锐角三角函数 一.知识框架 二.知识概念 1.Rt △ABC 中 (1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA = ∠A 的对边 斜边 (2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边 (3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA = ∠A 的对边
∠A 的邻边 (4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边 2.特殊值的三角函数: 锐角三角函数(1 基础扫描 1. 求出下图中sinD ,sinE 的值. 2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( . A . sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C . 2sinA =sinA ′ D . 不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( A . 35
B . 45 C . 34 D . 4 3 4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值. 25 24 7C B A 5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1 2,则满足条件的点P 的个数是( A 1个 B 2个 C 3个
D 不存在 7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB . l C B A (第7题图 85 F E D 创新学习 9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于( A. B C.
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习 一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．asinα+asinβ B ．acosα+acosβ C ．atanα+atanβ D ．tan tan a a αβ + 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝ BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ， ∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键． 2．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 【答案】C 【解析】
试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=1 2 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD= 4 3 BD OD . 故选D． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心，
中考数学真题汇编:锐角三角函数 (WORD版本真题试卷+名师解析答案，建议下载保存) 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D
4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B
7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（） A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 ________小时即可到达(结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h
中考数学真题汇编:锐角三角函数 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，， 则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的 直径是( ) A.3 B.
C. D. 【答案】D 4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度 ，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为 （） （参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1 米 C. 14.7 米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后 两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海 里 C. 6.12海 里 D. 6.21海里 【答案】B
6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B 7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）
A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航 行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在 北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航 行________小时即可到达 (结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。 【答案】 11.如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到 ，若厘米，则的边的长为________厘米. 【答案】 12.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折， 使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.
WORD格式 解直角三角形应用篇 1．（2019 山东泰安中考）（ 4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 C 港， C 港在 A 港北偏东 20°方向，则A， C 两港之间的距离为（）km． A． 30+30B． 30+10C． 10+30D． 30 2．（2019 山东淄博中考）如图，小明从 A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处，则∠ ABC等于（） A． 130° B． 120° C． 110 ° D． 100 ° 3（.2019 山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点 A 处测得大楼部分楼体 CD的顶端 C 点的仰角为45，底端 D 点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20 米到达 B 处，测得顶端 C 的仰角为63.4 （如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到 1 米）（参考数据：sin63.40.89，
cos63.40.45 ，tan63.42.00，21.41， 31.73 ） 专业资料整理
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WORD格式4. ( 题出: 2 进1 行是 1 炎了某 9 热探方案设计 : 甘住 的究2 肃户 :阳, 中数窗据收集 : 光该 考户 ，通 7数上 与 又过 分学方 遮 能 阳篷 CD查的夹角 )课安 阳 最阅 题 某∠ BDC最装小 ( ∠ BDC=30.56° ); 窗户的高度 篷: 大 数研的决: 限C兰 学究， D度根 州 课小要 的 地据 市 题组求 夹 使上 结一 研通设 角述 冬 果年 究过计 ∠°≈ 0.51 天方 中 小调0.1m, 参考数据 :sin30.56的 A温案， 组查遮 D暖及夏 针研阳 C的数至 对究篷 最 阳据 这 兰设既 大 光， 一 州AC的遮阳篷 CD能 (射求 市天最 ∠的遮 .住大 A阳 房正限 D篷 窗午度 C C时 户夏天 =.刻 设计遮阳篷”这 - 课 7， 7太 .DA 4 4 ° ) : 冬 至 这 一 天 的正 午 时 刻 ， 太 DB与遮
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
锐角三角函数 一．知识框架 二．知识概念 1.Rt △ABC 中 (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 (4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cota ＝ ∠A 的邻边 ∠A 的对边 2.特殊值的三角函数：
锐角三角函数（1） 基础扫描 A ．求出下图中sinD ，sinE 的值． 2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）． A ． sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ． 2sinA ＝sinA ′ D ． 不能确定 3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 4． 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值． 25 24 7C B A 5． 计算：sin30°·sin 60°+sin45°． 能力拓展 6． 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin ∠APB=12 ，则满足条件的点P 的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 不存在 7． 如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB ． l C B A （第7题图） 85 F E D
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD?AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD?AE=AF?AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF?FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，