有密度函数求期望公式是什么？
有密度函数求期望公式：DX=EX^2-(EX)^2 。
拓展资料：
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
随机变量表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。
数学期望和方差 在概率论和统计学中，数学期望和方差是两个基本的概念，它们分别描述了随机变量的平均值和离散程度。下面，我们将详细介绍这两个概念的定义和性质，并通过一些实例来加深对它们的理解。 一、数学期望 数学期望，又称为均值，是指随机变量取值的平均值。对于离散型随机变量，数学期望定义为： E(X) = Σ(x*p(x)) 其中，x是随机变量的取值，p(x)是相应的概率。对于连续型随机变量，数学期望的定义稍有不同： E(X) = ∫(x*f(x)) dx 其中，f(x)是随机变量的概率密度函数。 数学期望具有以下性质： 1、如果将随机变量分成若干部分，那么每一部分的数学期望等于该部分的平均值。
2、如果将随机变量进行线性变换，那么变换后的随机变量的数学期望等于原随机变量的数学期望进行同样的线性变换。 3、如果随机变量是两个独立随机变量的和，那么它们的数学期望也是相加的。 二、方差 方差是衡量随机变量离散程度的重要指标。对于离散型随机变量，方差定义为： Var(X) = Σ((x-E(X))^2*p(x)) 对于连续型随机变量，方差的定义类似： Var(X) = ∫((x-E(X))^2*f(x)) dx 方差具有以下性质： 1、如果将随机变量乘以一个常数，那么方差将乘以这个常数的平方。 2、如果对两个独立的随机变量进行线性变换，那么变换后的随机变量的方差等于原随机变量的方差之和。 3、对于任何随机变量，方差的取值范围是非负的。
三、实例分析 让我们通过一个简单的例子来理解数学期望和方差的概念。假设有一个硬币，它的两面分别代表正面和反面。正面出现的概率为0.5，反面出现的概率为0.5。如果我们投掷这枚硬币多次，那么正面和反面出现的次数将遵循概率分布。在这个例子中，正面出现的次数是一个离散型随机变量。它的取值包括0,1,2,...,n,...等，其中n是投掷次数。正面出现的概率分布为P(X=n)=C(n,1)0.5^n0.5^(n-1)。我们可以计算出这个随机变量的数学期望E(X)和方差Var(X)。通过计算我们发现，数学期望E(X)=1，方差Var(X)=1。这说明在多次投掷中，正面出现的平均次数为1次，而实际次数与平均次数的偏差的平均值为0。方差也告诉我们正面出现次数的离散程度。在这个例子中，方差为1，说明正面出现次数的离散程度较大。如果我们改变硬币的构造或者投掷的环境，那么正面出现的概率分布可能会发生变化，进而导致数学期望和方差的变化。因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况计算和分析数学期望和方差。 数学期望与方差在经济分析中的应用 数学期望和方差是统计学中的重要概念，它们对于理解经济现象和做出决策具有重要意义。在经济分析中，数学期望和方差可以用来描述和预测经济数据，帮助我们更好地理解经济趋势和风险。
概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结 一：期望 引入： 1.1离散型随机变量的期望 注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。 1.2连续型随机变量的期望 注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。 1.3期望的性质 注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。 二：随机变量函数（复合随机）的数学期望 1.理解
注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。 三：方差 引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和： 定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。 3.1离散型随机变量的方差 3.2连续性随机变量的方差 3.3方差的性质 注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下 四：协方差 4.1定义
注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。 4.2离散型二维随机变量的协方差 4.3连续型二维随机变量的协方差 4.4二维随机变量的协方差性质 注：了解即可… 4.5协方差矩阵 五：相关系数 所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。 参考链接：
人教版高中数学 数学期望与方差及正态分布 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念. 2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式. 3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质. 4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题. 5.理解概率密度曲线和正态分布的概念. 1.离散型随机变量X 的数学期望 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称1122n n x p x p x p +++为离散型随机变量X 的数学期望，记为()E X ，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p + += 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示， 则称2 2 21122()()()n n x p x p x p μμμ-+-++-为离散型随机变量X 的方差，记为()V X ，即2 ; σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=()E X μ= 3.离散型随机变量X 的标准差 随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差， 即σ=4.必备公式
(1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=1122n n x p x p x p ++ +； V (X )=2 2 1122()()x p x p μμ-+-+2()n n x p μ+-； σ =. (2)二项分布的数学期望、方差的计算公式 当X ～B (n ，p )时，E (X )=np ；V (X )=np(1-p). 5.离散型随机变量方差的性质 设ξ是离散型随机变量，则其方差具有如下性质： (1)V (k )=0(k 为常数)； (2)2 ();V k k V ξξ= (3)();V k V ξξ+= (4)2()(,).V a b a V a b ξξ+=∈R 6.概率密度曲线 (1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线. (2) 正态密度曲线的函数表达式为22 ()2()e ,,0,x P x x μσσμ--=∈>∈R R 7.正态分布 (1)若X 是一个随机变量，对任给区间(a ，b ]，P (a
序 言 数学方差和期望比较集中的反映随机变量的某个侧面的平均特性,因此对随机变量的期望和方差的计算具有很深的实际意义. 本论文着重总结了随机变量期望和方差的几种常用计算方法,并通过具体例子阐述在不同情况下应该采用的计算方法,以达到使计算最简便化的目的. 一、 离散型随机变量期望的计算方法 方法一 定义法 [1] 即若已知离散型随机变量ξ的分布列为 则ξ的期望为1111(2)()()p p A B p A B ξ==+ 例1 某项考试按科目A 和科目B 依次进行,只有当科目A 成绩合格时,才可继续参加科目B 的考试,已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A 每次考试成绩合格的 的考试机会,记他参加考试的次数为ξ,求ξ的数学期望E ξ. 解 设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ,“科目A 补考合格”为事件2A ,“科目 B 第一次考试合格”为事件1B ,“科目B 补考合格”为事件2B ,已知得ξ=2,3,4注意到各 事件之间的独立性与互斥性,可得 1111(2)()() 21113233114399 p p A B p A B ξ==+=⋅+⋅= +=
对于某些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布、超几何分布等）,则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得. 方法二 公式法 设随机变量ξ服从二项分布(,,)B b n p ,其分布列为： {}(1) (0,1,2)k k n k n P k C p p k n ξ-===-=⋅⋅⋅, 则我们有： 01 1 11 11 1 !()(1) !()!! (1)!()! (1) (1)(1) n k n k k n k n k k n k k n k n k n i i n i n i i n E k p p k n k n p p k n k np p p np p p np i k C C ξ-=-=----=----== ⋅ --= --=-=-==-∑ ∑ ∑ ∑ 由此便推出服从二项分布的随机变量的数学期望的计算公式为()E np ξ=. 例2 一个实验学科的考察方案：考生从6道选题中一次性随机抽取3题,按题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中考生甲有4 不影响. 分别求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望. 解 设考生甲正确完成的题数为ξ,则ξ服从超几何分布,其中6,4,3N M n ===, ∴3426 nM E N ξ⋅= == 设考生乙正确完成的题数为η,则 2 ~[3,]3B η,2323E np η==⋅ = 方法三 性质法 即利用期望的性质求期望,所用到的性质主要有:
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑= 学期望不存在[] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
概率论已知一维函数求均值 概率论已知一维函数求均值 概率论作为数学中非常重要的一个分支，在各个领域都有着广泛的应用，如金融、科学、工程等。其中，求解随机变量的数学期望（均值）是概率论中最基本的问题之一。对于一维函数而言，如何求解其均值呢？ 1. 概率论基础 在进行求解一维函数的均值之前，需要先了解一些概率论的基础知识。 首先，对于一维离散型随机变量 X，其数学期望 E(X)定义为 E(X)=ΣxP(X=x)，即随机变量 X 取值为 x 的概率乘以 x 的取值，并 对所有可能的取值求和。 其次，对于一维连续型随机变量 Y，其数学期望 E(Y)定义为 E(Y)=∫yf(y)dy，即随机变量 Y 取值为 y 的概率密度函数 f(y) 乘 以 y 的取值，并对所有可能的取值求积分。 2. 求解一维函数均值的方法 （1）离散型函数 对于一维离散型函数 f(x)，其均值可以用以下公式求解： μ=E(f(x))=Σxf(x) 其中，x 取遍所有可能的取值。
例如，对于一个骰子而言，其可能的取值为 {1,2,3,4,5,6}，每个数字的概率为 1/6，那么骰子的均值可以用以下公式求解： μ=Σxf(x)=（1/6×1）+（1/6×2）+（1/6×3）+（1/6×4）+ （1/6×5）+（1/6×6）=3.5 即骰子的均值为 3.5。 （2）连续型函数 对于一维连续型函数 g(x)，其均值可以用以下公式求解： μ=E(g(x))=∫g(x)f(x)dx 其中，f(x) 为 g(x) 的概率密度函数。 例如，对于一个正态分布函数而言，其概率密度函数为： f(x) = (1/σ√2π) * e^-(x-μ)²/2σ² 其中，μ 为均值，σ 为标准差。那么正态分布函数的均值可以用以下公式求解： μ=∫x(1/σ√2π) * e^-(x-μ)²/2σ² dx 由于正态分布的概率密度函数是一个标准化的钟形曲线，所以其均值为μ。 3. 总结
中国民航大学804运筹学考研真题和答案详 解 国内各高校的运筹学考研真题和答案是考生备考的重要素材。本文 将详细解析中国民航大学804运筹学考研真题和答案，帮助考生更好 地备考。 一、题目解析 题目如下： 2019年中国民航大学804计算机应用考研真题： 1. 某机场在某一航班放行时需要包括滑行时间、等待时间、起降时 间等多个环节。现有数据如下：滑行时间E1为随机变量，满足 E1=5+2X，其中X为随机变量，满足X=uniform(0, 1)。等待时间E2为 随机变量，满足E2=18+6Y，其中Y 为随机变量，满足Y=uniform(0,1)。起降时间E3 为随机变量，满足E3 =50+10Z，其中Z 为随机变量，满 足 Z =uniform(0,1)。请计算机场处理一架飞机的平均耗时。 解析： 该题要求计算机场处理一架飞机的平均耗时。根据已知数据，滑行 时间E1、等待时间E2和起降时间E3都是以随机变量的形式给出，并 且通过数学表达式与uniform(0,1)产生的随机变量相关联。所以我们需 要计算这三个时间的数学期望，并将其相加得到平均耗时。 二、答案详解
根据题目给出的数据和相关的数学表达式，我们可以得到滑行时间 E1=5+2X，等待时间E2=18+6Y，起降时间E3=50+10Z。现在我们分别计算这三个时间的数学期望并相加，即可得到平均耗时。 1. 计算滑行时间E1的数学期望： 由于X服从uniform(0,1)分布，其概率密度函数为f(x)=1，0<=x<=1，否则f(x)=0。所以X的数学期望为： E(X) = ∫[0,1]xf(x)dx = ∫[0,1]xdx = 1/2 将E1=5+2X代入，得到： E(E1) = E(5+2X) = 5+2E(X) = 5+2*(1/2) = 6 2. 计算等待时间E2的数学期望： 由于Y服从uniform(0,1)分布，其概率密度函数为f(y)=1，0<=y<=1，否则f(y)=0。所以Y的数学期望为： E(Y) = ∫[0,1]yf(y)dy = ∫[0,1]ydy = 1/2 将E2=18+6Y代入，得到： E(E2) = E(18+6Y) = 18+6E(Y) = 18+6*(1/2) = 21 3. 计算起降时间E3的数学期望： 由于Z服从uniform(0,1)分布，其概率密度函数为f(z)=1，0<=z<=1，否则f(z)=0。所以Z的数学期望为： E(Z) = ∫[0,1]zf(z)dz = ∫[0,1]zdz = 1/2
正态分布的数学期望与方差 正态分布: 密度函数为: 分布函数为 的分布称为正态分布～记为N(a, σ2). 密度函数为: 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵～a是任意实值行向 量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 ,1, 验证是概率函数,正值且积分为1, ,2, 基本性质: ,3, 二元正态分布: 其中～ 二元正态分布的边际分布仍是正态分布: 二元正态分布的条件分布仍是正态分布: 即 ,其均值是x的线性函数, 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 ,4, 矩～对标准正态随机变量～有 ,5, 正态分布的特征函数 多元正态分布 ,1, 验证其符合概率函数要求,应用 B为正定矩阵～L为非奇异阵～然后进行向量线性变换, ,2, n元正态分布结论 a) 其特征函数为: b) 的任一子向量 ,m?n 也服从正态分布～分布为其中～为保留B的第～… 行及列所得的m阶矩阵。
表明:多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵～即表明:n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若～为的子向量～其中是～的协方差矩阵～则是～相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为 ,0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服 从一元正态分布 表明:可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵～则服从m元正态分布 表明:正态变量在线性变换下还是正态变量～这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论: 服从n元正态分布N(a,b)～则存在一个正交变化U～使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量～他的数学期望为Ua～而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)～～则在给定下～的分布还是正态分布～其条件数学期望: (称为关于的回归) 其条件方差为: ,与无关, • • •
求概率密度函数的方法 概率密度函数是统计学中常用的一种描述随机变量分布的方法，通常简称为PDF。概率密度函数可以用于描述连续型随机变量的分布情况，它描述了随机变量落在某个区间内的概率密度，也可以用于计算随机变量的期望值、方差等统计量。 概率密度函数需要满足以下两个条件： 1. 非负性：对于随机变量X的任意取值x，概率密度函数f(x)≥0。 2. 归一性：整个概率密度函数的积分等于1，即∫[a,b] f(x)dx = 1，在区间[a,b]内的概率分布总和为1。 为了更好地理解概率密度函数的方法，我们可以通过以下几个步骤来构建概率密度函数。 1. 首先，确定随机变量的取值范围。对于连续型随机变量，它可以取到任意小数值，这就意味着随机变量可能落在实数轴的任意一个点上。所以，我们需要定义随机变量的取值范围，通常用一个区间来表示。 2. 接下来，我们需要确定随机变量在取值范围内的概率密度。概率密度函数可以用一个函数f(x)来描述，该函数满足非负性和归一性的条件。一般来说，我们可以设定一个数学表达式或者曲线来描述概率密度函数。 3. 然后，我们需要计算概率密度函数在某一点x处的值。通过计算概率密度函
数在不同取值点上的函数值，我们可以获得随机变量在这些点上的概率密度。概率密度函数在某一点处的值可以表示该点上随机变量的密度。 4. 最后，我们可以利用概率密度函数来计算随机变量的期望值、方差等统计量。根据定义，随机变量的期望值等于随机变量在所有取值上的加权平均。权重即为概率密度函数在该取值点上的函数值，对应的随机变量取值即为横坐标。方差则表示了随机变量取值的平均离散程度。 需要注意的是，概率密度函数是描述连续型随机变量的分布情况，与离散型随机变量的概率质量函数不同。对于离散型随机变量，我们需要使用概率质量函数来描述其取值概率，在某一点上的概率可以通过概率质量函数得到。概率密度函数与概率质量函数的区别是连续型随机变量的概率是通过曲线下面的面积计算的，而离散型随机变量的概率是直接在某一点上取值的。 总结起来，概率密度函数是一种用于描述随机变量分布情况的方法，它可以用于计算随机变量的期望值、方差等统计量。为了构建概率密度函数，我们需要确定随机变量的取值范围，确定概率密度函数的形式，并计算在某一点上的函数值。概率密度函数是描述连续型随机变量分布的工具，与离散型随机变量的概率质量函数有所不同。
5.数学期望的基本性质 利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质： 设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则 性质1.E(c)=c； 性质2.E(aξ)=aE(ξ)； 性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a； 性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b； 性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)． 例3.5.7设随机变量X的概率分布为: P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5. 求E(X),E(3X+2)． 解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5 ∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知 E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3， E(3X+2)=3E(X)+2=11． 例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为: 求E(X),E(2X-1)． 解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知 =-1/6+1/6=0． ∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1． 我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.
4.1.2 数学期望的性质 （1）设是常数，则有。 证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显 然等于1。所以，。 （2）设是随机变量，是常数，则有 。 证若是连续型随机变量，且其密度函数为。 。 当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。 （3）设都是随机变量，则有 。 此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即 。 （4）设是相互独立的随机变量，则 。 证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度分别为 和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以 有 。 由此得
论数学期望在实际生活中的运用 数学期望代表着概念意义下的统计平均值，客观有效地反映了随机变量的取值分布。作为概率论与数理统计中的重要概念之一，数学期望如今已经成为经济统计、投资分析等领域的重要参数，为更深入的判断与决策提供了准确的理论依据。本文梳理了数学期望的基本概念与计算方法，并进一步探讨期望在实际生活中的具体运用。 1 数学期望的基本概念 1.1 离散型与连续型随机变量 生活中存在许多自然现象，当某种现象的结果具有不确定性和随机性，但结果的取值范围是已知的時候，我们称该现象的结果为随机变量。例如，某一时刻经过某路口的出租车数量、未来某一天的平均温度均是随机变量，它们都无法预知，但结果的区间范围确是可以确定的。 需要注意的是，根据随机变量取值的分布规律，一般把随机变量分为两种类型：离散型随机变量与连续型随机变量。当变量的取值在一定区间内是有限的，这个变量即是离散型随机变量；当取值在一定区间内是无限的，这个变量即是连续型随机变量。正如上文所列举的例子，某一时刻经过某路口的出租车数量便是“可数”的，是离散型的随机变量；而未来某一天的平均温度虽然 1/ 6
也可以确定取值范围，但在特定的范围内的取值是“不可数”的，因而是连续型的随机变量。 1.2 数学期望的计算方法 类似于加权平均的方法，数学期望即是随机变量的所有可能取值与其对应的概率乘积之和，概率即是每项结果的“权重”。离散型与连续型随机变量的计算方式有所不同。 对于离散型随机变量X来说： X的分布律为： P{X=xk}=pk，k=1，2，3… 若级数收敛，则随机变量X的数学期望E（X）即为。 对于连续型随机变量Y来说： Y的概率密度函数为： f（y），y∈（-∞，+∞） 若级数收敛，则随机变量Y的数学期望E（Y）即为。 2 数学期望在实际生活中的运用 2.1 生产决策问题 在生产经营过程中，由于无法提前预知其他厂商的生产情况，因而对于产量的抉择是较为盲目的。当市场供给过多时，产品价格会下降进而侵蚀利润，同时商品积压也会增加库存成本。实际上，企业的财务管理人员可以通过历史数据、市场信息，利用数学期望原理进行合理估算，制定出理论上的最佳生产策略。 2/ 6
期望、方差、正态分布 期望、方差知识回顾： 1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x 1 x 2 … x n … P p 1 p 2 … p n … 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 特别提醒： 1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np 4.方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…． 5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+； 若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒： 1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； 2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度； 3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 正态分布知识回顾： 1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(2 22)(∈=--x e x f x σμσ π的图象，则其分布叫正态分布， 常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线． 三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示： 观察以上三条正态曲线，得以下性质： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 时位于最高点．
条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matri* and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重〔一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积〕后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为},,{21 p p .又事件A 有0)(>A P ，这时 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 则称 A i i i p x A X E |]|[∑=． 为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望〔简称条件期望〕． 定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)(>A P ，且X 在条件A 之下的条件分布密度函数为)|(A x f ．假设⎰∞ ∞-∞
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