分式 知识点及典型例题分析
1、分式的定义：
例：下列式子中，y
x +15、8a 2
b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、
y
x +3
、m a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .
⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22
2xy
x y +.
（2）下列式子，哪些是分式？
5a -； 234x +；3y y
； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+.
2、分式有，无意义，总有意义：
（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12
+x ≠0）
例1：当x 时，分式
51
-x 有意义； 例2：分式x
x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1
2+x x
有意义
例5：x ，y 满足关系 时，分式
x y
x y
-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）
A ．
122+x x B.12+x x C.133+x x D.2
5
x x - 例7：使分式2
+x x
有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 例8：要是分式 ) 3)(1(2 -+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3 3、分式的值为零： 使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。 例1：当x 时，分式121+-a a 的值为0 例2：当x 时，分式1 12+-x x 的值为0 例3：如果分式 2 2+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对 例4：能使分式1 22--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x 例5：要使分式6 59 22+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例6：若 01=+a a ,则a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用： 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例1： aby a xy = ； z y z y z y x +=++2 ) (3)(6 ；如果75 )13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是________； 例2：) (1 332 = b a a b ) (c b a c b --=+- 例3：如果把分式 b a b a ++2中的a 和 b 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A 、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 D 、不变 例4：如果把分式 y x x +10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的 10 1 例5：如果把分式 y x xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍 C B C A B A ??= C B C A B A ÷÷=()0≠C 例6：如果把分式 y x y x +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍 例7：如果把分式 xy y x -中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2 1倍 例8：若把分式 x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ） A ．扩大12倍 B ．缩小12倍 C ．不变 D ．缩小6倍 例9：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A 、y x 23 B 、223y x C 、y x 232 D 、2 323y x 例10：根据分式的基本性质，分式 b a a --可变形为（ ） A b a a -- B b a a + C b a a -- D b a a +- 例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， =---05.0012 .02.0x x ； 例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， 2 11x x x -+--= 。 5、分式的约分及最简分式： ①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质． ③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式） 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。 第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。 例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 例2：下列约分正确的是（ ） A 、3 26x x x =； B 、 0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2 14222=y x xy 例3：下列式子正确的是( ) A 022=++y x y x B.1-=-+-y a y a C.x z y x z x y -+=+- D. 0=+--=+--a d c d c a d c a d c 例4：下列运算正确的是（ ） A 、a a a b a b =--+ B 、2412x x ÷= C 、22a a b b = D 、1112m m m -= 例5：下列式子正确的是（ ） A ．22 a b a b = B ．0=++b a b a C ．1-=-+-b a b a D ．b a b a b a b a +-=+-232.03.01.0 例6：化简2 293m m m --的结果是（ ）A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 例7：约分：= -2 2 64xy y x ；932--x x = ；()xy xy 132=； ()y x y x y x 536.031 51+=-+。 例8：约分： 22444 a a a -++＝ ； =y x xy 2164 ；=++)()( b a b b a a ； =--2 )(y x y x =-+2 2y x ay ax ；=++-1681622x x x ；=+-6292x x 23 314___________21a bc a bc -= 29__________3m m -=+=b a ab 2205__________=+--9 69 22x x x __________。 例9：分式 3a 2a 2++，2 2b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6、分式的乘，除，乘方： 分式的乘法：乘法法测： b a 〃d c =b d ac . 分式的除法：除法法则：b a ÷d c =b a 〃c d =bc ad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是( b a )n .分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(b a )n =n n b a (n 为正整数) 负指数幂: a -p = 1 p a a 0 =1 科学记数法的计算 【例】计算：（1）223)102.8()103(--???； （2）3223)102()104(--?÷?. 例题： 计算：（1）7 4 6239251526y x x x -? （2）13410431005612516a x a y x ÷ （3）a a a 1?÷ 计算：（4）24222a ab a b a ab a b a --?+- （5）425 522 2--?+-x x x x （6）2144122++÷++-a a a a a 计算：（7）3 2 2 346y x y x -? （8）a b ab 2362÷- （9）()2 xy xy x x y -?- 计算：（10） 2 2221106532x y x y y x ÷? （11） 22213(1)69x x x x x x x -+÷-?+++（12） ()22121441a a a a a a -+÷+?++- 计算：（13）1 1 12421222-÷+--?+-a a a a a a （14）()633446222-+-÷--÷+--a a a a a a a 求值题：（1）已知：43=y x ，求xy x y xy y xy x y x -+÷+--2 2 2 2222的值。 （2）已知：x y y x 39-=+，求2 22 2y x y x +-的值。 （3）已知：311=-y x ，求y xy x y xy x ---+2232的值。 例题： 计算：（1）232()3y x = （2）5 2??? ??-b a = （3）3 2323??? ? ? ?-x y = 计算：（4）3 222??? ???????? ??a b = （5）()4 3 22ab a b b a -÷? ??? ??-???? ??- （6）2 2221111?? ? ??-+-???? ??-÷--a a a a a a a 求值题：（1）已知： 432z y x == 求2 22z y x xz yz xy ++++的值。 （2）已知：0325102 =-++-y x x 求y xy x x 222++的值。 例题：计算y x x x y x y x +?+÷+2 22 )(的结果是（ ）A y x x +22 B y x +2 C y 1 D y +11 例题：化简x y x x 1?÷ 的结果是（ ）A. 1 B. xy C. x y D . y x 计算：（1）422448223-+?++-x x x x x x ；（2）1221 122 2+-÷-+-x x x x x （3）(a 2 －1)·22221a a a +-+÷122a a +- 7、分式的通分及最简公分母： 通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解） 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。 例如： 2 22--+x x x 最简公分母就是()()22-+x x 。 “二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。 例如： 4 222--+x x x 最简公分母就是[][]() 2242 -+=-x x x “四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。 例如： ()() 22 22-+-x x x x 最简公分母是：()22-x x 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。 例1：分式 n m n m n m --+2 ,1,12 2的最简公分母是（ ） A ．))((22n m n m -+ B ．2 22)(n m - C ．)()(2n m n m -+ D ．2 2 n m - 例2：对分式 2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ） A ．２４x 2y ３ B ．１２ｘ２ｙ２ Ｃ．２４ｘｙ２ Ｄ．１２ｘｙ２ 例3：下面各分式：221x x x -+,22x y x y +-,11x x --+,22 22 x y x y +-，其中最简分式有（ ）个。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 例4：分式 412-a ，4 2-a a 的最简公分母是 . 例5：分式a 与1 b 的最简公分母为________________； 例6：分式 xy x y x +--2 221 ,1的最简公分母为 。 8、分式的加减： 分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。 通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。 分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。 例1：m n m 22-= 例2：1 4 1322222--+-+a a a a = 例3： x y x y x y -+-= 例4：2 2222222y x x x y y y x y x ---+-+= 计算：（1）4133m m m -+++ （2）a b b b a a -+- （3） 2 2 22) ()(a b b b a a --- （4） 2253a b ab +－22 35a b ab -－228a b ab +. 例5：化简1x +12x +1 3x 等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．5 6x 例6：c a b c a b +- 例7：22142a a a --- 例8：x x x x ---3)3(32 例9： x x x x x x 13632+-+-- 例10： 2 21 2a a a ++-－224a a -- 例11：11--+a a a 例12： 2 11 x x x --- 练习题：（1） 22a b ab b a b -++ （2） x x x x +-+-+-21 44212 （3） 2129a -+23a -. （4） b a b -a b 2++ （5） 2x y x y y x ---- 例13：计算11--+a a a 的结果是（ ）A 11-a B 11--a C 1 1 2---a a a D 1-a 例14：请先化简： 21224 x x x ---，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. 例15：已知：0342 =-+x x 求4 42122++--+x x x x x 的值。 9、分式的混合运算： 例1：4421642++-÷-x x x x 例2：3 41 21311222+++-?-+-+x x x x x x x 例3：222)2222(x x x x x x x -?-+-+- 例4：1342+??? ? ??+-x x x 例5：1111-÷?? ? ?? --x x x 例6：2 2224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 例72 2112( )2y x y x y x xy y -÷-+-+ 例8： x x x x x x x 1 1212 2 ÷??? ??+---+ 例9： x x x x x x x x 4 )4 4122(2 2-÷+----+ 10、分式求值问题： 例1：已知x 为整数，且 23x ++23x -+22189 x x +-为整数，求所有符合条件的x 值的和. 例2：已知x ＝2，y ＝ 12，求222424()()x y x y ??-??+-??÷11x y x y ??+ ?+-?? 的值. 例3：已知实数x 满足4x 2-4x+l=O ，则代数式2x+ x 21 的值为________． 例4：已知实数a 满足a 2 ＋2a －8=0，求3 41 21311222+++-? -+-+a a a a a a a 的值. 例5：若13x x += 求1 2 42++x x x 的值是（ ）．A ．81 B ．101 C ．21 D ．41 例6：已知 113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y ----的值 例7：先化简，再对a 取一个合适的数，代入求值221369 324 a a a a a a a +--+-÷-+-． 练习题： （1）168422+--x x x x ，其中x=5. （2）1616822-+-a a a ,其中a=5 （3）2 222b ab a ab a +++,其中a=-3，b=2 （4）2 1 44122++÷ ++-a a a a a ；其中a=85； （5）x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+，其中x= -1 （6）先化简，再求值： 324x x --÷(x +2－5 2 x -).其中x ＝－2. （7）3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 （8）先化简，2 11 1x x x -??+÷ ??? ，再选择一个你喜欢的数代入求值． 11、分式其他类型试题： 例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356 ，48 7，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数） 例2： 观察下面一列分式：2345124816 ,,,,,...,x x x x x - --根据你的发现，它的第8项是 ，第n 项是 。 例3：按图示的程序计算，若开始输入的n 值为4，则最后输出的结果m 是 （ ） A 10 B 20 C 55 D 50 例4：当x=_______时,分式 x -51与x 3210-互为相反数. 例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝b a 11+，根据这个规则x ☆2 3 )1(=+x 的解为 （ ） A ．3 2 = x B ．1=x C ．3 2 -=x 或1 D ．32=x 或1- 例6：已知 4 )4(42 2 +++=+x C Bx x A x x ，则___________,_____,===C B A ； 例7： 已知37(1)(2)12 y A B y y y y +=+----，则（ ） A ．10,13A B =-= B ．10,13A B == C ．10,13A B ==- D ．10,13A B =-=- 分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数. 题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例1】 已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值 【例2】 已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】 已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值. 分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 第十五章 分式 一、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ??? 8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ??? （n 是正整数） ⑹1 n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 分式方程知识点复习总结大全重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1分式及其基本性质 1.分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1：（ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B. 注意：不是分式 例2：已知，当x为何值时，分式无意义? 当x为何值时，分式有意义? 例3：（2011四川南充市）当分式的值为0时，x的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）－2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。 （2）分式的变号法则： 分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=00 B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>0 0B A 或? ? ?<<00 B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><0 B A ） 知识点三：分式的基本性质 【 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示： C B C ??= A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 ` 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ②@ ③分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 % 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： ． 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正； （２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义： （1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+． 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）4 2||2--x x 分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然 后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则： 第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（ ）个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++； （2）2323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不 变。 （0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。 例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷= 分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； 第十六章 分式 1. 分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A ?C A A C B B ?C B B C （ C 0） 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 4. 分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac a c a d ad ( a )n a n b ? ; ? d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减， 先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 : 运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到 整数指数幂 ． (m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m ?a n a m n ； （ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ab) n a n b n ； （ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ； （ 5）商的乘方： ( a )n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 第二讲分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程 解下列分式方程 （ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程 （1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1 题型三：求待定字母的值 （ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2 1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题 一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车 的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3 第十六章 分式 1.分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A C A A C B B C B B （ C 0） C 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac ; a c a d ad ( a )n a n b d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减， 先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 :运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到 整数指数幂 ．(m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m a n a m n ； （ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ) n n n ； ab a b （ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ； （ 5）商的乘方： ( a ) n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母） ，把分式方程转化 为整式方程。 解分式方程时， 方程两边同乘以最简公分母时， 最简公分母有可能为０， 这样就产生了增根，因 此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 ： (1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母， 化为整式方程； (3)解整式方程； (4) 验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方 程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式 方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审； (2) 设； (3) 列； (4) 解； (5) 答． 南通市初中数学分式经典测试题 一、选择题 1．化简22 a b b a +-的结果是（ ） A ．1a b - B ．1b a - C ．a ﹣b D ．b ﹣a 【答案】B 【解析】 【分析】 原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果． 【详解】 原式= a+b )()b a b a +-（= 1b a - 故答案选B. 【点睛】 本题考查的知识点是约分，解题的关键是熟练的掌握约分. 2．下列运算中，正确的是（ ） A ．2+= B ．632x x x ÷= C ．122-=- D ．325a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数的加法对A 进行判断；根据同底数幂的乘法对B 进行判断；根据负整数指数幂的意义对C 进行判断；根据同底数幂的除法对D 进行判断． 【详解】 解：A 、2不能合并，所以A 选项错误； B 、x 6÷x 3=x 3，所以B 选项错误； C 、2-1=12 ，所以C 选项错误； D 、a 3?a 2=a 5，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 此题考查实数的运算，负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，解题关键在于掌握先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号． 3．关于分式 25x x -，下列说法不正确的是（ ） A ．当x=0时，分式没有意义 B ．当x ＞5时，分式的值为正数 C ．当x ＜5时，分式的值为负数 D ．当x=5时，分式的值为0 【答案】C 【解析】 【分析】 此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x 的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】 A ．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B ．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C ．当0＜x ＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x ＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D ．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 4．要使分式 81x -有意义，x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠- B ．0x ≠ C ．1x ≠ D ．2x ≠ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】 要使分式81 x -有意义， 则x-1≠0， 解得：x≠1． 故选：C ． 【点睛】 此题考查分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 5．若分式 12x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．1x ≠- D ．2x ≠ 【答案】D 【解析】 分式及其运算知识点归纳总结 一、知识点归纳 1、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，B 中含有字母且B 不等于0，那么式子 B A 叫做分式． 需要注意的四点： （1）分式的分母中必须含有字母； （2）分式的分母的值不能为0； （3）分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开； （4）判断分式需要看最初的形式 2、分式有无意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0， 分母为0时，分式无意义 3、分式的值： （1）分式的值为0，满足 000≠=?=B A B A 且 （2）分式的值为1，满足 01≠=?=B A B A （3）分式的值为-1，满足 01≠-=?-=B A B A （4）分式的值为正，满足 ?? ?<>?>00000B A B A B A 或 （5）分式的值为负，满足?? ?>?<0 0000B A B A B A 或 4、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． )0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a ，前提条件是0≠m ,强调是同时 5、分式的符号：y y y x x x -- ==-（符号调整时注意不要改变分式的值）． 6、约分和最简分式： 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．对分式进行约分化 简时，通常要使结果成为最简分式（即分子和分母已没有公因式）或者整式． 通分：最简公分母 7、分式的乘除运算 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变_，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后再加减． 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母分解因式 分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简． 有时进行分项化简 分式及其运算的题型总结 题型一：分式的定义及有无意义 1、下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1π；②2x x ；③(3)(1)x x +÷-；④2 10xy -；⑤242x x --；⑥109x y +． 2、当x 取何值时，下列分式有意义 （1） ax x ； （2）2 3 9 x x +- （3 （4）2 x -． 3、当x =______分式212x x x ---=0，当x =________时，216(3)(4)x x x --+=0 4、已知当2x =-时，分式 x b x a --无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________． 5、若分式 224x x x m ++不论x 取何实数总有意义,则m 的取值范围 分式知识点总结及章末复习 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 经典例题 1、代数式14x - 是（ ） A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种 糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克 元，总价9元的甲种糖果的质量为 千克. 4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ） A. 1a a + B.21a a + C.211a a ++ D.211 a a +- 5、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④311x +中，有意义的是（ ） A.①③④ B.③④ C.②④ D.④ 6、当1a =-时，分式 211 a a +-（ ）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义 7、使分式8483x x +-的值为0，则x 等于（ ） A.38 B.12- C.83 D.12 8、若分式2212 x x x -+-的值为0，则x 的值是（ ） A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2 9、当x 时，分式 11x x +-的值为正数. 10、当x 时，分式11 x x +-的值为负数. 11、当x = 时，分式132x x +-的值为1. 分式知识点及例题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 分式 知识点一：分式的定义 一般地,如果Ａ，Ｂ表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子B A 叫做分式,A 为分子，B 为分母。 知识点二:与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为０（?? ?≠=00 B A ) 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号(?? ?>>0 0B A 或? ? ?<<00 B A ) ５、分式值为负或小于０：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><0 B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以）一个不等于0的整式,分式的值不变。 字母表示: C B C ??= A B A ，C B C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B -- =--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意Ｃ≠0这个限制条件和隐含条件 B ≠０。 知识点四：分式的约分 定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分:根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同 分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤: Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式; Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为: d b c a d c b a ??= ? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则: a ● ÷ 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1. 转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2. 建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题— ——分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3. 类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值(通分与约分) 4. 幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则: b ± c = b ± c (a ≠ 0) a a a b d bc da bc ± da 2. 异分母加减法则: ± = ± = a c ac ac ac (a ≠ 0, c ≠ 0) ; 3. 分式的乘法与除法: b ? d = bd a c ac , b ÷ c = b ? d = bd a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法;a m a n =a m+n ; a m a n =a m －n 6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = mn 7. 负指数幂: a -p = 1 a p a 0=1分式知识点总结和练习题讲义
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