重积分练习题
A
一、填空题
1.
2
22
x y R σ+≤=??
3
23
R π; 2.
1
(1)x y x y d σ+≤++=??
2;
(对称性及积分性质3) 3. 将二重积分
(,)D
f x y d σ??化为二次积分
1
(,)(,)(,)x y
f x y dx f x y dy f x y dy =+?,其中D 为
,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域;
4. 改变积分次序 (1)2
120
(,)y
y dy f x y dx -=??
1
220
1
(,)(,)x
dx f x y dy dx f x y dy -+?
??
;
(2)
1
20
(,)x
x
dx f x y dx -=?
?
1
220
1
(,)(,)y y
dy f x y dx dy f x y dx -+?
???
;
5. 将二重积分
(,)D
f x y d σ??
转化为极坐标系下的两次单积分2cos 20
(cos ,sin )d f d π
θ
θρθρθρρ??
,其中
D
为0,y y ==
6. 将三重积分
(,,)f x y z dv Ω
???
化为三次积分
1
10
(,,)x
xy
dx dy f x y z dz -?
?
?,其中Ω为z xy =,
1,0x y z +==所围成的封闭区域;
7.
将
三重积分
(,,)f x y z dv
Ω
???化为柱面坐标系下的三次积
分
21
(cos ,cos ,)d d f z dz π
ρ
θρρρθρθ?
?,其中Ω
为z =
,z =所围成的封闭
区域.
二、计算题 1. 计算二重积分D xydxdy ??,其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域;
解:
3321
21
1111()10ln 322
x
x
D
xydxdy dx xydy x x dx x ==-=-???
??
2. 计算二重积分
()D
x y dxdy +??,其中D 是由,2,1y x y x y ===所围成的区域;
解:1
1
12200022
177
()()()2824y y
y y D
x y dxdy dy x y dx x xy dy y dy +=+=+==??????
3.
计算二重积分
D
,其中D : 22(1)1x y -+≤;
解:极坐标系下,由对称性
2cos 2
3220
01632
2cos 39
D
d d d π
πθ
θρρθθ===??
?
4. 计算二重积分
2211D
xy
dxdy x y +++??,其中D :221,0x y x +≤≥;
解:由对称性
1
22222211
0,2111D D D xy dxdy dxdy dxdy x y x y x y ==++++++??????,其中1D 为D 的第一象限部分 所以原式1
1
22
2
20
01
2
2ln 2112
D dxdy d d x
y
π
ρπ
θρρ===+++????
5.
计算三重积分
Ω
???,
其中Ω
是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域;
解:运用柱面坐标系
2
2cos 2cos 2
2220
22
320
2
48cos 3
9
a
a d d zdz d d a a d π
π
θ
θ
π
θρρθρρ
θθΩ
==
=
=
?????
?
?
?
?
6. 计算三重积分
3
z dv Ω
???,其中Ω
:1z ≥≥
解:运用先重后单法
222
1
1
3
3
50
6
x y z z dv z dz
dxdy z dz π
πΩ
+≤===
???????
B
1.
计算二重积分
D
,其中D 是由,1,0y x y x ===所围成的区域;
解:
31
11222
000
2122()339y
D
dy y xy dx y dx y ??==--==??????
??.(要先对y 积)
2. 计算二重积分sin sin sin D
x
dxdy x y +??,其中:0,0D x y ππ≤≤≤≤; 解:由对换对称性,sin sin sin sin sin sin D D
x y
dxdy dxdy x y x y =++??
??, 所以2sin 1sin sin 11
()1sin sin 2sin sin sin sin 22D D D
D x x y dxdy dxdy dxdy dxdy x y x y x y π=+==+++??
??????. 3.
计算二重积分
)D
y dxdy ??
,其中D 为224x y +=和22(1)1x y ++=所围成的区域;; 解:记1D :2
24x y +≤,2D :22
(1)1x y ++≤,由对称性
1
2
)D
D
D D y dxdy ==-???? 322
2cos 2
22
0002
1632
39d d d d ππ
θ
πθρρθρρπ-=-=
-????
4. 设直线l 过点(1,0,0)A 和(0,1,1)B 两点,将l 绕z 旋转一周所得旋转曲面为∑,∑与平面0z =和2z =所围成的立体为Ω,求Ω的形心坐标(即密度为1时的质心坐标).
解:直线l 的参数1,,x t y t z t =-==,所以∑的方程为222
122x y z z +=-+,由对称性 0,0x y ==,2
2
2
222
2
2
2
12202
2
2
122(122)75
(122)x y z z x y z z zdz
dxdy
zdv z z z dz z dv
dz
dxdy
z z dz +≤-+Ω
Ω
+≤-+-+=
=
==-+?
??
????????
??
?
5. 设函数()0f x >且连续,222()
22
()
()()()t D t f x y z dv F t f x y d σ
Ω++=
+???
??
,22()
2
()()()D t t
t
f x y d G t f x dx
σ
-+=
??
?
,
其中2
2
2
2
2
2
2
(){(,,)|},(){(,)|}t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤=+≤. (1) 讨论()F t 在(0,)+∞内的单调性; (2) 证明当0t >时,2
()()F t G t π
>.
(1)解:
222222220
()
()sin ()4()t t
t f x y z dv d d r f r dr r f r dr π
πθ??πΩ++==???
????
222220
()
()()2()t
t
D t f x y d d rf r dr rf r dr π
σθπ+==?????,所以2202
02()()()t
t
r f r dr
F t rf r
dr =
??,
222222220
022
2
2
02[()()()()]
2()[()()()0(())
(())
t t
t
t
t
t f t rf r dr tf t r f r dr f t tr t r f r dr
F t rf r dr rf r dr --'=
=
>?????
所以()F t 在(0,)+∞内的单调递增; (2)因为
220
()2()t
t
t
f x dx f r dr -=?
?,所以202
()()()t
t
rf r dr
G t f r dr π=
??
,
令22222222
000
2
2
2
2
00
2()2()[()][()][()]2
()()()2
()()[()][()]
t
t
t
t
t
t
t
t
t
r f r dr
rf r dr
r f r dr f r dr rf r dr h t F t G t rf r
dr
f r dr
rf r dr f r dr π
-=-
=
-
=????????
??,
2
2
2
220
()[()][()][()]t t
t v t r f r dr f r dr rf r dr =-???,则(0)0v =,
当0t >时,22
2222220
()()
()()()2()()t
t
t
v t t f t f r dr f t r f r dr tf t rf r dr '=+-?
??
22222220
()(2)()()()()0t t f t t r tr f r dr f t t r f r dr =+-=->??
所以当0t >时,()(0)0v t v >=,所以2
2
2
2()
()()()0[()][()]
t
t
v t h t F t G t rf r dr f r dr π
=-
=
>???,
即2
()()F t G t π
>
.
1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域,化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2,. (5)在极坐标系中,面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ,,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.
定积分测试题及答案 班级: 姓名: 分数: 一、选择题:(每小题5分) 1.0=?( ) A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??02sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a 8.函数F (x )=??0 x t (t -4)d t 在[-1,5]上( ) A .有最大值0,无最小值 B .有最大值0和最小值-323 C .有最小值-323,无最大值 D .既无最大值也无最小值 9.已知等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,函数f (x )=??1 x 1t d t ,若f (x ) 1 2 1 2 2 5 L L ? ? ? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题 10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分: (1) I = ? L xds ,其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B ( , - ) 之间的一段劣弧; 解: (1 + ) . (2) ? L (x + y +1)ds ,其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0) 及 B (0,1) 所成三角形的边界; 解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 . (3) ? x 2 + y 2 ds ,其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ; 解: ? x 2 + y 2 ds = 2 . (4) x 2 yzds ,其中 L 为折线段 ABCD ,这里 A (0, 0, 0) , B (0, 0, 2), C (1, 0, 2), L D (1, 2, 3) ; 解: ? L x 2 yzds = 8 . 3 z B (0, 0, 2) D (1, 2,3) C (1, 0, 2) 2 求八分之一球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心,设曲线的密 度 = 1 。 解 故所求重心坐标为? 4 , 4 , 4 ? . A (0, 0, 0) y x 3 3 3? 习题 10—2 1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b ( b 为常数),证明 1 2 y A C o x B ? ? ?L x - y + z = 2 , ? 证明:略. 2 计算下列对坐标的曲线积分: ?L Q (x , y )dy = 0 。 (1) ? L xydx ,其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2 4 解 : ? L xydx = 5 。 (2) (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ,其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到 L x = 2 时的点的一段弧; 解 (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy = 4 . L 3 (3) ? L ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧; 解 ?L ydx + xdy = 0. (4) xy 2dy - x 2 ydx ,其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点,经过点C (a , 0) L 到终点 B (0, -a ) 的路径; 解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4 。 4 (5) ? L x dx + 3zy dy - x ydz ,其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ; 3 2 2 0 3 87 解 ? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4 ?x 2 + y 2 = 1 , (6) I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz , L 为椭圆周? 且从 z 轴 ? 正方向看去, L 取顺时针方向。 解: = -2 。 习题 10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则: 第十章 重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值 dxdy y x I D ??+=22 其中D 为:422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2.4..312.4.= -) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π,求a 的值。 解: dxdy y x a D ?? --2 2 2 =3 .34.21a π 81 =a 3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解:由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D :}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x , ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(,比较1I , 与2I 的大小关系 解:在D 上,)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I 5、 设f(t)连续,则由平面 z=0,柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的 立体的体积,可用二重积分表示为??≤+=1 :222)]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤) 7、设f(x,y)为有界闭区域D :222a y x ≤+上的连续函数,求 ??→D a dxdy y x f a ),(1 lim 2 0π 解:利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 第十章 总积分习题解答 第12次课 二重积分的概念及性质 1、 略 2、根据这三点可知区域: 2 120ln()10[ln()]ln() x y x y x y x y ≤+≤?<+<+<+ 由二重积分的性质即得到:2 0[ln()]ln()D D x y d x y d σσ<+<+???? 2、 提示:对于二重积分 (,)D f x y d σ??,根据题设条件: (1) 积分区域是对称的 (2) 被积函数(,)f x y 的奇偶性(注意一定要判定) 据(1)、(2)可得答案依次为:成立、不成立、成立 3、 与3题方法一样:答案依次为:0、0、0、0。 4、 按照二重积分的定义(几何意义),答案:6π 5、 22 221 0ln()02 x y x y <+≤?+<,再由积分中值定理,可得: 符号为负 提高题:当00,0x y ρ+ →?→→ 再由积分中值定理: 222 222 2(,)(,) (,)x y x y f x y d f d f σσσεησπεησ+≤+≤==?? ?? (1) 将(1)代入所求式子: 222 222 00 2 00 1 1 lim (,)lim (,)lim lim (,)lim x y x y x y I f x y d f d f σσσσσσσεησ π π εησ+ ++ +→→→+≤+≤→→→===?? ?? 由(,)f x y 的连续性,有: 00 lim (,)=(0,0)x y f f εη→→ 故而:0I = 第13次课 二重积分的计算法 1、 (1)根据积分区域: 11,11x y -≤≤-≤≤ 1 1 22221 1 8 ()()3 D x y d dy x y dy σ--+=+=???? 或者:根据对称性质: 2222882()233D D D y d x y d x d σσσ==+==?????? (2)根据积分区域: 0000 cos()(sin 2sin )11(cos 2cos 2cos cos ) 22() 232 x xdx x y dy x x x dx x x xdx x x xdx π π π π π π π π ππ+=-=---+=-+=? ???? (3)根据积分区域 3 2 22 2 22 0235222 22 2 00 2(4)311264 (4)(4)(4)335 15 D xy d xdx y dy x x dy x d x x σ==-=- --=--= ??? ?? (4)根据对称性: 1:0,0,1D x y x y ≥≥+≤ 1 110 1 12200()4()4()14 4((1)(1))2(1)23 y D D x y dxdy x y dxdy dy x y dx y y y dy y dy -+=+=+=-+-=-= ?????? ?? P45 第十章《重积分》自测题 一、单项选择题 1.设1D 是正方形域,2D 是1D 的内切圆,3D 是1D 的外接圆,1D 的中心点在(1,1)-,记 22 1 221y x y x D I e dxdy ---= ??,22 2 222y x y x D I e dxdy ---= ??,22 2233 y x y x D I e dxdy ---= ??则123,,I I I 大小 顺序为( B )。 (A )123I I I ≤≤;(B) 213I I I ≤≤;(C )321I I I ≤≤;(D )312I I I ≤≤。 2.D=}2 1 ,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D )(2 2??+=( A ) (A)? - 1 2 1dx dy y x x x )(2 2 112 2? ---+ (B) dy x x ? ---2 2 11? - +12 12 2)(dx y x (C) ? - 12 1dx dy y x x )(2 12 12 2? -- + (D) ? - 12 1dx dy y x )(1 2 12 2? - + 3.改变12 2 2 111 2 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx + ??? ?的积分次序,则下列结果正确的是(A ) (A )??21 1),(x x dy y x f dx (B )??2 1 1 ),(x x dy y x f dx (C )??31 1),(x x dy y x f dx (D )??1 3 11 ),(x x dy y x f dx 4.已知D 是正方形域:11,02x y -≤≤≤≤,则2 D I y x dxdy = -?? 的值为( D ) (A ) 23 ; (B ) 43 ; (C ) 2115 ; (D ) 4615 5.设D :2222 ,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>,则(,)D f x y dxdy ??可化为( D )。 (A )cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π θθθ θθ?? ; (B )sin 402(cos ,sin )a a d f r r rdr π θθ θθ?? ; (C )sin 400 (cos ,sin )a d f r r rdr π θ θ θθ?? +sin 2 cos 4 (cos ,sin )a a d f r r rdr π θπθ θ θθ?? ; (D ) sin 40 (cos ,sin )a d f r r rdr π θθ θθ? ? + cos 2 4 (cos ,sin )a d f r r rdr π θπ θ θθ?? 6.Ω由不等式2 2 y x z +≥,222 (1)1x y z ++-≤确定,则???Ω dv z y x f ),,(=(D ) 第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部, 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域, 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域,1D 是D 位于第一象限的部分,则[B ] (A )()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? (B )()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? (C )()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? (D )()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x , 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5.222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥,其中0a >,则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ? 第十章重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D ??+=22 其中D 为:422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2. 4. . 312. 4. = - 2、设D 为圆域, 0, 222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π,求a 的值。 解: dxdy y x a D ?? --2 2 2 =3 . 34. 21a π 81 =a 3、设D 由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解:由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D :}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x , ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221][ln(, ln(,比较1I , 与2I 的大小关系 解:在D 上,ln(y x +≤ 2][ln(y x +, 故1I ≤2I 5、设f(t连续,则由平面 z=0,柱面 , 122=+y x 和曲面2]([xy f z =所围的立体的体积,可用二重积分表示为??≤+=1 :222]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0, 0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤ 7、设f(x,y为有界闭区域D :222a y x ≤+上的连续函数,求??→D a dxdy y x f a , (1 lim 2 0π 解:利用积分中值定理及连续性有 0, 0( , (lim , (1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ § 2 二重积分的计算法 1、设?? +=D dxdy y x I 1,其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x,x=0所围成的区域,则I=() A : 2 三重积分的计算方法介绍: 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看: 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ,再做二重积分??D d y x F σ),(,就是“投 影法”,也即“先一后二”。步骤为:找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点(x,y )“穿线”确定z 的积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分,完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ,就是“截面 法”,也即“先二后一”。步骤为:确定Ω位于平面21c z c z ==与之间,即],[21c c z ∈,过z 作平行于xoy 面的平面截Ω,截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(,完成 了“先二”这一步(二重积分);进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ,完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f (z )仅为z 的函数(与x,y 无关),且z D 的面积)(z σ容易求出时,“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算,还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑:将积分区域Ω投影到xoy 面,得投影区域D(平面) (1) D 是X 型或Y 型,可选择直角坐标系计算(当Ω的边界曲 第九章 重积分 (A) 1.填空题 (1) 设()y x y x P 2,=,()23,y x y x Q =,定义于:D 10< 第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义,?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2)设?-=1110)(2dx x f ,则?-=1 1)(dx x f _____5____, ?-=1 1)(dx x f ____-5___,?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 (1) 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 (B ) .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定 三、计算题 1.估计积分的值:dx x x ?-+3 121 解:设1)(2+=x x x f ,先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值, ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ,由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续,且?- =10)()(dx x f x x f ,求函数)(x f . 解:设 a dx x f =?10)(,则a x x f -=)(,于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010, 得41=a ,所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解:原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解:原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解:原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x 第二十一章 重积分 5三重积分 一、三重积分的概念 引例:设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z),为求V 的质量M , 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i n i i i i T V f ?∑=→10 ),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 概念:设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ,把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n),T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i n i i i i V f ?∑=1 ),,(ζηξ. 定义1:设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数,J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对于V 的任何分割T ,只要T <δ,属于分割T 的所有积分和都有 J V f i n i i i i -?∑=1 ),,(ζ ηξ<ε,则称f(x,y,z)在V 上可积,数J 称为函数f(x,y,z) 在V 上的三重积分,记作J=???V dV z y x f ),,(或J=???V dxdydz z y x f ),,(,其中 f(x,y,z)称为被积函数,x, y, z 称为积分变量,V 称为积分区域. 注:当f(x,y,z)=1时,???V dV 在几何上表示V 的体积. 重积分习题参考答案 习题11-1 1.(,)D Q x y d μσ=??. 3.(1)0; (2)0; (3)124I =I 4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I . 5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤. 习题11-2(A) 1.(1)4 0(,)x dx f x y dy ??或240 4 (,)y y dy f x y dx ??; (2)122 2012 2 (,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy +????或2 122 012 2 (,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +????; (3)1 01(,)x dx f x y dy -?或1 1(,)y dy f x y dx -?; (4)2 2 4 (,)x x f x y dy -?或240 2 (,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +??. 2.(1)4 02 (,)x dx f x y dy ??; (2) 10 1(,)y dy f x y dx ?? ; (3)1 102(,)y dy f x y dx -??; (4) 1 (,)y e e dy f x y dx ? ?. 3.(1) 203; (2)32π-; (3)655; (4)64 15; (5)1e e -- 4.(1)92; (2)21122e e -+. 5.335 . 6.(1)20(cos ,sin )b a d f r r rdr πθθθ??; (2)2cos 20 2(cos ,sin )d f r r rdr π θ πθθθ- -??; (3)1 (cos sin )20 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθθθ-+??; 二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D :0y ≤,0x a ≤≤,由二重积分的几何意义 计算d D x y 解:d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤,则2dxdy =?? 解:2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解:2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??,其中D 是由直线2,,2=-=x x ;1,1=-=y y 围成的矩形。 解:σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分,求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解: 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解: 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一.判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.(√) 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? (×) 二.填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤,则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ,其中2:0D y x ≤≤,01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤,1y ≤,则??(sin x x -)d d x y = 0.0 5.交换积分次序 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)
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重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)
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[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202
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