高数测试题七(重积分部分)答案
一、选择题(每小题5分,共25分) 1、交换积分0
(,)(a
y
dy f x y dx a ?
?为常数)的次序后得( B )
A 00
(,)y
a
dx f x y dy ?? B
0(,)a
a
x
dx f x y dy ??
C
(,)a
x
dx f x y dy ?
? C
(,)a
y
dx f x y dy ?
?
2、设2222
222()()x y z t F t f x y z d v ++≤=
++???
,其中 f 为连续函数,(0)f '存
在,而(0)0,(0)1f f '==,则5
0()
lim
t F t t →=( B )
A π
B 45π
C 35π
D 2
5
π
3、球面2
2
2
2
4x y z a ++=与柱面22
2x y ax +=所围成立体体积(含在柱
内部分)为( C )
A
2cos 20
04a d π
θ
θ?? B
2cos 20
8a d π
θ
θ??
C
2cos 20
4
a d π
θ
θ?
?
D
2cos 20
2
a d π
θ
πθ-??
4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )D
xy x y d σ+??=( A )
A 1
2
cos sin
D x yd σ?? B 1
2D xyd σ?? C 1
(cos sin )D xy x y d σ+?? D 0
5、设22222222
22sin()1
arctan 0
(,)0
2
x y x y x y x y f x y x y π?++≠??++=?
?+=?? ,
区域22
:(0)D x y ε
ε+≤>,则0
1
lim (,)D
f x y d εσπε
+
→??=( A )
A
2
π
B π
C 0
D ∞ 二、填空题(每小题5分,共25分) 1、 设(,,)I f x y z dxdydz Ω
=
???,积分区域
:0z z y Ω≤≥≥所确定,则I 在柱面坐标系下
的三次积分为
120
(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz π
θθθ?
?
2、 设D 是由3
,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域, 则
sin D
x
d x σ??= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分
2
2
2
y x
dx e dy -?
?=
41
(1)2
e -- 4、 设D
是由11
,2x y -≤≤-≤≤围成的平面区域,则
3
(2)D
x
y d x d y +??= 0
5、 设Ω是由球面2
2
2
1
x y z ++=所围成的闭区域,则222222ln(1)
1z x y z dxdydz x y z Ω
++++++???= 0 三、计算题 1、(6分)计算 222:(0)D xy dxdy
D x y a a +≤>??
解:由对称性知
224
142()2
a
a
D
xy dxdy dx x a x dx a ==-=
??
??
3、(6分)计算
D
,其中D 为 221x y +≤的第一象限部分
解:原式
=
220
(2)48
d t r π
ππθπ==-?
?
?
4、(8分)
22224:9D
x y dxdy D x y +-+≤??
解:
1
2
2
2222222
23
220
24(4)(4)41
(4)(4)2
D
D D x
y dxdy x y dxdy x y dxdy
d r rdr d r rdr π
π
θθπ+-=-+++-=-+-=?????????
?
5、(6
分)计算Ω
,其中 Ω为2216,4,0
x y y z z +=+==所围成的区域
解:原式=
24
4sin 0005123
r d rdr rdz π
θ
π
θ-=
???
6、(8分)计算22222222
:,2(0)z dv x y z a x y z az a Ω
Ω++≤++≤>???
解:
12
2
22
20
222
22220
2
[][]59(2)()480
z z
a
a
a D D a a
a z dv z d dz z d dz
z az z dz z a z dz σσπππΩ
=+=-+-=
???????????
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界. ( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导. ( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. ( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微. ( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.(每题2分,共20分) 1. 设2 )1(x x f =-,则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ,则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .
5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 52 2 1, 1 . 三、计算题(每题5分,共40分) 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在(0,+∞)内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成,计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分) 1. 证明:tan arc x = )(+∞<<-∞x .
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题(每小题1分,共10分) ________ 1 1.函数y=arcsin√1-x2+ ────── 的定义域为 _________ √1-x2 _______________。 2.函数y=x+ex上点(0,1)处 的切线方程是______________。 f(Xo+2h)-f(Xo-3h) 3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A, 则lim─────────────── h→o h = _____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是 ____________。 x 5.∫─────dx=_____________。 1-x4 1 6.limXsin───=___________。 x→∞ X 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 _______ R √R2-x2 8.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。 dx3xdx2 ∞ ∞ 10.设级数∑ a n 发散,则级数∑ a n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内, 1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分) (一)每小题1分,共10分 1 1.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=() x
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
第13章自测题1答案 一、选择题(每小题4分) 1、 答:(A). 2、 答:(B). 3、设C为分段光滑的任意闭曲线,?(x)及ψ(y)为连续函数,则的值 (A)与C有关(B)等于0 (C)与?(x)、ψ(x)形式有关(D)2π 答( ) 答:(B)
4、曲线积分的值 (A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关 (C)与起点、终点无关(D)等于零 答( ) 答:(B) 二、填空题(每小题4分) 1、 L是xoy平面上具有质量的光滑曲线,其线密度为ρ(x,y),则L关于ox轴的转 动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。 答: 2、 设L是单连通域上任意简单闭曲线,a,b为常数,则 _______. 答: 0 3、力构成力场,(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关,则m=________. 答:1 4、设是某二元函数的全微分,则m=______. 答:2 三、解答题(每小题6分) 1、 求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).
2、 设曲线L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱,其线密度为1,求L 的形心坐标( ). 3、 求质点M (x ,y )受作用力 沿路径L 所作的功W L 是从A (2,3) 沿直线到B (1,1)的直线段. 解:L 的直线方程:12-=x y 从2=x 到1=x ? ?=L s F w d ??
?-++= AB y x y x x y d )2(d )3 ( ? -=1 2 d )115(x x 223- = 4、 质线L 为 其上任意点(x ,y )处的密度为 ,求此质线 对于原点处的单位质点的引力 . 5、 设质线L 的方程为 L 上任意点(x ,y )处的线密度为 求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η). 解:L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2π θ θθd 2 sin 2d 'd 22a r r s =+= θ θ θμπ ? ? ? -=+= = 20 22d 2 sin )cos 1(2d 1d a s y x a s M L L
大学高数试卷及答案 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称: 高等数学I 课程类别: 必修 考试方式: 闭卷 注意事项:1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分,共21分) 1.下列各式正确的是: ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义,则它在该点处可导的一个充分条件是: ( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院: 专业班级: 姓名 学号: 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是: ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时,所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6.设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导,那么: ( ) A .1a b == B .2,1a b =-=- C .0,1a b == D .1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点,则下列论述正确的是 ( ) A .'()0f a = B .()0f a = C .''()0f a = D .以上都不对 二、填空题(每小题3分,共21分) 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 .极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续,则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7.椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 三、求下列极限(每小题 6分, 共18分)