第四章 随机变量的特征数
每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布律、概率密度），这个分布完整地刻画了随机变量的统计规律性。然而在许多实际应用问题中，人们更关注这个概率分布的一些综合特征，这些综合特征是概率分布某方面信息的概括并且可用一个数值表示。这种由随机的分布确定的，能刻画随机变量某方面特征的常数统称为数字特征或特征数。
例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了其寿命X 的概率分布，那么就把握了元件寿命的所有概率信息。比如可以计算出寿命在任一指定范围内的概率。根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，以及用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,这也使得应用方便. §4.1 随机变量的数学期望 一. 数学期望的定义
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
i i p x X P ==}{， ,2,1=i
如果
∞<∑∞
=1
||i i i
p x
则称
i i i x p ∑∞
=1
为X 的数学期望，记为)(X E ，即
∑∞
==
1
)(i i i x p X E
若级数
∑∞
=1
i i i x p 不绝对收敛，则称X 的数学期望不存在。
由以上定义可看出，若X 只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。而若X 取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数
∑∞
=1
i i
i p
x 是否绝对收敛，这个要求的目
的在于使期望值唯一。因为若无穷级数
∑∞
=1
i i
i p
x 只是条件收敛，则可通过改变这个级数各项
的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与X 的取值的排列次序有关，而)(X E 作为刻画X 取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与X 的取值的排列次序有关。
由定义，X 的期望值就是其所有可能取值的加权平均，每个可能值的权重就是X 取该值的概率，因此X 的数学期望又称为X 的均值。同时还可看出X 的数学期望只依赖于X 的概率分布，因此随机变量的期望又叫分布的期望。
期望的定义可以用概率的频率定义来解释:设想X 是一个机会游戏的某个参与者的所得,每次游戏,该参与者以概率)(i x p 赢得i x 元.如果他连续多次玩这个游戏,比如N 次,赢得i x 元的次数记为i n 次,那么在N 次游戏中,他平均所得为
i i
x N n ∑.由概率的频率定义,在N 很
大时,频率
N
n i
近乎概率)(i x p ,那么上述平均值近乎于期望值)(X E . 对于连续型随机变量,以积分代替求和,从而得到连续型随机变量的期望的定义. 定义 设连续型随机变量X 的密度函数为)(x f ，如果
∞<⎰
+∞
∞
-dx x f x )(||
则称 ⎰
+∞
∞
-=
dx x xf X E )()(
为X 的数学期望，简称为期望或均值.若
⎰
+∞
∞
-dx x f x )(||不收敛，则称X 的数学期望不存在.
注:期望这一概念可类比于质量分布的质心这一物理概念.把概率分布看作质量在x 轴上的分布.在离散场合,概率)(i i x X P p ==看作点i x 处的质量,那么该质量分布的质心的坐标为
∑∞
=1
i i i x p ，即为期望值)(X E .在连续场合,概率密度函数)(x f 相应于质量分布密度,质
量分布的质心的坐标为
⎰
+∞
∞
-dx x xf )(，同样是期望值)(X E .
例4.1.1 (1)设随机变量X 的分布律为
,)
1(1
})1({+=
-=k k k X P k ,2,1=k
X 的数学期望是否存在?
例4.1.2 按规定，某车站每天8:00～9:00,9:00～10:00都各有一辆客车到站，且到站时刻是随机的，两者到站时间相互独立，其规律为
一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。
解 设旅客候车时间记为X （单位：min ）,则X 的分布律为
因此的数学期望为
22.276
2
619063617061615062306310)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=X E (min).
例4.1.3 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此需抽验N 个人的血,可以用两种方法进行.(i)将每个人的血分别去验,这需要验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组,把k 个人的血混在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,说明k 个人的血都呈阴性反应.这样, k 个人的血液就只需验一次.若呈阳性,则再对这k 个人的血液逐一检验.这样, k 个人的血液
就共需验1+k 次.假设每个人血液化验呈阳性的概率为p ,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p 较小时,选取适当的k ,按第二种方法可以减少化验次数,并说明k 取什么值时最适宜.
解 设k 个人以为一组时, k 个人共需化验的次数为X ,则X 的分布律为
这里p q -=1.
X 的数学期望为
k
k
k
kq k q k q X E -+=-++=1)1)(1()(, 由此可知,只需选取k 使得 k kq k k
<-+1,即01<-k
kq ,
便可使第二种方法减少平均化验次数.
要使最大程度地减少平均化验次数,需选取k 使得 k q k
k f -+
=1
1)( 小于1且取到最小值.这时就能得到最好的分组方法.
例如, 1.0=p ,则当4=k 时得到最好的分组方法.若1000=N ,则按第二次方法平均只需化验次数为 594)9.04
1
1(10004=-+
, 这样平均来说,可以减少40%的工作量. 例4.1.4 随机变量X 的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
,02
0,2
1)(x x
x f 求)(X E . 解：)(X E ⎰
∞
∞
-=
dx x xf )(
3
2)21(20=-=⎰dx x x . 二. 随机变量函数的期望
如果知道了随机变量X 的概率分布（分布律或概率密度），我们可以利用其概率分布计算X 的数学期望。而计算X 的函数)(X g （比如2
X ）的期望是经常遇到的问题，既然)(X g 本身也是一个随机变量，有自己的概率分布，这个分布可通过X 的概率分布确定，一旦确定了)(X g Y =的概率分布，那么我们利用)(X g Y =的概率分布计算出)]([X g E 。容易想到
)(X g 的数学期望完全取决于X 的概率分布，那么我们很自然地希望能直接利用X 的概率
分布去计算)(X g 的数学期望.下面定理解决了这个问题。 定理 设Y 随机变量X 的函数)(X g Y =.
（1）设随机变量X 的分布律为 ,2,1,}{===i p x X P i i ，若
∑∞
=1
)(i i
i
p
x g 绝对收敛，那么
Y 的数学期望为
∑∞
==
=1
)()]([)(i i
i
p x g X g E Y E .
（2）设随机变量X 的密度函数)(x f ，若∞<⎰
∞
∞
-dx x f x g )(|)(|，那么Y 的数学期望为
⎰
+∞
∞
-=
=dx x f x g X g E Y E )()()]([)(.
定理的证明超出了本书的范围.下面我们就X 是离散型随机变量的特殊情形下给出证明.
证明:设X 是离散型随机变量,其分布律为 i i p x X P ==}{， ,2,1=i 那么)(X g Y =的分布律为 ∑==
=j
i y x g i
j p y Y P )(}{， ,2,1=j ,
其中}{j y 是Y 的所有可能的取值,从而有
∑∑∑∑∑∑∞
=∞==∞==∞======
1
1)(1)(1
)()()(}{)(i i
i
j y x g i
i
j j
y x g i
j j
j
p x g p x g y p y y Y P Y E j
i j
i .
由上述定理知,在求)(Y E 时,不必算出概率分布,可直接利用X 的概率分布去计算Y 的期望.这种方法可推广至多个随机变量的函数的情形.我们以两个随机变量的函数的情形给出结论.
设二维随机向量),(Y X 的联合分布律为 ,2,1,,},{====j i p y Y x X P ij j i 若
+∞<∑∑∞=∞
=11
|),(|j i ij j
i
p y
x g ，则),(Y X g Z =的数学期望为
=
)(Z E ∑∑∞
=∞
=11
),(j i ij j
i
p y
x g .
设二维随机向量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，若
+∞<⎰⎰dxdy y x f y x g R 2
),(|),(|，则
),(Y X g Z =的数学期望为
⎰⎰=2
),(),()(R dxdy y x f y x g Z E .
特别地，若二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为),(y x f ,求分量X ,或其函数)(g X 的期望时，我们可以先求出X 的边缘密度,然后再计算X 或的)(g X 的期望.也可以直接利用
),(Y X 的概率密度为),(y x f 去计算:
2
()(,)R E X xf x y dxdy =
⎰⎰,
⎰⎰=2
),()()]([R dxdy y x f x g X g E .
对于离散情形也类似,具体计算时就看哪种方法更方便. 例4.1.5 设随机变量X 的密度函数为
)
1(1
)(2x x f +=
π，
(1)问X 的数学期望是否存在?(这种分布称为柯西分布)? (2)求)]1|,[min(|X E .
解 (1)由于
,)
π(1|
|)(||2⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-∞=+=x x dx x f x
所以X 的数学期望不存在. (2) ⎰
+∞
∞
-=
dx x f x X E )()1|,min(|)]1|,[min(|
⎰⎰⎰+∞-∞--+π++π++π⋅=12121
12)1(1)
1(1)1(1||dx x dx x dx x x 2
1
2ln +π=
. 细心的同学可以发现，本例中随机变量)1|,min(|X Y =既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，但我们可以利用X 的概率密度求出其数学期望。 例4.1.6 设随机向变量),(Y X 的概率密度为
其他,010,10,)(⎩
⎨⎧<<<<+=y x y x x f
求)(X E ；)(XY E
解: )(X E 12
7
)(),(101
0=
+==
⎰
⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞-dxdy y x x dxdy y x xf ， )(XY E 3
1
)(),(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x xy dxdy y x xyf .
例 4.1.7设随机变量n X X X ,...,,21独立同分布于指数分布)(λExp ，
),...,,m in(21n X X X Y =，求)(Y E 。
解:1X 的分布函数为
⎩⎨⎧≥-=λ-其他
,00
,1)(x e x F x
从而),...,,m in(21n X X X Y =的分布函数为
⎩
⎨⎧≥-=--=λ-其他,00
,1))(1(1)(y e y F y F y n n
Y
故Y 的密度函数为
=)(y f Y ⎩⎨⎧≥λλ-其他
,00
,y e n y n
所以 λ
=
λ⋅=⎰
∞
λ-n dy e n y Y E y n 1)(0
.
注意：一般而言，求),(Y X g Z =的概率分布并不方便。但有些场合下，),(Y X g Z =的概率分布可以方便地求出来，此时也可考虑先求出Z 的概率分布，然后求)(Z E 。比如，（1）
),(Y X 为离散型随机向量时，),(Y X g Z =的分布列可能很容易求出.（2）在n X X ,,1 独
立同分布时，他们的最大值),,m ax (1n X X Z =，或最小值),,m in(1n X X Z =的概率密度可容易地求出. 三. 数学期望的性质
由随机变量函数的期望的计算公式，可以得到数学期望的重要性质. 数学期望具有如下性质（以下我们假定涉及到的期望是存在的）. 1.设c 是常数，则c c E =)(.
2. 设b a ,是常数，则b X aE b aX E +=+)()(.
3. )()()(Y E X E Y X E +=+.
这一性质可推广至任意有限个随机变量的线性组合的情况： =∑=}{
1n i i
i
X a E ∑=n
i i
i
X
E a 1
)(
（4）若Y X ,相互独立，则 )()()(Y E X E XY E =
这一性质可推广至任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。
利用以上性质可以使复杂的计算变得简单.下面就),(Y X 是连续型随机向量情形证明（3）和（4）。
证明 假设是),(Y X 是连续型随机向量，其概率密度为),(y x f ，
⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-+=+dxdy y x f y x Y X E ),()()( ⎰⎰
∞∞-∞
∞
-=
dxdy y x xf ),(⎰
⎰
∞∞-∞
∞
-+dxdy y x yf ),(
)()(Y E X E +=。
若Y X ,相互独立，则)()(),(y f x f y x f Y X =，从而 ⎰⎰
∞∞-∞
∞
-=
dxdy y x xyf XY E ),()( ⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-=dxdy y f x xyf Y X )()(
⎰
⎰∞
∞
-∞
∞
-=
dy y yf dx x xf Y X )()(
)()(Y E X E =
例 设n X X ,,1 独立同分布，且μ=)(1X E ，求∑==n
i i X n X 11的期望。
解：μ==∑=)(1)(1
n
i i X E n X E 。
例 设X ～),(p n B ，求)(X E
解: ∑=-=n
k k
n k k n
q
p kC
X E 0
)(np q p np q p
C np n n
k k
n k k n =+==-=----∑11
111)( 另解:
设n X X ,,1 独立同分布于),1(p B ，则∑==
n
i i
X
X 1
～),(p n B ，从而二项分布的期望为
np X
E X E n
i i
==
∑=)()(1
。
例 将一骰子掷10次,求10次的点数之和X 的数学期望.
本例中,如去求X 的分布列将会非常困难,即使求出了其分布列,再求期望时,其运算量也是非常大的.如能将X 表示为一些简单随机变量之和,就可以极大地简化计算. 解:令i X 表示第i 次的点数,10,,2,1 =i ,则
∑==10
1
i i X X ,且101,,X X 独立同分布,其共同的分布列为
6,,2,1,6
1
)( ===k k X P i 所以 27)654321(61)(=+++++=
i X E 由期望的性质可得 352
7
10)(=⨯
=X E ，
例 设有N 件产品,其中有M 件不合格,从中不放回地取n 件,求其中不合格品件数X 的数学期望.
易见X 服从超几何分布,我们可以利用其分布求出X 的数学期望，也可以利用期望的性质求出X 的数学期望，这里我们用两种方法求出X 的数学期望. 解：X 的分布律为
),min(`,...,1,0,}{M n k C C C k X P n
N k n M
N k M ===-- =)(X E ∑∑=------=--=n
k n N k
n M
N k M n
k n
N k n M
N k M C C C N nM C C C k 11
1110
N
nM
=
另解:令⎩⎨
⎧=否则
0次取到不合格品
i 第,1，，i X n i ,,2,1 =,
即i X 表示第i 次抽取的1件产品中不合格品件数,则
∑==n
i i X X 1
,且 i X ～),
1(N
M B 由期望的性质,∑==
n
i i X E X E 1
)()(N
nM
=
. 例 X 服从负二项分布,即X 的分布律为
,...1,,)1(}{11+=-==--r r k p p C k X P r
k r k
求)(X E
解:先求超几何分布的期望,设Y ～)(p Ge ,那么
∑∑∞
=-∞
=--=-=1
11
1
)1()
1()(k k k k p k p p p k Y E
考虑幂级数
2
1
1
1
)1(1
)(x x kx
k k k k -=
'=∑∑∞
=∞
=-
从而 p x p
Y E p
x 1
|)1(1)(12
=-=-= 设r X X ,,1L 独立同分布于)1(p Ge ，则
∑=r
i i
X
1
服从负二项分布,从而二项分布的期望为
p
n X E X E r
i i =
=
∑=)()(1
。
例 一个盒子中装有标上1至N 的N 张票券,以有放回方式一张一张地取.如果想收集到r 张不同的票券,所需的抽取次数记为X ,求X 的期望.
解:记r X X X ,,,21 依次表示对一张新票券的等待时间(次数),即i X 表示在得到第1-i 张新票券后到得到第i 张新票券所需的抽取次数(),,2(r i =.而11=X ,那么 ∑==
n
i i
X
X 1
由于i X 服从参数为N
i N p i )
1(--=的几何分布r i ,,2, =,所以 1)(1=X E ,)
1()(--=i N N
X E i ,r i ,,2, =
故
1
11)()(1
+-++-+
==∑=r N N
N N X E X E n
i i )1
11(
N
r N N +++-=
下面看两种特殊情况:2
N
r =
(假设N 为偶数), N r =,并假定N 足够大. 2
N
r =
时, N N N
N N X E 69.02ln )1
12
1(
)(≈≈+
++= , N r =时,
N N N
N X E ln )1
2111()(≈+++=
可见收集到一半票券平均需要抽取次数大约是总票券数的70%,而收集全部票券,则平均需
要总票券数的N ln 倍的抽取次数,可见越往后越难以收集. 在结束本节前，我们再看一个例子。
例（快速排序算法）设有一组互不相同的数n x x x ,,,21⋅⋅⋅.将它们排成上升的序列.一种快速排序算法如下:随机地从中选一个数,设为y ,然后将其余的数都与y 作比较,将小于y 的数归入y 的左边一个集合,将大于y 的数归入y 的右边一个集合,然后再对左、右两个集合的数重复刚才的处理过程(如果集合是单点集就不用处理).直到把所有数排成上升序列为止.记X 表示为实现排序所需的比较次数,则)(X E 是排序算法效率的一个度量,下面计算
)(X E .
先将最小的数命名为1，第二小的数命名为2，…，最大的数命名为n ，对于j i <，令
⎩⎨⎧=否则
0过直接比较,,1，j i I ij 则∑∑-=+==111n i n i j ij I
X 由于1
2)1(+-=
=i j I P ij 故)13221(2)121(2]13221212)(1
11n n n n n n n i j X E n i n i j -+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+-+-=+-=∑∑-=+=)13121(2n
n +⋅⋅⋅++< 且)(X E ～n n ln 2。
补充：试验序列中事件发生次数的矩
对于给定的事件序列n A A A ,,,21⋅⋅⋅，求)(X E ，其中X 表示这些事件在试验中的发生次数。引入每个事件的示性函数
⎩⎨⎧=，其他
发生0,1i i A I ， 则∑==n i i I
X 1，可得
∑∑====n
i i
n i i A P I E X E 11)()()( 现在感兴趣于“事件对”发生的次数.易见
∑≤<≤n j i j i I I 1是事件对发生的次数。又由于X 表示这
些事件在试验中的发生次数，故=2X C ∑≤<≤n j i j
i I I 1，从而
∑≤<≤=
-n j i j
i A A P X X E 1)(]2/)1([ 类似地有∑≤<<≤=--n k j i k
j i A A A P X X X E 1)(]!3/)3)(1([， 及]!/)1()3)(1([k k X X X X E +-⋅⋅⋅--，从而可求得X 的各阶矩。
例（二项分布的各阶矩）考虑n 重贝努利试验，X 表示成功的次数，设每次试验成功的概率为p ，则X ～),(p n B ，下面计算X 的各阶矩。令
⎩⎨⎧=否则
0次,1，发生第i I i 则∑==n i i I
X 1， np I E X E n
i i ==∑=)()(1， 212)1()(]2/)1([p n n A A P X X E n j i j i -=
=
-∑≤<≤， 从而2)1()]1([p n n X X E -=-，得np p n n X E +-=22)1()(，
)1()1()(2
22p np p n np p n n X Var -=-+-= 3)2)(1()]2)(1([p n n n X X X E --=--，
从而3
23)2)(1()23(p n n n X X X E --=+-，得 32323)2)(1()1(3)2)(1()(2)(3)(p n n n np p n n p n n n X E X E X E --++-=--+-= 一般地有
k p k n n n k X X X E )1()1()]1()1([+-⋅⋅⋅-=+-⋅⋅⋅-。
例（超几何分布的矩）设一盒子中有N 个球，其中M 个白球，M N -个黑球。现从中随机地抽取n 个球，X 表示取出的白球数。
下面计算X 的各阶矩。令
⎩
⎨⎧=否则0白球个球为,1，第i I i 则∑==n i i I X 1， N
nM I E X E n i i =
=∑=)()(1， )
1()1(2)1()(]2/)1([1---==
-∑≤<≤N N M M n n A A P X X E n j i j i ， 从而)
1()1()1()]1([---=-N N M M n n X X E ，得 =)(2X E )1()1()1(---N N M M n n N
nM + =)(X Var )1()1()1(---N N M M n n N
nM +22
2N M n -。 一般地有
)
1()1()1()1()
1()1()]1()1([+-⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-=+-⋅⋅⋅-k N N N k M M M k n n n k X X X E 。 例（配对数的矩）X 表示配对数。
下面计算X 的各阶矩。令 ⎩
⎨⎧=否则0个人配对,1，第i I i 则∑==n i i I X 1， 11)()(1=⋅
==∑=n
n I E X E n i i ， )
1(12)1(]2/)1([--=-n n n n X X E ， 从而1)]1([=-X X E ，得
=)(2X E 2。
=)(X Var 1
一般地有
1)]1()1([=+-⋅⋅⋅-k X X X E .
例(另一优惠券收集问题) 设有N 种不同的优惠券,每次收集到新优惠券均与以前收集到的优惠券相互独立.假设得到优惠券i 的概率为i p ,当收集到n 张优惠券时,不同类型的优惠券的类别数记为X ,求X 的期望与方差.
记Y 表出未收集到的类别数,令
⎩⎨⎧=否则
0种优惠券未收集到,1，第i I i
则 Y ∑==N i i I
1
,从而
=)(Y E ∑∑==-=N i n i
N i i p I E 11)1()(,
=-))1((Y Y E ∑<--j
i n j i p p )1(2
从而 )())1(()(2Y E Y Y E Y E +-=n j i j i p p ∑<--=)1(2
∑=-+N i n i p 1
)1( =)(Y Var ∑<--j i j i p p )1(2∑=-+N i n i p 1)1(21
])1([∑=--N
i n i p
由于Y N X -=,故
∑=--=-=N i n i
p N Y E N X E 1)1()()(,
==)()(Y Var X Var ∑<--j i j i p p )1(2∑=-+N i n
i p 1)1(21
])1([∑=--N
i n i p 特别 当N
p i 1=时, ])11(1[)(n N
N X E --=,, =)(X Var n N N N )21)(1(--n N N )11(-+n N
N 22)11(-- 例（负超几何分布的矩）设一袋子中共有m n +个球，其中n 个红球，m 个白球，每次从袋子中不放回地任取一个球，直至取出r )1(n r ≤≤个红球为止，记X 为总共取出的球的个数，则X 的分布称为负超几何分布。易见X 的分布列为止
11)(11+-++-⋅==-+--k m n r n C C C k X P r m
n r k m r n ，r m r r k +⋅⋅⋅+=,,1,， 下面计算X 的期望和方差，令Y 为取出的白球个数，则r Y X +=。设想m 个白球分别编号m ,,2,1⋅⋅⋅，令
⎩⎨⎧=否则
0个白球被取出,1，第i I i
则∑==m i i I Y 1，且1)1(+==n r I P i ，故1)()(1
+==∑=n mr I E Y E m i i ， 所以1
)1(1)(+++=++=n m n r n mr r X E 。 注意到 2221)1,1(++===n r j i C C I I P )
1)(2()1(+++=n n r r ， =-))1((Y Y E )
1)(2()1)(1(+++-n n r r m m =)(Y Var )1)(2()1)(1(+++-n n r r m m 1++n mr 2)1
(+-n mr 2)1)(2()1)(1(++++-+=n n m n r n mr ， 所以=
)(X Var 2)1)(2()1)(1(++++-+n n m n r n mr 例（游程的期望数）设有n 个1和m 个0随机地排成1一个序列，X 表出1的游程数，求)(X E 。
令⎩⎨⎧=否则0个位置游程开1,1，始第的个i 一I i
则∑+==m n i i I
X 1 而m n n I P +=)(1，1)(-+⋅+=m n n m n m I P i ， 故m
n m n m n n m n m m n m n n I E X E m n i i ++=-++-+++==∑+=)1(1)1()()(1
数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值， 这种方法就叫做变量分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。
数学期望的原理及应用 1. 原理 数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。在概率论中，随机变量是指在一个随机实验中，可以随机地取不同值的变量。数学期望可以看作是随机变量的平均取值，它是对随机变量可能取值的加权平均。 数学期望的计算公式为: $$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} X_i \\cdot P(X_i)$$ 其中，X i是随机变量的某个取值，P(X i)是X i对应的概率。 数学期望的求解步骤如下： 1.确定随机变量的全部可能取值； 2.计算每个取值的概率； 3.计算每个取值与其对应概率的乘积； 4.将上述乘积相加即得到数学期望。 2. 应用 数学期望在各个领域都有广泛的应用，以下是数学期望在一些具体问题中的应 用案例： 2.1 统计学 在统计学中，数学期望是一个重要的统计指标，用于衡量一个随机变量的中心 位置。例如，在对一个随机样本的分析过程中，可以通过计算样本的数学期望来了解样本的平均水平。数学期望还被广泛应用于估计总体的参数，例如通过样本的平均值来估计总体的均值。 2.2 金融学 在金融学中，数学期望在投资组合的管理中发挥重要作用。通过计算各个投资 标的的数学期望，可以评估投资标的的预期收益。基于这些数学期望，投资者可以根据自己的风险偏好进行资产配置，以达到最优的投资组合。 2.3 工程学 在工程学中，数学期望可以应用于各种实际问题的分析。例如，在电力系统中，可以通过计算电力负荷的数学期望来确定电力系统的设计容量。在工程项目的成本估算中，也可以通过计算工程成本的数学期望来进行成本控制和决策。
2.4 计算机科学 在计算机科学中，数学期望被广泛用于分析算法的性能。通过计算算法的平均运行时间的数学期望，可以评估算法的效率和性能。数学期望还被用于建模和优化网络传输的时延和吞吐量。 3. 总结 数学期望作为概率论中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。它是随机变量的平均取值，描述了随机变量的中心位置。通过计算随机变量的数学期望，可以用于统计分析、金融投资、工程项目和计算机科学等领域的问题解决。熟练掌握数学期望的原理和应用，有助于提升问题分析和决策能力。
数学期望和方差 在概率论和统计学中，数学期望和方差是两个基本的概念，它们分别描述了随机变量的平均值和离散程度。下面，我们将详细介绍这两个概念的定义和性质，并通过一些实例来加深对它们的理解。 一、数学期望 数学期望，又称为均值，是指随机变量取值的平均值。对于离散型随机变量，数学期望定义为： E(X) = Σ(x*p(x)) 其中，x是随机变量的取值，p(x)是相应的概率。对于连续型随机变量，数学期望的定义稍有不同： E(X) = ∫(x*f(x)) dx 其中，f(x)是随机变量的概率密度函数。 数学期望具有以下性质： 1、如果将随机变量分成若干部分，那么每一部分的数学期望等于该部分的平均值。
2、如果将随机变量进行线性变换，那么变换后的随机变量的数学期望等于原随机变量的数学期望进行同样的线性变换。 3、如果随机变量是两个独立随机变量的和，那么它们的数学期望也是相加的。 二、方差 方差是衡量随机变量离散程度的重要指标。对于离散型随机变量，方差定义为： Var(X) = Σ((x-E(X))^2*p(x)) 对于连续型随机变量，方差的定义类似： Var(X) = ∫((x-E(X))^2*f(x)) dx 方差具有以下性质： 1、如果将随机变量乘以一个常数，那么方差将乘以这个常数的平方。 2、如果对两个独立的随机变量进行线性变换，那么变换后的随机变量的方差等于原随机变量的方差之和。 3、对于任何随机变量，方差的取值范围是非负的。
三、实例分析 让我们通过一个简单的例子来理解数学期望和方差的概念。假设有一个硬币，它的两面分别代表正面和反面。正面出现的概率为0.5，反面出现的概率为0.5。如果我们投掷这枚硬币多次，那么正面和反面出现的次数将遵循概率分布。在这个例子中，正面出现的次数是一个离散型随机变量。它的取值包括0,1,2,...,n,...等，其中n是投掷次数。正面出现的概率分布为P(X=n)=C(n,1)0.5^n0.5^(n-1)。我们可以计算出这个随机变量的数学期望E(X)和方差Var(X)。通过计算我们发现，数学期望E(X)=1，方差Var(X)=1。这说明在多次投掷中，正面出现的平均次数为1次，而实际次数与平均次数的偏差的平均值为0。方差也告诉我们正面出现次数的离散程度。在这个例子中，方差为1，说明正面出现次数的离散程度较大。如果我们改变硬币的构造或者投掷的环境，那么正面出现的概率分布可能会发生变化，进而导致数学期望和方差的变化。因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况计算和分析数学期望和方差。 数学期望与方差在经济分析中的应用 数学期望和方差是统计学中的重要概念，它们对于理解经济现象和做出决策具有重要意义。在经济分析中，数学期望和方差可以用来描述和预测经济数据，帮助我们更好地理解经济趋势和风险。
概率论中的常见分布和期望与方差——概率 论知识要点 概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。 一、离散型分布 在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。以下是几个常见的离散型分布： 1. 伯努利分布 伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。伯努利分布的概率质量函数为： P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。 2. 二项分布 二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。 3. 泊松分布
泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。 二、连续型分布 在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。以下是几个常见的连续型分布： 1. 均匀分布 均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为： f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。 2. 正态分布 正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。正态分布的概率密度函数为： f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。 3. 指数分布 指数分布描述了随机事件的等待时间或寿命的分布。设随机变量X表示等待时间或寿命，指数分布的概率密度函数为： f(x) = λ * e^(-λx)，其中λ为事件发生率。 三、期望和方差 期望和方差是描述随机变量的两个重要指标。 1. 期望
数学期望公式 第一篇：基础概念与定义 数学期望是概率论中的一个重要概念，它可以用于描述 随机变量的平均值，也可以用于评价随机事件的平均结果。在现代数学、统计学以及应用科学等领域，数学期望被广泛应用。本文将介绍数学期望的基础概念与定义。 数学期望，又称为期望值或期望数，是指对于一组数据，分别乘以它们出现的概率后再相加得到的结果。从数学上来说，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的公式来表示： E(X) = Σ(x*p(x)) 其中，x为X的可能取值，p(x)为X取值为x的概率，Σ表示对所有可能取值x的求和操作。 同样的，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的积分形式来表示： E(X) = ∫x*f(x)dx 其中，f(x)为X的概率密度函数。 在实际应用中，数学期望可以用来解决很多问题。例如，对于平均身高为175cm的人群，如果我们想知道某一个个体身高与平均身高的差距有多大，我们可以计算出这个人的身高与平均身高的差值，并将其除以人群总数。这样，得到的结果就是所有个体身高与平均身高之差的平均值，即身高的数学期望。通过比较这个差值与标准差，我们可以了解这个人的身材是否比较健康和匀称。
另外，数学期望还可以用于描述随机事件的效果。例如，当我们掷骰子时，我们可以计算出每个点数和其对应的概率，然后将它们相乘再相加，得到的结果就是掷骰子的数学期望。如果我们掷了十次骰子，我们可以将每次掷骰子得到的点数的平均值与掷骰子的数学期望相比较，了解我们掷骰子的效果如何。 总之，数学期望是衡量随机变量的均值的一种方法，它 可以用于处理多种实际问题。在实际应用中，要根据实际情况选择相应的数学期望公式进行计算和分析。在下一篇文章中，我们将继续介绍数学期望的一些重要性质和应用。 第二篇：数学期望的性质和应用 数学期望作为概率论中的一个重要概念，其具有多种性 质和应用。通过了解这些性质和应用，我们可以更深入地了解数学期望的本质。本文将介绍数学期望的一些重要性质和应用。 数学期望具有可加性和线性性。可加性是指，对于两个 随机变量X和Y，它们的和Z=X+Y的数学期望等于X的数学期 望和Y的数学期望之和，即E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)。线性性 是指，对于一个随机变量X和一个常数a，有E(aX)=aE(X)。 这些性质可以简化数学期望的计算和分析过程。 除了可加性和线性性外，数学期望还具有独立性。如果 两个随机变量X和Y互不相关，则它们的乘积Z=XY的数学期 望等于X的数学期望和Y的数学期望的积，即 E(Z)=E(XY)=E(X)E(Y)。这个性质在统计学中很常见，因为它 可以用来对数据进行拟合和预测。 在实际应用中，数学期望可以用于处理多种问题。例如，在投资问题中，我们可以用数学期望来计算一个投资组合的收益率和风险因素。在保险模型中，数学期望可以用来计算保险
概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结 一：期望 引入： 1.1离散型随机变量的期望 注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。 1.2连续型随机变量的期望 注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。 1.3期望的性质 注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。 二：随机变量函数（复合随机）的数学期望 1.理解
注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。 三：方差 引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和： 定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。 3.1离散型随机变量的方差 3.2连续性随机变量的方差 3.3方差的性质 注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下 四：协方差 4.1定义
注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。 4.2离散型二维随机变量的协方差 4.3连续型二维随机变量的协方差 4.4二维随机变量的协方差性质 注：了解即可… 4.5协方差矩阵 五：相关系数 所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。 参考链接：
概率论数学期望 数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn) 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次 可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值 的大小。 须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许 与每一个结果都不成正比。期望值就是该变量输入值的平均数。期望值并不一定涵盖于变 量的输入值子集里。 大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。 历史故事 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两 个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢 家可以获得法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由 于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？ 用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。 因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两 局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就 得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。 可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望 分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。
解析高中数学中的概率密度函数与数学期望高中数学中的概率密度函数与数学期望 概率密度函数和数学期望是高中数学中的重要概念，它们在统计学和概率论中 扮演着重要的角色。本文将对这两个概念进行解析，帮助读者更好地理解它们的含义和应用。 一、概率密度函数 概率密度函数是概率论中用于描述连续型随机变量的概率分布的函数。它与离 散型随机变量的概率质量函数相对应。概率密度函数通常用f(x)表示，其中x为随 机变量的取值。 概率密度函数具有以下特点： 1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值必须大于等于0。 2. ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。 概率密度函数的图像通常为曲线，被称为概率密度曲线。概率密度曲线下的面 积表示该随机变量在某个区间上取值的概率。 二、数学期望 数学期望是概率论中用于描述随机变量平均取值的指标。对于离散型随机变量，数学期望可以通过随机变量取值与其概率的乘积的累加求得。而对于连续型随机变量，数学期望可以通过概率密度函数与随机变量的乘积的积分求得。 数学期望的计算公式为： E(X) = ∫xf(x)dx
其中，E(X)表示随机变量X的数学期望，x表示随机变量的取值，f(x)表示概率密度函数。 数学期望具有以下特点： 1. 数学期望是随机变量的线性函数，即E(aX + b) = aE(X) + b，其中a和b为常数。 2. 对于两个相互独立的随机变量X和Y，有E(X + Y) = E(X) + E(Y)。 数学期望在实际问题中有着广泛的应用。例如，在赌博游戏中，计算每次下注的期望收益可以帮助玩家做出更明智的决策。此外，在工程和经济学中，数学期望也常被用于评估风险和收益。 三、概率密度函数与数学期望的关系 概率密度函数和数学期望之间存在着密切的关系。事实上，数学期望可以看作是概率密度函数的加权平均值。 对于连续型随机变量X，其数学期望可以通过概率密度函数f(x)在整个定义域上的加权平均值来计算。具体而言，数学期望等于随机变量取值与概率密度函数的乘积的积分。 数学期望的计算公式为： E(X) = ∫xf(x)dx 通过计算概率密度函数在每个取值点上的值与该点对应的权重的乘积，然后将所有结果相加，就可以得到数学期望。 概率密度函数与数学期望的关系在实际问题中有着重要的应用。例如，在生活中，我们经常遇到需要计算平均值的情况，比如计算考试成绩的平均分。此时，我们可以将每个考生的成绩作为随机变量，通过计算概率密度函数和数学期望来得到平均分。
概率论中的期望与方差 概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律和性质。在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们用来描述随机变量的特征和分布。本文将详细介绍概率论中的期望和方差，并探讨其应用。 一、期望 期望是概率论中最基本的概念之一，用来描述随机变量的平均值。对于离散型随机变量，期望的计算公式如下： E(X) = Σ(x * P(X=x)) 其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X可能取到的值，P(X=x)表示随机变量X取到值x的概率。 对于连续型随机变量，期望的计算公式如下： E(X) = ∫(x * f(x))dx 其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值范围，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。 期望可以理解为随机变量在一次试验中的平均值，它可以用来描述随机变量的集中趋势。例如，假设有一个骰子，它的六个面分别标有1到6的数字。每个数字出现的概率相同，为1/6。那么这个骰子的期望就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。这意味着在大量的投掷中，骰子的平均值趋近于3.5。 二、方差 方差是概率论中用来描述随机变量离散程度的指标。方差的计算公式如下：Var(X) = E((X-E(X))^2)
其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示随机变量X的期望。 方差可以理解为随机变量与其期望之间的差异程度，它可以用来度量随机变量 的波动性。方差越大，表示随机变量的取值在期望附近波动的程度越大；方差越小，表示随机变量的取值相对稳定。 方差的平方根称为标准差，它是方差的一种常用度量方式。标准差可以帮助我 们判断数据的分散程度，通常来说，数据的标准差越大，表示数据的波动性越大。 三、应用 期望和方差在概率论中有广泛的应用。它们不仅可以用来描述随机变量的特征，还可以用来解决实际问题。 1. 随机变量的期望可以用来计算投资的预期回报。假设某个投资项目有两个可 能的结果，分别为正收益和负收益，每个结果发生的概率已知。通过计算这两个结果的期望，可以评估投资项目的风险和回报。 2. 方差可以用来评估数据的稳定性。在金融领域，方差常用来度量资产的风险。方差越大，表示资产价格的波动性越大，风险越高。 3. 期望和方差还可以用来分析随机过程。在排队论中，通过计算服务时间和到 达时间的期望和方差，可以评估系统的平均等待时间和波动性。 总结： 概率论中的期望和方差是非常重要的概念，它们可以帮助我们理解随机现象的 规律和特征。期望描述了随机变量的平均值，方差描述了随机变量的离散程度。期望和方差在投资、金融、排队论等领域有广泛的应用。通过深入理解和运用期望和方差，我们可以更好地分析和解决实际问题。
数学期望的原理及应用 数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。 数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn) 其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。 对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = ∫x*f(x)dx 数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：
1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。 2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。 3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。 4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。 5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。 6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。 总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。无论是在风险评估、决策制定、
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞ =1 <∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑∞ =1 =∞，则数学期望不存在。[]1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，
连续型随机变量的数学期望 下面我们考虑连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散型场合，用密度函数代替分布列，积分代替和式，就可以把离散型场合推广到连续场合. 【引例】（正态分布）设随机变量2 ~(,)X N μσ,X 的数学期望如何求呢？ 连续型随机变量的数学期望 定义4.2 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ．若积分()d x f x x +∞ -∞ ⎰ 收敛,则称积 分 ()d xf x x +∞ -∞ ⎰ 为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值,记为()E X ,即 ()()d E X xf x x +∞ -∞ =⎰． 若积分 ()d x f x x +∞ -∞ ⎰ 不收敛,则称随机变量X 的数学期望不存在． 注 （1）数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定； （2）数学期望)(X E 的数学解释就是X 加权平均，权就是密度函数，若X 表示价格，则)(X E 表示平均价格，从分布观点看数学期望，则数学期望是分布的重心位置； （3）定义中要求积分dx x xf ⎰ +∞ ∞ -)(绝对收敛，其原因同离散型情形一样. 例4.4 设随机变量 X 服从柯西分布,其概率密度为 2 1 ()()π(1) f x x x = -∞<<+∞+, 试证：X 的数学期望不存在． 证明 因为 2201()d d 2d π(1) π(1)x x f x x x x x x x +∞ +∞ +∞-∞ -∞ =⋅ =++⎰ ⎰ ⎰ 20 1 ln(1)π x +∞= +=+∞， 即 ()d x f x x +∞ -∞ ⎰ 不收敛,所以()E X 不存在. 例4.5（均匀分布）设随机变量 X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,求()E X .
第三章 随机变量的数字特征 前面讨论了随机变量的分布函数， 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多实际问题中， 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况， 而只要知道它的某些数字特征即可. 例如, 在评价某地区粮食产量的水平时， 通常只要知道该地区粮食的平均产量; 又如, 在评价一批棉花的质量时， 既要注意纤维的平均长度， 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大， 偏离程度小， 则质量就较好. 等等 实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质. 本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩。 第一节 随机变量的数学期望 内容要点： 一、离散型随机变量的数学期望 平均值是日常生活中最常用的一个数字特征， 它对评判事物、作出决策等具有重要作用。 定义 设X 是离散型随机变量的概率分布为 ,2,1,}{===i p x X P i i 如果∑∞=1 i i i p x 绝对收敛, 则定义X 的数学期望（又称均值）为 .)(1 ∑∞ ==i i i p x X E 二、连续型随机变量的数学期望 定义 设X 是连续型随机变量， 其密度函数为)(x f ,如果 ⎰ ∞ ∞ -dx x xf )( 绝对收敛， 定义X 的数学期望为 .)()(⎰∞ ∞ -=dx x xf X E 三、 随机变量函数的数学期望 设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数，则)(X g Y =也是一随机变量， 理论上， 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂。 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 定理1 设X 是一个随机变量， )(X g Y =，且)(Y E 存在, 则 （1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为 ,2,1,}{===i p x X P i i
数学期望名称的由来 数学期望名称的由来 数学是一门工具学科，很多问题的解决都依赖于数学的知识，以下是店铺整理的数学期望名称的由来，仅供参考，大家一起来看看吧。数学期望名称的.由来1 早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。 巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？ 是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？ 这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4，赢了3局的拿这个钱的1／4。 为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A 赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1／2，所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，当然，B就应该得1／4。 通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。 在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。 概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。数学期望名称的由来2 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是
先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，甲赢了第四局，或输掉了第四局却赢了第五局，概率为1/2+（1/2）*（1/2）=3/4。分析乙获胜的可能性，乙赢了第四局和第五局，概率为（1/2）*（1/2）=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
数学期望值的概念和意义 数学期望值是概率论中的一个重要概念，它是每个可能结果的概率与其对应的值的乘积的总和。数学期望值可以用来描述一个随机变量所具有的平均水平，它反映了随机变量的中心位置。在统计学和概率论中，数学期望值有着重要的意义和应用。 首先，数学期望值可以用来描述一个随机事件的平均结果。在离散型随机变量的情况下，数学期望值是每个可能取值乘以其概率的总和。例如，掷骰子的随机变量X的取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，那么X的数学期望值为(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6)+(5×1/6)+(6×1/6)=3.5。这表示在长期实验中，掷骰子的平均结果将接近于3.5，即我们可以预期掷出的点数在平均意义下接近于3.5。 其次，数学期望值还是一个随机变量的重要性质之一。在随机变量的分布中，数学期望值属于一个固定的值，它是随机变量所在分布的特征之一。通过计算随机变量的数学期望值，我们可以获得关于随机变量的重要信息，比如该随机变量的平均值、期望值等。例如，对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，那么X的数学期望值可以通过积分计算得到，即E(X)=∫xf(x)dx。数学期望值能够提供关于随机变量的重要特征，帮助我们更好地理解和分析随机变量。 此外，数学期望值还可以用来评估不同概率分布下的随机变量性质。对于给定的随机变量X，其数学期望值与方差密切相关。方差是随机变量与其期望之间的离
散程度的度量，方差越大表示随机变量的值离期望值越远。因此，数学期望值可以通过方差来衡量随机变量的离散程度。如果随机变量的方差较大，那么数学期望值可能不能很好地反映其平均水平。通过比较不同概率分布下随机变量的数学期望值和方差，我们可以评估其分布特征的不同，选择适合的概率分布模型来描述随机变量的性质。 此外，数学期望值还在实际问题中具有广泛的应用。在生活中，许多现象都可以用随机变量进行建模，许多问题都需要求解数学期望值来得到有意义的结果。比如，在保险业中，保险公司需要计算被保险人的预期损失，以确定保险费的合理性。在金融领域，投资者需要计算投资组合的期望回报和风险，以做出合理的投资决策。在工程中，需要计算产品的可靠性和寿命，以保证产品的质量和性能。在电信领域，需要计算网络中数据的传输速率和延迟，以满足用户的需求。通过计算数学期望值，我们可以更好地理解和预测不同问题的平均结果。 总结起来，数学期望值是概率论中的一个重要概念，它可以用来描述随机变量的平均水平，反映了随机变量的中心位置。数学期望值具有多方面的意义和应用，可以用来描述随机事件的平均结果，是随机变量的重要特征之一，可以评估不同概率分布下随机变量的性质，也在实际问题中具有广泛的应用。通过研究和应用数学期望值，我们可以更好地理解和分析概率论和统计学中的各种问题。
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学中的重要分支，研究随机事件和概率规律的数学理论。条件期望是概率论中的一个重要概念，用于描述在给定条件下的期望值。本文将介绍条件期望的计算公式及其应用。 一、条件期望的定义及性质 条件期望是在给定条件下的期望值，记作E(X|Y)，其中X和Y为 随机变量。条件期望于普通期望相似，区别在于条件期望要求在给定 条件下对随机变量进行求平均。 条件期望的计算公式如下： E(X|Y) = ∑[x P(X=x|Y)] （离散变量） E(X|Y) = ∫[x f(x|Y) dx] （连续变量） 其中，P(X=x|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X取值为x的概率；f(x|Y)表示随机变量X在给定Y的条件下的概率密度函数。 条件期望的性质： 1. 条件期望是随机变量Y的函数，它是Y的函数的期望； 2. 如果X和Y相互独立，则条件期望等于普通期望，即E(X|Y) = E(X)； 3. 若Z=g(X,Y)，则E(Z|Y) = E(g(X,Y)|Y)。 二、条件期望的计算举例
为了帮助读者更好地理解条件期望的计算公式及应用，以下将通过 两个具体的案例来说明。 案例一： 假设有一批产品，其质量可以用随机变量X表示，X的取值范围为[1, 10]，代表产品的质量评分。同时，还有一个随机变量Y表示产品的价格，Y的取值范围为[100, 1000]。现在要求在给定产品价格的条件下，计算产品质量的条件期望。 解决方法如下： 根据条件期望的计算公式，我们需要计算P(X=x|Y)。假设随机变量 Y的取值为y，则产品质量为x的条件概率为P(X=x|Y=y)。如果我们 已知产品价格与质量的关系，可以通过分析或者实验得到条件概率的 分布。然后，根据条件概率计算条件期望即可。 案例二： 现假设随机变量X和Y相互独立，且它们都服从正态分布。我们 要计算X与Y的乘积Z的条件期望E(Z|Y)。 解决方法如下： 根据条件期望的性质，当X和Y相互独立时，条件期望等于普通 期望，即E(Z|Y) = E(Z)。因此，我们只需要计算Z的期望即可。 三、条件期望的应用
概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机现象及其规律。随机事件是概 率论中的基本概念，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。期望 值是概率论中的一个重要概念，表示随机变量的平均值。 随机事件是概率论中研究对象的基本单位。在概率论中，一个试验的样本空间 是指所有可能的结果的集合。而样本空间中的子集就是事件。例如，掷一枚硬 币的样本空间是{正面，反面}，而事件可以是正面朝上或反面朝上的情况。 概率是描述随机事件发生可能性的数值。一般而言，概率被定义为某个事件出 现的次数与总试验次数的比值。例如，掷一枚硬币，正面朝上的概率为1/2， 反面朝上的概率也是1/2。 在概率论中，经常会涉及到多个随机事件的组合。所谓组合，就是把多个事件 同时考虑。例如，掷一枚骰子，事件A是出现1点，事件B是出现偶数点。那么，事件A和事件B同时发生的概率就是1/6，即骰子出现1点且出现偶数点 的概率。 期望值是随机变量的一个重要概念。随机变量是指随机事件的某个数值特征。 例如，掷一枚骰子，可以定义一个随机变量X，表示骰子的点数。那么X的取 值范围为{1,2,3,4,5,6}，每个点数的概率为1/6。期望值E[X]表示随机变量X 的平均值，是所有可能取值的概率与取值本身的乘积的总和。对于掷一枚骰子 的例子来说，期望值E[X]可以计算为(11/6 + 21/6 + 31/6 + 41/6 + 51/6 + 61/6) = 3.5。 期望值在概率论中有着重要的应用。例如，在赌博中，知道每个赌注的期望值，可以帮助决策者做出合理的选择。在保险业中，知道保险索赔的概率和金额的 期望值，可以帮助保险公司确定合理的保费。在工程设计中，知道产品的寿命 和价值的期望值，可以帮助设计者优化产品结构。 期望值还有一个重要的性质，即线性性质。对于随机变量X和Y以及实数a和 b来说，有E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]。这一性质在概率论中经常被使用， 可以简化复杂问题的计算。 总之，概率论中的随机事件与期望值是两个重要概念，它们描述了随机现象与 概率规律之间的关系。了解随机事件与期望值的基本性质和计算方法，有助于 我们更好地理解概率论，并且在实际应用中能够运用概率论的知识做出合理的 决策。希望本文对读者对概率论中的随机事件与期望值有所帮助。