本科生毕业论文
题目: 数学期望的计算方法与实际应用专业代码: 070101
原创性声明
本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.
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目录
1.引言 (1)
2. 数学期望的定义及其性质 (2)
2.1数学期望的定义 (2)
2.2数学期望的基本性质 (2)
2.3数学期望的计算方法 (3)
3 数学期望在实际生活中的应用 (7)
3.1在医学疾病普查中的应用 (7)
3.2数学期望在体育比赛中应用 (8)
3.3数学期望在经济问题中的应用 (10)
3.3.1 免费抽奖问题 (10)
3.3.2 保险公司获利问题 (11)
3.3.3 决定生产批量问题 (11)
3.3.4 机器故障问题 (12)
3.3.5 最佳进货量问题 (13)
3.3.6 求职决策问题 (14)
4 结论 (15)
参考文献 (16)
致谢 (17)
摘要
数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。
本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。
关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用
Abstract
Mathematical expectation or expectations, also known as average, is very important digital features in the theory of probability, and it represents the overall average value random variables. Mathematical expectation is very big, widely applied in all fields in actual life. In real life, there are a lot of problems can be directly or indirectly solved by using the mathematical expectation. Its meaning is to use mathematical model to carry on the analysis of practice of abstracting method, so as to achieve the purpose of understanding the objective world rule, in order to provide accurate theoretical basis such as decision analysis.
Based on the connotation of mathematical expectation, this paper introduces the definition and properties of mathematical expectation,and introduces several calculation methods of mathematical expectation and with examples, through the mathematical expectation in the medical disease census, sports, and discussed the application of economic problems. Especially in terms of economy, this paper is divided into free sweepstakes problem, insurance company profits, decided to production batch problems, machine failure problem, best carried out and cover decision problem, and attempts to preliminarily illustrate the important role of mathematical expectation in the actual life,and a few examples combine mathematical expectation and actual problem, with specific example is given to illustrate the feasibility of solving practical problems with mathematical expectation method,and embodies the application of mathematical expectation in life.
Keywords：Probability and mathematical statistics; Mathematical expectation; Properties; Calculation method; application
数学期望的计算方法与实际应用
1.引言
知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界的实践活动中去，其价值也就在于此.面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，富于创新，既要学习数学知识，更应该重视对所学知识的应用.
在现实生活中，我们常常需要研究各种各样的随机变量.对于一个随机变量，如果掌握了它的概率分布，当然就可以对它进行全面的分析，但是在实际问题中要求出一个随机变量的概率分布往往不是一件容易事.有时甚至是不可能，而有些实际问题我们也不一定非要掌握一个随机变量的概率分布，而只要知道它的某些数字特征就够了，因此并不需要求出它的分布函数.这些特征就是随机变量的数字特征，是随机变量的分布所决定的常数，刻画了随机变量某一方面的性质。例如比较不同班级的某次统考的成绩，通常就是比较各班的平均分；考察某种大批量生产的元件的寿命往往只需知道元件的平均寿命；评定某地区粮食产量的水平时，经常考虑平均亩产量；对一射手进行技术评定时，经常考察射击命中环数的平均值；检查一批棉花的质量时，关心的是棉花纤维的平均长度等.这个重要的数字特征就是数学期望，它是现实生活中“平均值”概念的推广，在现实生活中有重要的作用.
盛骤等人在文献[1]中给我们系统地介绍了数学期望的定义、基本性质等，文献[2——5]中介绍了用特征函数、逐项微分、特殊积分等求解数学期望的方法，解法各具特色，张艳娥等在文献[6]中讨论了数学期望理论在疾病普查中的应用，杨先伟在文献[7]中对数学期望在体育比赛中的应用作了研究，文献[8——12]通过几个例子研究了数学期望在某些经济问题中的应用，内容包括免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题等.
本文介绍了数学期望的定义、性质及其计算方法与技巧，并从数学期望的内涵出发，通过几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的广泛应用.
2. 数学期望的定义及其性质
2.1 数学期望的定义
掷一枚质地均匀的骰子N 次，观察每次出现点数.它是一个随机变量ξ，如果用1N 、2N 、3N 、4N 、5N 、6N 表示出现1、2、3、4、5、6点的次数，那么每次投掷骰子出现点数的平均值为
N
N N N N N N N N N N N N N N N N N X 6543216
54321654321654321++++++++++= N
N i 表示事件投掷骰子出现i 点的频率，由于频率具有波动性，因此该平均值也具有波动性，并不能代表每次投掷骰子出现点数的平均值，当N 很大时，N
N i 应稳定于6
1，故该平均值也应该稳定于 ()2
765432161616615614613612611=+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 那么，这使得平均值是真正的每次投掷骰子出现点数的平均值，他是随机变量ξ的可能取值i x 与所对应的概率i p 乘积的总和，这是一个常数，可以用来描述随机变量ξ的数学特征，称之为ξ的数学期望，记作ξE .
定义 1 若离散型随机变量ξ可能取值为()⋯⋯=,3,2,1i a i ，其分布列为i p ()⋯⋯=,3,2,1i ，则当i i i p a ∑∞
=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为
∑∞==1i i i p a E ξ，如果∞=∑∞
=i i i p a 1，则数学期望不存在.
定义2 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为()x P , 若积分⎰+∞
∞
-dx x xP )(是一
个有限值，则称积分⎰+∞∞-dx x xP )(为ξ的数学期望，记作ξE ，即=
ξE ⎰+∞∞-dx x xP )(.
2.2 数学期望的基本性质
设C 、a 、b 为常数，ξ为随机变量，则有如下性质：
性质1 常数C 的数学期望等于本身：C EC =.
证明：以离散随机变量为例来证明，对于连续随机变量可类似地证明.下同， 把常数C 视为概率1取本身值的离散随机变量，即得 C EC =.
性质2 ()C E C E +=+ξξ
证明：设随机变量ξ的概率分布为)(i x P =ξ=)(i x P ,（i =1,2,…）则
()C E x P C x P x x P C x C E i
i i i i i i i +=+=+=+∑∑∑ξξ)()()()(.
性质3 ξξCE C E =)(.
证明：∑∑===i i i
i i i CE x P x C x P Cx C E ξξ)()()(.
性质4 ξξbE a b a E +=+)(.
证明：利用前三个性质得ξξξbE a Eb Ea b a E +=+=+)(.
2.3 数学期望的计算方法
方法一：利用数学期望的定义，即定义法
此法是计算数学期望最常用的一种方法.它是先通过数学手段将∑∞
=1k k k p x 转化
成组合数公式、二项式定理或特殊级数的形式，然后求和获解.该方法思路明确，但有时计算比较麻烦.
例1 设X~ U ( a, b) , 求E ( X).
解 X 的概率分布为
()⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=b
x a a b x f ,1,0其他 X 的数学期望为
()()2
-b a dx a b x dx x xf X E +=--∞=∞= 方法二： 公式法
对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望.
（1） 二点分布：()0
11~p p X -，则()p X E =
（2） 二项分布：),(~p n B X ，01p <<，则np X E =)(
（3） 几何分布：)(~p G X ,则有p
X E 1)(= （4） 泊松分布：)(~λP X ，有λ=)(X E
（5） 超几何分布：),,(~M N n h X ,有N
M n
X E =)( 方法三： 性质法
当一个随机变量的分布较为复杂时，若直接求它的数学期望会很困难，我们可以通过将它转化成比较常见的简单的随机变量之和来解决． 主要是利用数学期望的性质()∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛n
i i n i i X E X E 1
1来使问题简单化．
例2 将n 个球随机地放入M 个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X 的期望．
解 记⎩⎨⎧=个盒子有球，第个盒子无球，第i 1i 0i X ，i=1,2,3，…，M,则∑==M X X 1
i i 。 ()()n
n n i 1-110⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-==M M M X P ，所以
()n i 1-1-11⎪⎭⎫ ⎝⎛==M X P 因而
()n
i m 1-1-1⎪⎭
⎫ ⎝⎛=X E 所以
()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=n 1i i 111M M X X E M
方法四： 利用逐项微分法
这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质1
1=∑∞
=i i p 两边关于参数进行求导，从而解出数学期望.
例3 设随机变量X 服从几何分布()p k g ,，求()X E .
解 ()()
()n k p p p X P k n ,...,2,1,0,101k =<<-==- ()
111=-∑∞=-k k n p p
两边对p 求导数得
()()()0111211=-----∞
=-∑k k k p k p p ()
()()011-1121211=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=-k k k k k k p p p k p
()()()0111111111
11111=--+----∑∑∑∞=-∞=-∞=-k k k k k k p p p p k p p p p 即
()011111=-+--p
X E p p ()p X E 1
=
方法五： 利用条件数学期望公式法
条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量()Y X ,.在()Y X ,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：
()()()∑=====i
i i y Y x X P x y Y X E X E
或()()()∑=====j
j j x X y Y P y x X Y E Y E
在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为
()()⎰+∞
∞
-==dx y x xp y Y X E 例4 设质量()kg m 与加速度()
2/m N a 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤=⎩⎨⎧≤≤=10,92,010,2,0X a a y x m m x 其他，其他，试求外力F=ma 的均值.
解 ()()()()a E m E ma E F E ==
()[]()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∞=∑∞=1-i da a ay dm m mx
()N 2
3
=
例5 设ξ~[]1,0U ，当x =ξ时，η~[]x U ，0，求()ηE .
解 由题意{
}10,2/<<==x x
x E ξη， 于是(){}()4
1
2/1
0====⎰⎰+∞
∞-dx x dx x x E E ϕξξηη 方法六： 特殊积分法
连续型随机变量X 的数学期望为()()dx x p x X E ⎰+∞
∞-=，在计算连续型随机变量
X 的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如奇函数在对称区间的积分值为0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便.
例6 设随机变量()
2
,~σμN X ,证明()μ=X E .
证 在()X E 的积分表达式中做变换()dx dz x z σ
σ
μ1
=
-=
，，即dz dx ⋅=σ
()()()⎰⎰
∞+∞
--∞
+∞
---
+⋅=
=
dz e
z dx xe
X E t x 2
222
2121μσπ
σ
πμ
μ
μμσπ=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰⎰∞+∞-∞+∞--2
-2
2
2
21dz e dz ze t t
上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，故其积分为0，第二个积分恰为
π2.
方法七： 利用特征函数
特征函数的定义：设X 是一个随机变量，称()()itX e E t =ϕ , t -∞<<+∞，为
X 的特征函数，设连续随机变量X 有密度函数()x p ，则X 的特征函数为
()()⎰
+∞
∞
-=
dx x p e t itx ϕ t -∞<<+∞
根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：
()()()
k
k k
i
X
E 0ϕ=
求出数学期望，即
()()
i
X E 0ϕ'=
．
例7设随机变量()
2
,~σμN X ,求()X E .
解 因为随机变量()
2
,~σμN X ,则X 的特征函数为
()⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-=2exp 22t t i t σμϕ，
其一阶导数为
()()
2
2222exp 't
i t t i t σμσμϕ-⨯⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-= 则()μϕi =0'，由特征函数的性质得
()()
μμ
ϕ==
=
i
i i
X E 0' 3 数学期望在实际生活中的应用
3.1 在医学疾病普查中的应用
医疗系统的检验人员在实际工作中经常遇到大量人群中普查某种疾病.如甲肝的普查就需要对某地区大量人进行血检.假设需要检查N 个人的血，如果逐人验血，则共需要检验N 次，平均每人一次.若把这N 个人大致分为N
k
组，每组k 个人，把这k 个人的血样混合，首先检验混合血样，平均每人1
k
次，如果结果呈阳性，则在逐个检验，即共需k +1次，平均每人需1
k k
+次，当被普查人数众多时，应用分组检验的方法能大大减少检验的次数.
例 某地区的群众患有肝炎的概率为0.004左右，假若要对该地区5000人进行肝炎感染的普查，问用分组检验方法是否比逐人检验减少检查次数.
解 将这5000人分成
5000
k
组，每组k 个人，每人所需检验的次数为随机变量X ，则X 的概率分布为：
每人的平均所需检验次数的期望为：
E （X ）=
1k (10.004)k -+1k k +1(10.004)k
⎡⎤--⎣
⎦ =1k 0.996k +1-1k 0.996k +1
k
-0.996k =1+1
k
-0.996k
易见，当k =1，2，3，4,…时，()X E ，即每人平均所需次数小于1，这比逐人检查的次数要少.并且由数学分析的知识可知当k 取16时，最小.即将5000人大致分为每组16人检验即可.
3.2 数学期望在体育比赛中应用
随着姚明和易建联在NBA 中取得成功，现在NBA 比赛越来越多地受到中国人的青睐.而由于体育比赛结果的偶然性，使得大家对比赛结果的预测越来越感兴趣.
以2008年爵士队和火箭队在NBA 季后赛的第一轮相遇为例.根据NBA 规则，比赛是七场四胜制.现在我们就可以提出这样一个问题，假设火箭队爵士每场比赛的获胜率都为50%，那么第一轮比赛结束时两队所需要比赛的场数是多少.
很容易想到，两个队比赛结束的前提就是其中一个对已经获得了4场比赛的胜利.所以上述问题可能的结果又4、5、6、7场四种结果.我们下面应用数学期望的知识进行预测.
首先，计算四种结果所对应的概率.由于每场比赛双方获胜概率一样，所以只需计算其中一对最后乘以二即可.
以两队比赛结束时共赛5场为例，假设火箭最终胜利.即火箭第五场胜利，且前四场恰好胜3场，又火箭每场胜率为50%，应用二项式定律可知，前面四场火
箭恰好胜三场的概率为：()()25.05.015.01
3
34=-C ；应用概率论中的乘法公式，可知
赛五场而火箭获胜的概率为：5.025.0⨯；所以，第一轮比赛恰好赛五场结束的概率为：25.02125.0=⨯.
类似的方法，我们可以将另外三个结果对应的概率算出.结束时赛四场的概率
为4(0.5)=0.125；赛六场的概率为：()()[]
3125.025.05.015.0233
5=⨯⨯-C ；赛七场的概率为：()()[]
3125.025.05.015.03336=⨯⨯-C .
设随机变量X 为比赛场数，则可建立X 的分布律：
应用数学期望公式，计算X 的数学期望：
()8125.53125.07125.0625.50125.04=⨯+⨯++⨯=X E
所以，火箭和爵士季后赛第一轮比赛结束估计要赛六场.
众所周知，乒乓球是我们得的国球，中国队在这项运动中具有绝对的优势.现就乒乓球比赛的安排提出一个问题：假设韩国队和中国队比赛，赛制有两种，一种是双方各出3人，三场两胜制，一种是双方各出5人，五场三胜制，哪一种赛制对中国队更有利？
由于中国队在这项比赛中的优势，我们不妨设中国队每一位队员对韩国队员的胜率都为60%.根据前面的分析，下面我们只需比较两队的数学期望即可.
在五场三胜制中，中国队要取得胜利，获胜的场数有3、4、5三种结果.我们计算三种结果所对应的概率、应用二项式定律可知，恰好获得三场胜利对应的概
率：()()3465.06.016.03
3
35=-C ；恰好获得四场对应的概率：
()()2592.06.016.0144
5
=-C ；五场全胜得概率：()()07776.06.016.00555=-C . 设随机变量X 为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立X 的分布律：
计算随机变量X 的数学期望：
()4651.207776.052592.043465.03=⨯+⨯+⨯=X E
在三场两胜制中，中国队取得胜利，获胜的场数有2、3两种结果.胜两场对
应的概率为()()432.06.016.01
2
2
3=-C ；三场全胜的概率为()()216.06.016.00
3
33=-C .
设随机变量Y 为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立Y 的分布律
E （Y ）=2⨯0.432+3⨯0.216=1.152
比较两个期望值，E （X ）>E (Y ),所以我们可以得出结论，五场三胜制对中国队更有利.
3.3 数学期望在经济问题中的应用 3.3.1 免费抽奖问题
袋中装有大小相同的球20个，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球分数之和即为中奖分数，获奖如下：
一等奖：100分，家电一件，价值2500元 二等奖：50分，家电一件，价值1000元 三等奖：95分，洗发精8瓶，价值176元 四等奖：55分，洗发精2瓶，价值88元 五等奖：60分，洗发精2瓶，价值44元 六等奖：65分，牙膏一盒，价值8元 七等奖：70分，洗衣粉一袋，价值5元 八等奖：85分，香皂一块，价值3元 九等奖：90分，毛巾一条，价值2元
十等奖：75分与80分为优惠奖，仅收成本22元，你将得到洗发精一瓶. 在解答该问题时，表面上看整个活动对顾客有利，一等奖到9等奖是白得的，只有十等奖收费，但也仅收回成本.事实上，我们用概率只是来分析一下：摸出10个球的分值只有11种情况，用X 表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖即得分100分，对应事件（X =2500），该事件的概率服从超几何分布，
()10
20
1010
10102500C C C X P ==，X 取值分别为2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22，其概率可以类似求出如下表：用X 的平均值就可以看出获利者，求出数学期望即可.
()098.1010
1
-==∑=k i i D x X E ，
表明商家在平均一次的抽奖中，获得10.098元钱.而平均每个抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费抽奖，却没有机会获得大奖.
3.3.2 保险公司获利问题
一年中一个家庭万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需要缴纳保险费100元，若在一年内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元（a <100），试问a 如何确定，才能使保险公司期望获利？
解 只考虑保险公司对任意一家参保家庭的获利情况，设ξ表示保险公司对任一参保家庭的收益，则ξ的取值为100或100-a ，其分布列为：
根据题意，
E （ξ）=100⨯0.99+（100-a ）⨯0.01
=100 - 0.01a > 0
解得a < 10000，又a > 100，所以a ∈（100，10000）时保险公司才能期望获利.
3.3.3 决定生产批量问题
决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的.选择何种方案，多少产量直接关系到企业成本的控制，收益的高低，这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题，同时也困扰很多管
理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择：即进行备选方案的收益(或损失)比较，选择收益(或损失)最大(最小)的方案.
例 某工厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产前的各项准备工作，根据以往销售统计资料及市场调查和预测知：未来市场出现销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为0.3、0.5和0.2，若按大、中、小三种不同生产批量投产，今后5年不同销售状态下的益损值如下所示：
试做出分析，以确定最佳生产批量.
解 比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损：
()()6.1222.0145.0203.01=-⨯+⨯+⨯=ξE ()5.14122.0175.0123.02=⨯+⨯+⨯=ξE
()4.9102.0105.083.03=⨯+⨯+⨯=ξE
()2ξE 比()1ξE 和()3ξE 均大，所以认为选择中批量生产方案为优. 3.3.4 机器故障问题
一部机器一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障则全天停工，如果一周5个工作日均无故障，工厂可获利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生三次或三次以上的故障，则要亏损2万元，求这个工厂每周的期望利润.
解 以η表示一周内机器发生故障的天数，则η是n =5时的二项分布 b （5，
0.2），()k k k C k P -==558,02.0η（k =0，1，2，3，4，5）
，以ξ表示工厂一周内所获得利润，则
()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥-=====3
,2
2,01,50,
10ηηηηηξg
ξ的概率分布为：
()()216.5057.02205.00410.05238.010=⨯-+⨯+⨯+⨯=ξE
故工厂一周的期望利润是5.216万元. 3.3.5 最佳进货量问题
设某一超市经销的某种商品，每周的需求量X 在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值（每周只在周前进一次货）超市每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可获利300元.试测算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值.
分析：由于该商品的需求量（销售量）X 是一个随机变量，它在区间[]30,10上均匀分布，而销售该商品的利润值Y 也是随机变量，它是X 的函数，称为随机变量的函数.本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大值.因此，本问题的解算过程是先确定Y 与X 的函数关系，再求出Y 的期望EY .最后利用极值法求出EY 的极大值点及最大值.
先假设每周的进货量为a ，则
{
a x x a a
x a x a x a x a a x x a x Y ≥+<-=⎩⎨⎧≤-+>--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,300200,100600,300500,100500
利润Y 的数学期望为：
()()dx a x dx a x EY a a ⎰⎰++-=
30
1020030020
1100600201 52503505.72++-=a a
035015-=+=a da
dEY
33.2315
350≈=a
EY 的最大值3.9333
52503703503705.7max 2
≈+⨯+⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=EY 元 由计算结果可知，周最佳进货量为23.33（单位），最大利润的期望值为9333.3元.
3.3.6 求职决策问题
有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A 、B 、C ，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位.每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位.按规定，双方在面试后要立即做出决定提供，接受或拒绝某种职位，且不许毁约.咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2、0.3和0.4.三家公司的工资承诺如表：
如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？
分析：由于面试从A 公司开始，甲在选择A 公司三种职位是必须考虑后面B 、
C 公司提供的工资待遇，同样在B 公司面试后，也必须考虑C 公司的待遇.因此我
们先从C 公司开始讨论.由于C 公司工资3X 期望值为：
()27004.025003.030002.040003=⨯+⨯+⨯=X E
再考虑B 公司，由于B 公司一般职位工资只有2500，低于C 公司的平均工资，
因此甲在面对B 公司时，只接受极好和好两种职位，否则去C 公司.如此决策时加工资2X 的期望值为：
()30155.027003.029502.039002=⨯+⨯+⨯=X E 元
最后考虑A 公司，A 公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受A 公司的极好职位.否则去
B
公司.
甲的整体决策应该如此：先去A 公司应聘，若A 公司提供极好职位就接受之.否则去B 公司，若B 公司提供极好或好的职位就接受之，否则去C 公司应聘任意一种职位.在这一决策下，甲工资1X 的期望值为：
()31128.030152.035001=⨯+⨯=X E 元
4 结论
本文重点讨论了几种简化计算数学期望的方法和技巧，解法各具特色,但不是全部，除了上述一些求期望的方法外，还有“利用重期望公式法”，“利用α函数或β函数法”，“待定系数法”，“利用母函数法”，“利用分布的对称性”等，应该根据具体情况选择相应的方法，应灵活应用.然而，只要对数学期望的基本定义和随机变量分布形式的特点有了透彻的理解，那么，对各种简化计算方法和技巧的应用就会游韧有余了.
本文利用数学期望解决了生活中的一些问题，比如疾病普查问题、抽奖问题、经济决策问题、生产批量方面的一些问题等，说明了数学期望在生活中的重要作用，它作为一个数学工具被我们广泛的运用着.当然这只是数学期望应用中的一部分而已，还有更多的应用等待我们去发现.
一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。
目录 1.摘要 (2) 2.数学期望理论简述 (3) 3.数学期望理论的应用 (5) 3.1在证明等式和不等式中的应用 (5) 3.2在投资理财问题中的应用 (7) 3.3在天气预测问题中的应用 (8) 3.4在求职决策问题中的应用 (8) 3.5在委托代理问题中的应用 (9) 3.6在法律纠纷问题中的应用 (10) 4.结论 (11) 5. 参考文献 (12) 6. 致谢 (12)
数学期望理论及其应用 摘要：数学期望是概率统计中一个重要的数字特征，在理论研究和实际问题解决方面有着广泛的应用.本文通过列举一些理论上和现今实际生活中相关的问题，同时利用数学期望的相关理论进行解决，从而达到理论联系实际的目的. 关键词：概率统计；数学期望；决策 The Mathematic Expectation Theory and its Application Abstract:The mathematic expectation is an important digital characteristic in the probability statistics, which has the widespread application in the fundamental research and the actual problem solution aspect. This article through enumerates some theoretically the question which is related with the nowadays practical life, simultaneously carries on the solution using mathematic expectation's correlation theories, thus achieves the apply theory to reality the goal. Key words:Probability statistics；Mathematic expectation；Decision-making
数学期望的原理及应用 1. 原理 数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。在概率论中，随机变量是指在一个随机实验中，可以随机地取不同值的变量。数学期望可以看作是随机变量的平均取值，它是对随机变量可能取值的加权平均。 数学期望的计算公式为: $$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} X_i \\cdot P(X_i)$$ 其中，X i是随机变量的某个取值，P(X i)是X i对应的概率。 数学期望的求解步骤如下： 1.确定随机变量的全部可能取值； 2.计算每个取值的概率； 3.计算每个取值与其对应概率的乘积； 4.将上述乘积相加即得到数学期望。 2. 应用 数学期望在各个领域都有广泛的应用，以下是数学期望在一些具体问题中的应 用案例： 2.1 统计学 在统计学中，数学期望是一个重要的统计指标，用于衡量一个随机变量的中心 位置。例如，在对一个随机样本的分析过程中，可以通过计算样本的数学期望来了解样本的平均水平。数学期望还被广泛应用于估计总体的参数，例如通过样本的平均值来估计总体的均值。 2.2 金融学 在金融学中，数学期望在投资组合的管理中发挥重要作用。通过计算各个投资 标的的数学期望，可以评估投资标的的预期收益。基于这些数学期望，投资者可以根据自己的风险偏好进行资产配置，以达到最优的投资组合。 2.3 工程学 在工程学中，数学期望可以应用于各种实际问题的分析。例如，在电力系统中，可以通过计算电力负荷的数学期望来确定电力系统的设计容量。在工程项目的成本估算中，也可以通过计算工程成本的数学期望来进行成本控制和决策。
2.4 计算机科学 在计算机科学中，数学期望被广泛用于分析算法的性能。通过计算算法的平均运行时间的数学期望，可以评估算法的效率和性能。数学期望还被用于建模和优化网络传输的时延和吞吐量。 3. 总结 数学期望作为概率论中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。它是随机变量的平均取值，描述了随机变量的中心位置。通过计算随机变量的数学期望，可以用于统计分析、金融投资、工程项目和计算机科学等领域的问题解决。熟练掌握数学期望的原理和应用，有助于提升问题分析和决策能力。
数学期望的应用 期望在字典里的解释是：对人或事物的未来有所等待和希望。 天下每个父母都希望自己儿子能成龙，女儿能成凤，所以他们在子女的课外培养上不惜血本，可效果总事与愿违。每个赌徒都希望能在赌场中打捞一笔，结果两老本也陪个精光，甚至背上一身债，这是为什么呢？政府在出台政策时，往往是有多个方案可以选择，是选哪一个最好呢？ 面对这些问题是，往往可以用数学期望解答。 数学定义： 如果X是在机率空间(Ω, P)中的一个随机变量，那么它的期望值E(X) 的定义是： E(X)=∫ΩXdp 在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。 “奥数”是之前不久网上很热门的一个话题。奥数对于一般孩子来说“又怪又难”，奥数生父母陪送陪读赔高学费，却仍然不乏热捧者。由于择校机制的实质性存在，广州小升初、初升高、高升大，奥数都或明或暗搭上了升学快车，因此奥数“捷径”就这样捆住了渴望读名校的父母子女，养肥了大大小小的培训机构。正是因为重点中学亲
“奥数”远“普通”班级的“依附性”，促使家长不惜巨资把孩子送进奥数班级“陷阱”；又因为奥数班级“拔苗助长”，致使一些学生听不懂、做晕头，更多的学生在厌倦、在逃避、在荒废时光。奥数教育，除了打造极少数“精英”学生外，制造了广大学生的一片悲哀。 家长在考虑是否送子女去奥数班时可以用数学期望算一下奥数对子女的帮助。 设读奥数的总效益为E，奥数对儿女有正面影响的概率为P1，正面效应为E1，有负面影响的概率为P2,负面效益为E2。 则E=P1*E1-P2*E2 由于P1很小，或接近于零。所以读奥数所获得的效益期望通常为负值。 本人认为，除非发现子女在数学方面有天赋，否则不要送子女去读奥数班，因为事实总父母和子女的愿望相背。 金融危机笼罩着世界，许多国家都陷入了困境，企业纷纷破产，许许多多百姓丢掉了他们的饭碗。为了改变这一局面，各国政府都出台了一连串的政策来刺激经济。政府在出台每个政策前，往往有很多方案选择，这些方案都是政府人员和各个行业专家精心研究而提出来通过利用现有的行政资源和市场资源刺激经济复苏。 这些政策有积极的一面，也有消极的一面，而且要付出相应的机会成本，也就是使用更好方案的机会。因此，政府通过计算，衡量每一套方案的效果，并选择最佳方案。这个过程就可以利用数学期望的计算方法。
高考数学期望知识点 数学作为高考的一门基础学科，在社会发展的过程中扮演着重 要的角色。而其中的数学期望概念，更是每个高中学生必须掌握 的知识点之一。本文将从不同角度对高考数学期望知识点展开深 入的探讨，希望对广大考生有所帮助。 1. 数学期望的定义 数学期望是统计学中的一个重要概念，用来描述一组数据的平 均值。在高考数学中，期望值通常用符号E(X)表示，其中X是随 机变量。数学期望的计算方法根据不同的随机变量类型而异，比 如离散型随机变量和连续型随机变量。对于离散型随机变量，期 望可以通过每个事件发生的概率乘以对应的取值，再求和来计算；对于连续型随机变量，期望可以通过概率密度函数进行积分求解。 2. 数学期望的应用 数学期望在实际生活中有着广泛的应用。以购买彩票为例，假 设一张彩票中奖的概率为p，中奖金额为x，不中奖的金额为y。 那么购买一张彩票的期望收益可以表示为(1-p)y+px，其中(1-p)y为
不中奖的期望收益，px为中奖的期望收益。通过计算这个期望值，可以帮助人们做出更明智的决策。 在金融领域，数学期望也扮演着重要的角色。例如，在投资理 财中，人们可以通过计算不同投资方案的期望收益来评估风险和 回报。通过对期望收益的比较，可以选择最合适的投资组合，以 达到最佳的资产配置目标。 3. 数学期望的性质 数学期望具有一些特殊的性质，这些性质在高考中也经常被考察。其中，最重要的性质是线性性质。即期望运算对于常数的线 性性质，对于随机变量X,Y和常数a,b，有E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)。这个性质使得计算复杂随机变量的期望值变得相对简单。 另外，数学期望还具有一个重要的性质，即保序性。对于两个 随机变量X和Y，如果对于任意的实数x，有P(X≤x) ≤ P(Y≤x)， 那么有E(X) ≤ E(Y)。这个性质直观地表明了数学期望可以用于比 较不同随机变量的概率分布。
数学期望及其应用 在经济学和决策科学中，期望效用理论是一种基本的理论基础，用于解释个体在不确定条件下如何进行决策。该理论认为，个体在做出决策时，会根据对结果的期望效用值来权衡各种可能的结果。本文将详细探讨期望效用理论及其检验研究，旨在提供一个全面的概述。 期望效用理论可以简单定义为：个体对未来不确定结果的偏好，是基于其对结果的可能性和效用值的预期。在决策分析中，它被广泛应用于评估风险和不确定条件下的决策结果。该理论有两个基本假设：一致性假设和独立性假设。一致性假设指个体会按照预期的效用值来选择决策；独立性假设则指个体的选择不受无关因素影响。 在期望效用理论的应用中，通常涉及到的定理有：风险厌恶定理、风险中性定理和确定性效应定理。这些定理揭示了个体在面对风险和不确定性时的行为特征。 对于期望效用理论的检验，研究者们采用了多种方法，包括实证检验、历史文献回顾等。实证检验主要是通过实验或调查收集数据，然后运用统计方法来验证理论是否符合实际观察的结果。历史文献回顾则是通过对已有研究进行梳理，分析期望效用理论在不同领域的应用效果。
在实证检验方面，研究者们通常会设计一些实验或调查来收集数据，以验证期望效用理论的有效性。例如，通过让被试者在不同的奖励和风险条件下进行决策，然后分析他们的选择是否符合期望效用理论的预测。 历史文献回顾表明，期望效用理论在经济学、金融学、心理学、社会学等多个领域都有广泛的应用。如在经济学中，期望效用理论被用于研究消费者和生产者的行为决策；在金融学中，该理论被用于解释投资者的风险偏好和资产配置；在心理学中，期望效用理论被用于分析人类的判断和决策过程；在社会学中，该理论被用于研究社会偏见和歧视现象。 期望效用理论在实践中的应用非常广泛。例如，在经济领域，基于期望效用理论的决策模型被用于预测消费者的购买行为和企业的最优 定价策略；在金融领域，该理论被用于设计风险对冲策略和资产定价模型；在医疗领域，基于期望效用理论的决策分析被用于制定疾病治疗方案和评估医疗政策的效果。 期望效用理论在各个领域的实践应用都表明，它能够有效地描述和分析个体在不确定条件下的决策过程。然而，尽管期望效用理论具有广泛的应用和实证支持，但其本身仍存在一些限制和挑战。例如，该理
数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用 )(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值，这种方法就叫做变量 分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。
数学期望的原理及应用 数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。 数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn) 其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。 对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = ∫x*f(x)dx 数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：
1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。 2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。 3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。 4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。 5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。 6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。 总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。无论是在风险评估、决策制定、
浅谈数学期望在生活中的应用 浅谈数学期望在生活中的应用 一、数学期望的定义 引例某射手在一次射击比赛中共发射了10发子弹,其中有一发中7环,有二发中8环,有三发中9环,有4发中10环,求该射手在此次射击比赛中每发子弹击中的平均环数. 解平均环数 这里的平均环数并不是这10发子弹击中的4个值的简单平均,而是以取这些值的次数与射击总次数的比值为权重的加权平均.在某种程度上说,这个加权平均可以用来衡量该射手的射击水平. 二、数学期望的应用 1.数学期望在疾病普查中的应用 在一个人数为N的人群中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,如果将每个人的血分别检验,则共需检验N次,为了能减少工作量,一位统计学家提出一种方法:按k个人一组进行分组,把同组k个人的血样混合检验,如果这混合血样呈阴性反应,就说明此k个人的血都呈阴性反应,此k个人都无此疾病,因而这k个人只需要检验一次就够了,相当于每个人检验1/k次,检验的工作量明显的减少了.如这混合血样呈阳性反应,就说明此k个人中至少有一个人的血呈阳性反应,则在对这k个人的血样分别进行检验,因而这k个人的血要检验1+k次,相当于每个人检验 1+1/k 次,此时增加了检验次数,假设该疾病的发病率为р且得此病相互独立,试问此种方法能否减少平均检验次数? 分析看能否减少平均检验次数,可以求出每个人检验次数的数学期望,根据数学期望大小再判断. 解设以k个人为一组时,组内每个人检验次数为x,则x是一个随机变量,其分布规律为所以每人平均检验次数为 . 由此可知,只要选择k使
就可减少验血次数,而且也可以通过不同的发病率р计算出最佳分组人数,此外,也得知:发病率越小,分组检验的效益越大.在二战期间,美国对新兵验血就是使用这种方法来减少工作量的. 2.数学期望在揭开赌场骗局中的应用 在我国南方流行一种称为“捉水鸡”的押宝,其规则如下:由庄家摸出一只棋子放在密闭的盒中,这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一.赌客把钱押在一块写有上述12个字(六个红字,六个黑字)的台面的某一个字上,押定后,庄家揭开盒子露出原来的棋子,凡押中者(字和颜色都对)以一比十得奖金,不中者其押金归庄家,此押宝赌博对谁有利? 分析这道题的思想简单,与0-1分布一样. 解不妨设一个赌徒押了10元,而收回奖金X元,若押中, X=100;若不中,X=0.X的概率分布列为因此数学期望元. 由于支付10元,和期望收入8.33元不等.因此这是不公平的赌博,明显对庄家有利,事实上,当赌徒进入赌场,他面临的都是这种不公平的赌博,否则赌场的巨额开支业主的高额利润从何而来. 3.数学期望在通信中的应用 设无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2,信号每隔5秒钟拍发一次,直到收到对方的回答为止.若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间,求在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数. 分析明显,此题是考查几何分布数学期望的求法,但是又隐藏陷阱“若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”,意味随机变量X最小取值为4. 解设双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号次数为X,则X～Ge(0.2).因为有16秒相隔时间,X的最小拍发次数为4. 于是X的分布列为 P(X=K)=0.2×0.8k-4,k=4,5,... X的期望为 因此在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数为8次. 这个例题虽是很简单的一个求数学期望的问题,但是“若发出的信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”这个 条件极易被忽略.
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑=
学期望不存在 [] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。 （1） 二点分布：X ~⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-p p 101 ，则()p X E = （2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1 )(= （4） 泊松分布：) (~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布： ),,(~M N n h X ,有N M n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望. 解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中 6,4,3N M n ===, 设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则 )32,3(~B Y ,23 2 3)(=⨯==np Y E 1.3 性质法
数学期望及其应用 信息上的例谈数学期望这篇文章，对数学期望的相关性质以及应用做了进一步的探讨. 1.数学期望的定义 由于随机变量分为离散随机变量和连续随机变量，所以在定义数学期望式分两种情况. 1.1 离散随机变量的数学期望 设离散随机变量X的分布列为： 这里例题所求运用了期望的定理1，对随机变量所得函数进行了期望计算. 3.2 数学期望在实际生活中的应用 3.2.1 数学期望在商店进货问题中应用 例2 设某商店销售某种商品，该商品每周的需求量ξ是一个服从区间[100，300] 上的均匀分布的随机变量.正常情况下，每销售一单位商品可获利500元.若供大于求，则削价处理，每处理一单位剩余商品亏损100元；若供不应求，可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元.问该商店进货量应该为多少，可使平均每周的利润达到最大？ y实际上为变量，对y求导得0，得到y=23.33.又因为E L ″ 1/ 3
y=-150.所以当y=23.33时，利润的数学期望E L 取得最大值. 3.2.2 数学期望在法律纠纷中的应用 在民事纠纷案件中，受害人如果将案件提交法院诉讼，其不仅需要考虑诉讼胜利的可能性，还应该考虑承担诉讼的费用问题.如果对案件进行理性思考，一般人往往会选择私下解决而不通过法院.现在以一个民事纠纷案件来说明. 例3 某施工单位A在施工过程中由于某种原因致使居民B 受伤，使居民受伤并使其遭受了20万元的经济损失.若将该案件提交诉讼，则诉讼费共需要0.8万元，并按所负责任的比例双方共同承担.而根据案件发生的情形以及外部因素的影响，法院最后的判决可能有三种情况： （1）施工单位A承担事故100 % 责任，要向受害人B支付20万元的赔偿费，并支付诉讼费0.8万元； （2）施工单位A承担70 % 的责任，要向受害人B支付14万元的赔偿费，并支付诉讼费0.56万元，另外0.24万元诉讼费由受害人支付； （3）施工单位A承担50 % 的责任，要向受害人B支付10万元的赔偿费，并支付诉讼费0.4万元，另外0.4万元诉讼费由受害人支付. 居民B估计法院三种判决的可能性分别为0.2，0.6，02，如 2/ 3
摘要 在现代快速发展的社会中，数学期望作为一门重要的数学学科，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，体现出数学期望在实际生活中颇有价值的应用。通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。 关键词：数学期望随机变量性质实际应用
Abstract In the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important mathematical subject, it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this paper, the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision-making, lottery tickets, job, health, sports, etc. In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expectation in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background, personal experience "mathematics really useful". So-called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast, it is very scientific. Key words: Mathematical Expectation; Stochastic Variable; quality; Practical Application
高二数学概率与统计中的期望与方差的应用概率与统计作为数学的重要分支之一，在高中数学课程中占据着重 要的地位。而其中的期望与方差更是概率与统计中的重要概念，具有 广泛的应用价值。本文将探讨高二数学概率与统计中的期望与方差的 应用。 一、期望的应用 期望是指一个随机变量所有可能取值的加权平均值。在实际生活中，期望有许多应用。 首先，期望可以用来计算平均值。例如，在一次掷骰子的实验中， 骰子有6个面，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，每个数字 出现的概率相等。那么，掷一次骰子，出现的数字的期望就是 (1+2+3+4+5+6)/6=3.5。这意味着在多次重复的实验中，出现的数字的 平均值接近于3.5。 其次，期望可以用来评估投资的回报率。假设某股票有两种可能的 收益，收益1的概率为0.6，收益2的概率为0.4，对应的收益分别为100元和200元。那么，这只股票的期望收益就是0.6 * 100 + 0.4 * 200 = 160元。这意味着在多次投资中，每次投资的平均回报为160元。 此外，期望还可以应用于赌博的分析。例如，在轮盘赌中，轮盘共 有36个数字，其中18个为红色，18个为黑色。假设赌徒每次下注5元，并且下注的数字与轮盘最终停在的数字相同，则赌徒获胜，获得 10元的收益；反之，输掉下注的5元。那么，赌徒在一次下注中的期
望收益就是(18/36 * 10) + (18/36 * (-5)) = 0元。这意味着在多次下注中，赌徒每次下注的平均回报为0元。 二、方差的应用 方差是衡量随机变量离其期望值有多远的统计量。在实际问题中， 方差也有着广泛的应用。 首先，方差可以用来度量一个样本的离散程度。例如，在某考试中，某班级的学生总成绩对应的随机变量为X，其期望值为E(X)，方差为Var(X)。在这个班级中，学生的总成绩越分散，说明学生之间的差异 越大，方差就越大。而方差越小，则说明学生的总成绩越接近平均水平，差异性越小。 其次，方差可以用于风险评估。在金融领域中，投资人常常会使用 方差来评估投资组合的风险。对于一个投资组合，其收益率的方差越大，意味着投资组合的波动性越高，风险越大。因此，投资者可以通 过分析方差来选择适合自己的投资组合，以达到风险与收益的平衡。 此外，方差还可以用于质量控制。在生产过程中，产品的质量通常 会存在一定的波动。通过对产品的抽样分析，可以得到产品的质量随 机变量X的方差。方差越小，则说明产品的质量波动越小，质量控制 越好。反之，方差越大，则说明产品的质量波动越大，质量控制越差。 综上所述，高二数学概率与统计中的期望与方差在实际应用中起着 重要的作用。期望可以用来计算平均值、评估投资回报率，以及应用 于赌博的分析；方差可以用来度量样本的离散程度、评估投资组合的
数学毕业论文-数学期望的应用 目录前言.....................................................................1 1 数学期望的定义及性......................................................2 2 应用举例...............................................................4 2.1 数学期望在证明某些不等式的应用.........................................4 2.2 数学期望在通信中的应用................................................7 2.3数学期望在决策中的应用.................................................9 2.4数学期望在疾病普查中的应用.............................................10 2.5数学期望在揭开街头骗局中的应用.........................................13 2.6数学期望在防扒中的应用................................................16 3 小结..................................................................21 4...............................................................22 5 致谢. (23) 数学期望的应用 摘要 数学期望是随机变量的重要数学特征之1，本文通不过等式的证明、效益与利润和疾病普查等1些例子，阐述数学期望在数学其他分支和实际问题的广泛应用。 关键词：随机变量；数学期望；数学期望的应用 Applications of mathematical expectation Abstract Mathematical expectation is one of the important character of randon variable.the thesis will expound the application of the mathematical expectation in other embranchments of mathematical and real prombers,the prooves by some cases,such as of inequalities,profit and the investigation of illness,etc. Keywords: Randon variable; Mathematical expectation; Applications of mathematical expectation 【包括：、、任务书】 【说明：论文中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。】
本科生毕业论文 题目: 数学期望的计算方法与实际应用专业代码: 070101
原创性声明 本人重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期
指导教师签名: 日期 目录 1.引言1 2.数学期望的定义及其性质2 2.1数学期望的定义2 2.2数学期望的基本性质3 2.3数学期望的计算方法3 3 数学期望在实际生活中的应用8 3.1在医学疾病普查中的应用8 3.2数学期望在体育比赛中应用9 3.3数学期望在经济问题中的应用11 3.3.1 免费抽奖问题11 3.3.2 保险公司获利问题13 3.3.3 决定生产批量问题13 3.3.4 机器故障问题14 3.3.5 最佳进货量问题15 3.3.6 求职决策问题16 4 结论17
参考文献18 致19 摘要 数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。 本文从数学期望的涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。 关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用
数学期望在经济决策中的应用 文章通过实例介绍了数学期望在减少工作量、选择最优存储量、选择最佳进货量、总利润最大问题等方面的应用，说明了数学期望在经济决策中的重要作用． 标签：数学期望经济决策应用 概率论是从数量上研究随机现象统计规律性的学科，而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性．但在诸多的经济管理或决策工作中，一方面由于求出随机变量的分布函数并非易事，而且对于某些实际问题来说，并不需要对随机变量进行全面的描写，只需知道能够反映随机变量的某些重要的数字特征即可．数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征，它在经济决策工作中有着广泛的应用，为决策者做出最优决策提供重要的理论依据。 一、数学期望的概念 定义1（1）设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk，k=1,2,…，若级数绝对收敛，则称级数为离散型随机变量X的数学期望(或均值),记为EX,即。若级数发散,则称随机变量X的数学期望不存在；（2）设连续型机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称其为连续型随机变量X的数学期望或均值,记为E(X), 定义2设Y为随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，（1)X是离散型随机变量，分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,…,若级数绝对收敛，则有（2)X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则有 二、数学期望的应用 1.期望值问题 例1一商场共有16层楼,设有10位顾客在一层进入电梯,每位乘客在楼上任何一层出电梯是等可能的，且各乘客是否出电梯相互独立,求直到电梯中的乘客出空为止电梯需停次数X的期望值。 解:引入计数随机变量 则有X=X2+X3+…＋X16。 由题意，每一个人在任何一层出电梯的概率为1/15,若10个人同时不在第i 层出电梯，那么电梯在该层就不停，而此时的概率为
数学期望的根本性质 利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下根本性质： 设ξ,η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，那么性质1.E(c)=c； 性质2.E(aξ)=aE(ξ)； 性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a； 性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b； 性质5.E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)． 例设随机变量X的概率分布为: P(X k=1,2,3 ,4,5. 求E(X),E(3X+2)． 解.∵k=1,2,3,4,5 ∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知 E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3， E(3X+2)=3E(X)+2=11． 例3.5.8.设随机变量X的密度函数为: 求E(X),E(2X-1)． 解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知 =-1/6+1/6=0． E(2X-1)=2E(X)-1=-1． 我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.
数学期望的性质 〔1〕设是常数，那么有。 ，取得这个值的概率显证把常数看作一个随机变量，它只能 取得唯一的值 然等于1。所以，。 〔2〕设是随机变量，是常数，那么有 。 证假 设是连续型随机变量，且其密度函数为。 。 当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。 〔3〕设都是随机变量，那么有 。 此性质的证明可以直接利用定理，我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即。 〔4〕设是相互独立的随机变量，那么 。 证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度分别为 和，的联合概率密度为，那么因为与相互独立，所以 有 。 由此得