第九
重积分自测题及解答
一、选择题
1．设),(y x f 连续，且??+=D
dudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =，
1=x 所围成区域，则),(y x f 等于（ C ）
（A ）xy ； （B ）xy 2； （C ）8
1
+xy ； （D ）1+xy 。
解：设??=D
dudv v u f b ),(（常数）。在D 上对??+=D
dudv v u f xy y x f ),(),(两边积分得：
b dy dx b ydy xdx dxdy b xydxdy b x x D
D
3
1
1212
2
10
10
+=
+=+=?
??
?????，解得81=b ，
故8
1
),(+=xy y x f 。
2．二次积分??
?ρρ?ρ?ρ?
πcos 0
)sin cos d ,f(d 可以写成（ D ）
（A ）?
?-2
1
y y f(x,y)dx dy ； （B ）?
?-2
1 0
1
0 y f(x,y)dx dy ；
（C ）??1
1 0
f(x,y)dy dx ； （D ）?
?-2
1
x x f(x,y)dy dx 。
3．设)(u f 为连续函数，3{(,)1, 1 }D x y x y x =≤≤≥-，
dxdy y y x f x x I D
??++=]sin )([22，则I =（ B ）
（A ）32-； （B ）32； （C ）0； （D ）2
3
。
4. .设2222:,0x y z a z Ω++≤≥，则d z v Ω
≠???（ C ）
(A).
222
d d d x y a x y z +≤?? (B).20
d d d a
r r z πθ??
(C). 222
d d d a
x y a z
x y +≤??? (D).2320
d d sin cos d a
r r ππ
θ??????
5. 设Ω由z =z =()x z dv Ω
+???=（ ）
（A ）0； （B ）
8π； （C ）8π-； （D ）4
π
6. Ω 是由曲面
22
,1,4x y z z z +===围成的区域，在柱面坐标系下(,,)d d d f x y z x y z Ω
=??? ( C )，其中f 为连续函数.
(A)
244
1
d d (cos ,sin ,)d f z z
πθρρρθρθ?
??;
(B)
2
244
1d d (cos ,sin ,)d f z z
πρθρρρθρθ???
;
(C)
21
4
1
d d (cos ,sin ,)d f z z πθρρρθρθ+?
??224
4
1
d d (cos ,sin ,)d f z z
π
ρ
θρρρθρθ???;
(D)
2440
1
1
d d (cos ,sin ,)d f z z πθρρρθρθ+?
??214
1
d d (cos ,sin ,)d f z z
πθρρρθρθ?
??
7. . 如图，正方形{}(,)||1,||1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，
cos k
k D I y xdxdy =??，则max k k
I =( A )
(A)1I ; (B) 2I ; (C) 3I ; (D) 4I .
二、填空题
1．计算下列积分 （1）
??≤+=+1
2
)(y x dxdy y x 3
1 。 解：
3
1
44
)(1021
,01
21
12
1
2
===+
=
+?
?????????-≥≥≤+≤+≤+≤+x y x y x y x y x y x dy x dx dxdy x ydxdy dxdy x dxdy y x 。 （2）=
??1 51 0
3
1
cos y
dx x y dy sin1 20
3
。 解：?
??
?=3 0
511 0 1 3511
cos cos x y dy x y dx dx x y dy 1sin 203)(cos 203cos 431 0 551 0 54===
??x d x dx x x 。 （3）=-??y dx x x
dy 221 1
sin cos1cos2-。 解：该积分不是二重积分的二次积分。
1cos 2cos sin 1sin 1sin 1
sin 21 121 2
2
1 2
2
1 -=-=--=--=-???????xdx dy x x dx dx x x dy dx x x
dy x y y 换序。
2．?
???-+=2
40
2
1
30
10
),(),(x x
dy y x f dx dy y x f dx I 在极坐标系下的二次积分
为=
I ?
?
ρρ?ρ?ρ?π
20
30 )sin ,cos (d f d 。
3.交换积分顺序 2
31
3
20010
d (,)d d (,)d x
x x f x y y x f x y y -+=
???
?
1320
d (,)d y y f x y x -?.
三、解答题
1．设区域D 为222R y x ≤+，求
dxdy b y a x D
??+)(22
22。
解法1：D 关于直线x y =对称，利用轮换对称性化简计算。
dxdy y b dxdy x a dxdy b y a x D
D
D
??????+=+2222222211)(
d x d y x b
d x d y y a D
D ????+222211 dxdy y x b dxdy y x a D D ????+++=)(21)(21222
222 dxdy y x b a D
??++=)()11(212222 )11(4)11
(212
24022022b a R d d b a R +π=ρρ?ρ?+??π。
解法2：根据积分区域形状选用极坐标计算。
?
???ρρ?
ρ+?ρ?=+π
R
D
d b
a d dxdy
b y
a x
2
2222220
22
22
)sin cos ()( )1
1(4)sin cos (2240320
2222b a R d d
b
a R +π=ρρ??+?=??
π
。
2．计算dxdy y x I D
??+=)cos(，D ：2
0 ,20π
≤≤π≤≤y x 。
解：直线2
π
=+y x 将积分区域D 分成两个子域21D D 和，且21D D D =。
dxdy y x dxdy y x dxdy y x I D D D
??????+-++=+=2
1
)cos()cos()cos(
?
???
π
ππππ--+-+=2
)cos()cos(0
00x x dy y x dx dy y x dx
??
π
ππππ-+--=220
2
20
2
]sin )[sin()sin (sin dx
x dx x 2)cos sin 2(20
-π=--=?
π
dx x x 。
3．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并设A dx x f =?1
)(，
求??10
1
)()(x
dy y f x f dx 。
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。
如图，D ：???≤≤≤≤110y x x ，1D ：?
??≤≤≤≤11
0x y y 。
1x
y
对换与y x dxdy
y b dxdy x a dxdy b y a x D
D
D
??????+=+222222221
1)(dxdy
y b dxdy x a dxdy b y a x D
D
D
??????+=+222222221
1)(dxdy
y b dxdy x a dxdy b y a x D
D D
??????+
=+22
22
22221
1)(极坐标 dxdy
y b dxdy x a dxdy b y a x D
D
D
??
????+
=+222222221
1
)(
dxdy
y b dxdy x a dxdy b y a x D
D
D
??
????+
=+2222222211)(
dxdy
y b dxdy x a dxdy b y a x D
D
D
??????+=+222222
22
1
1
)(2
π
∵????=D
x
dxdy y f x f dy y f x f dx )()()()(10
1 ??1
)()(D dxdy x f y f ，
∴??101)()(x dy y f x f dx ))
()()()((2
1
1
????+=D D
dxdy y f x f dxdy y f x f
2
10102
1)()(21)()(2
1
1
A dy y f dx x f dxdy y f x f D D =?=
=
????+。 解法2：更换二次积分顺序 ∵
??101
)()(x
dy y f x f dx ??10
)()(y
dx y f x f dy
??1
00)()(x
dy y f x f dx
∴])()()()([21)()(100101
101??????+=x x
x dy y f x f dx dy y f x f dx dy y f x f dx
2101010102
1
)()(21)()(21A dy y f dx x f dy y f x f dx ===????。
解法3：利用定积分换元法。
????=101101)(])([)()(x x dx x f dy y f dy y f x f dx ])([])([1
101???=x
x dy y f d dy y f
])([])([1
101
???-=x
x
dy y f d dy y f
2201
102
1
2
1
])([21])([21A dy y f dy y f x
==-=?
?。
解法3：利用分部积分
????=1011
1)(])([)()(x x dx x f dy y f dy y f x f dx ])([])([1
101
???=x
x
dy y f d dy y f
])([])([1
101
?
??-=x
x
dy y f d dy y f x
d x f dy y f dy y f dy y f x x
x
??
?
?
+?-=1011011)(])([))()((
???-=1
10
1
2)()(])([x
dy y f x f dx dy y f ??-=10
1
2)()(x
dy y f x f dx A ，
得所求二重积分的方程，解之得21012
1
)()(A dy y f x f dx x =??。
4．计算二重积分??D
ydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y ，2=y 以及曲线
22y y x --=所围成的平面区域。 解法1：?
???---=2
22
2
0y
y D
ydx dy ydxdy
对换与y x 换序 对换内外积分变量名
??--=2
2
20
22dy y y y ydy
?---=2
2
)1(14dy y y
u y =-1令?--+-11
21)1(4du u u .2
4141
1
2π
-=--=?
-du u
解法2：??????-=
+1
1
D D D D
ydxdy ydxdy ydxdy ?
??π
πρ?ρρ?-=sin 20
2
sin 4d d
2
4]24cos 12sin 21[1284sin 3842
2
4π-=??++?--=??-=??ππππd d .
5．求由曲面228y x z --=，22y x z +=所围立体的体积。
解法1：两曲面的交线?????==+??????+=--=
44
8222
222z y x y x z y x z 。 故所求立体Ω在xoy 面上的投影区域为}4),{(22≤+=y x y x D 。 σ+-σ--=????d y x d y x V D
D
)()8(2222
σ----=??d y x y x D
)8(2222σ+-=??d y x D
])(28[22
ρρρ-?=??
π
d 2 0 22 0
)28(d π=ρ-ρ?π=16)2
1
4(220
42
解法2：?
?????ρ-ρΩ
π
ρρ?==2
82
2
20
dz d d dV V π=ρ-ρπ=ρρ-ρπ=?16]2
14[2)28(22
042202d 。
解法3：?????????Ω
+==84)
(24
)
(1z D z D dxdy dz dxdy dz
dV V ??π=-π+π=8
44
016)8(dz z zdz 。
6．设???Ω
=dV z y x f I ),,(，其中Ω是由4222≤++z y x 和z y x 322≤+围成的区域，试
在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I 化为三次积分。 解：（1）在直角坐标系下，
两曲面的交线为????
?==+??????=+=++ 13
342222222z y x z y x z y x ， xoy 在Ω面上的投影区域为}3),{(22≤+=y x y x D xy 。
?
?
?--+----=2243
2
223233
3
),,(y x y
x x x dz z y x f dy dx I 。
（2）在柱面坐标系下，
}43
,30 ,20),,{(2
2ρ-≤≤ρ≤ρ≤π≤?≤?ρ=Ωz z ，dz d d dV ?ρρ=，
?
?
?ρ-ρπ
?ρ?ρρρ?=243
23
20),sin ,cos (dz z f d d I 。
（3）在球面坐标系下，21ΩΩ=Ω ，
}20 ,3
0 ,20),,{(1≤≤π
≤θ≤π≤?≤?θ=Ωr r ，
}sin cos 30 ,23 ,20),,{(22θ
θ
≤≤π≤θ≤ππ≤?≤?θ=Ωr r ， ?θθ=d drd r dV sin 2。
?????????ΩΩΩ
+==2
1
),,(),,(),,(dV z y x f dV z y x f dV z y x f I
dr r r r r f d d ?
?
?θ?θ?θθθ?=ππ
2
23020
)cos ,sin sin ,cos sin (sin
dr r r r r f d d ?
?
?θθππ
π
θ?θ?θθθ?+2sin cos 30
2220
)cos ,sin sin ,cos sin (sin
7、计算2
2
()d I x y V Ω
=+???，其中Ω为平面曲线220y z
x ?=?=?绕z 轴旋转一周形成的的曲
面与平面8z =所围成的区域.
解：旋转曲面的方程为22
2
x y z +=，
因此224
8
2
02
d d d r I r r r z π
θ=?
??2
4
3
02(8)d 2r r r π=-?10243π=
或 228
220
2d ()d d x y z
I z
x y x y +≤=+???
8230
d d d z r π
θ=??1024
3
π=
8
、计算Ω
，其中
是由yoz 面上的区域绕轴旋转一周而成的空间
区域，其中{}22(,)1,21,0,0D y z y z z y y z =+≤≥-≥≥。
解: 利用“先二后一”法将区间分为两部分
：
，
：
，
则原式
1
-
第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则
?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ?? ?? ? ????? +----=1 10 2210 10 2 2 101 02210 10221 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 2 2222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求
第九章 重积分 A 1、 填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1）()=?? -dx y x f dy y y 10 2,______________________________________________ （2）()=??dx y x f dy y y 2 022,______________________________________________ （3）()=? ?dx y x f dy y 1 00,_______________________________________________ （4）()=?? ---dx y x f dy y y 1 1122 ,___________________________________________ （5） ()=?? dy y x f dx e x 1ln 0 ,______________________________________________ （6） ()()=?? ---dx y x f dy y y 40 42 1 4,________________________________________ 2）积分 dy e dx x y ? ?-2 2 2 的值等于__________________________________ 3)设(){} 10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D ??+=的 值则 。 4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2??+=与()σd y x I D 3 ??+=的大小________________________________ 5）设()??? ? ??≤ ≤≤ ≤=20,2 0,ππ y x y x D ，则积分()dxdy y x I D ??+-=2 sin 1 ___________________________________________ 6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ???Ω =xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________ =I 7）设Ω是由球面222y x z --= 与锥面22y x z +=的围面，则三重积分 dxdydz z y x f I ???Ω ++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为 2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值
第九章二重积分习题课 高等数学课讲教案主讲人 课题第九章重积分习题课 目的任务使学生进一步理解本章的知识要点，熟练重积分的计算。 重点难点本章知识要点的进一步理解，重积分计算的熟练掌握。 教学方法讲授法 使用教具 提问作业 备课时间年月日上课时间年月日 查阅抽查 一、本章内容小结 1. 二重积分的定义及其几何意义 1) 重积分的定义: 2) 说明: n * 二重积分是和式的极限值，故是一个数，这个数只与被积函数 f(,,,),,,iii,1i 及积分区域有关，与积分变量的字母无关，即有 f(x,y) f(x,y)d,,f(s,t)d,,,,,DD * 和式的极限若存在，则与区域D如何划分及点如何选无关，为此常选方便(,,,)ii计算的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割区域，则，此时二重d,,dxdy 积分 f(x,y)d,,f(x,y)dxdy,,,,DD
D * 若函数在有界闭区域上连续，则函数在上的二重积分总存在，称 f(x,y)f(x,y) D函数在上可积。 f(x,y) 3) 重积分的几何意义. 2. 二重积分的性质: 注意性质所适用的条件，中值定理的几何意义 3. 二重积分的计算法: 二重积分的计算法采用累次积分，即把二重积分化为二次积分，通过两次定积分的计算即求得二重积分值，分以下两种情况。 y,x,1) 在直角坐标系下:将区域划分为型或型计算. 2) 在极坐标系下:将区域按照与极点的位置来划分并计算. * 两种坐标系的适用范围、面积元素、表达式及变量替换对照表如下: 直角坐标极坐标 积分区域矩形、三角形或任意形圆形、环形、扇形 dxdyrdrd,面积元素 x,rcos,y,rsin,变量替换 f(x,y)dxdyf(rcos,,rsin,)rdrd,积分表达式 ,,,,DD * 计算二重积分关键步骤是确定累次积分的上、下限，而上、下限的确定关键在于正确画出积分区域草图和正确运用不等式表示积分区域，把不等式小的一端列为积分下限，大的一端为积分上限。注意:先一次积分的上、下限一般是后面积分变量的函数，且最后一次积分的上、下限应是常数。 d,,rdrd,* 若在极坐标系中要注意，不能丢:正确写出积分区域的边界曲线在r 极坐标系下的方程;选正确公式。 4. 二重积分的应用:
(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
第九章二重积分 【考试要求】 1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义． 2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法． 【考试内容】 一、二重积分的相关概念 1．二重积分的定义 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域 ?σ1，?σ2，，?σn，其中?σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个?σi上任取一点 n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi?)σi i（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)?σii i=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存 在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作??f(x,y)dσ，即 D n iii??f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)?σ Dλ→0． i=1 其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)?σii i=1ni叫做积分和． 说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作 ??f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素． D 2．二重积分的几何意义 一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0， 的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果 而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的， D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差． 3．二重积分的性质 （1）设α、β为常数，则
第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?
二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）
第九章 二重积分 习题9-1 1、设??+= 1 3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 322 2)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有 0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有 ????=1 ),(2),(D D d y x f d y x f σσ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos .
解：令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0 第九章 重积分 第六讲 三重积分、重积分应用习题课 教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活 的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算 教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及 各是如何化为三次积分． 教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程 一、知识回顾 1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标. (2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算 曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域 物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性. 二、练习 1．将I= zdv Ω ???分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下 的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面 z=2 2 2y x --及z=x 2+y 2 所围成的闭区域. 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标 平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及2 2y x z +=，而由这两个方程所组成的方 程组z z ?=?=? 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标 系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可． 解 将Ω投影到xoy 平面上， 由z z ?=?=?消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)， 或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2 =1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2 ≤1 ． 为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰 到的曲面为2 2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1) (1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积 分．因此再由D ：x 2+y 2 ≤1，有22y x z +=≤222y x z --= ，于是在直角坐标下，Ω 可表示为 Ω :22y x y z ??≤??+≤≤?， 于是有 I=??----2 2 111 1 x x dy dx ?--+2 22 22y x y x zdz . (2) 柱面坐标下 首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2 表示为z= 2ρ，z=2 22y x --表示为z=2 2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可 表示为 Ω：??? ? ???-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz 《高等数学Ⅰ》练习题 系 专业 班 姓名 学号 6．1 二重积分（1） 一．选择题 1．设积分区域 D 是4122≤+≤y x ，则??D dxdy = [ B ] （A ） π （B ）3 π （C ）4 π （D ）15 π 2．设积分区域 D 是1≤+y x ，则??D dxdy = [ B ] （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 3．设平面区域 D 由1,21 =+=+y x y x 与两坐标轴所围成，若??+=D dxdy y x I 91)][ln(， ??+=D dxdy y x I 92)(，??+=D dxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ] （A ） 321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤ 4．设区域 D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则??D xydxdy ＝ [ D ] （A ） 41 （B ）81 （C ）121 （D ）24 1 二．填空题 1．设区域 D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 2 ??≤++≤D dxdy y x )1( 8 2．设 ??≤+++= 10||||22sin cos 100y x y x d I σ ，则I 的取值范围是≤≤I 2 3． 1 2 x dx xy dy ?? 三．计算题 1．设区域 D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求 ??-D dxdy x y xy )( 解：原式= 1 1 1 22 1 1 12 ()03 ----==? ?? dx xy x y dy xdx 二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×） 二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序 高等数学（2）第11章重积分典型例题解析 例1 填空 （1）根据二重积分的几何意义， ?? --D y x y x d d R 222= 。（其中 {}222),(R y x y x D ≤+=） （2）累次积分 ? ? x x y y x f x d ),(d 1 交换积分次序后，得到的积分为 。 （3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D (,)d d ??在直角 坐标系下化为累次积分的结果是 。 解（1）由二重积分的几何意义，?? --D y x y x d d R 222表示球心在圆点，半径为R 的 上半球体的体积，故为3 3 2 R π。 应该填写：3 3 2R π。 （2）由已知的累次积分，得积分区域为? ??≤≤≤≤x y x x 1 0，若变换积分次序，即先积x 后 积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是 y 的函数，因此积分区域应表为?? ?≤≤≤≤1 02y y x y ，于是交换后的积分为??y y x y x f y 2d ),(d 10。 应该填写： ? ?y y x y x f y 2 d ),(d 10 。 （3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式 组?? ?≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得???≤≤-≤≤-0 21 1y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以 可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填 ? ?--0 2 1 1 d ),(d x y x f y ，反之应填 d d x f x y y (,)--?? 2 1 1。 应该填写： d d x f x y y (,)--?? 2 01 1或??--02 1 1 d ),(d x y x f y 例2 单项选择 （1）二重积分 x x y x y 2 d d 14 22≤+≤??可表达为累次积分（ ）。 A. d d θθπr r 321 2 2cos ??； B. r r 321 2 2d d cos θθπ??； 三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲 第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) D σ，其中D 为222x y a +≤； (2) (D b σ?? ，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1) 32 π3 D a σ=； (2) 2 32(ππ3D b a b a σ=-?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D Q x y μσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D p g x ρσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1) 21()d D I x y σ=+??与32()d D I x y σ=+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2) 1ln(1)d D I x y σ=++??与222ln(1)d D I x y σ=++??，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3) 21sin ()d D I x y σ=+??与22()d D I x y σ=+??，其中D 是任一平面有界闭区域； (4) 1e d xy D I σ=??与22e d xy D I σ=??，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++?? ； (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ? ?=+=≤+≤??????； (3) 221 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++?? ； (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+? ?==+≤??? ??? 解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111 ln16ln(4)ln 4 x y ≤≤++，而等号不恒成立，故 816ln 2ln 2 I <<； (2) 由于22π3π(,)44D x y x y ? ?=≤+≤????的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不 恒成立，故22 π42 I <<； 题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ） 16 （B ）112 （C ）12 （D ）1 4 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2 D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =??__________1 22 (,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ） 1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)1 1 2 11 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 1 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 1 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D) 2 1 (,)dy f x y dx -? ? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分 为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C) 2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分 21 10 2 (,)y dy f x y dx ?? 可交换积分次序为 (A) 1 1 (,)(,)dx f x y dy f x y dy +? 第九章 重积分 一、基础题: 1．设1 223 1()D I x y d σ= +??其中1{(,)|11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又 2 2232()D I x y d σ=+??其中2{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤试利用二重积分的几何意义说 明1I 与2I 之间的关系． 解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面2 23 ()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面2 23 ()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积（图9-1）由于1D 位于上方的曲面2 23 ()z x y =+关于yOz 面和面zOx 均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分既为2Ω．由此可知 124I I = 2．设积分区域D 由圆2 2 (2)(1)1x y -+-=所围成, 且()k k D I x y dxdy =+?? (1,2,3)k =, 试 讨 论 1 I , 2 I , 3 I 的大小关系 . 图9-1 解 因为当(,)x y D ∈时, 13x ≤≤, 05y ≤≤, 因此, 15x y ≤+≤, 故有 231()()()x y x y x y ≤+≤+≤+由二重积分的保号性便得 1I <2I <3I ． ３．利用二重积分的性质估计下列积分的值 (1) ()D I xy x y d σ=+??.其中{(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤}； (2) 22 (49)D I x y d σ= ++?? ，(其中22{(,)|4}D x y x y =+≤) 解 (1) 在积分区域D 上，01,01x y ≤≤≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等于1，因此 0()2D xy x y d σ≤ +≤??． （２） 因为在积分区域D 上有2 2 4x y +≤，所以有 22229494()925x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此 22 36(49)100D x y d πσπ≤ ++≤?? ４． 证明不等式 22 1(cos sin )D y x d σ≤ +≤?? 其中D ：01,x ≤≤01y ≤≤． 证 由对称性知, 22cos cos D D y d x d σσ=????, 于是 22(cos sin )D y x d σ+??==22 (cos sin )D x x d σ+?? 2sin()4D x d πσ+ , 第九章 重积分练习题 1、计算 ,D xyd σ??其中D 是由直线1,2y x ==及y x =所围成的闭区域。 2 、计算D σ??, 其中D 是由直线1y x x ==-、和1y =所围成的闭区域。 3、计算二重积分,D xyd σ??其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域。 4、计算2,y D e dxdy ?? 其中D 由,1y x y ==及y 轴所围。 6、计算二重积分 ,x y D e dxdy +?? 其中区域D 是由0,1,0x x y ===, 1y =所围成的矩形。 7、交换二次积分 1100(,)x dx f x y dy -??的积分次序。 8、交换二次积分 210(,)x x dx f x y dy ??的积分次序。 9、证明()()000()()()a y a b x a b x a dy e f x dx a x e f x dx --=-???其中a 、b 均为常数, 且0a >。 10 、交换二次积分 1220010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+???的积分次序。 11 、交换二次积分2(,)(0)0a dx x y dy a >??的积分次序。 12、计算积分 //1/21.1/41/21/2y x y x I dy dx dy dx y = +??? 13、计算22,D x y dxdy ?? 其中区域D |||| 1.x y +≤ 14 、变换下列二次积分的次序： 011(,).x dx f x y dy -+? 15、计算22 ,D x d y σ??其中D 是由直线2,x y x ==及双曲线1xy =所围成的区域。 16、计算二次积分 1120sin .x dx y dy ?? 17、计算22(),x y D e d σ-+??其中D 是由圆222x y R +=所围成的区域。 18、计算二重积分22,1D dxdy x y ++?? 其中D 是由221x y +≤所确定的圆域。 19 、计算D ??, 其中积分区域D 是由2214x y ≤+≤所确定的圆环域。 第十章 重积分练习 结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则 ?? ????? ??=--=-=D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1 ),(),(),(2),(),(0),(时 当时当σ σ 结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则 ?? ????? ??=--=-=D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1 ),(),(),(2),(),(0),(时 当时当σ σ 结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则 ?? ????? ??=---=--=D D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1 ),(),(),(2),(),(0),(时 当时当σ σ 其中}0, ),(),{(1≥∈=x D y x y x D 结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则 ???? =D D d x y f d y x f σσ),(),( 练习1 1.求σ-=?? d x y I D 2 ，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤- 2.证明?? ?-= x a b a b a dy y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续） 3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ?->b a b a a b dx x f dx x f 2 )() (1)([整理]三重积分重积分习题.
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