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第十章《重积分》自测题
一、单项选择题
1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22
1
221y x y x
D I e
dxdy ---=
??，22
2
222y x y x
D I e
dxdy ---=
??，22
2233
y x y x
D I e
dxdy ---=
??则123,,I I I 大小
顺序为（ ）。
（A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2
1
,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D
)(2
2??+=( )
(A)?
-
1
2
1dx dy y x x
x
)(2
2
112
2?
---+ (B)
dy
x
x
?
---2
2
11?
-
+12
12
2)(dx y x
(C)
?
-
12
1dx
dy y x x )(2
12
12
2?
--
+ (D)
?
-
12
1dx
dy y x )(1
2
12
2?
-
+
3．改变12
2
2
111
2
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx +
???
?的积分次序，则下列结果正确的是（ ）
（A ）??21
1),(x x
dy y x f dx （B ）??2
1
1
),(x x
dy y x f dx （C ）??31
1),(x x
dy y x f dx （D ）??1
3
11
),(x x
dy y x f dx
4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2
D
I y x dxdy =
-??
的值为（ ）
（A ）
23
； （B ）
43
； （C ）
2115
； （D ）
4615
5．设D ：2222
,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D
f x y dxdy ??可化为（ ）。
（A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π
θθθ
θθ??
； （B ）sin 402(cos ,sin )a a
d f r r rdr π
θθ
θθ??
；
（C ）sin 400
(cos ,sin )a d f r r rdr π
θ
θ
θθ??
＋sin 2
cos 4
(cos ,sin )a a d f r r rdr π
θπθ
θ
θθ??
；
（D ）
sin 40
(cos ,sin )a d f r r rdr
π
θθ
θθ?
?
＋
cos 2
4
(cos ,sin )a d f r r rdr
π
θπ
θ
θθ??
6．Ω由不等式2
2
y
x z +≥，222
(1)1x y z ++-≤确定，则???Ω
dv z y x f ),,(=（ ）
（A ）???
≤+2
01
2
2
),,(y x dxdy z y x f dz
（B ）???
≤+2
02
2
2
),,(z
y x dxdy z y x f dx
（C ）???-≤+2
22
2
2),,(z
z y x dxdy z y x f dx
（D ）???-≤+2
1
22
2
2z
z y x fdxdy dz
+2
2
2
1
x y z
dz
fdxdy +≤???
7．Ω为球体：1222≤++z y x ，则???
Ω
++dv z y x 2
22=（ ）
（A ）???Ω
dxdydz （B ）ρ?ρ?θπ
πd d d sin 20
1
3
?
??
（C ）ρθρ?θπ
πd d d sin 20
1
3
?
?? （D ）ρ?ρ?θπ
π
d d d sin 20
20
1
3
?
?
?
8．设Ω由22,1z x y z =+=围成，计算2
2
()x y z dv Ω
++???正确的是（ ）
（A ）因为22z x y =+，故原式＝2
2
1
1
2()223
x y z
z z dv zdz
dxdy z zdz ππΩ
+≤+===
??????
?；
（B ）原式＝2
22
2
1122
1
10
()2
x
x y x
dx dy x y z dz π
-+---++=
??
?
；
（C ）原式＝2211
2
()2
r
d dr r z rdz ππ
θ
+=
??
?；
（D ）因为
2
2
z x y
=+，故原式＝
2
2
2
2
()x
y x y dv Ω
+++=???2211
3
23
r
d dr r dz ππθ
=
?
?
?
9．设Ω是由2222x y z a ++≤与222x y b +≤，（0b a <<），0z ≥围成的闭区域，则zdv
Ω
???＝（ ）。 （A ）23
200
sin cos a
d d d π
πθ
???ρρ?
?
?； （B ）22
200
b a r d dr zdz πθ
-?
?
?
；
（C ）2
2222
2
2
b
b x
a x y b
b x
dx dy zdz ------??
?
； （D ）23
2sin 000
sin cos b d d d π
π?θ
???ρρ?
?
?
。
10．设Ω是球体22
2
1x y z ++≤，则2
2
2
2
2
2
ln(1)1
z x y z dxdydz x y z Ω
++++++???
＝（ ）。
（A ）1； (B)－1； (C)2； （D ）0。
11．设球体Ω：2
2
2
4x y z z ++≤内任一点处的密度与该点到坐标原点的距离成正比，则球体重心坐标为（ ）。 （A ）1(0,0,)
2
； (B)
16(0,0,)7； (C) 8(0,0,)3； （D ）3(0,0,)
4
二、填空题
1. 由二重积分的几何意义得到
??≤+1
4
3
2
22
2y x d σ
= 。
2. 利用二重积分的几何意义得到
??
≤+--2
2
2
2
22a
y x d y x a σ= 。
3. 设f (x ,y )在122≤+y x 上连续，则2
2
2
2
1(,)lim
R x y R
f x y d R
σ→+≤=??
。
4. 设D=dxdy e
y x x y x D
y
??-≤≤≤≤2
},2,20),{(= 。
5. 已知D 是长方形域：,01a x b y ≤≤≤≤，且()1D
yf x d σ=??，则()b
a
f x dx =?
6. 设D 为：322≤+y x ，则??-+D
dxdy y x 22
2 。
7. 把dxdy x
y y x f I x
y x ??
≤++=
22
22
2
)arctan
,(化为极坐标系下的二次积分 。
8. 设Ω由z 2=22y x +与柱面22y x +=1围成的在第一卦限内的闭区域，把I=???Ω
dv
z y x f ),,(化为直角坐标系下的三次积分为 。
9. 设Ω是由平面曲线??
???==
022
y x z 绕z 轴旋转形成的曲面与二平面z=1和z=2所围成的立体，
则22
()x y dv Ω
+=??? 。
10. 设Ω是由曲面222
(0)z a x y
a =
-->与xoy 平面所围成的立体，则
3
3
(3)x y dv Ω
++=??? 。
三、计算题：
2
3
1
2
1(),()x y
x
x f x dx f x e dy =
??
、计算积分其中。 2222
110
2,:2,2;2;
D x
y
x
xdxdy D x y x y x dx e dy +≥+≤??
??
、计算二重积分：（1）
（）
22
3,:1,0,0;D
x y dxdy D x y x y -+≤≥≥??
（）其中 22
(4)
,:;D
x dxdy D x y x +≤??
2
12
5y
x dx e
dy -
?
?
（）
；
3222
22,:1,1z dxdydz x y z z x y Ω
Ω++≤+≥
+???
3、计算三重积分：（1）
。
22
2
2,20,
(0),0z x y dxdydz y x x z z a a y Ω
+Ω=
-==>=???
（）
其中由柱面及平面所围成的区域。
22222
22
23,:1,21;z dv x y z z x y x y
Ω
Ω++≤≥+-+???
（）
其中
2
2
22
(4)
(),0,2,(1)1
x
y dxdydz yoz z z y z Ω
+Ω==--=???其中域是由在平面内所围成平面域绕z 轴旋转而成的空间区域。
2222
(5),43zdxdydz z x y x y z Ω
Ω=
--+=???其中：与所围成立体。
四、应用题与证明题：
2
2
2
2
14z x y z x y =++=+、证明：曲面上任一点处的切平面与曲面所 围成立体体积为定值。
2
2
2
2
2
26z x y x y z =+++=、求抛物面与球面所围立体的体积及表面积；
110
3(,)(,)(,),(,)(1,1)x x
f x y f x y f y x dx f x y dy dx f x y dy ==--????
、设为连续函数，且求证：
； 0
4()[0,]()(),
{(,)|0,0,}
a D
f x a f x y dxdy xf x dx D x y x y x y a +=
=≥≥+≤???
、设在上连续，证明其中：；
1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.
1 2 1 2 2 5 L L ? ? ? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题 10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1） I = ? L xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B ( , - ) 之间的一段劣弧； 解: (1 + ) ． （2） ? L (x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0) 及 B (0,1) 所成三角形的边界； 解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ． （3） ? x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ； 解: ? x 2 + y 2 ds = 2 ． （4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2), L D (1, 2, 3) ； 解: ? L x 2 yzds = 8 ． 3 z B (0, 0, 2) D (1, 2,3) C (1, 0, 2) 2 求八分之一球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密 度 = 1 。 解 故所求重心坐标为? 4 , 4 , 4 ? ． A (0, 0, 0) y x 3 3 3? 习题 10—2 1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明 1 2 y A C o x B
? ? ?L x - y + z = 2 , ? 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： ?L Q (x , y )dy = 0 。 （1） ? L xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2 4 解 : ? L xydx = 5 。 （2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到 L x = 2 时的点的一段弧； 解 (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy = 4 ． L 3 （3） ? L ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧； 解 ?L ydx + xdy = 0. （4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L 到终点 B (0, -a ) 的路径； 解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4 。 4 （5） ? L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3 2 2 0 3 87 解 ? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4 ?x 2 + y 2 = 1 , （6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周? 且从 z 轴 ? 正方向看去， L 取顺时针方向。 解: = -2 。 习题 10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ） 16 （B ）112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2 D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ） 12 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 1 1 (,)x dx f x y dy -+? (A)11 2 111 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 1 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D) 2 1 (,)dy f x y dx -? ? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可 化累次积分为 (A)20 1 (,)x dx f x y dy -? (B)2 1 (,)x dx f x y dy -?? (C) 2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)21 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
第十章《重积分》自测题 一、单项选择题 1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22 1 221y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2 222y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2233 y x y x D I e dxdy ---= ??则123,,I I I 大小 顺序为（ B ）。 （A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2 1 ,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D )(2 2??+=( A ) (A)? - 1 2 1dx dy y x x x )(2 2 112 2? ---+ (B) dy x x ? ---2 2 11? - +12 12 2)(dx y x (C) ? - 12 1dx dy y x x )(2 12 12 2? -- + (D) ? - 12 1dx dy y x )(1 2 12 2? - + 3．改变12 2 2 111 2 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx + ??? ?的积分次序，则下列结果正确的是（A ） （A ）??21 1),(x x dy y x f dx （B ）??2 1 1 ),(x x dy y x f dx （C ）??31 1),(x x dy y x f dx （D ）??1 3 11 ),(x x dy y x f dx 4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2 D I y x dxdy = -?? 的值为（ D ） （A ） 23 ； （B ） 43 ； （C ） 2115 ； （D ） 4615 5．设D ：2222 ,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D f x y dxdy ??可化为（ D ）。 （A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π θθθ θθ?? ； （B ）sin 402(cos ,sin )a a d f r r rdr π θθ θθ?? ； （C ）sin 400 (cos ,sin )a d f r r rdr π θ θ θθ?? ＋sin 2 cos 4 (cos ,sin )a a d f r r rdr π θπθ θ θθ?? ； （D ） sin 40 (cos ,sin )a d f r r rdr π θθ θθ? ? ＋ cos 2 4 (cos ,sin )a d f r r rdr π θπ θ θθ?? 6．Ω由不等式2 2 y x z +≥，222 (1)1x y z ++-≤确定，则???Ω dv z y x f ),,(=（D ）
第十章 重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值 dxdy y x I D ??+=22 其中D 为：422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2.4..312.4.= -) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π，求a 的值。 解： dxdy y x a D ?? --2 2 2 =3 .34.21a π 81 =a 3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解：由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ， ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系 解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I 5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的 立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1 :222)]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤) 7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ??→D a dxdy y x f a ),(1 lim 2 0π 解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ
高等数学教案
第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准
线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我
们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二）二重积分的定义
第十章重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D ??+=22 其中D 为：422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2. 4. . 312. 4. = - 2、设D 为圆域, 0, 222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π，求a 的值。 解： dxdy y x a D ?? --2
2 2 =3 . 34. 21a π 81 =a 3、设D 由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解：由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D ：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x ， ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221][ln(, ln(，比较1I , 与2I 的大小关系 解：在D 上，ln(y x +≤ 2][ln(y x +, 故1I ≤2I 5、设f(t连续，则由平面 z=0，柱面 , 122=+y x 和曲面2]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1 :222]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D
ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0, 0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤ 7、设f(x,y为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求??→D a dxdy y x f a , (1 lim 2 0π 解：利用积分中值定理及连续性有 0, 0( , (lim , (1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ § 2 二重积分的计算法 1、设?? +=D dxdy y x I 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（） A ： 2
题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ） 16 （B ）112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2 D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =??__________1 22 (,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ） 1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)1 1 2 11 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 1 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 1 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D) 2 1 (,)dy f x y dx -? ? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分 为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C) 2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分 21 10 2 (,)y dy f x y dx ?? 可交换积分次序为 (A) 1 1 (,)(,)dx f x y dy f x y dy +?
第十章 总积分习题解答 第12次课 二重积分的概念及性质 1、 略 2、根据这三点可知区域： 2 120ln()10[ln()]ln() x y x y x y x y ≤+≤?<+
第13次课 二重积分的计算法 1、 （1）根据积分区域： 11,11x y -≤≤-≤≤ 1 1 22221 1 8 ()()3 D x y d dy x y dy σ--+=+=???? 或者：根据对称性质： 2222882()233D D D y d x y d x d σσσ==+==?????? （2）根据积分区域： 0000 cos()(sin 2sin )11(cos 2cos 2cos cos ) 22() 232 x xdx x y dy x x x dx x x xdx x x xdx π π π π π π π π ππ+=-=---+=-+=? ???? （3）根据积分区域 3 2 22 2 22 0235222 22 2 00 2(4)311264 (4)(4)(4)335 15 D xy d xdx y dy x x dy x d x x σ==-=- --=--= ??? ?? （4）根据对称性： 1:0,0,1D x y x y ≥≥+≤ 1 110 1 12200()4()4()14 4((1)(1))2(1)23 y D D x y dxdy x y dxdy dy x y dx y y y dy y dy -+=+=+=-+-=-= ?????? ?? P45
重积分测试题 一、填空题 1. 222x y R σ+≤=?? ； 2. 1(1)x y x y d σ+≤++=?? ； 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 （两种次序都写出来） ，其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域； 4. 改变积分次序 2120(,)y y dy f x y dx -=?? ； 5. 将二重积分(,)D f x y d σ ??转化为极坐标系下的两次单积分 ，其中D 为0,y y == 6. 将三重积分(,,)f x y z d v Ω???化 为三次积分 ，其中Ω为22z x y =+， 1,0,0,0x y y x z +====所围成的封闭区域； 7. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω???化为柱面坐标系下的三次积分 ，其中Ω为22z x y =+ ， z =所围成的封闭区域. 二、计算题 1. 计算二重积分 D xydxdy ??，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域； 2. 计算二重积分D x ydxdy -??，其中D ：221,0,0x y x y +≤≥≥； 3. 计算二次积分 1 10x y dx dy ?； 4. 计算三重积分 3z dv Ω???，其中Ω ：2221,x y z z ++≤≥ 5. 计算三重积分 Ω ???，其中Ω 是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域. 三、应用题 求旋转抛物面22z x y =+ 与上半球面z = 所围成的立体体积及表面积.
一、填空题 1．32 3R π； 2. 2 ； 3.1000(,)(,)x f x y dy f x y dy +? 及0(,)y f x y dx ； 4. 122001 0(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+???； 5. 2cos 200(cos ,sin )d f d πθ θρθρθρρ??； 6. 2211000(,,)x x y dx dy f x y z dz -+???； 7. 22100(cos ,sin ,)d d f z dz π ρθρρρθρθ?? 二、计算题 1. 110ln 32- ； 2. 21)3 ； 3. 12 ； 4. 116 π ； 5. 289a 三、应用题 V = ； 121)1)6A A A π=+=+
第十章 重积分单元测试卷 一、填空题（每小题4分，共20分）： {} . ,1)2()1(.5.,),,(,2,1,2.4. sin .3. ,0,1|),(.2. ,),(,),(.1222221 0221 20 2 ???????? ???? Ω Ω -= ≤+-+-Ω= ====+Ω==≥≤+== =dv z y x I dxdydz z y x f I z z z y x dy x x dy ydxdy y y x y x D I dy y x f dx I y x f y y D x x 则为设则下的三次积分化为柱面坐标系将所围成由设则设则改变积分次序将连续设 二、选择题（每小题5分，共20分）： .)(;)(;)(;)()( ,,,)sin(,)(, )ln(,1,21 ,0,0.1312231123321321321I I I D I I I C I I I B I I I A I I I dxdy y x I dxdy y x I dxdy y x I y x y x y x D D D D <<<<<<<<+=+=+==+=+==??????间的大小关系为则所围成由设 ( ) . ),(),()(; ),()(;),(),()(; ),()(),(,),(.201 80 21 21 21 228 26 218 2 2121 212282122 6 21 4 2 ??? ? ?? ??? ? ?? ??--+-++------+++---+---++=y y y y y y y y y y y x x dx y x f dy dx y x f dy D dx y x f dy C dx y x f dy dx y x f dy B dx y x f dy A dy y x f dx y x f 则二次积分是连续函数设 3. 半径为R 和r(0 高数测试题七（重积分部分）答案 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分0 (,)(a y dy f x y dx a ? ?为常数）的次序后得（ B ） A 00 (,)y a dx f x y dy ?? B 0(,)a a x dx f x y dy ?? C (,)a x dx f x y dy ? ? C (,)a y dx f x y dy ? ? 2、设2222 222()()x y z t F t f x y z d v ++≤= ++??? ，其中 f 为连续函数，(0)f '存 在，而(0)0,(0)1f f '==，则5 0() lim t F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 2 5 π 3、球面2 2 2 2 4x y z a ++=与柱面22 2x y ax +=所围成立体体积（含在柱 内部分）为（ C ） A 2cos 20 04a d π θ θ?? B 2cos 20 8a d π θ θ?? C 2cos 20 4 a d π θ θ? ? D 2cos 20 2 a d π θ πθ-?? 4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D xy x y d σ+??=（ A ） A 1 2 cos sin D x yd σ?? B 1 2D xyd σ?? C 1 (cos sin )D xy x y d σ+?? D 0 5、设22222222 22sin()1 arctan 0 (,)0 2 x y x y x y x y f x y x y π?++≠??++=? ?+=?? ， (高起专)第十章二重积分习题解答 (一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1 ．1 220 I dy x y dx = ? ，则交换积分次序后得 C 。 （A ）1 220 I dy x y dy =? ； （B ）1 220 3I x y dy =?； （C ）2 11220 3x I dx x y dx -= ?? ； （D ）2 1 1220 3x I dx x y dy += ? ? 。 2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则 x y D e dxdy +=?? D. . (A) 2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ; 3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则 (,)D f x y dxdy =?? C (A) 1 20 (,)x x dx f x y dy -?? , (B) 21 (,)y y dy f x y dx -?? , (C) 2 1 2(,)x x dx f x y dy -??, (D) 1 (,)x dx f x y dy ??.; 4．2 2 x y D I e dxdy --= ??，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。 （A ）2 21 []r I e dr d π θ-= ? ?； （B ）2 1 2 04[]r I e dr d π θ-=? ?； （C ）2 1 20 2[]r I e rdr d π θ-=? ?； （D ）2 21 []r I e rdr d π θ-= ??。 5. 2 D I xy d σ= ?? , 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。 （A ）1 20 I dy xy dy =? ； （B ）1 1 20 I dx xy dy =? ?； （C ）1 2 I dx dy =? ； （D ）1 232 cos sin I d r dr π θθθ= ? ?。 填空题 1. 交换二次积分次序，1 (,)x I f x y dy =?＝ 。故 2 1 1 (,)(,)y x y I dx f x y dy dy f x y dx ==??? 2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则 3 (2)D x y dxdy +=?? 0 3．设积分域为2 2 {(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分 22()D f x y dxdy +=?? 在极坐标下的二次积分 为 。解 52 4 22 21 4 ()()D f x y d x d y d r f r d r ππ θ+=?? ??。 4．积分 224 ()x y x y dxdy +≤+?? 在极坐标下的二次积分为 。 2222 2 4 ()(cos sin )x y x y dxdy d r dr πθθθ+≤+= +?? ?? 第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ? 高数教案第十章重积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高等数学教案 第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。 当(,)x y D ∈时,(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω。 （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1n i i V ==?Ω∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω??i i i i i i i f ≈?∈()()( )ξησξησ (以不变之高代替变高, 求i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈=∑()ξησ?1 (4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i =→=∑lim (),λξησ01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。 第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则 ?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求 重积分 【教学目标与要求】 1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。【教学重点】 1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）； 2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3.二、三重积分的几何应用及物理应用。 【教学难点】 1.利用极坐标计算二重积分； 2.利用球坐标计算三重积分； 3.物理应用中的引力问题。 【教学课时分配】 (10学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 §10. 1 二重积分的概念与性质 【回顾】定积分 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积. (1)分割：用分点a =x 0高数重积分测试题
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