第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
·250· 第11章 动量矩定理 11.1 主要内容 11.1.1 质点系动量矩计算 质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即 ∑∑==?==n i n i i i i i O O m m 1 1 )(i v r v M L 质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为 ∑==n i i i z z m M L 1) (v 刚体对转动轴z 轴的动量矩为 ωz z I L = 质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即 i i n i i C m v r L ?'=∑=1 i r '为第i 个质点对质心的矢径。 质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。 C v r L L m C C O ?+= 当刚体作平面运动时，又可表示为 d mv L L C ±=C O 其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理 （1）对固定点的动量矩定理 质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即 ) (e O O dt d M L = 在直角坐标系上的投影式为
·251· ?? ?? ? ? ??? ∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F （2）质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即 (e )C C M L =dt d 或 (e ) C Cr M L =dt d 式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。 (3) 动量矩守恒定律 在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即 () 0=e O M ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如 0 )()(=∑e x M F ，L x =常数 11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程 若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为 z z M t I =22d d ? 或 z z M I =ε 在工程中，常将转动惯量表示为 2z z m I ρ= z ρ称为回转半径。 11.1.4 刚体平面运动微分方程 当刚体作平面运动时，联合应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，可得到刚体平面运动微分方程 ??? ? ???===∑∑C c y c x c M I F y m F x m ?
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
·125· 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式，而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 (×) A B l O ω r 图11.23 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数
第11章 动量矩定理 上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。 11.1 动量矩定理 11.1.1质点和质点系动量矩 1．质点的动量矩 如图11-1所示，设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ，与力F 对点O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O 的动量矩为 v r v M m ×=)(m o （11-1） 图11-1 图11-2 质点对固定点O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固 定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍，即 mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中，h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离，称为动量臂。 单位为kg.m 2/s 。
质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似，如图11-2所示，质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩，定义质点对固定轴z 的矩，同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。质点对z 轴的动量矩是代数量，即 z o xy o m =m M =m M Z )]([])[()(v M v v （11-2） 2．质点系的动量矩 质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和，即 ∑==n i i i o )(m 1v M L o （11-3） 质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即 Z o n i i i z z )(m =L ][L v M =∑=1 （11-4） 刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计 算。 刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i 的质量为m i ，到转轴的垂直距离为i r ，某瞬时的角速度为ω，刚体对转轴z 的动量矩由式（11-4）得 图11-3 ω J =ω)r m (=) r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z n i i i n i i i i n i i i i n i i i z ∑∑∑∑====1 21 1 1v z 即 ωJ =L z z （11-5）
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为： t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v t mab ωω3 cos 2= 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 轮子角速度 R v A = ω 质心C 的速度 )(e R R v C B v A C +==ω 轮子的动量 A C mv R e R mv p += =（方向水平向右） 对B 点动量矩 ω?=B B J L 由于 222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 [] R v e R m me J L A A B 22)( ++-= （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωω ωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子
O ω R r A B θ 习题9－2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9－1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。 2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解：1、2 s m L O ω=（逆） 2、（1） )1()(R e mv e v m mv p A A C +=+==ω（逆） R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B )()()(22 -++=++=ω （2）)(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解： ω)(22r m R m J L B A O O ++= 9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6 565== =l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l mg l mg J O ?+?=22 α 222232)2(212 1 31 ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532=α 2rad/s 17.865==g l α g l a D 36 256 5t =?=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t 4491211 362533==-=mg g m mg F Oy N （↑） 0=ω，0n =D a ， 0=Ox F (a) O M v ω ω A B C R v A (b) 习题9－1图
第10章 动量定理 主要内容 10.1.1 质点系动量及冲量的计算 质点的动量为 v K m = 质点系的动量为 C i i m m v v K ∑=∑= 式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中 v Ci 为第i 个刚体质心的速度。 常力的冲量 t ?=F S 力系的冲量 ?∑=∑=2 1 d )(t t i i t t F S S 或 ??=∑=2 1 21 d )(d )(R t t t t i t t t t F F S 10.1.2 质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即 )(d d e i t F K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 （2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0) (=∑e i F ，质点系动 量守恒，即K =常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴 上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。 10.1.3 质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即 ()())(d d d d e i i i c m t M t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为 )(1 Ci e i n i m F a ∑=∑= 式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。 10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力 定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。若流体的流量为Q ，密度为ρ。流体流经弯管时的附加动约束力为
)(12N v v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。 基本要求 1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。 2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。 3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。 4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。 重点讨论 动量定理的应用 应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。 应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点： 1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。 2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。 当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即 0)(=∑e i F ，i C i i m v k K ∑=∑==常矢量 当外力系的主矢量在某一轴（如x 轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数，即 0)(=∑e ix F ，Cx ix i x mv v m K ==∑=常数 对于刚体系可表示为 Cix i v m ∑=常数 利用以上动量守恒的关系，可以确定系统的运动。 例题分析 例10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A ，密度为 ，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固 定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量F x 和F y 。
习题 11-1质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为： 。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点 O的动量矩。 11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。<1）杆重忽略不计；<2）杆为均质杆，质量为2m。b5E2RGbCAP 图11-25 (1> (2> 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。 图11-26 (a>
(b> (c> (d> 11-4如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。 图11-27 面密度为 在y处 微小区域对于z轴的转动惯量 11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。p1EanqFDPw 图11-28 11-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1> 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2> 边长为4a，质量为
m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。DXDiTa9E3d 图11-29 (1> (2> 11-7如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1>当轮子只滚不滑时，已知vA；(2>当轮子又滚又滑时，已知vA、w。RTCrpUDGiT 图11-30 (1>
第十一章 动量矩定理 11-1 某质点对于某定点O的动量矩矢量表达式为 式中t为时间，为沿固定直角坐标轴的单位矢量。求此质点上作用力对O点的力矩。 11-2 某质点系对空间任一固定点的动量矩都完全相同，且不等于零。这种运动情况可能吗? 11-3 试计算如图所示物体对其转轴的动量矩。 11.4 如图所示传动系统中为轮Ⅰ、轮Ⅱ的转动惯量，轮Ⅰ的角加速度为 对吗?
11-5 如图所示，在铅垂面内，杆OA 可绕O 轴自由转动，均质圆盘可绕其质心轴A 自由转动。如OA 水平时系统为静止，问自由释放后圆盘作什么运动? 11-6 质量为m 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。设开始时，圆盘静止，图中 2R r 。试说明各圆盘将如何运动。 11-7 一半径为R 的均质圆轮在水平面上只滚动而不滑动。如不计滚动摩阻，试问在下列两种情况下，轮心的加速度是否相等?接触面的摩擦力是否相同? (1)在轮上作用一顺时针转向的力偶，力偶矩为M ；
(2)在轮心作用一水平向右的力，R M F 。11-8 细绳跨过不计轴承摩擦的不计质量的滑轮，两猴质量相同，初始静止在无重绳上，离地面高度相同。（1）若两猴同时开始向上爬，且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同，问站在地面看，两猴的速度如何？在任一瞬时，两猴离地面的高度如何？（2）若两猴同时开始一个向上爬，另一个向下爬，且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同，问站在地面看，两猴的速度如何？在任一瞬时，两猴离地面的高度如何？ 11-9 如图所示，均质杆、均质圆盘质量均为m ，杆长为2R ，圆盘半径为R ，两者铰接于点A ，系统放在光滑水平面上，初始静止。现受一矩为M 的力偶作用，则下列哪些说法正确： A.如M 作用于圆盘上，则盘绕A 转动，杆不动； B.如M 作用于杆上，则杆绕A 转动，盘不动； C.如M 作用于杆上，则盘为平移； D.不论M 作用于哪个物体上，系统运动都一样。
第9章动量矩定理及其应用 9— 1计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以 3的角速度绕 0轴转动，质量为 m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时 小球以相对于圆盘的速度 v r 运动到0M = s 处(图a );求小球对 0点的动量矩。 2. 图示质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为 A ,质心为 C ,且AC = e ；轮子半 b )o ( 1)当轮子只滚不滑 (2)当轮子又滚又滑时，若 V A 、3已知，求轮 V A 、 R R 径为R ,对轮心A 的转动惯量为 时，若V A 已知，求轮子的动量和对 J A ； C 、A 、B 三点在同一铅垂线上(图 B 点的动量矩； 习题9 — 1图 （2） p 二 mv C =m （v A 亠： 2） 2 L B =mv c （R 亠e ）亠J c . =m （V A 亠?:、e ）（ R 亠 e ）亠（J A —me ） . = m （ R 亠e ）v A 亠（J A 亠 meR ）■. 9 — 2图示系统中，已知鼓轮以 3的角速度绕0轴转动， 其大、小半径分别为 R 、r ，对0轴的转动惯量为 J O ;物块 A 、B 的质量分别为 m A 和m s ;试求系统对 0轴的动量矩。 解： 2 2 L 0 = （J 0 ■ m A R - m s r ）■ ■ 习题9— 2图 9 — 3图示匀质细杆0A 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位 置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链 O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解:令 m = m °A = 50 kg ，贝V m Ec = 2m 质心D 位置：（设I = 1 m ） 5 5 d = OD = —l = — m 6 6 刚体作定轴转动，初瞬时 3 =0 1 ■— ■ 2 mg l 2 J O =mg 2 1 2 2 2m （2l ）亠2 ml 3 ml 12 习题20-3图 即 3ml 2 ?. -5 mgl 2 5 g 6l = 8.17 rad/? t 5 a ° 二—l 6 由质心运动定理: t 3m a D 25 g 36 =3mg -F °y F °y 二 3mg 25 11 -3m ——g = — mg =449 36 12 （f ） n ? =o ， a D T ， F ox =o
— 1 — 第8章 动量定理及其 应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2 ()60cos ([2 121?+?+?- +?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]4 2)[(2 12 121m m l l m m v m m +++- +=ω ω（解图（c ））。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
— 2 — 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 2 942 =+=+= 方向同v B 。 8－3 两均质杆AC 和BC 的质量分别为m 1和m 2，在C 点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。设地面光滑，两杆在图示位置无初速倒向地面。问：当m 1= m 2和m 1= 2m 2时，点C 的运动轨迹是否相同。 解：根据受力分析知：∑=0x F ，故系统的质心在水平方向运动守恒。 当m 1= m 2时，系统关于y 轴对称，质心位于y 轴上，且沿y 轴作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹亦为铅垂直线。 当m 1= 2m 2时，质心位于y 轴左侧，且作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹必为曲线。 故两种情况下，点C 的运动轨迹不相同。 8－4 图示水泵的固定外壳D 和基础E 的质量为m 1，曲柄OA =d ，质量为m 2，滑道B 和活塞C 的质量为m 3。若曲柄OA 以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。 解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a ）： 解法1：用动量定理求解 瞬时t ，系统动量 p = p 2+p 3 ω2 2222d m v m p C ? ==，方向如图 ?ωs i n 3333 d m v m p C ==，方向如图 由质系动量应理： ∑==y y y F F t p d d (1) ∑= =x x x F F t p d d (2) ?ω?ωs i n s i n 23232d m d m p p p y y y +?=+= ? ωc o s 2 232d m p p p x x x ? =+= x x x F F F == ∑ g m m m F F F )(321++-==∑y y y 代入（1）、（2），并注意到t ω?=得： g m m m F t d m t d m t y )(s i n s i n 2d d 32132++-=??? ??+?ωωωω x F t d m t =?? ? ???ωωc o s 2d d 2 得t ωd m m g m m m F 2 y ωcos 2 2)(3 2321++++= （3） t m d F 2 x ωωs i n 2 2- = （4） 习题8－4图 习题8－3解图 p (a)
理论力学11章作业题解 11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。 解 (a) 2 1l m l mv L c O w == ，逆时针转动。 (b) w w 2 210||1mR J L v m r L c c c O =+=+′=r r ，逆时针转动。 (c ) )2(2 2 12 2 12 1l R m ml mR ml J J c O +=+=+= w w )2(2 2111l R m J L O O +==，逆时针转动。 (d) w w mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2 2 11-=-=-=-=+′= r r ，顺时针转动 v c v c v c
11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。 解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。平衡时弹簧受力为： )5.0(312G G F s += 弹簧初始变形量： k G G k F s st /)5.0(3/12+==d 在j 角时弹簧的拉力为（小位移）： 3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=￠ 系统对A 点的动量矩： j j j &&&2 21233l g G G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/?=E i A A F M dt dL r ： j j 9 3/5.0332 21221kl l F lG lG l g G G s -=￠-+=+&& 0)3(321=++j j G G gk &&，令) 3(3212G G gk p +=则有02=+j j p &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j 由初始条件0| ,/|000====t t l j d j &得l B A / ,00d ==。故运动方程为： )cos(0 pt l d j = G 1 G 2 F Ax F Ay F s
x y O x y O 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 [习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。 解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： 0=∑ix F ， 设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+ 0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t s m m t s m B A ) (6人+=- s m m s m B A )()6(人+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37 24m s == [习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
r C v 3C v → x y 解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 → → → +=1212C C C C v v v ωl v r C =2 12cos C x C v t l v -=ωω → → → +=1313C C C C v v v ωl v r C 23= 13cos 2C x C v t l v -=ωω 因为质点系在水平方向上不受力，所以 0== ∑ix x F F 由动量定理得： t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω t m m m m m l v C ωωcos )(3 21321+++=
8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ， ＝45°， 为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一端 O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C =ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为 l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆 的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B A B O C v C O 1 A B C D ω v B C C v C 1 v C 2 O M ω 60? v r 习题8-1解图 (a) (b) (c) y 习题8-1图 A B O A B C D ω O M ω 60? (a) (b) (c) 习题8－2解图 v B