y
x
第十一章 动量矩定理 习题解
[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，3
2
1t =
?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解：
)(1223|2
2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?==
t t dt
d
dt dx v C Cx
6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?==
t t dt
d
dt dy v C Cy
8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?==
2323)21(t t dt d dt d ===
?ω )/(622
3
|22s rad t =?==ω
→
→→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω
→
→
-+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2
ωρ
→
=→
?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2
2
→
=→
=k L t O 15|2 )/(2
s m kg ?，→
k 是z 轴正向的单位向量。
[习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解：
g
Pl l g P J AB
z 3312
2,=
??=
平动
)(a O 转动
绕定轴C )(
b 转动
绕定轴1 )(O
c 1
O 在圆弧上作纯滚动
)(d g
l R W l g W g J l z 4)
4(R W 412222,+=
?+??=圆盘
ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4)
4(3[222g l R W g Pl L z ++=
ω)4443(
2
2
2
g
WR
g Wl g Pl L z ++= ω4333(2
22g
WR g Wl g Pl L z ++=
ω)433(
2
2R g
W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a
因为圆盘作平动，所以
ωω211ml J L z O O ==
解：)(b
→
→
→
→?+=p r L L C C O 1
其中，质心C 的动量为0
ωω22
1
1mR J L Cz O =
= 解：)(c
ωω)2
1
(2211ml mR J L z O O +==
解：)(d
因为圆盘作平面运动，所以：
)(11→
+=C Z O Cz O v m M J L ω
→
A v B
v )(21
21l R mR mR L O +-=ωω ωω)2
1
()21(2221
l R mR m Rl R R L O -=--= [习题11-4] 均质直杆AB 长为l ，质量为m ，A 、B 两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。求该杆对质心C 和对固定点O 的动量矩C L 和O L （表示为?和?
??的函数）。 解：(1) 求C L
?cos l y A =
????sin sin ??-=?-==l l dt
dy v A
A
?sin l x B =
????cos cos ?
?
=?==
l l dt
dx v B
B ??
===??
??ωcos cos l l BI v B AB
（逆时针，转向如图所示） )(→
+=C C AB C C v m M J L ω
0+=AB C C J L ω
?=?2
121ml L C
→?→=k ml L C ?2
12
1
（2）求O L
???cos 2
cos 24cos 22
2
???-+=l
l l l OC
2
l
OC =
???cos 2
cos 24cos 22
2
???-+=l
l l l IC
2l
IC = ?sin 2
l
x C =
?
?-=??43122ml ml L O ??cos 2?==l dt dx v C Cx ??cos 2
)90sin(20l
l y C =-=
??sin 2
?-==l dt dy v C Cy
)(→
+=C Oz AB Cz O v m M J L ω C Cy C Cx O x mv y mv ml L --=
?
?212
1
???????sin 2
sin 2cos 2cos 21212
l l m l l m ml L O ??-??-=???
?????222
22sin 4cos 4121???--=ml ml ml L O
)sin (cos 41212222
????+-=??ml ml L O
??-=??4
12122
ml ml L O
?
-=?261ml L O
→?→-=k ml L C ?26
1
[习题11-5] 均质杆AB 长l 、重1P ，B 端刚连一重2P 的小球（小球可视为质点），杆上D 点连一刚度系数为k 的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B 一微小初位移0δ后无初速释放，试求AB 杆的运动规律。 解：以AB 杆为研究对象，其受力
如图所示。 质点系的动量矩为：
ωω22l m J L Oz O +-= ωω22213l g
P g l P L O --=
外力矩为：
R y
z
l P l
P l T F M D i O 212
3)(--?
=→
l P l P l k F M i O 21233)(--?=→δ
l P l P l kl F M i O 212
33)(--?≈→?
l P l
P kl F M i O 212
2
9)(--≈
→
? 由动量矩定理得：
)(→=i O O
F M dt
dL l P l P kl l g P g l P dt d 212222129)3(--=--?ωω l P l
P kl dt d l g P dt d g l P 21222212
93++-=+?ωω
21
212
9)3(
P P kl dt d l g P g P ++-=+?ω
l g
P g P P P kl dt
d )3(292121
+++-
=?ω
l g
P g P P P kl dt
d )333(1818189182212
1+++-
=?ω
g
l P P P P kl dt
d 3)3(18)1892(2121+++-=?ω
l
P P g
P P kl dt d )3(6)1892(2121+++-=
?ω l g
P P kg dt
d 23)3(3212
2++-=??
2
023)3(3212
2=-++l g
P P kg dt
d ?? 令：)3(3212
0P P kg
+=
ω，则上式变为：
l
g 2320=
+?
??ω? 通解为：
)sin(0αω?+=t A
0)0sin(|00=+?==αω?A t
0sin =α
[习题11-6] 两个重物A 、B 各重1P 、2P ，分别系在两条绳上，此两绳又分别围绕半径为1r 、2r 的鼓轮上，重物受重力影响而运动。求鼓轮的角加速度α。鼓轮和绳的质量均略去不计。 解：质点系的动量矩为：
222111r v m r v m J L O z O ++=ω
ω)(22
22
11r m r m J L O z O ++=
外力对O 点之矩为：
22110)(r P r P F M i -=→
由动量矩定理可知：
)(→=i O O
F M dt
dL 2211222211])[(r P r P r m r m J dt
d
Oz -=++ω 2211222211)(r P r P dt
d r m r m J Oz -=++ω
2211222211)(r P r P r m r m J O z -=++α
2
2
22112
211r m r m J r P r P oz ++-=
α
Ox
F Oy
A
22221122
211021
r g
P r g P R r P r P ++??-=
α
g r P r P r P r P 2
222112
211+-=
α
[习题11-7] 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。设摆轴圆球与直杆组成，球重W ，半径为r ，杆重不计。弹簧的刚度系数为k 。问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动？写出能发和振动的条件。 解：质点系的受力如图所示。
ω)21(22l g
W
r g W L O +?=
??tan cos 2)(Wl b F F M A i O +-=→
??Wl b kb F M i O +-≈→
)(2)( ?)2()(2kb Wl F M i O -=→
由动量矩定理得：
?ω)2(])21[(22
2kb Wl l g
W r g W dt d -=+? ?ω
)2(2)2(22
2kb Wl dt
d g W l r -=+
??W l r g kb Wl dt d )2()2(22
2222+-= 0)2()2(222222=+-+??W l r g
Wl kb dt d 令W
l r g Wl kb )2()2(22
2220
+-=ω，则： 020=+?
??ω?
上式的通解为：
)sin(0αω?+=t A
能发出振动的条件是：00>ω，即：0])2()2(2[2
1
222>+-W
l r g Wl kb ，也就是：
022>-Wl kb 2
2b Wl
k >
[习题11-8] 卷扬机的B 、C 轮半径分别为R 、r ，对水平转动轴的转动惯量为1J 、2J ，物体重P 。设在轮C 上作用一常力矩M ，试求物体A 上升的加速度。 解：以轮B 为研究对象，应用动量矩定理得：
)(→=i B B
F M dt
dL TR PR vR g P
J dt d -=--)(1ω R P T R dt dv g P dt d J )(1-=+ω R P T a g
PR
J )(1-=+
α 22
1)(R P T a g
PR R J -=+α
22
1)(R P T a g
PR a J -=+ (1)
以轮C 为研究对象，应用动量矩定理得：
)(→=i C C
F M dt
dL r T M J dt
d
'22)(-=ω r T M dt
d J '2
2
-=ω r T M J '22-=α 2'22r T Mr r J -=α
22Tr Mr a J -=
2
2r
a
J Mr T -=
………(2) (2) 代入（1）得：
22
1)(R P T a g PR a J -=+
2
2
221)()(R P r a J Mr a g PR J --=+ 222
2221)(PR a r R J r MR a g PR J --=+
22
22221)(PR r MR a r
R J g PR J -=++
g
r r PR g R J r J r r PR r MR g PR J r R J PR r MR a 22222212222222212
2)(++-=+
+-= 2
222212)(Pr)(r
PR g R J r J rg
R M a ++-=
动量矩定理 1２－１ 质量为m 的点在平面Ｏx ｙ内运动,其运动方程为: t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点Ｏ的动量矩。 解:由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v ? t mab ωω3 cos 2= 1２-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ,质心为Ｃ，A Ｃ ＝ e ；轮子半径为Ｒ，对轴心A 的转动惯量为ＪA ;C 、Ａ、B 三点在同一铅直线上。（１)当轮子只滚不滑时，若v Ａ已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（２)当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知,求轮子的动量和对地面上Ｂ点的动量矩。 解：(1)当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 ? 轮子角速度R v A =ω? 质心C 的速度)(e R R v C B v A C += =ω? ?轮子的动量(A C mv R e R mv p += =?方向水平向右） ?对Ｂ点动量矩ω?=B B J L ? 由于? 2 22)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故[ ] R v e R m me J L A A B 2 2)( ++-=? (２）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量( )(e v m mv p A C ω+==?方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 m ｍ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下,设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解:取轮子为研究对象,轮子受力如图(ａ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ? F mg ma C -=θsin ? (1) J Ｃα = Ｆr ? ?（2） 因轮子只滚不滑，所以有 a Ｃ ＝αr （3）
动量矩定理(2) 班级 学号 姓名 一、选择题 1、圆柱在重力作用下沿粗糙斜面下滚，角加速度 ；当小球离开斜面后， 角加速度 。 （1）等于零； （2）不等于零； （3）不能确定 2、OA 杆重P ，对O 轴的转动惯量为J ，弹簧的弹性系数为k ，当杆处于铅垂位置时弹 簧无变形，取位置角?及其正向如图所示，则OA 杆在铅直位置附近作微振动的运动 微分方程为 。 (1) ??? Pb ka J --=2 ； (2) ??? Pb ka J 2+= ； (3) ??? Pb ka J +-=-2 ； (4) 二、填空题 1、在质量为M ，半径为R 的均质圆环上固接一质量为m 的均质细杆AB ，位置如图，切 有60=∠CAB °。若系统在铅垂面内以角速度ω绕O 轴转动，则系统对O 轴的动量 矩的大小为 。 2、如图系统中，小球质量为m ，水平杆OA 质量不计，弹簧刚度系数为k ，图示为静 平衡位置， 则系统作微振动时的微分方程为 。 三、计算题（解题步骤：①取研究对象画受力图②运动分析③列动力学方程求解） 1、两个重物M 1和M 2的质量各为m 1与m 2，分别系在两条不计质量的绳上，如图所示。此两绳又分别围绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。塔轮的质量为m 3，质心为O ，对轴O 的回转半径为ρ。重物受重力作用而运动，求塔轮的角加速度。 ???Pb ka J -=-2
2、图示均质圆盘的半径R=180mm ，质量m=25kg 。测得圆盘的扭转振动周期s 11=T ；当加上另一物体时，测得扭转振动周期为s 2.1 2=T 。求所加物体对于转动轴的转动惯量。 3、一刚性均质杆重200N 。A 、B 处为光滑铰链约束。当杆位于水平位置时，C 处弹簧压缩了76mm ，弹簧刚度系数为8750N/m 。试求当约束A 突然移走时，此瞬时支座B 的反力。
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
动量矩定理 习 题 例1：单摆将质量为m 的小球用长为l 的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴O 在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长，摆线由偏角0?时从静止开始释放，求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。其速度为? l v =且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 ()?? 2ml l ml mv m o =?= 又 ()o T m o =，则外力对轴O 之矩为 ()?sin mgl F m o -= 注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定 应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有 ()??sin 2mgl ml t x -= d d 即 0sin =+?? l g (a) 当单摆做微幅摆动时，??≈sin ，并令l g n = 2ω 则式（a ）成为 02=+?ω? n （b ） 解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时，0??=，00=? ，得单摆微幅摆动时的运动方程为 t n ω??cos 0= ? 由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为 g l T n π ωπ 22==
例2：双轴传动系统中，传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为1J 与2J ，两齿轮的节圆半径分别为1R 与2R ，齿数分别为1z 与2z ，在轴Ⅰ上作用有主动力矩1M ，在轴Ⅱ上作用有阻力矩2M ，如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。 解：轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为 1111R P M J τε-= （a ） 2222R P M J τε+-= (b) 又 1 22112z z R R i === εε （c ） 以上三式联立求解，得 2 21211i J J i M M +-= ε 例3：质量为m 半径为R 的均质圆轮置放在倾角为α的斜面上，在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为f 、f '，不计滚动摩阻。试分析轮的运动。 解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有 F mg ma c -=αsin （a ） N mg +-=αcos 0 (b) FR J c =ε (c) 由式（b ）得 αc o s mg N = (d) 情况一： 设接触处绝对光滑。则F=0,由式（a ）、(c)得 αs i n g a c = 0=ε 情况二：设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。F 为静滑动摩擦力。 εR a c = ααεαsin 3 1 sin 32 sin 3 2 g F g R g a c = = = ∴
第12章 动量矩定理 通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。 在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。因为不论刚体转动快慢如何，质 心速度C v 总是等于零，所以刚体的动量也总是零。但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。 §12-1 质点动量矩定理 例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。地球半径6370km R =。 图12-5 解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。卫星运行时只受地球引力的作用，即 2 2 () R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。当卫星沿第一圆形轨道运动时，有
22 2 ()()v R m mg R h R h =++ 即 2 2 () gR v R h =+ （b ） 将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度 17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为 7.5530.6468.199km/s A v =+= 卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。设卫星在远地点B 的速度为B v ，则有 A A B B r v r v = 所以 4 63706008.199 5.715km/s 10A B A B r v v r += ?=?= 设卫星沿新的圆形轨道运行时所需的速度为2v ，则 22 2 2 4 9.86370 6.306km/s 10gR v r ?=== 由此可见，为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B 点时，应再开动火箭，使其速度增加一个值 20.591km/s B B v v v ?=-= 顺便指出，在（b ）式中令0h →，就得到7.9km/s v =，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。 §12-2 质点系动量矩定理 例1.质量为1m 、半径为R 的均质圆轮绕定轴O 转动，如图所示。轮上缠绕细绳,绳端悬挂质量为2m 的物块,试求物块的加速度。均质圆 轮对于O 轴的转动惯量为211 2 O J m R =。
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
第11章 动量矩定理 上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。 11.1 动量矩定理 11.1.1质点和质点系动量矩 1．质点的动量矩 如图11-1所示，设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ，与力F 对点O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O 的动量矩为 v r v M m ×=)(m o （11-1） 图11-1 图11-2 质点对固定点O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固 定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍，即 mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中，h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离，称为动量臂。 单位为kg.m 2/s 。
质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似，如图11-2所示，质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩，定义质点对固定轴z 的矩，同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。质点对z 轴的动量矩是代数量，即 z o xy o m =m M =m M Z )]([])[()(v M v v （11-2） 2．质点系的动量矩 质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和，即 ∑==n i i i o )(m 1v M L o （11-3） 质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即 Z o n i i i z z )(m =L ][L v M =∑=1 （11-4） 刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计 算。 刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i 的质量为m i ，到转轴的垂直距离为i r ，某瞬时的角速度为ω，刚体对转轴z 的动量矩由式（11-4）得 图11-3 ω J =ω)r m (=) r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z n i i i n i i i i n i i i i n i i i z ∑∑∑∑====1 21 1 1v z 即 ωJ =L z z （11-5）
动量、冲量及动量定理一 1.两物体质量之比为m 1∶m 2=4∶1，它们以一定的初速度沿水平面在摩擦力作用下做减速滑行到停下来的过程中 （1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______； （2）若两物体的初动量相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为_______； （3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______； （4）若两物体的初速度相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为_______. 2. 从高为H 的平台上，同时水平抛出两个物体A 和B ，已知它们的质量m B =2m A ，抛出时的速度v A =2v B ，不计空气阻力，它们下落过程中动量变化量的大小分别为Δp A 和Δp B ，则（ ） A.Δp A =Δp B B.Δp A =2Δp B C.Δp B =4Δp A D.Δp B =2Δp A 3.“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图5－1－1所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P 处自由下 落，在空中感受失重的滋味.若此人质量为60 kg ，橡皮绳长20 m ，人可看成质点，g 取10 m/s 2，求： （1）此人从点P 处由静止下落至橡皮绳刚伸直（无伸长）时，人的动量为_______； （2）若橡皮绳可相当于一根劲度系数为100 N/m 的轻质弹簧，则此人从P 处下落到_______m 时具有最大速度；（3）若弹性橡皮绳的缓冲时间为3 s ，求橡皮绳受到的平均冲力的大小. 4. 高压采煤水枪出水口的截面积为S ，水的射速为v ，射到煤层上后，水速度为零.若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力. 5．将一质量为kg 1的物体以速度0v 抛出，若在抛出后s 5钟落地，不计空气阻力，试求此物体在落地前s 3内的动量变化。 6．玻璃杯同一高度下落下，掉在水泥地上比掉在草地上容易碎，这是由于玻璃杯与水泥地撞击的过程中（ ） A .玻璃杯的动量较大 B .玻璃杯受到的冲量较大 C .玻璃杯的动量变化较大 D .玻璃杯的动量变化较快 7．蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做出各种空中动作的运动项目。一个质量为kg 60的运动员，从离水平网面m 2.3高处自由落下，着网后又沿竖直方向蹦回离水平网面m 0.5高处。已知运动员与网接触的时间为s 2.1，若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力来处理，求此力的大小。 8.如图1所示，质量为M 的小车在光滑的水平面上以速度0v 向右做匀速直线运动，一个质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度为仍为h 。设M ?m ，发生碰撞时弹力N F ?mg ，小球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起时的水平速度可能是 A .0v B .0 C .gh 22μ D .-v 0 9.一个质量为m=2kg 的物体,在F 1=8N 的水平推力作用下,从静止开始沿水平面运动了t 1=5s,然后推力减小为F 2=5N,方向不变,物体又运动了t 2=4s 后撤去外力,物体再经 过t 3=6s 停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。 10.质量是60kg 的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已
y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
三 动量定理的应用 姓名 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1、在下列各种运动中，任何相等的时间内物体动量的增量总是相同的有（ ） A 、匀加速直线运动 B 、平抛运动 C 、匀减速直线运动 D 、匀速圆周运动 2、质量为5 kg 的物体，原来以v=5 m/s 的速度做匀速直线运动，现受到跟运动方向相同的冲量15 N ·s 的作用，历时4 s ，物体的动量大小变为 ( ) A.80 kg ·m/s B.160 kg ·m/s C.40 kg ·m/s D.10 kg ·m/s 3、用力拉纸带，纸带将会从重物下抽出，解释这些现象的正确说法是：（ ） A 、在缓慢拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力大； B 、在迅速拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力小； C 、在缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大； D 、在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量小． 4、从同一高度的平台上，抛出三个完全相同的小球，甲球竖直上抛，乙球竖直下抛，丙球平抛．三球落地时的速率相同，若不计空气阻力，则（ ） A 、抛出时三球动量不是都相同，甲、乙动量相同，并均不小于丙的动量 B 、落地时三球的动量相同 C 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量都不同 D 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量不都相同 5、若质量为m 的小球从h 高度自由落下，与地面碰撞时间为 ，地面对小球的平均作用力大小为F ，则在碰撞过程中（取向上的方向为正）对小球来说（ ） A 、重力的冲量为 B 、地面对小球的冲量为 C 、合力的冲量为 D 、合力的冲量为 6、一物体竖直向上抛出，从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t,上升的最大高度是H ，所受空气阻力大小恒为F,则在时间t 内 A.物体受重力的冲量为零 B.在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量 小 C.物体动量的增量大于抛出时的动量 D.物体机械能的减小量等于FH 7.恒力F 作用在质量为m 的物体上，如图8—1所示，由于地面对 物体的摩擦力较大，没有被拉动，则经时间t ，下列说法正确的是 A.拉力F 对物体的冲量大小为零 B.拉力F 对物体的冲量大小为Ft C.拉力F 对物体的冲量大小是Ftcos θ D.合力对物体的冲量大小为零 *8、物体在恒定的合力F 作用下作直线运动，在时间Δt 1内速度由0增大到v ，在时间Δt 2内速度由v 增大到2v 。设F 在Δt 1内做的功W 1，冲量是I 1；在Δt 2内做的功W 2，冲量是I 2。那么 （ ） A ．I 1 12第十二章 动量矩定理
1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。求质点对原点 O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 V x dx sin t dt a V y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为 L O M o (mV x ) M 0( mV y ) mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。 轮子角速度 V A R 质心C 的速度V C BC R e 轮子的动量 p mv C mv A (方向水平向右) R 对B 点动量矩L B J B 2 2 2 由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2 食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速 度。 V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩 L B mv C BC J C m(v A 2 e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2） 因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ? 12
二 动量定理 姓名 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1、关于冲量和动量，下面说法错误的是（ ） A ．冲量是反映力和作用时间积累效果的物理量 B ．动量是描述运动状态的物理量 C ．冲量是物体动量变化的原因 D ．冲量的方向与动量的方向一致 2、物体在恒力作用下运动，下列说法正确的是（ ） A ．动量的方向与受力的方向相同 B ．动量的方向与冲量的方向相同 C ．动量的增量方向与受力的方向相同 D ．动量变化率的方向与速度方向相同 3、从同一高度落下的玻璃杯掉在水泥地面上易碎，而掉在软垫上不易碎，这是因为落到水泥地上时（ ） A ．受到的冲量大 B ．动量变化快 C ．动量变化量大 D ．受到地面的作用力大 4、如图所示，物体受到大小为10牛，与地面成60°夹角的拉 力F 的作用在光滑的地面上滑行，在F 作用的3s 时间内（ ） A ．F 的冲量大小为30Ns B ．F 的冲量大小为15Ns C ．物体的动量变化为30kg ·m · D ．物体质量不知，故上述情况无法确定 5、对物体所受的合外力与其动量之间的关系，叙述正确的是：（ ） A 、物体所受的合外力与物体的初动量成正比； B 、物体所受的合外力与物体的末动量成正比； C 、物体所受的合外力与物体动量变化量成正比； D 、物体所受的合外力与物体动量对时间的变化率成正比． 6、动量相等的甲、乙两车，刹车后沿两条水平路面滑行，若两车质量之比m 1/m 2=1/2，路面对两车的阻力相同，则两车滑行时间之比为 （ ） A ．1：1 B ．1：2 C ．2：1 D ．1：4 7、甲、乙两个质量相同的物体，以相同的初速度分别在粗糙程度不同的水平面上运动，乙物体先停下来，甲物体又经较长时间停下来，下面叙述中正确的是（ ）． A 、甲物体受到的冲量大于乙物体受到的冲量 B 、两个物体受到的冲量大小相等 C 、乙物体受到的冲量大于甲物体受到的冲量 D 、无法判断 8、跳高运动员在跳高时总是跳到沙坑里或跳到海 绵上，这样做是为了（ ） A 、减小运动员的动量变化 B 、减小运动员所受的冲量 C 、延长着地过程的作用时间 D 、减小着地时运动员所受的平均冲力 *9．在行车过程中，如果车距不够，刹车不及时，汽车将发生碰撞，车里的人可能受到伤害，为了尽可能地减轻碰撞所引起的伤害，人们设计了安全带。假定乘客质量为70 kg ，汽车车速为108 km/h （即30 m/s ），从踩下刹车到车完全停止需要的时间为5 s ，安全带对乘客的作用力大小约为 （ ）
第十二章 动量矩定理 一、填空题 1．如下（1）图所示，在提升重为Ｇ的物体Ａ时，可在半径为ｒ的鼓轮上作用一力偶Ｍ。已知鼓轮对轴Ｏ的转动惯量为Ｉ，某瞬时鼓轮的角加速度为α，则该瞬时，系统对轴Ｏ的动量矩定理可写成______________。 2．如下（2）图所示，轮Ｂ由系杆ＡＢ带动在固定轮Ａ上无滑动滚动，两圆的半径分别为Ｒ，ｒ。若轮Ｂ的质量为ｍ，系杆的角速度为ω，则轮Ｂ对固定轴Ａ的动量矩大小是_______________。 3．图（3）中匀质圆盘在光滑水平面上作直线平动，图（4）中匀质圆盘沿水平直线作无滑动滚动。设两圆盘的质量皆为ｍ，半径皆为ｒ，轮心Ｏ速度皆为ｖ，则图示瞬时，它们各自对轮心Ｏ和对与地面接触点Ｄ的动量矩分别为：（3）ＬO ＝___________ ；ＬD ＝_____________________； （4）ＬO ＝_____________；ＬD ＝_____________________。 二、选择题 1．如下图（1）所示，已知两个匀质圆轮对转轴转动惯量分别为I Ａ，I Ｂ，半径分别为ＲＡ，ＲＢ，作用在Ａ轮上的转矩为Ｍ，则系统中Ａ轮角加速度的大小为（ ）。 2 2A 2 2B 2 A A B A A 222A D C I I M B A B A B A B A A B B R I R I MR I M R I R I MR +==+=+=αααα、；、；、；、 2．如下图（2）所示，两匀质细杆ＯＡ和ＢＣ的质量均为ｍ ＝ ８ｋｇ，长度均为ｌ ＝ ０．５ｍ， 固连成图所示的Ｔ字型构件，可绕通过点Ｏ的水平轴转动。当杆ＯＡ处于图示水平位置时，该构件的角速度ω ＝ ４ｒａｄ／ｓ。则该瞬时轴Ｏ处反力的铅垂分力ＮＯｙ的大小为（ ）。 Ａ．ＮＯ=２４．５Ｎ；Ｂ．ＮＯ=３２．３Ｎ；Ｃ．ＮＯ=７３．８Ｎ；Ｄ．ＮＯ=１５６．８Ｎ 3．如果把下图（3）中重为G A 的物体换为图（4）所示的力G A ，在这两种情况下，若把匀质滑轮的角加速度ε１和ε２的大小比较，则有（ ）。 A ． ε１ ＜ ε； B ． ε１ ＞ ε； C ． ε１ ＝ ε２ (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)
O ω R r A B θ 习题9－2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9-１ 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕Ｏ轴转动,质量为m 的小球Ｍ可沿圆盘的径向凹槽运动,图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处(图a ）;求小球对Ｏ点的动量矩。 2． 图示质量为ｍ的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且ＡＣ = e ;轮子半径为R ,对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上(图b ）。(1）当轮子只滚不滑时,若v A 已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时,若v A 、ω已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解:１、2 s m L O ω=（逆) 2、（1） )1()(R e mv e v m mv p A A C +=+==ω(逆) R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B )()()(22 -++=++=ω (2))(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9－２ 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动,其大、小半径分别为R 、r ，对Ｏ轴的转动惯量为ＪＯ;物块A 、B 的质量分别为m A 和ｍB ；试求系统对O 轴的动量矩。 解: ω)(22r m R m J L B A O O ++= 9-3 图示匀质细杆ＯA 和ＥＣ的质量分别为50kg 和10０ｋｇ，并在点Ａ焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时,杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m ＝ m OA = 50 k ｇ,则m ＥC = 2m 质心D 位置:（设ｌ = １ m) m 6 565== =l OD d 刚体作定轴转动,初瞬时ω=0 l mg l mg J O ?+?=22 α 222232)2(212 1 31 ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532=α 2rad/s 17.865==g l α g l a D 36 256 5t =?=α 由质心运动定理: Oy D F mg a m -=?33t 44912 11 362533==-=mg g m mg F Oy Ｎ（↑) 0=ω,0n =D a ， 0=Ox F (a) O M v ω ω A B C R v A (b) 习题9－1图
动量定理与动量守恒定律·典型例题解析 【例1】 在光滑的水平面上有一质量为2m 的盒子，盒子中间有一质量为m 的物体，如图55－1所示．物体与盒底间的动摩擦因数为μ现给物体以水平速度v 0向右运动，当它刚好与盒子右壁相碰时，速度减为 v 02 ，物体与盒子右壁相碰后即粘在右壁上，求： (1)物体在盒内滑行的时间； (2)物体与盒子右壁相碰过程中对盒子的冲量． 解析：(1)对物体在盒内滑行的时间内应用动量定理得：－μmgt ＝ m mv t 0·－，＝v v g 0022 (2)物体与盒子右壁相碰前及相碰过程中系统的总动量都守恒，设碰 撞前瞬时盒子的速度为，则：＝＋＝＋．解得＝，＝．所以碰撞过程中物体给盒子的冲量由动量定理得＝－＝，方向向右． v mv m v 22mv (m 2m)v v v I 2mv 2mv mv /61001212210v v 0043 点拨：分清不同的物理过程所遵循的相应物理规律是解题的关键． 【例2】 如图55－2所示，质量均为M 的小车A 、B ，B 车上 挂有质量为的金属球，球相对车静止，若两车以相等的速率M 4 C C B 1.8m/s 在光滑的水平面上相向运动，相碰后连在一起，则碰撞刚结束时小车的速度多大？C 球摆到最高点时C 球的速度多大？ 解析：两车相碰过程由于作用时间很短，C 球没有参与两车在水平方向的相互作用．对两车组成的系统，由动量守恒定律得(以向左为正)：Mv －Mv ＝
2Mv 1两车相碰后速度v 1＝0，这时C 球的速度仍为v ，向左，接着C 球向左上方摆动与两车发生相互作用，到达最高点时和两车 具有共同的速度，对和两车组成的系统，水平方向动量守恒，＝＋＋，解得＝＝，方向向左．v C v (M M )v v v 0.2m /s 222M M 4419 点拨：两车相碰的过程，由于作用时间很短，可认为各物都没有发生位移，因而C 球的悬线不偏离竖直方向，不可能跟B 车发生水平方向的相互作用．在C 球上摆的过程中，作用时间较长，悬线偏离竖直方向，与两车发生相互作用使两车在水平方向的动量改变，这时只有将C 球和两车作为系统，水平方向的总动量才守恒． 【例3】 如图55－3所示，质量为m 的人站在质量为M 的小车的右端，处于静止状态．已知车的长度为L ，则当人走到小车的左端时，小车将沿光滑的水平面向右移动多少距离？ 点拨：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s ，则人向左移动的距离为L －s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M ·s －m(L －s)＝0，从而可解得s ．注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分． 参考答案 例例跟踪反馈．．．；；．×·3 m M +m L 4 M +m M H [] 1 C 2h 300v 49.110N s 04M m M 【例4】 如图55－4所示，气球的质量为M 离地的高度为H ，在气球下方有一质量为m 的人拉住系在气球上不计质量的软绳，人和气球恰悬浮在空中处于静止状态，现人沿软绳下滑到达地面时软绳的下端恰离开地面，求软绳的长度．
动量定理练习题含答案及解析 一、高考物理精讲专题动量定理 1．如图所示，粗糙的水平面连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为 R=0.1 m ， 半圆形轨道的底端放置一个质量为 m=0.1 kg 的小球 B ，水平面上有一个质量为 M=0.3 kg 的 小球 A 以初速度 v 0=4.0 m/ s 开始向着木块 B 滑动，经过时间 t=0.80 s 与 B 发生弹性碰 撞．设两小球均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且已知木块 A 与桌面间的动摩擦因 数 μ =0.25，求： （1）两小球碰前 A 的速度； （2）球碰撞后 B,C 的速度大小； （3）小球 B 运动到最高点 C 时对轨道的压力； 【答案】（ 1） 2m/s （2）v A ＝1m/s ，v B ＝3m/s （ 3） 4N ，方向竖直向上 【解析】 【分析】 【详解】 （1）选向右为正，碰前对小球 A 的运动由动量定理可得： –μMg t ＝ M v –M v 0 解得： v ＝ 2m/s （2）对 A 、B 两球组成系统碰撞前后动量守恒，动能守恒： Mv Mv A mv B 1 2 1 2 1 2 Mv Mv A mv B 2 2 A 2 B 解得： v A ＝1m/s v B ＝3m/s （3）由于轨道光滑， B 球在轨道由最低点运动到 C 点过程中机械能守恒： 1 2 1 2 mv B mv C mg2R 22 2 在最高点 C 对小球 B 受力分析，由牛顿第二定律有： mg F N m vC 解得： F N ＝ 4N 由牛顿第三定律知， F N '＝F N ＝4N 小球对轨道的压力的大小为 3N ，方向竖直向上． 2．半径均为 R 5 2m 的四分之一圆弧轨道 1和 2如图所示固定，两圆弧轨道的最低端 切线水平，两圆心在同一竖直线上且相距 R ，让质量为 1kg 的小球从圆弧轨道 1 的圆弧面