习 题
11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动,其运动方程为:t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a x
v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=
)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2=
11-2 C 、D 两球质量均为m ,用长为2 l 的杆连接,并将其中点固定在轴AB 上,杆CD 与轴AB 的交角为θ,如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动,试求下列两种情况下,系统对AB 轴的动量矩。(1)杆重忽略不计;(2)杆为均质杆,质量为2m 。
图11-25
(1)
θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2)
θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l
z ==?
杆 θ22sin 3
8
ml J z = θ
ω22sin 3
8
l m L z =
11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。
图11-26
(a) ω2
3
1ml L O
=
(b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29
1ml L O -=
(c) 2222452312121ml l m l m J O =??+??=
ω224
5ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω22
3mR L O =
11-4 如图11-27所示,均质三角形薄板的质量为m ,高为h ,试求对底边的转动惯量J x 。
图11-27
面密度为 bh
m A 2=ρ
在y 处 b h
y b y = y y h
m y b h
y bh
m y b bh
m A m y A d 2d 2d 2d d 2
=??=??==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量
y y h y h
m
m y h J z d )(2d )(d 222-=
-= ?
?+-=+-=-=h
h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 0
02322222)4
13221(2d )2(2d )(2 26
1mh =
11-5 三根相同的均质杆,用光滑铰链联接,如图11-28所示。试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。
图11-28
3)31(12
1
22???????+=h m ml J z l h 23= 222221
3)121121(3)2331(121m l m l l m m l J z =?+=???
?????+=
11-6 如图11-29所示,物体以角速度w 绕O 轴转动,试求物体对于O 轴的动量矩。(1) 半径为R ,质量为m 的均质圆盘,在中央挖去一边长为R 的正方形,如图11-32a 所示。(2) 边长为4a ,质量为m 的正方形钢板,在中央挖去一半径为a 的圆,如图11-32b 所示。
图11-29
(1)
2
126121R m mR J C -= ππ221m m R R m =
= 222π61π3π6121mR R m mR J C -=?-=
π
)1(ππm
m m m -=
-=' 2222π67
π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+=
ωω2π
6π
97mR J L O O -=-=
(2)
2
1221)4(61a m a m J C -= m m a a m 16π16π2
21== 22296
π325616π2138ma ma ma J C -=?-=
m m m m 16
π
1616π-=-='
222296
π
48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -?+-=?-+-=?'+=
296
π511024mR -=
ωω296
1024
π51mR J L O O -=-=
11-7 如图11-30所示,质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ,质心为C ,AC =e ;轮子半径为R ,对轴心A 的转动惯量为J A ;C 、A 、B 三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩:(1)当轮子只滚不滑时,已知v A ;(2)当轮子又滚又滑时,已知v A 、w 。
图11-30
ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-=
(1)
R
v A =
ω ω)(e R v C +=
R
v e R m me J R v me J R v e R m L A A A A A B ])([)()(2222
++--=--+-=
(2)
ωe v v A C +=
ωωC A B J e R e v m L -++-=))((
ωω)()()(2me J e R me v e R m A A --+-+-= ])()([ωmeR J v e R m A A +++-=
11-8 曲柄以匀角速度w 绕O 轴转动,通过连杆AB 带动滑块A 与B 分别在铅垂和水平滑道中运动,如图11-31所示。已知OC =AC =BC =l ,曲柄质量为m ,连杆质量为2m ,试求系统在图示位置时对O 轴的动量矩。
图11-31
ωω=AB (顺时针) AB O C O L L L +=
ω2
3
1ml L OC = ωωωω22223
4
322)()2)(2(1212ml ml ml l m l mv L AB C AB =-=-+=
ω23
5
ml L OC
=
11-9 如图11-32所示的小球A ,质量为m ,连接在长为l 的无重杆AB 上,放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w 0绕O 1O 2轴转动,小球受到与速度反向的液体阻力F =km w ,k 为比例常数。问经过多少时间角速度w 成为初角速度的一半?
图11-32
ω2ml L z = ωkml M z -=
z z
M t
L =d d 得 ωωl k
t -=d d ??-
=t
t l
k
0d d 0
ω
ω
ωω
t l k
-=0ln ωω
ω
ω0ln k l t = 2ln k l
t =
11-10 水平圆盘可绕z 轴转动。在圆盘上有一质量为m 的质点M 作圆周运动,已知其速度大小
v 0=常量,圆的半径为r ,圆心到z 轴的距离为l ,M 点在圆盘上的位置由f 角确定,如图11-33所示。
如圆盘的转动惯量为J ,并且当点M 离z 轴最远(在点M 0)时,圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计,试求圆盘的角速度与f 角的关系。
图11-33
0=∑z M 常量=z L
)(00r l mv L z += ?ω?ωcos )cos 2(0022l mv r mv lr r l m J L z z +++++= )(cos )cos 2(00022r l mv l mv r mv lr r l m J z +=+++++?ω?ω )
cos 2()cos 1(220
??ωlr r l m J v ml z +++-=
11-11 两个质量分别为m 1、m 2的重物M 1、M 2分别系在绳子的两端,如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r 1、r 2并固结在一起的两鼓轮上,设两鼓轮对O 轴的转动惯量为J O ,试求鼓轮的角加速度。
图11-34
222111r v m r v m J L O z ++=ω ω11r v = ω22r v =
ω)(222211r m r m J L O z ++= 2211gr m gr m M z -=∑
z z
M t
L ∑=d d 2211222211)(gr m gr m r m r m J O -=++α
2
2
22112
211r m r m J gr m gr m O ++-=
α
11-12 如图11-35所示,为求半径R =0.5m 的飞轮A 对于通过其重心轴的转动惯量,在飞轮上绕以细绳,绳的末端系一质量为m 1=8kg 的重锤,重锤自高度h =2m 处落下,测得落下时间t 1=16s 。为消去轴承摩擦的影响,再用质量为m 2=4kg 的重锤作第二次试验,此重锤自同一高度落下的时间t 2=25s 。假定摩擦力矩为一常数,且与重锤的重量无关,试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。
图11-35
v R
mR J mvR R v J mvR J L z )()()(2
+-=+-=+-=ω
mgR M M z -=∑f
z z
M t
L ∑=d d f 2
)(
M mgR a R
mR J -=+ R M mgR a mR J )()(f 2-=+
R M mgR t
h
mR J )(2)(f 22-=+
h
Rt M mgR mR J 2)(2f 2
-=+
第一次试验
2
2165.0)5.08(5.082
f 2
???-??=?+M g J
)4(322f M g J -=+ (1)
第二次试验
2
2255.0)5.04(5.042
f 2
???-??=?+M g J
)2(125.781f M g J -=+ (2)
(1)-(2)
f 125.4625.281M
g +-= m N 0238.6f ?=M 由(1)得
2f m kg 6.10592)4(32?=--=M g J
11-13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为J ,以初角速度w 0绕其中心轴转动,见图11-36。设空气阻力矩与角速度成正比,方向相反,即M =-k w ,k 为比例系数,试求在阻力作用下,经过多少时间角速度减少一半?在此时间间隔内叶轮转了多少转?
图11-36
刚体定轴转动微分方程
ωω
k M t
J -=∑=d d
t J
k
d d -=ωω
??-
=t
t J
k
2
d d 0
ωωω
ω
t J k -=21ln
2ln k
J
t =
11-14 两均质细杆OC 和AB 的质量分别为50kg 和100kg ,在C 点互相垂直焊接起来。若在图11-37所示位置由静止释放,试求释放瞬时铰支座O 的约束力。铰O 处的摩擦忽略不计。
图11-37 g g g g m g m M J e z O 125)10025(15.0)()(21-=+-=?-?-=∑=-F α
15010031003501100210012115031222=++=?+??+??=O J
g g 6
5150125==α
质心运动定理
αααα125)10025(5.0212211-=+-=?-?-=+=m m a m a m ma y C y C Cy
0=Cx ma
e x Cx F ma ∑= e y Cy F ma ∑=
Ox F =0 21125W W F O y --=-α
0=O x F g m g m F g Oy 216
5
125--=?-
N 4496
275
65125150==?-=g g g F Oy
11-15 质量为100kg 、半径为1m 的均质圆轮,以转速n =120r/min 绕O 轴转动,如图11-38所示。设有一常力F 作用于闸杆,轮经10s 后停止转动。已知摩擦因数μ=0.1,试求力F 的大小。
图11-38
杆
05.35.10N =-=∑'F F M O N 7
3
F F =
圆轮
R F J O d =α
R J F O α=
d N d F F μ= Rt
J R J F F O O μω
μαμ===d N t
mRn n Rt mR Rt J F F O μμμω140π30π721
373732
N =??=== N 28.26910
1.0140120
1100π=?????=
11-16 如图11-39所示的带传动系统,已知主动轮半径为R 1、质量为m 1,从动轮半径为R 2、质量为m 2,两轮以带相连接,分别绕O 1 和O 2轴转动,在主动轮上作用有力偶矩为M 的主动力偶,从动轮上的阻力偶矩为M '。带轮可视为均质圆盘,带质量不计,带与带轮间无滑动。试求主动轮的角加速度。
图11-39
主动轮 M R F F J O --=-11T 2T 1)()(1
α
从动轮 M R F F J O '+-=-22T 1T 2)()(2
α 即
11T 2T 1211)(21
R F F M R m --=α (1) M R F F R m '--=21T 2T 2222)(21α (2) 因 1
221R R =αα
式(1)×R 2+(2) ×R 1
1221222122112121R M MR R R m R R m '-=+αα
12122121221121
21R M MR R R m R R m '-=+αα
12122121)(2
1
R M MR R R m m '-=+α
2
2121121)()
(2R R m m R M MR +'-=α
11-17如图11-40所示,电绞车提升一质量为m 的物体,在其主动轴上作用有一矩为M 的主动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J 1 和J 2 ;传动比 z 2:z 1=i ;吊索缠绕在鼓轮上,鼓轮半径为R 。设轴承的摩擦和吊索的质量均略去不计,试求重物的加速度。
图11-40
主动轴
M R F J -=-1t 11)(α 1t 21R F M i J -=α 1t 1R F M a R
i
J -= (1) 从动轴连重物
v R
mR J mvR R v J mvR J L O )(2
22222+=+=+=ω
mgR R F M O -=∑2t 2
22d d O M t
L O ∑=
mgR R F a R
mR J -=+2t 2
2 (2) 式(1)×R 2+(2) ×R 1
1212
221mgRR MR a R R
mR J a R R i J -=++ 上式除以R 1
mgR Mi a R
mR J i J -=++2
221
2
2
12)(J i J mR R mgR Mi a ++-=
11-18 半径为R 、质量为m 的均质圆盘,沿倾角为θ的斜面作纯滚,如图11-41所示。不计滚动阻碍,试求:(1)圆轮质心的加速度;(2)圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。
图11-41
(1) 圆盘的平面运动微分方程
)
(e C C e y Cy e x Cx M J F m a F m a F ∑=∑=∑=α
F mg ma C -=θsin (1) θcos 0N mg F -= (2)
Fr J C =α (3) αr a C = (4)
由式(3)、(4)得 C ma F 2
1=
代入式(1) θsin 3
2
g a C
=
由式(2) θcos N mg F =
(2) θμμθcos sin 3
1s N s mg F mg F =≤=
θμtan 3
1s ≥ θμtan 3
1min s =
11-19 均质圆柱体A 的质量为m ,在外圆上绕以细绳,绳的一端B 固定不动,如图11-42所示。圆柱体因解开绳子而下降,其初速度为零。试求当圆柱体的轴心降落了高度h 时轴心的速度和绳子的张力。
图11-42
T F mg ma A -= (1)
R F J C T )(-=-α
R F R
a mR A
T 221=
T 2
1F ma A = (2)
由式(1)、(2)得
g a A 32
=
mg F 3
1T = gh h g h a v A A 33
23222=??==
11-20 如图11-43所示,有一轮子,轴的直径为50mm ,无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下,设只滚不滑,5秒内轮心滚过距离s =3m 。试求轮子对轮心的回转半径。
图11-43
与习题11-18类似,此处 2ρm J C =
F mg ma C -=θsin (1)
θcos 0N mg F -= (2)
Fr J C =α (3) αr a C = (4)
由式(3)、(4)得 2
2r
a m F C ρ= 代入式(1) 2
2/1sin r
g a C
ρθ
+=
而 221t a s C = 24.05
32222=?==t s a C
即 24.0/120sin 22=+?r
g ρ
)124
.020sin (22-?=g r ρ
mm 02.909658.1225124
.020sin 8.925124.020sin ==-??=-?=g r ρ
11-21 重物A 质量为m 1,系在绳子上,绳子跨过不计质量的固定滑轮D ,并绕在鼓轮B 上,如图11-44所示。由于重物下降,带动轮C 沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r ,轮C 的半径为R ,两者固连在一起,总质量为m 2,对于其水平轴O 的回转半径为ρ。试求重物A 的加速度。
图11-44
重物A
T 11F g m a m A -=
A a m g m F 11T -= (1)
鼓轮B 和轮C
FR r F J O O --=-T )(α
FR r F r
R a m A
+=+T 2
2ρ (2) F F a m O -=T 2 F F R r
R a m A
-=+T 2 (3) 由式(2)、(3)消去F 得
R F r F R r R a
m r R a m A A T T 222
2+=+++ρ )(T 2
22r R F r
R R a m A +=++ρ
将式(1)代入上式 ))((112
22r R a m g m r R R a m A A
+-=++ρ
)()(112
22r R g m r R a m r
R R a m A A +=++++ρ
)
()()(2
22212
1R m r R m r R g m a A ++++=ρ
11-22 半径为r 的均质圆柱体质量为m ,放在粗糙的水平面上,如图11-45所示。设其中心C 的初速度为v 0,方向水平向右,同时圆柱如图所示方向转动,其初角速度为w 0,且有r w 0 图11-45 由 mg F F ma C μμ-=-=-=N 得 g a C μ-= 由 Fr J C -=-)(α mgr mr μα=22 1 得 r g μα2= gt v t a v v C C μ-=+=00 t r g t μωαωω200+=+= 纯滚时 ωr v C = 即 gt r gt v μωμ200+=- gt r v μω300=- g r v t μω300-= 3 20 00ωμr v gt v v C += -= 11-23 如图11-46所示,长为l ,质量为m 的均质杆AB 一端系在细索BE 上,另一端放在光滑平面上,当细索铅直而杆静止时,杆对水平面的倾角f =45o,现细索突然断掉,试求杆A 端的约束反力。 图11-46 细索突然断掉瞬时 0=ω 质心运动守恒,C 点沿铅垂线向下运动 基点法(以A 为基点,分析C 点) n τCA CA A C a a a a ++= 0n =CA a τ CA A C a a a += ?cos τ CA C a a = (1) 平面运动微分方程 C ma G F -=-N (2) ?αcos 2 )(121N 2l F ml -=- (3) 由式(1)代入式(2)得 ?αcos 2 N l m mg F ?-= 再代入式(3)得 l g l gl )cos 31(cos 6)cos 41121(cos 22 22????α+=+= 由(3)得 ? ?α2 N cos 31cos 6+== mg ml F 当?=45?时,mg F 5 2N = 11-24 如图11-47所示的均质长方体质量为50kg ,与地面间的动摩擦因数为0.2,在力F 作用下向右滑动。试求:(1)不倾倒时力F 的最大值;(2)此时长方体的加速度。 图11-47 长方体平动 0=α 平面运动微分方程 C ma F F =-d 5 4 (1) 05 3 N =-+mg F F (2) )150(3001505 3 300540N d d F F F F -?+?-?+?-= (3) )5 3(N d F mg F F -==μμ 临界状态 0=d 由式(3)得 0150300150N d =+--F F F 02N d =+--F F F 0)21(N =-+-F F μ 0)5 3)(21(=--+-F mg F μ 0)21(]5 3)21(1[=-+-+-mg F μμ N 18.21636.16.05 )4.01(1)4.01(5)21(1)21(==?-+-=-+-=mg mg mg F μμ 此时 )5 3(d F mg F -=μ 由式(1)得 50 8.9502.02.21692.02.092.0) 53(5454d ??-?= -=--=-=m mg F m F mg F m F F a C μ 2m/s 02.2=C a 11-25 如图11-48所示的均质长方形板放置在光滑水平面上。若点B 的支承面突然移开,试求此 瞬时点A 的加速度。 图11-48 点B 的支承面突然移开 0=ω 质心运动守恒,C 点沿铅垂线向下运动 基点法(以A 为基点,分析C 点) n τCA CA A C a a a a ++= 0n =CA a τ CA A C a a a += ?cos τ CA C a a = αAC a CA =τ 故 α?α2 cos l AC a C == (1) 平面运动微分方程 A C F mg ma -= (2) 2 ))((12122l F b l m A -=-+α (3) 由式(1)代入式(2)得 α2 l m mg F A ?-= 再代入式(3)得 2 )2())((12122l l m mg b l m αα?--=-+ 2 2222464 1 )(1212 b l gl ml b l m mgl += ++= α 2 22 432b l gl l a C +==α 2 22224343tan b l glb l b b l gl a a C A +=?+==? 11-26 均质细长杆AB ,质量为m ,长为l ,CD =d ,与铅垂墙间的夹角为θ,D 棱是光滑的。在图11-49所示位置将杆突然释放,试求刚释放时,质心C 的加速度和D 处的约束力。 图11-49 e x Cx F ma ∑= θcos D Cx F ma = (1) e y Cy F ma ∑= mg F ma D Cy -=θsin (2) )(e C C M J F ∑=α d F ml D =α212 1 (3) 基点法(以D 为基点,分析C 点) τn τD C D D C D C D C a a a a a a +=++= (0n =DC a ) θθcos sin τ CD D Cx a a a -= (4) θθsin cos τ CD D Cy a a a --= (5) 由(3)得 d ml F D 122α= (6) 将式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2) θα θθcos 12)cos sin (2τd ml a a m CD D =- mg d ml a a m CD D -=--θαθθsin 12)sin cos (2τ 即 θα θθcos 12)cos sin (2τd ml a a m CD D =- mg d ml a a m CD D -=--θαθθsin 12)sin cos (2τ θαθcot 12cot 2τ d l a a CD D =- (7) θ θαθcos tan 12tan 2τ g d l a a CD D - =-- (8) (7)+(8)得 θ θθα?θcos )cot (tan 12)cot (tan 2τg d l a CD - +=+- αd a CD =τ 2 2212sin 12) cot )(tan 12(cos l d dg d l d g += ++=θθθθα 代入(3)得 2 2212sin l d m gl F D += θ 由(1)得 2 2212cos sin cos l d gl m F a D Cx += =θθθ 由(2)得 g l d l d m mg F a D Cy 2 222212cos 12sin ++-=-=θθ 11-27 均质圆柱体A 和B 的质量均为m ,半径均为r ,一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上,绳的另一端绕在圆柱B 上,如图11-50所示。摩擦忽略不计。试求:(1)圆柱体B 下落时质心的加速度;(2)若在圆柱体A 上作用一逆时针转向,矩为M 的力偶,试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。 图11-50 (1) 圆柱体A r F J A O T )(-=-α r F r a m r A T 221= T 2 1F ma A = (1) 圆柱体B r F J B B T )(-=-α r F r a a mr A B T 221=- T )(2 1F a a m A B =- (2) T F mg ma B -= (3) 式(1)+(2),得 T 221 F ma B = 4 T B ma F = 代入式(3),得 g a B 5 4= (2) 圆柱体A r F M J A O T -=α r F M r a mr A T 221-= T 21F r M ma A -= (1) 圆柱体B r F J B B T )(-=-α r F r a a mr B A T 2)(21-=-- T )(2 1F a a m A B -=- (2) mg F ma B -=T (3) 式(1)+(2),得 T 221F r M ma B -= B ma r M F 4 1 2T -= 代入式(3),得 mg ma r M ma B B --=4 1 2 mg r M ma B -=245 0>B a 得 mgr M 2> 11-28 如图11-51所示,重为350N 的平板放在两个相同的圆柱体上,圆柱体半径为r ,重量为130N ,斜面倾角为20o。今在板上作用一平行于斜面的力F T ,设在平板与圆柱体之间以及圆柱体与斜面之间没有滑动。试求:(1)平板以加速度a =1.8m/s 2沿斜面上升时F T 力的大小;(2)去掉F T 力后平板的加速度。 图11-51 (1) 分析一个圆柱体(另一圆柱体相同) 2/a a C = )2/(/r a r a C ==α θsin 2122g m F F a m C --= r F F r m )(2 212 2+=α 即 θsin 2 2122g m F F a m --= (1) 2124 F F a m += (2) 由式(1)+(2)得 θsin 24 3222g m F a m -= θsin 4 32222g m a m F += (3) 板 a m g m F F F 1122T sin =---θ a m g m F F 112T sin 2++=θ a m g m g m a m 1122sin sin 4 3+++=θθ θsin )()4 3 (2121g m m a m m +++= ?++??+=20sin )130350(8.18 .9130 43 350 17.16419.82+= N 36.246= (2) 分析一个圆柱体(另一圆柱体相同) 2/a a C = )2/(/r a r a C ==α 1222sin F F g m a m C -+=θ r F F r m )(2 212 2+=α 即 1222sin 2 F F g m a m -+=θ (1) 2124 F F a m += (2) 由式(1)+(2)得 θsin 24 3222g m F a m += (3) 板 a m F F g m 1221sin =--θ 2112sin F g m a m -=θ (4) 由式(3)+(4)得 θsin )()4 3 (2121g m m a m m +=+ 2 1214 3sin )(m m g m m a ++= θ 2m/s 585.320sin 5 .447480130 4 35020sin )130350(=?=?+?+=g g a 动量矩定理(2) 班级 学号 姓名 一、选择题 1、圆柱在重力作用下沿粗糙斜面下滚,角加速度 ;当小球离开斜面后, 角加速度 。 (1)等于零; (2)不等于零; (3)不能确定 2、OA 杆重P ,对O 轴的转动惯量为J ,弹簧的弹性系数为k ,当杆处于铅垂位置时弹 簧无变形,取位置角?及其正向如图所示,则OA 杆在铅直位置附近作微振动的运动 微分方程为 。 (1) ??? Pb ka J --=2 ; (2) ??? Pb ka J 2+= ; (3) ??? Pb ka J +-=-2 ; (4) 二、填空题 1、在质量为M ,半径为R 的均质圆环上固接一质量为m 的均质细杆AB ,位置如图,切 有60=∠CAB °。若系统在铅垂面内以角速度ω绕O 轴转动,则系统对O 轴的动量 矩的大小为 。 2、如图系统中,小球质量为m ,水平杆OA 质量不计,弹簧刚度系数为k ,图示为静 平衡位置, 则系统作微振动时的微分方程为 。 三、计算题(解题步骤:①取研究对象画受力图②运动分析③列动力学方程求解) 1、两个重物M 1和M 2的质量各为m 1与m 2,分别系在两条不计质量的绳上,如图所示。此两绳又分别围绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。塔轮的质量为m 3,质心为O ,对轴O 的回转半径为ρ。重物受重力作用而运动,求塔轮的角加速度。 ???Pb ka J -=-2 2、图示均质圆盘的半径R=180mm ,质量m=25kg 。测得圆盘的扭转振动周期s 11=T ;当加上另一物体时,测得扭转振动周期为s 2.1 2=T 。求所加物体对于转动轴的转动惯量。 3、一刚性均质杆重200N 。A 、B 处为光滑铰链约束。当杆位于水平位置时,C 处弹簧压缩了76mm ,弹簧刚度系数为8750N/m 。试求当约束A 突然移走时,此瞬时支座B 的反力。 ·250· 第11章 动量矩定理 11.1 主要内容 11.1.1 质点系动量矩计算 质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩,即 ∑∑==?==n i n i i i i i O O m m 1 1 )(i v r v M L 质点系对于某轴,例如对z 轴的动量矩为 ∑==n i i i z z m M L 1) (v 刚体对转动轴z 轴的动量矩为 ωz z I L = 质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩,即 i i n i i C m v r L ?'=∑=1 i r '为第i 个质点对质心的矢径。 质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩,与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。 C v r L L m C C O ?+= 当刚体作平面运动时,又可表示为 d mv L L C ±=C O 其中d 为点至v C 的垂直距离,当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值,反之取负值, 11.1.2 质点系的动量矩定理 (1)对固定点的动量矩定理 质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩,即 ) (e O O dt d M L = 在直角坐标系上的投影式为 ·251· ?? ?? ? ? ??? ∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F (2)质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即 (e )C C M L =dt d 或 (e ) C Cr M L =dt d 式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。 (3) 动量矩守恒定律 在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零,则质点系对O 点的动量矩为一常矢量,即 () 0=e O M ,常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零,则质点系对该轴的动量矩为一常数,例如 0 )()(=∑e x M F ,L x =常数 11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程 若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ,则刚体绕固定轴z 的微分方程为 z z M t I =22d d ? 或 z z M I =ε 在工程中,常将转动惯量表示为 2z z m I ρ= z ρ称为回转半径。 11.1.4 刚体平面运动微分方程 当刚体作平面运动时,联合应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理,可得到刚体平面运动微分方程 ??? ? ???===∑∑C c y c x c M I F y m F x m ? 第一章静力学公理与受力分析(1) 一.是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体,还适用于变形体。() 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点,该刚体必处于平衡状态。() 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型,在自然界中并不存在。() 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。() 5、力是滑移矢量,力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。()二.选择题 1、在下述公理、法则、原理中,只适于刚体的有() ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三.画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重,所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体) 精选文库 -- - 2 - )e (杆AC 、CB 、整体 )f (杆AC 、CD 、整体 四.画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重,所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a (球A 、球B 、整体 )b (杆BC 、杆AC 、整体 精选文库 -- - 3 - 第一章 静力学公理与受力分析(2) 一.画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重,所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体 习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动,其运动方程为:t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ,用长为2 l 的杆连接,并将其中点固定在轴AB 上,杆CD 与轴AB 的交角为θ,如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动,试求下列两种情况下,系统对AB 轴的动量矩。(1)杆重忽略不计;(2)杆为均质杆,质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -= 动量矩定理 习 题 例1:单摆将质量为m 的小球用长为l 的线悬挂于水平轴上,使其在重力作用下绕悬挂轴O 在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长,摆线由偏角0?时从静止开始释放,求单摆的运动规律。 解:将小球视为质点。其速度为? l v =且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 ()?? 2ml l ml mv m o =?= 又 ()o T m o =,则外力对轴O 之矩为 ()?sin mgl F m o -= 注意:在计算动量矩与力矩时,符号规定 应一致(在本题中规定逆时针转向为正)。 根据动量矩定理,有 ()??sin 2mgl ml t x -= d d 即 0sin =+?? l g (a) 当单摆做微幅摆动时,??≈sin ,并令l g n = 2ω 则式(a )成为 02=+?ω? n (b ) 解此微分方程,并将运动初始条件带入,即当t=0时,0??=,00=? ,得单摆微幅摆动时的运动方程为 t n ω??cos 0= ? 由此可知,单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为 g l T n π ωπ 22== 例2:双轴传动系统中,传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为1J 与2J ,两齿轮的节圆半径分别为1R 与2R ,齿数分别为1z 与2z ,在轴Ⅰ上作用有主动力矩1M ,在轴Ⅱ上作用有阻力矩2M ,如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。 解:轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为 1111R P M J τε-= (a ) 2222R P M J τε+-= (b) 又 1 22112z z R R i === εε (c ) 以上三式联立求解,得 2 21211i J J i M M +-= ε 例3:质量为m 半径为R 的均质圆轮置放在倾角为α的斜面上,在重力的作用下由静止开始运动,设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为f 、f ',不计滚动摩阻。试分析轮的运动。 解:取轮为研究对象,根据平面运动微分方程有 F mg ma c -=αsin (a ) N mg +-=αcos 0 (b) FR J c =ε (c) 由式(b )得 αc o s mg N = (d) 情况一: 设接触处绝对光滑。则F=0,由式(a )、(c)得 αs i n g a c = 0=ε 情况二:设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑,做纯滚动。F 为静滑动摩擦力。 εR a c = ααεαsin 3 1 sin 32 sin 3 2 g F g R g a c = = = ∴ 9-1在图示系统中,均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ,OA 杆的长度为1l ,AB 杆的长度为2l ,轮的半径为R ,轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时,OA 杆的角速度为ω,求整个系统的动量。 ω12 5 ml ,方向水平向左 题9-1图 题9-2图 9-2 如图所示,均质圆盘半径为R ,质量为m ,不计质量的细杆长l ,绕轴O 转动,角速度为ω,求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩: (a )圆盘固结于杆; (b )圆盘绕A 轴转动,相对于杆OA 的角速度为ω-; (c )圆盘绕A 轴转动,相对于杆OA 的角速度为ω。 (a )ω)l R (m L O 222 +=;(b )ω2 ml L O =;(c )ω)l R (m L O 22+= 9-3水平圆盘可绕铅直轴z 转动,如图所示,其对z 轴的转动惯量为z J 。一质量为m 的质点,在圆盘上作匀速圆周运动,质点的速度为0v ,圆的半径为r ,圆心到盘中心的距离为l 。开始运动时,质点在位置0M ,圆盘角速度为零。求圆盘角速度ω与角?间的关系,轴承摩擦不计。 9-4如图所示,质量为m 的滑块A ,可以在水平光滑槽中运动,具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接,另一端固定。杆AB 长度为l ,质量忽略不计,A 端与滑块A 铰接,B 端装有质量1m ,在铅直平面可绕点A 旋转。设在力偶M 作用下转动角速度ω为常数。求滑块A 的运动微分方程。 t l m m m x m m k x ωωsin 21 11+=++ 9-5质量为m,半径为R的均质圆盘,置于质量为M的平板上,沿平板加一常力F。设平板与地面间摩擦系数为f,平板与圆盘间的接触是足够粗糙的,求圆盘中心A点的加速度。 ·125· 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩,等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零,则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关,与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒,则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中,以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图11.23所示,固结在转盘上的均质杆AB ,对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+,式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时,动量矩定理一定有e 1d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式,而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零,则刚体只能做平动;若所受外力的主矢等于零,刚体只能作绕质心的转动。 (×) A B l O ω r 图11.23 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ,绕z 轴转动的回旋半径为ρ,则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关,而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零,质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数 第11章 动量矩定理 上一章我们学习了动量定理,它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时,动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时,若质心在转轴上,则物体动量等于零,可见对于转动刚体而言,动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩,以及作用在物体上力之间的关系。 11.1 动量矩定理 11.1.1质点和质点系动量矩 1.质点的动量矩 如图11-1所示,设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ,与力F 对点O 之矩的矢量表示类似,定义质点对固定点O 的动量矩为 v r v M m ×=)(m o (11-1) 图11-1 图11-2 质点对固定点O 的动量矩是矢量,方向满足右手螺旋法则,如图11-1所示,大小为固 定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍,即 mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中,h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离,称为动量臂。 单位为kg.m 2/s 。 质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似,如图11-2所示,质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩,定义质点对固定轴z 的矩,同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。质点对z 轴的动量矩是代数量,即 z o xy o m =m M =m M Z )]([])[()(v M v v (11-2) 2.质点系的动量矩 质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和,即 ∑==n i i i o )(m 1v M L o (11-3) 质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和,即 Z o n i i i z z )(m =L ][L v M =∑=1 (11-4) 刚体作平移时动量矩的计算:将刚体的质量集中在刚体的质心上,按质点的动量矩计 算。 刚体作定轴转动时动量矩的计算: 设定轴转动刚体如图11-3所示,其上任一质点i 的质量为m i ,到转轴的垂直距离为i r ,某瞬时的角速度为ω,刚体对转轴z 的动量矩由式(11-4)得 图11-3 ω J =ω)r m (=) r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z n i i i n i i i i n i i i i n i i i z ∑∑∑∑====1 21 1 1v z 即 ωJ =L z z (11-5) y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为:2 3t x C =,24t y C =,3 2 1t = ?,其中长度以m 计,角度以rad 计,时间以s 计。设刚体质量为kg 10,对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ,求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解: )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?,→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ,重为W 的均质圆盘固结在长l ,重为P 的均质水平直杆AB 的B 端,绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转,求系统对转轴的动量矩。 解: g Pl l g P J AB z 3312 2,=??= 平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ,半径为R ,当它作图示四种运动时,对固定点1O 的动量矩分别为多大?图中l C O =1。 解:)(a 因为圆盘作平动,所以 ωω211ml J L z O O == 解:)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中,质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解:)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解:)(d 因为圆盘作平面运动,所以: ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω 动量、冲量及动量定理一 1.两物体质量之比为m 1∶m 2=4∶1,它们以一定的初速度沿水平面在摩擦力作用下做减速滑行到停下来的过程中 (1)若两物体的初动量相同,所受的摩擦力相同,则它们的滑行时间之比为_______; (2)若两物体的初动量相同,与水平面间的动摩擦因数相同,则它们的滑行时间之比为_______; (3)若两物体的初速度相同,所受的摩擦力相同,则它们的滑行时间之比为_______; (4)若两物体的初速度相同,与水平面间的动摩擦因数相同,则它们的滑行时间之比为_______. 2. 从高为H 的平台上,同时水平抛出两个物体A 和B ,已知它们的质量m B =2m A ,抛出时的速度v A =2v B ,不计空气阻力,它们下落过程中动量变化量的大小分别为Δp A 和Δp B ,则( ) A.Δp A =Δp B B.Δp A =2Δp B C.Δp B =4Δp A D.Δp B =2Δp A 3.“蹦极”是一项勇敢者的运动,如图5-1-1所示,某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P 处自由下 落,在空中感受失重的滋味.若此人质量为60 kg ,橡皮绳长20 m ,人可看成质点,g 取10 m/s 2,求: (1)此人从点P 处由静止下落至橡皮绳刚伸直(无伸长)时,人的动量为_______; (2)若橡皮绳可相当于一根劲度系数为100 N/m 的轻质弹簧,则此人从P 处下落到_______m 时具有最大速度;(3)若弹性橡皮绳的缓冲时间为3 s ,求橡皮绳受到的平均冲力的大小. 4. 高压采煤水枪出水口的截面积为S ,水的射速为v ,射到煤层上后,水速度为零.若水的密度为ρ,求水对煤层的冲力. 5.将一质量为kg 1的物体以速度0v 抛出,若在抛出后s 5钟落地,不计空气阻力,试求此物体在落地前s 3内的动量变化。 6.玻璃杯同一高度下落下,掉在水泥地上比掉在草地上容易碎,这是由于玻璃杯与水泥地撞击的过程中( ) A .玻璃杯的动量较大 B .玻璃杯受到的冲量较大 C .玻璃杯的动量变化较大 D .玻璃杯的动量变化较快 7.蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做出各种空中动作的运动项目。一个质量为kg 60的运动员,从离水平网面m 2.3高处自由落下,着网后又沿竖直方向蹦回离水平网面m 0.5高处。已知运动员与网接触的时间为s 2.1,若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力来处理,求此力的大小。 8.如图1所示,质量为M 的小车在光滑的水平面上以速度0v 向右做匀速直线运动,一个质量为m 的小球从高h 处自由下落,与小车碰撞后反弹上升的高度为仍为h 。设M ?m ,发生碰撞时弹力N F ?mg ,小球与车之间的动摩擦因数为μ,则小球弹起时的水平速度可能是 A .0v B .0 C .gh 22μ D .-v 0 9.一个质量为m=2kg 的物体,在F 1=8N 的水平推力作用下,从静止开始沿水平面运动了t 1=5s,然后推力减小为F 2=5N,方向不变,物体又运动了t 2=4s 后撤去外力,物体再经 过t 3=6s 停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。 10.质量是60kg 的建筑工人,不慎从高空跌下,由于弹性安全带的保护作用,最后使人悬挂在空中.已 第十二章 动能定理 [习题12-1] 质点在常力→ → → → ++=k j i F 543作用下动动,其运动方程为24 32t t x + +=,2t y =,24 5 t t z +=(F 以N 计,x 、y 、z 以m 计,t 以s 计) 。求在0=t 至s t 2=时间内F 力所作的功。 解:)(2)0(m x = )(724 3 22)2(2m x =?+ += )(527m x =-=? 0)0(=y )(42)2(2m y == )(404m y =-=? 0)0(=z )(724 5 2)2(2m z =?+ = )(707m z =-=? z F y F x F W z y x ?+?+?= )(66754453J W =?+?+?= [习题12-2] 弹簧原长为OA ,弹簧刚度系数为k ,O 端固定,A 端沿半径为R 的圆弧运动,求在由A 到B 及由B 到D 的过程中弹性力所作的功。 解: )(222B A B A k W δδ-=→ ])22(0[222R R k W B A --=→ 2)22(2R R k W B A --=→ )(222D B D B k W δδ-=→ ])2135cos 2()22[(2 20222R R R R R R R k W D B -?-+--=→ ])222()22[(22222R R R R R k W D B -+--=→ ])222()22[(2 22R R R R k W D B -+--=→ [习题12-3 ] 用跨过滑轮的绳子牵质量为kg 2的滑块,沿倾角为0 30的光滑斜槽运动。设绳子拉力N F 20=。计算滑块由位置A 到位置B 时,重力与拉力F 所作的总功。 解: 重力所做的功为: 030sin ??-=-=AB mg mgh W G 030cos 6 = BC 00045 sin 30cos 6 45sin 15sin ==BC AB )(536.245 sin 30cos 15sin 60 00m AB == )(853.245.0536.28.92J W G -=???-= 当滑块由A 移动到B 时,绳子沿拉力F 方向移动的距离为: )(557.160 sin 6 45sin 60 0m BC AC s =-= -= 故拉力F 所做的功为: )(14.31557.120J Fs W F =?== )(6.28731.14853.24W F J W W G ==总+-=+ [习题12-4 ] 翻斗车车车厢装有3 5m 的砂石,砂石的单位体积重量为3 /23m kN ,车厢装砂石后重心B 与翻转轴A 之间水平距离为m 1。如欲使车厢绕A 轴翻转之角速度为 s rad /05.0。问所需的最大功率? 解:N kN G 115000 )(115523==?= 撑杆克服重力所需的功率为: ωθω??==cos AB G M P AZ 其中,θ为AB 与水平面之间的夹角。 )(cos 75.5)(cos 575005.0cos 1115000kW W P θθθ==???= y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为:2 3t x C =,24t y C =,3 2 1t = ?,其中长度以m 计,角度以rad 计,时间以s 计。设刚体质量为kg 10,对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ,求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解: )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?,→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ,重为W 的均质圆盘固结在长l ,重为P 的均质水平直杆AB 的B 端,绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转,求系统对转轴的动量矩。 解: g Pl l g P J AB z 3312 2,=??= 平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ,半径为R ,当它作图示四种运动时,对固定点1O 的动量矩分别为多大?图中l C O =1。 解:)(a 因为圆盘作平动,所以 ωω2 11ml J L z O O == 解:)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中,质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解:)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解:)(d 因为圆盘作平面运动,所以: )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω 1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 ( ) 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量,刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 ( ) 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零,那么,质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点(或轴)的矩恒为零,则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱,半径均为R ,质量分别为2m 和3m ,重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ,圆柱C 在斜面上只滚不滑,圆柱O 与绳子之间无引对滑动,则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ,质量为m ,在水平面上作纯滚动,质心速度为C v ,则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、,刚体的质量为m ,对z 轴的转动惯量为z J ,则' z J 的计算公式为__________________。 A .2)(b a m z z ++='J J ; B .)(2 2b a m z z -+=' J J ; C.)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ,质量相等,半径相同,放在光滑水平面上,分别受到F 和' F 的作用,由静止开始运动,若' F F =,则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 A.B A p p >; B.B A p p <; C.B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳,绳的一端作用一水平力P ,已知车轮的半径为R ,轮轴的半径为r ,车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ,以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ,绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时,力P 的值为_________________。 A.ρ/fWR P =; B.r fWR P /=; C.r fW P /ρ=;④ fW P =。 第一章 静力学公理和物体的受力分析 一、选择题与填空题 1.C 2.ACD 3.A ,B 两处约束力的方向如图所示。 4.5F ,方向与5F 方向相反。 5.60°。 6. 铅直向上。 第二章 平面力系 一、选择题与填空题 1.B ;D 。 2.B 。3. 2 F ;向上。4.B 。5.L M 334;方向与水平线成?60角,指向 右下。6.10kN ;10kN ;5kN ;5kN 。7. 100kN ;水平向右。 二.计算题 1. 70-=B F KN 70=Ax F KN ,120=Ay F KN ,30A M KN m =-? 2. qa F Ax -= qa F F Bx += F qa F Ay += F qa F By -= 3. kN 5-=Dx F kN 33.4=Dy F kN 33.4=E F kN 41.24=C F kN 08.17-=By F kN 5-='=Bx Ax F F kN 08.14-=Ay F m kN 66.14?-=A M 4. 5. N 10=Ax F N 20=Ay F m N 15?=A M N 1.14=CD F 6. kN 5.2=Ax F kN 16.2-=Ay F m kN 8?-=A M kN 33.20=C F 7. kN 40=B F kN 10-=Ax F kN 20-=Ay F m kN 50?-=A M kN 40=Cx F 0 =Cy F 8. N 100-=Ax F N 300-=Ay F N 300-=Ex F N 100=Ey F N 200=Dy F N 300=Hx F N 100=Hy F 第三章 空间力系 一、选择题与填空题 1.B 。 2.B 。 3. 0)(=F M x ;2)(Fa F M y -= ;4 6)(Fa F M z = 。 4. F x =240-N ;F y =302N ;M z =2402m N ?。 5. sin z F F ?=;cos cos y F F ?β=; ()(cos cos sin )x M F F c b ?β?=+。 6. ?sin )(Fa F M AB = 。 7. 6 R x C - =;0C y =。 第一章静力学公理与受力分析(1) 一. 是非题 1、 加减平衡力系公理不但适用于刚体,还适用于变形体。 () 2、 作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点 ,该刚体必处于平衡状态。() 3、 刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型 ,在自然界中并不存在。() 4、 凡是受两个力作用的刚体都是二力构件 。 () 5、 力是滑移矢量,力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果 。 () 二. 选择题 1、在下述公理、法则、原理中,只适于刚体的有 () ①二力平衡公理 ②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理 ④力的可传性原理 ⑤作用与反作用公理 滑接触。整体受力图可在原图上画 (b)杆 AB F H 画出下列图中指定物体受力图 。未画重力的物体不计自重 ,所有接触处均为光 (c)杆AB、CD、整体 (d )杆AB、CD、整体 (e)杆AC 、CB 、整体 (f )杆AC 、CD 、整体 四.画出下列图中指定物体受力图 。未画重力的物体不计自重 ,所有接触处均为光 滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画 。 (a )球A 、球B 、整体 (b)杆BC 、杆AC 、整体 岁」」L j 第一章静力学公理与受力分析(2) 画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重,所有接触处均为光滑接 触。整体受力图可在原图上画 B FBD of the en tire frame (a)杆AB、BC、整体 Original Figure (b )杆AB、BC、轮E、整体 (d )杆BC带铰、杆AC、整体 (e )杆CE、AH、整体 (g )杆AB带轮及较A、整体 ru\p 月(h )杆AB、AC、AD、整体 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩,等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零,则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关,与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒,则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中,以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图所示,固结在转盘上的均质杆AB ,对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+,式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时,动量矩定理一定有e 1 d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式,而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零,则刚体只能做平动;若所受外力的主矢等于零,刚体只能作绕质心的转动。 (×) 图 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ,绕z 轴转动的回旋半径为ρ,则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关,而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零,质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和 三 动量定理的应用 姓名 一、选择题(每小题中至少有一个选项是正确的) 1、在下列各种运动中,任何相等的时间内物体动量的增量总是相同的有( ) A 、匀加速直线运动 B 、平抛运动 C 、匀减速直线运动 D 、匀速圆周运动 2、质量为5 kg 的物体,原来以v=5 m/s 的速度做匀速直线运动,现受到跟运动方向相同的冲量15 N ·s 的作用,历时4 s ,物体的动量大小变为 ( ) A.80 kg ·m/s B.160 kg ·m/s C.40 kg ·m/s D.10 kg ·m/s 3、用力拉纸带,纸带将会从重物下抽出,解释这些现象的正确说法是:( ) A 、在缓慢拉动纸带时,纸带给物体的摩擦力大; B 、在迅速拉动纸带时,纸带给物体的摩擦力小; C 、在缓慢拉动纸带时,纸带给重物的冲量大; D 、在迅速拉动纸带时,纸带给重物的冲量小. 4、从同一高度的平台上,抛出三个完全相同的小球,甲球竖直上抛,乙球竖直下抛,丙球平抛.三球落地时的速率相同,若不计空气阻力,则( ) A 、抛出时三球动量不是都相同,甲、乙动量相同,并均不小于丙的动量 B 、落地时三球的动量相同 C 、从抛出到落地过程,三球受到的冲量都不同 D 、从抛出到落地过程,三球受到的冲量不都相同 5、若质量为m 的小球从h 高度自由落下,与地面碰撞时间为 ,地面对小球的平均作用力大小为F ,则在碰撞过程中(取向上的方向为正)对小球来说( ) A 、重力的冲量为 B 、地面对小球的冲量为 C 、合力的冲量为 D 、合力的冲量为 6、一物体竖直向上抛出,从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t,上升的最大高度是H ,所受空气阻力大小恒为F,则在时间t 内 A.物体受重力的冲量为零 B.在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量 小 C.物体动量的增量大于抛出时的动量 D.物体机械能的减小量等于FH 7.恒力F 作用在质量为m 的物体上,如图8—1所示,由于地面对 物体的摩擦力较大,没有被拉动,则经时间t ,下列说法正确的是 A.拉力F 对物体的冲量大小为零 B.拉力F 对物体的冲量大小为Ft C.拉力F 对物体的冲量大小是Ftcos θ D.合力对物体的冲量大小为零 *8、物体在恒定的合力F 作用下作直线运动,在时间Δt 1内速度由0增大到v ,在时间Δt 2内速度由v 增大到2v 。设F 在Δt 1内做的功W 1,冲量是I 1;在Δt 2内做的功W 2,冲量是I 2。那么 ( ) A .I 1 习 题 12–1 一刚度系数为k 的弹簧,放在倾角为θ的斜面上。弹簧的上端固定,下端与质量为m 的物块A 相连,图12-23所示为其平衡位置。如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ,不计摩擦力,试求作用于重物A 上所有力的功的总和。 图12-23 ))((2 sin 2st 2 st s k s mg W +-+ ?=δδθ 2st 2 sin s k s k mgs --=δθ 22 s k -= 12–2 如图12-24所示,在半径为r 的卷筒上,作用一力偶矩M=a ?+b ?2 ,其中?为转角,a 和b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。设重物B 的质量为m ,它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时,试求作用于系统上所有力的功的总和。 图12-24 3 22π40 π3 64π8d )+ (d b a b a M W M + ===? ????? mgr r mg W F π4π4μμ-=?-= )3π16π6π(3 4 π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑ 12–3 均质杆OA 长l ,质量为m ,绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动,如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为θ, 试求杆的动能。 图12-25 x x l m x x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω=== θωθω2220222k sin 6 1 d )sin 2(ml x x l m E l ?== 12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动,质量为 m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下,如图12-26所示。试求 系统的动能。 图12-26 ])30sin ()30cos [(2 1 2 122221k ?++?+=u v u m v m E )30cos 2(212 122221?+++=uv v u m v m )3(2 1 2122221uv v u m v m +++= 12–5 如图12-27所示,滑块A 质量为m 1,在滑道内滑动,其上铰接一均质直杆AB ,杆AB 长为l ,质量为m 2。当AB 杆与铅垂线的夹角为?时,滑块A 的速度为A v ,杆AB 的角速度为ω。试求在该瞬时系统的动能。 图12-27 AB A E E E k k k += 22222221)12 1(21])sin 2()cos 2[(2121ω?ω?ωl m l l v m v m A A ++++= )12 1cos 41(212122222 221ω?ωωl lv l v m v m A A A ++++= )cos 3 1(2121222 221?ωωA A A lv l v m v m +++= 12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动,设曲柄和椭圆规习题 动量矩定理(2)
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