第五章 弯曲内力

第五章弯曲内力

习5-1如图5-6所示各梁，试求指定截面（标有细线）的剪力和弯矩。

图5-6

解：（a）图5-6a所示为悬臂梁，不必先求支座反力。由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩，

1-1截面：，

2-2截面：，

（f）如图5-6f所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力

，

由简便方法，即得指定截面上的剪力和弯矩，

1-1截面：，

2-2截面：，

（i）图5-6i所示为外伸梁，但由于指定截面均位于外伸段，故不必求支座反力。由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩，

1-1截面：，

2-2截面：，

习5-2试建立习题5-2图所示各梁的剪力方程和弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图并确定

|F S|max和|M|max。

习题5-2图

解：（d）图（d）所示为悬臂梁，无需求支座反力。

如图d所示，在距梁左端A为x处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为

（0

根据剪力方程、弯矩方程，作出该简支梁的剪力图和弯矩图如图d所示。由图可得

（i）如图（i）所示

习题5-2图

先取外伸梁AC为研究对象，由平衡方程求出其支座反力

根据梁上外力情况，需分AB、BC两段建立其剪力方程和弯矩方程。在距梁左端A为x处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为

AB段：

BC段：

根据剪力方程、弯矩方程，分段作出该简支梁的剪力图和弯矩图如图i所示。由图可得

习5-3如图5-8所示各梁，试利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系作剪力图和弯矩图。

图5-8

解：（a）图5-8a所示为悬臂梁，无需求支座反力。

根据梁上外力情况，作图时应分为、两段。利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-8a所示。

（b）如图5-8b所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力

，

根据梁上外力情况，作图时应分为、两段。利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作

出其剪力图和弯矩图如图5-8b 所示。

（j ）如图5-8j 所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力

，

根据梁上外力情况，作图时应分为、两段。利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-8j 所示。

习5-5 试选择合适的方法作出简支梁在图5-10所示四种载荷作用下的剪力图和弯矩图，并比较其最大弯矩值。试问由此可以引出哪些结论？

图5-10

解：在如图5-10所示四种载荷作用下，由对称性易知，简支梁的支座反力相等，均为

利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，分别作出该简支梁在四种载荷作用下的剪力图、弯矩图如图5-10a 、b 、c 、d 所示，其最大弯矩值分别为

，

，

，

由此可见，将载荷分散作用于梁上，可减小梁内的最大弯矩值，从而提高梁的承载能力。 习5-6 试作出习题5-6图所示刚架的弯矩图。

解：（a）如图a所示刚架一端固定、一端自由，无需支座反力。

根据刚架的结构和所受外力情况，应分为CB、BA两段来绘制其弯矩图。

CB段：其上没有分布载荷，弯矩图为斜直线，作图需2个控制点。由截面法或简便方法，得其两端截面上的弯矩

BA段：弯矩图为斜直线，作图需2个控制点。弯矩在B端处连续，即有

再由截面法或简便方法，得其下端A截面上的弯矩

综上所述，即可作出该刚架的弯矩图如图b所示。

习5-7试选择适当方法作出图5-12所示各梁的剪力图和弯矩图，并确定与。

图5-12

解：

（d）如图5-12d所示，选取简支梁为研究对象，由对称性得其支座反力

利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-12d所示。由图可得

，

第六章弯曲应力

习6-1对称形截面如图6-5所示，已知、、、。（1）求阴影部分对水平形心轴的静矩；（2）问轴以上部分面积对轴的静矩与阴影部分对轴的静矩有何关系？

解：（1）确定形心位置

如图6-5所示，将整个形截面分割为上、下两个矩形，根据平面图形的形心坐标计算公式，得其形心坐标

（2）求阴影部分对轴的静矩

将阴影部分分割为上、下两个矩形（见图6-5），由公式（6-3），得其对轴的静矩

（3）由于整个形截面对形心轴的静矩为零，由此推断，轴以上部分面积对轴的静矩与阴影部分对轴的静矩互为相反数，即二者大小相等，正负号相反。

习6-3如图6-7a所示，简支梁承受均布载荷作用。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且，，试分别计算它们的最大正应力并比较其大小。

解：（1）计算空心圆内、外径

据题意，实心圆与空心圆的面积相等，即有

代入已知条件，解得空心圆的内、外径分别为

，

（2）确定最大弯矩

作出梁的弯矩图如图6-7b所示，可知梁的最大弯矩

（3）计算最大正应力并比较大小

对于实心圆截面梁，其最大正应力

对于空心圆截面梁，其最大正应力

比较二者大小

即相对于实心圆截面梁，空心圆截面梁的最大正应力减小了。

习6-4矩形截面悬臂梁如习题6-4图（a）所示，已知L=4m，b/h=2/3，q=10kN/m，[σ]=10MPa。试确定梁的横截面尺寸。

习题6-4图

解：（1）作弯矩图，确定最大弯矩

作出梁的弯矩图如习题6-4图（b）所示，可见其最大弯矩

（2）强度计算

根据弯曲正应力强度条件

习6-5 20a号工字钢简支梁的受力情况如图6-9a所示。已知许用应力，试求许可载荷。

解：（1）作弯矩图，确定最大弯矩

作弯矩图如图6-9b所示，可见、截面同为危险截面，其处最大弯矩

（2）强度计算

查型钢表得20a工字钢的抗弯截面系数。

根据弯曲正应力强度条件

≤

解得

≤

所以，许可截荷

习6-7如图6-11a所示，简易吊车梁为一根45a工字钢，梁自重，最大起吊重量，材料的许用应力，试对该梁进行强度校核。

解：（1）求支座反力

选取梁为研究对象，作出其受力图如图6-11a所示，由对称性得支座反力

（2）作弯矩图，确定最大弯矩

作弯矩图如图6-11b所示，可见危险截面位于梁的跨中，其处最大弯矩

（3）强度校核

查型钢表得号工字钢的抗弯截面系数。

根据弯曲正应力强度条件

＜

所以，该梁的强度满足要求。

习6-9形截面悬臂梁的长度、横截面尺寸以及所受载荷如图6-13a所示。已知，

截面对形心轴的惯性矩；梁的材料为铸铁，许用拉应力，许用压应力

。试按强度条件确定梁的许用载荷。

解：（1）作弯矩图，确定最大弯矩

作梁的弯矩图如图6-13b所示，可见正、负弯矩的最大值分别在、截面取得，为

，

（2）强度计算

此梁为脆性材料，横截面关于中性轴又不对称，故需分别对最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个截面进行强度计算。

截面：弯矩为正值，故其上的最大拉、压应力分别发生在截面的下、上边缘处。由拉应力强度条件

≤

解得

≤

由压应力强度条件

≤

解得

≤

截面：弯矩为负值，故其上的最大拉、压应力分别发生在截面的上、下边缘处。显然只需考虑拉应力强度条件，由

≤

解得

≤

综上所述，梁的许用载荷为

习6-13 如图6-17所示矩形截面简支梁，试计算1–1截面上点和点的正应力和切应力。

解：（1）求支座反力

选取梁为研究对象，作出其受力图如图6-17所示，由平衡方程得其支座反力

，

（2）确定1–1截面上剪力和弯矩

用截面法或简便方法，得1–1截面上剪力、弯矩分别为

，

（3）计算1–1截面上点和点的正应力

1–1截面上的弯矩为正值，故截面中性轴以上部分受压、以下部分受拉。根据弯曲正应力计算公式，得点、点的正应力分别为

（4）确定1–1截面上点和点的切应力

根据公式（6-20），得1–1截面上点、点的切应力分别为

习6-17梁的受力情况与截面尺寸如图6-21a所示。已知惯性矩，试求最大拉

应力和最大压应力，并指出最大拉应力和最大压应力的所在位置。

图6-21

解：（1）求支座反力

由对称性可知，梁的支座反力（见图6-21a）

（2）确定最大弯矩

作出弯矩图如图6–21b所示，可见正、负弯矩的最大值分别在、（）截面处取得，其大小相等，为

（3）求最大拉应力和最大压应力

根据弯矩的正负号不难判断，梁的最大拉应力发生在（）截面的上边缘处；最大压应力发生在截面的上边缘处，其大小相等，即有

习6-20矩形截面外伸梁如习题6-20图所示，已知q=20kN/m，Me=40kN·m，材料的许用应力[σ]=170MPa、[τ]=100MPa。试确定该梁的截面尺寸。

习题6-20图

解：（1）求支座反力

选取外伸梁AC为研究对象，作受力图如习题6-20图a所示，由平衡方程得其支座反力

(2)作剪力图和弯矩图，确定最大剪力和最大弯矩

作出梁的剪力图、弯矩图分别如习题6-20图b、c所示，其最大剪力、最大弯矩分别为

（3）由弯曲正压力强度条件确定截面尺寸

根据弯曲正压力强度条件

解得

由弯曲正压力强度条件初选

（4）弯曲切应力强度校核

根据弯曲切应力强度条件，有

符合切应力强度要求。

所以，可以确定梁的截面尺寸为

第七章弯曲变形

习题7-5用积分法求图7-9所示各悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角。设梁的为常量。

图7-9

解：（a）如图7-9a所示，悬臂梁的弯矩方程为

将上述弯矩方程依次带入公式（7-5）、（7-6）积分，得转角方程

（a）

和挠曲线方程

（b）

梁的位移边界条件为

，

将式（a）、（b）代入上述位移边界条件，可得关于积分常数的2个代数方程，联立解之，即得2个积分常数

，

再将所得积分常数回代式（a）、（b），整理即得该梁的转角方程

（c）

和挠曲线方程

（d）

最后，将带入式（c）、（d），得自由端的挠度和转角分别为

，

（b）如图7-9b所示，分段列出梁的弯矩方程

段（≤≤）：

段（≤＜）：

将上述弯矩方程分别依次带入公式（7-5）、（7-6）积分，得转角方程

段（≤≤）：（a）

段（≤＜）：（b）

和挠曲线方程

段（≤≤）：（c）

段（≤＜）：（d）

该梁的位移边界条件为

，

位移连续条件为

，

将式（a）、（b）、（c）、（d）代入上述位移边界条件和位移连续条件，可得关于积分常数的4个代数方程，联立解之，即得4个积分常数依次为

，，，

再将所得积分常数回代到式（a）、（b）、（c）、（d）中，整理得该梁的转角方程

段（≤≤）：（e）

段（≤＜）：（f）

挠曲线方程

段（≤≤）：（g）

段（≤＜）：（h）

最后，将带入式（g）、（e），得自由端的挠度和转角分别为

，

，

习题7-7用叠加法计算图7–11a所示悬臂梁截面的挠度和转角。设梁的为常量。

解：如图7-11b所示，在均布载荷单独作用下，横截面的转角和挠度由表查出，分别为

，

如图7-11c所示，在力偶单独作用下，横截面的转角和挠度由表查出，分别为

，

由图7-11c所示几何关系，得在力偶单独作用下横截面的转角和挠度

，

将以上结果叠加，即得在均布载荷和力偶共同作用下，截面的挠度和转角

习题7-12 试用叠加法计算图7-16所示各种外伸梁的外伸端C的挠度和转角。设梁的EI为常量。

图7-16

解：（b）将图7-16所示外伸梁分解为如图7-16b1、b2和b3三种情况的叠加。查表得，截面C 的转角分别为

截面C的挠度分别为

将上述所得结果叠加，即得图7-16b所示外伸梁的外申端C的挠度和转角

习题7-16一工字钢简支梁受力如习题7-16图所示，若许用应力[σ]=160MPa，许用挠度[]=L/400，材料的弹性模量E=210GPa，试选择工字钢的型号。

习题7-16图

解：（1）强度计算

作出梁的弯矩图如图7-20b所示，其最大弯矩

根据梁的正应力强度条件，有

代入数据，解得

（2）刚度计算

此梁的最大挠度发生在跨中截面C，查表得

根据梁的刚度条件，有

代入数据，解得

根据上述计算结果查型钢表，可选择No.20a工字钢，其抗弯截面系数对中性轴的惯性矩

，同时满足梁的强度和刚度要求。

习题7-21计算图7-25a所示梁的支座反力，并作梁的弯矩图，确定。设梁的为常量。

解：（1）解除多余约束

这是一次超静定问题，将处活动铰支座视为多余约束。解除该处约束，以相应的约束力代之作用，得到原静不定梁的相当系统，如图7–25b所示。

2）建立变形协调条件

变形协调条件为支座处的挠度等于零，即

（3）建立补充方程

由叠加法计算相当系统的，得补充方程

（4）求解多余约束力

由上述补充方程，解得多余约束力

（5）作梁的弯矩图

根据相当系统作出梁的弯矩图如图7–25c所示，可见其最大弯矩为

第五章 弯曲内力

第五章弯曲内力 习5-1如图5-6所示各梁，试求指定截面（标有细线）的剪力和弯矩。 图5-6 解：（a）图5-6a所示为悬臂梁，不必先求支座反力。由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩， 1-1截面：， 2-2截面：， （f）如图5-6f所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力 ， 由简便方法，即得指定截面上的剪力和弯矩， 1-1截面：， 2-2截面：， （i）图5-6i所示为外伸梁，但由于指定截面均位于外伸段，故不必求支座反力。由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩， 1-1截面：，

2-2截面：， 习5-2试建立习题5-2图所示各梁的剪力方程和弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图并确定 |F S|max和|M|max。 习题5-2图 解：（d）图（d）所示为悬臂梁，无需求支座反力。 如图d所示，在距梁左端A为x处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为 （0

习题5-2图 先取外伸梁AC为研究对象，由平衡方程求出其支座反力 根据梁上外力情况，需分AB、BC两段建立其剪力方程和弯矩方程。在距梁左端A为x处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为 AB段： BC段： 根据剪力方程、弯矩方程，分段作出该简支梁的剪力图和弯矩图如图i所示。由图可得 习5-3如图5-8所示各梁，试利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系作剪力图和弯矩图。

图5-8 解：（a）图5-8a所示为悬臂梁，无需求支座反力。 根据梁上外力情况，作图时应分为、两段。利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-8a所示。 （b）如图5-8b所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力 ，

第五章弯曲内力习题答案

第五章弯曲应力习题答案 一、单项选择题 1、A 二、填空题 1、 4 4 3 3 d d d d 32 64 16 32 p p p p L L L L L L 2、弯矩 惯性矩 刚度 3、线性 愈大 零 4、中性层 中性轴 三、 计算题 1、 解： m ax M 270kN m =? []3m ax -6 z 8 27010σ186010 1.4510pa =145M pa <σ160M pa M W ?= = ?=?= 故梁的强度足够。 2、 解： max M 900N m =? []3 m ax 3 z 90010σσ160M pa 96 M b W ?= = ≤= 15.5m m 46.5m m b h ≥≥ 3、 解： 故梁的强度足够。 []m ax 3 3 Z 3 m ax Z M 160N m W 0.11562.5m m M 16010σ102.4M pa <σ140M pa W 1562.5 d =?==?= = = =270kN.m Fl=900N.m 160N.m 140N.m 20N.m

4、 解： ()(Mpa) 8b 3Pl (4b) b 6Pl W M σ3 2 Z a max = ?= = () (M p a ) 2b 3Pl b 4b 6Pl W M σ 3 2 Z b max = ?= = 5、 解：M=1/2（G + Q ）×l /2 = 1/2（55+15）×10/2 ×106 =175×106 （N m m ?） []6 6 9 17510122.4M pa <140M pa 143010 10 Z M W σσ-?= = ==?? 故大梁的强度足够。 6、 解： M=8.5×103×（720-80）=5440×103（N m m ?） () []3 2 6544010503Z M M pa W b b σσ??= = ≤=? 解得： b≥41.7mm; h=125.1 mm 7、 解：（1）求最大弯矩 梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为2 m ax 2 60001 3000N m 2 2 ql M ?== =? （2）求最大应力 因危险截面上的弯矩为负，故截面上边缘受最大拉应力， 6 m ax m ax 18 6 m ax m ax 2830000.015217810Pa 178M Pa 25.610 30000.032838510Pa 385M Pa 25.610 t z c z M y I M y I σσ--=?=?=?=?= ?= ?=?=? 8、 解： 3 6 m ax 3 m ax m ax 6 m ax 510600310N m m 0.1[]310[] 80 72.5m m Z Z Z M Fa W d M W M W d σσσ==??=??== ≤?≥ = ≥

材料力学教案 第5章 弯曲内力

第5章弯曲内力 教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。 教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内力计算。 教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：平面弯曲等基本概念；截面法求梁弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪 力图和弯矩图。 教学学时：6学时。 教学提纲： 5.1 弯曲的概念和实例 5.1.1简单回顾杆件的变形特征 杆件的整体变形有以下几种基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲以及它们的组合。 1、轴向拉伸或压缩 受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向 相反，且作用线与杆件轴线重合。 变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。 2、剪切 受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 变形：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。

3、扭转 受力：在垂直于杆件轴的横截面内，分别作用两个绝对值相等，转向相反的两个力偶。变形：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 4、弯曲 受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶，或在垂直于杆件轴线方向上作用横向力。 变形：杆件轴线由直线变为曲线。 组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。 5.1.2 弯曲的概念 1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例 ()()()()????? ? ?轧板机的轧辊镗刀刀杆 火车轮轴桥式起重机大梁 4321 3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面） ②载荷作用在对称平面内 在此前提下，可讨论杆件弯曲的 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内： 变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。 受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。