导数讲义整理
导数专题例4:求y 2x23在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。
4.导数的运算
1 .基本函数的导数公式：
①C 0；(C为常数) ②x n n 1
nx ;
③(sin x)cos x;④(cos x)sin x;
⑤(e x)x e ;⑥(a x) a x ln a ;
⑦lnx 1 ;
J
x
⑧ l og a x
1 1
-log a e — x
x
例1：下列求导运算正确的是()
1 1
A. (x+—) 1 —
x x
1 B. (Iog2x)=
xln 2
C. (3x) ' =3g3e r\
D. (x cosx) '-2xsinx
高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思 新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。本学期笔者上了一节市公开课，经课前准备和课后调查，发现学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。 问题⑴：若0x 为函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0吗？ 答：不一定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数x y =在0=x 处有极小值，而)(0x f '不存在。 正确的命题是：若0x 为可导函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0 问题⑵：若)(0x f '= 0, 则函数f(x)在0x 处一定有极值吗？ 答：不一定。反例：函数3x y =有)0(f '= 0，而f(x) 在0=x 处没有极值。 正确的命题是：若)(0x f '= 0,且函数f(x)在0x 处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在0x 处有极值. 问题⑶：在区间),(b a 上的可导函数f(x)，)(x f '>0是函数f(x)在该区间上为增 函数的充要条件吗？ 答：不一定。反例：函数3x y = 在),(∞+-∞上为增函数，而)0(f '= 0。 正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间),(b a 上，)(x f '>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件. （函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内)(x f '≥0。 另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。 问题⑷：单调区间),(b a 应写成开区间还是写成闭区间？ 答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。 问题⑸：“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”有区别吗？ 例1（人教社高中数学第三册第123页例3）：已知曲线33 1)(x x f =上一点P
英特尔公司 英特尔(Intel)公司是美国最大的独立半导体制造商,成立于1968年8月。在世界半导体生产企业中稳居首位，其业务活动以设计和制造先进的大规模半导体集成电路零部件以及采用这些零部件的计算机系统为主。进入九十年代以来，英特尔公司呈现出一种加速发展趋势，年销售额、利润额和资产总额全面增长，而且盈利增长快于销售额增长，有理由相信，随着计算机的普及和信息高速公路的建设，英特尔公司的前景将更加光明。公司总裁格罗夫介绍，公司将全力把个人电脑推上信息高速公路。 英特尔公司的主要产品有微处理器、微型信息处理机和处理板以及通讯产品。公司在美国声誉极佳，这是公司不断探索的结果。创业初期公司规模还不大时，公司领袖诺伊斯等人就决心采用一种切实可行的管理风格，他们的最初的做法是每周非正式的与员工共进午餐以听取意见，不久之后公司转而推行一种仔细推敲的工作安排，强调公开性，在最低一级进行决策，重视纪律和问题的解决等等，要求每天8点以后才上班的员工书面写明迟到的原因。此外，公司还通过三条途径强化管理，加强企业的生存基础。 第一，重视产品开发。和所有高技术企业一样，英特尔面临的是一个竞争激烈、风险很大的市场，公司必须不断创新开发新产品才能在此立住脚跟并有所发展。1980年，果断退出DRA市场，集中精力确保其在微处理器市场上的优势地位。如今，英特尔公司仍然在微处理器市场上居领先地位，同时公司还在研究开发上投放巨资，1992年用于研究开发更新开支的经费预算是20亿美元，公司先后投入50亿美元开发“奔腾”处理器芯片。正确的市场开发战略和巨额的投入是公司经历了八十年代的波折后从新成为世界最大的半导体生产商。 第二，注重质量。英特尔公司通过两种方法来提高其产品质量。一是英特尔生产率集团实施“管理生产率计划”，“以使生产率成为每天生活的一部分”，计划包括工作、任务简化培训，工作负担分配分析和使组织结构最优化。此计划是集团在两年间节约开支1200万美元。二是实行质量审计制度，由公司派遣质量审计官巡回世界各地审查公司产品质量，确认各分支机构是否遵循正确的程序和指令，是否有可以改进的地方，并就有关建议写出报告送交最高管理层和公司质量审查办公室。各分支机构也要经常进行质量自检。 第三，全力营造和谐的企业文化。自九十年代以来公司先后为职工建立了免费健身房，分级咖啡厅，废除了迟到交书面报告制度，推行实绩考评制度，现金奖励制度等等，公司还推行了利润分享计划，三周全薪休假计划，公司员工有机会以15%的折扣购买公司股票，为
导数目录 【导数的计算与几何意义】 【三次函数】 【导数与单调性】 【导数与极最值】 【导数与零点】 【导数中的恒成立与存在性问题】 【原函数导函数混合还原】 【导数中的距离问题】 【导数题基础练习】 【分离参数】 【构造新函数类】 【导数中的函数不等式放缩】 【导数中的卡根思想 【可使用洛必达法则】 【先构造，再赋值，证明和式或积式不等式】 【极值点偏移问题】 【极值点减元思想】 【导数解决含有x ln与x e的证明题】 【导数解决含三角函数的证明】 【高考导数真题研究】
[基础知识整合] 1、导数的定义:,)()(lim )(000 0x x f x x f x f x ?-?+='→? x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 2、导数的几何意义: 导数值)(0x f '是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线的斜率 3、常见函数的导数: ;sin )(cos ;cos )(sin );()(;01x x x x Q n nx x C n n -='='∈='='- ;)(;log 1 )(log ;1)(ln x x a a e e e x x x x ='='= ' ;ln )(a a a x x =' 4、导数的四则运算:[])()(;)(;)(;)(2 x u k x ku v u v v u v u u v v u uv v u v u '=' '+'=''+'=''±'='±; 5、复合函数的导数:[])()())((x u f x f ??'?'=' 6、导函数与单调性: 求增区间，解0)(>'x f ; 求减区间，解0)(<'x f 若函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数0)(≥'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上是减函数0)(≤'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上存在增区间0)(>'?x f 在),(b a 上成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上存在减区间0)(<'?x f 在),(b a 上成立. 7、导函数与极最值: 确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论 8、导数压轴题: 强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多记题型，总结方法
最走心的广告文案 不论国度，不论长度，有些广告文案， 看一眼就觉得惊艳; 看第二眼就想拿来做人生信条; 看第三眼就想跺脚：我怎么就想不到! 励志篇 @宝马mini 不要告诉我你爬过得山，只有晚高峰 @路虎 与其原地回忆惊天动地，不如出发再次经历@奥迪A6 别人看到你的成就，我们看到你的奋斗 @路虎 心不妥协，行不受限 @诺基亚N9 如果多一次选择，你想变成谁? 不，这不是选择，而是对自己的怀疑。 我能经得住多大诋毁，就能经得住多大赞美。如果忍耐算是坚强，我选择抵抗; 如果妥协算是努力，我选择争取。 如果未来才会精彩，我也绝不放弃现在。
你也许认为我疯了，就像我认为你太过平常。 我的真实会为我证明自己。 诺基亚N9，不跟随。 扎心篇 @某地产文案 别让这个城市留下了你的青春，却留不下你 @某地产文案 故乡眼中的骄子，不该是城市的游子 @某地产文案 在遇见你之前，他最爱的字眼叫“远行”。有了你之后，最让他心动的是“回家”。 鼓励篇 @鸿星尔克 你的能量超乎你想像 @央视公益广告 心有多大，舞台就有多大 @爱华仕 装得下，世界都是你的 @欧莱雅 你值得拥有 @自然堂 你本来就很美
@红星二锅头 将所有一言难尽，一饮而尽 小确幸篇 @某泰国啤酒广告 为生活中的美好小事干杯 @下厨房 南来或北往，愿为一人下厨房 @小米 永远相信美好的事情即将发生 @华为 更美好的事情已经发生 @联想 美好的事情才真正开始 @张小泉剪刀 唯有真情剪不断 @铁达时 不在乎天长地久，只在乎曾经拥有 公益篇 @中国移动 打通一个电话，能挽回的最高价值是拯救生命; 修通一条线缆，付出的最高代价是献出生命。@义务献血广告
伯恩巴克的“老二主义” 在市场经济极为发达的美国，出租车行业自然也是早已走上了垄断之路，并出现了几家全国性的大出租车公司。这些公司从事的并不是国内常见的专门载客的业务，而是真正意义上的出租汽车，即将汽车租给一般人使用。如果要出远门，还可以在此城租车而到目的地还车，只要是同一家公司的分支机构就没有问题。在这种情况下，美国的出租车公司规模越大，竞争力就越高，各家出租车公司为争夺行业的龙头老大的地位必然要展开激烈的角逐。 长期以来，在美国租车业中高居榜首的是哈兹公司，占第二位的是埃飞斯公司。为了争夺第一的宝座，埃飞斯公司与哈兹公司展开了激烈厮杀。但由于实力悬殊，埃飞斯公司屡战屡败，自创业之后的15年中，年年亏损，已经到了难以为继的境地，濒临破产的边缘。 1962年，埃飞斯公司更换了总裁。新总裁陶先德调整了经营策略，同时选择伯恩巴克的DDB公司作为自己公司的广告代理商。他要求DDB公司以100万美元的广告费发挥500万的效果，帮助公司扭转颓势。 伯恩巴克到底是伯恩巴克，在与埃飞斯的经理们和自己公司的广告专家进行了认真详细的调查研究之后，他们果断提出了全新的广告策略——放弃争当老大的目标，甘居老二，保存实力，以退为进。 这确实是常人难以理解的一步棋。要知道，在某一行业之中，老大与老二虽然仅仅是一步之差，但是他们的地位却大不相同，占据第一位的公司往往比起其他后来者的各个方面都拥有明显的优势。单单是第一的牌子就有相当高的含金量，凭借它无须花费太大的气力就能争取不少顾客，因为一般人对于第一名总是有一种崇拜的心理。埃飞斯之所以不惜血本与哈兹公司拼死相争，道理也就在这里。 在当时，哈兹公司的财力是埃飞斯的5倍，年营业额是后者的3.5倍，要与这样的强大对手硬争个高低，必然是自己首先倒霉。埃飞斯公司当时的领导人十分开明，接受了这一广告新策略。 就这样，1963年，连续亏损多年的埃飞斯公司开始改弦易张，正式推出公开宣称自己是第二位的全新广告。 伯恩巴克为埃飞斯所策划的广告标题是：“埃飞斯在出租车业只是第二位，那为何与我们同行？”广告正文是：“我们更努力（当你不是最好时，你就必须如此），我们不会提供油箱不满、雨刷不好或没有清洗过的车子，我们要力求最好。我们会为你提供一部新车和一个愉快的微笑……与我们同行。我们不会让你久等。 这是美国历史上第一个将自己置于领先者之下的广告。这一大胆创意遭到了许多人的反对，因为谁也不愿意公开承认自己不如人。但是，埃飞斯公司的总裁对此却十分赞赏，他力排众议，果断采纳了这一广告作品。事实证明了伯恩巴克的正确。广告刊播后，立即引起了广大消费者的关注，并产生了相当强烈的的效果。 这一广告的高明之处，就在于它敢于公开承认埃飞斯公司所处的地位，同时又申明了公司不忘顾客的厚爱，努力工作的积极态度。这一表态引起了美国消费者的极大兴趣和同情。因为，崇拜强者与同情弱者是人类普遍存在的两种感情。埃飞斯公司的广告通过巧妙的形式，唤起了人们的同情心理，因而争取了大量的顾客。两个月之后，埃飞斯公司竟奇迹般扭转了亏损局面。 当年，长期赔本的埃飞斯公司就出现了120万美元的盈余，第二年，这一数字上升到260万，第三年又增长了近一倍，达到500万美元。多年争当老大，亏损累累，如今甘成老二，财源茂盛。这就是杰出的广告策划所带来的巨大效益。 事实上，这个广告有力地利用了相关性，独创性和震撼力，有谁愿意承认自己屈人一等呢？这就是这个广告的独特和震撼之处。埃飞斯公司的这组广告被美国广告界专家视为经典之作，并对其成功的原因进行了详尽的研究。一些人认为，这属于美国最早的定位广告之一，
导数 【知识归纳】 1、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0 →?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作 f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在 点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率 x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f / （x 0）（x －x 0）。 3、几种常见函数的导数: ①0;C '= ②()1 ;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)' ' ' v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)(' ' ' uv v u uv += 若C 为常数,' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：?? ? ??v u ‘=2 ''v uv v u -（v ≠0）。
函数的零点 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3 ()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x = 的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则 1234_________. x x x x +++= 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间 []8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知 1212 x x +=-， 344 x x +=． 所以12341248 x x x x +++=-+=-． 6
【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况 【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数 1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个 相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69): 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：
导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'
导数综合讲义 第1 讲导数的计算与几何意义 (3) 第2 讲函数图像 (4) 第3 讲三次函数 (7) 第4 讲导数与单调性 (8) 第5 讲导数与极最值 (9) 第6 讲导数与零点 (10) 第7 讲导数中的恒成立与存在性问题 (11) 第8 讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13) 第9 讲导数中的距离问题 (17) 第10 讲导数解答题 (18) 10.1导数基础练习题 (21) 10.2分离参数类 (24) 10.3构造新函数类 (26) 10.4导数中的函数不等式放缩 (29) 10.5导数中的卡根思想 (30) 10.6洛必达法则应用 (32) 10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33) 10.8极值点偏移问题 (35) 10.9多元变量消元思想 (37) 10.10导数解决含有ln x 与e x 的证明题（凹凸反转） (39) 10.11导数解决含三角函数式的证明 (40) 10.12隐零点问题 (42) 10.13端点效应 (44) 10.14其它省市高考导数真题研究 (45)
0 0 0 x 导数 【高考命题规律】 2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单； 第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。预测 2018 年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等 式结合考查恒成立问题，另外 2016 年全国卷 1 理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。 【基础知识整合】 1、导数的定义： f ' (x ) = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) ， f ' (x ) = lim f (x + ?x ) - f (x ) 0 ?x →0 ?x ?x →0 ?x 2、导数的几何意义：导数值 f ' (x ) 是曲线 y = f (x ) 上点(x , f (x )) 处切线的斜率 3、常见函数的导数： C ' = 0 ； (x n )' = nx n -1 ； (sin x )' = cos x ； (cos x )' = -sin x ； (ln x )' = 1 ； (log x x )' = 1 x ln a ； (e x )' = e x ； (a x )' = a x ln a ' ' ' ' ' ' u ' u 'v - v 'u 4、导数的四则运算： (u ± v ) = u ± v ；； (u ? v ) = u v + v u ； ( ) = v v 2 5、复合函数的单调性： f ' (g (x )) = f ' (u )g ' (x ) 6、导函数与单调性：求增区间，解 f ' (x ) > 0 ；求减区间，解 f ' (x ) < 0 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上是增函数? f ' (x ) ≥ 0 在(a , b ) 上恒成立； 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上是减函数? f ' (x ) ≤ 0 在(a , b ) 上恒成立； 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上存在增区间? f ' (x ) > 0 在(a , b ) 上恒成立； 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上存在减区间? f ' (x ) < 0 在(a , b ) 上恒成立； 7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论 8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法 a
导数 一、导数的概念 函数P=f(G),如果自变量G 在G 0处有增量x ?，那么函数P 相应地有增量y ?=f （G 0+x ?）－f （G 0），比值x y ??叫做函数P=f （G ）在G 0到G 0+x ?之间的平均变 化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函 数P=f(G)在点G 0处可导，并把这个极限叫做f （G ）在点G 0处的导数，记作f ’ （G 0）或P ’|0x x =。f ’(G 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 例、若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于（） A ．k 2B ．k C ．k 2 1 D ．以上都不是 变式训练：设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值． 1．x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000； 2．.2) ()(lim 000h h x f h x f h --+→ 3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000--→=？ 二、导数的几何意义 函数P=f （G ）在点G 0处的导数的几何意义是曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0））处的切线的斜率是f ’（G 0）。 切线方程为P －P 0=f /（G 0）（G －G 0）。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1 ln x x '=; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成） （1）()f x π=（2）4()f x x =（3）()f x =4）()sin f x x =
《文案必读：据说这些是世界上最好的广告语！》 文/TOPYS 我们常说，沉默是金。但当话题转向商业、政治、广告，事情就大不一样了。你要扯开喉咙大声喊。Slogan，就是把你的品牌印进别人脑海里的图章。它通常要提炼产品卖点、提出一个问题、给出利益承诺，又或者什么都不说。Nike的“Just do it”说了有关产品的什么？但它却是最让人难忘的广告语之一。因此，广告语撰写唯一的圭臬只剩下：聪明，精悍。言多必失，言简却可以表达很多。 ?“万事皆可达,唯有情无价” There Are Some Things Money Can't Buy. For Everything Else, There's MasterCard. 万事达虽然是一个支付平台，广告语却强调有些东西是钱也买不到的，着重为消费者提供非物品的体验，那就是和家人、朋友共享美好时光。而这个为人类普遍共有的追求是没有文化和地域限制的，放之四海而皆准。迄今，屡获殊荣的万事达卡真情无价系列广告已经超过430支，在110个国家和地区以51种语言播放，成功塑造了一个与Visa、美国运通及其他信用卡组织区隔开来的品牌形象。 ?“癌症治愈烟瘾文” Cancer Cures Smoking. 2003年坎城平面大奖。用赖致宇的话说，“不需要拍摄，不需要道具，也不需要演员。只是一排英文字，一个简单想法上的小转折。看似安静的一句话，对那些老烟枪们却是重重的一巴掌！”这就是文案的力量。微信搜索“叁柒商城”，零成本构筑自己的轻公司！ ?“非同凡想” Think Different.
1997年，曾被踢出局的乔布斯重掌苹果，借由这支广告，他让迷失的苹果重新找到了自己的灵魂。长达一分钟的广告涵盖了爱因斯坦、鲍勃·迪伦、约翰·列侬等著名人物，文案“致那些疯狂的家伙”句句铿锵。这支广告让乔布斯落泪，甚至被誉为百年内最伟大的广告。也正因这不同凡响的灵魂，苹果改变了世界。 ?“一切皆有可能” Impossible Is Nothing. 对这句话的演绎，Adidas曾经的3支TVC干得不错——前女足前锋马晓旭：“要让再大的挑战也变得简单，最好的办法就是把自己变得更强”；NBA著名篮球运动员阿里纳斯：“在没有人相信你的时候，你的任何努力都会为自己加分”；贝克汉姆：“你这一生中会经历挫折，但重要的是坚强的度过它” 。从开始的一文不名，经过努力达到巅峰，或者说常人不能及的地位，这就是adid as“一切皆有可能”的真意。 ?“巴黎欧莱雅，你值得拥有” Because You're Worth It. 他们有一个维持多年的策略——在全世界范围选择最具魅力的明星作为品牌代言人，通过代言人的美丽故事带出产品。巩俐、李冰冰、范冰冰等重量级明星都是“梦之队”一员，欧莱雅品牌的奢华、高端、国际范儿也由此树立。过眼云烟的是各类产品，萦绕耳际的却是“巴黎欧莱雅，你值得拥有”的声音。让女人们感觉此生没有欧莱雅足一大憾事，这就是欧莱雅的目的。传播层面也收效良好，甚至有网友把个人签名都改成了“哥就像巴黎欧莱雅，你值得拥有”。 ?“我就喜欢” I'm Lovin'It.
高三数学导数基础讲义教案 二、考试要求 ⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。 ⑵熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, log x的导数）。掌 a 握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。 三、复习目标 1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． x的导数）。 2．熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, log a 掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。 四、双基透视 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 5．瞬时速度
《导数与函数的单调性》教学反思 一、本节课的成功之处： 1.注重教学设计 本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。 2. 注重探究方法和数学思想的渗透 教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，从图像上发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，再从理论上探究验证，这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。培养了学生的探索精神，积累了探究经验。 3. 突出学生主体地位，教师做好组织者和引导者 教师在整个教学过程一直保持着组织者与引导者的身份，通过抛出的若干问题，促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动性，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。并体验发现规律的喜悦感，激发热爱数学的积极情绪。 4. 现代信息技术的合理使用 多媒体的使用，第一，在教学上节省了时间，让学生有更多时间去探究。第二，利用几何画板的优势，使原本不能画出的图像都通过几何画板画出，直观的验证了函数的导数的正负与单调性的关系。帮助学生发现规律。使探究落到实处。 二、本节课存在的不足之处是： （1）课件中有些漏掉的部分。 （2）作业部分未展示。 （3）复习导数概念时，由于学生说不清楚，教师没及时中断，导致引入时间有点长。 三、改进思路： （1）加强学习现代信息技术，提高制作多媒体技术的水平。 （2）在设计教学时，在考虑全面一些，是教学过程更符合学生实际水平。 《导数与函数的单调性》教学反思 一、本节课的成功之处： 1.注重教学设计
导数常用的基本性质及其用法 1．)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）： 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. 2．瞬时速度： 00()()()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 3．瞬时加速度： 00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. 4．)(x f 在),(b a 的导数： ()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 5．函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 6．几种常见函数的导数： ⑴ 0='C （C 为常数）. ⑵ '1()()n n x nx n Q -=∈. ⑶ x x cos )(sin ='. ⑷ x x sin )(cos -='. ⑸ x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. ⑹ x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 7．导数的运算法则： ⑴'''()u v u v ±=±. ⑵'''()uv u v uv =+. ⑶'' '2()(0)u u v uv v v v -=≠. 8．复合函数的求导法则： 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数 ''()u y f u =， 则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.
导数 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函 数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。f ’(x 0)=0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 例、 若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 2 1 D ．以上都不是 变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值． 1．x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000； 2．.2) ()(lim 000h h x f h x f h --+→ 3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000--→=？ 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。 切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）
“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评 1教学预设 1.1教学标准 （1）通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性； （2）通过大量的实例的分析，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景； （3）通过实例的分析，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活，感悟数学的价值； （4）通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率. 1.2标准解析 1.21内容解析 本节是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义.实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先，从平均变化率开始，利用平均变
化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述，即导数；然后，从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义.根据教材的安排，本节内容分4课时完成.第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题的基础上，归纳出它们的共同特征，用f（x）表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率，并给出符号表示.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透. 教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率. 1.22学情诊断 吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单.从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的 本质是本节课教学的关键.而对本节课（导数的概念），学生
16个经典广告创意文案瞬间抓住观众的心 有时，一个精彩的广告文案不仅能给观者以深刻的产品印象，还能记住整个广告的细节，这就像一篇小小说，其目的在于吸引你的眼，抓住你的心。 1.马克的故事 某航天中心的指挥塔内，年轻人马克聚精会神地注视着面前的显示屏。忽然，显示屏上同时出现了两个移动的目标，而且这两个飞行物正越飞越近，有迎头相撞的危险。马克心急如焚，紧盯着显示屏，手忙脚乱地急速操作着键盘。然而，飞行物竟然象设定好了程序一样依然越飞越近。最后，惨剧发生了，撞击的火光映红了整座指挥塔。但就在惨剧发生的一刹那，马克象变了个人一样，他兴奋地紧握双拳，脸上掠过一阵难以抑制的狂喜。这时，画面出现如下字幕：“马克，曾任电子游戏编程员”。广告语：“你可以换老板，但千万别换专业。”(求职网站广告) 2.食指手术的故事 令人期待的时刻终于来到了。静静的病房里，护士正小心翼翼地为中年男子一层一层地揭开缠在食指上的厚厚的纱布。病人惴惴不安，身边的妻子紧握着他的另一只手，主治医生则站在病人的对面，神情也并不轻松。终于，通过手术被加长了的食指活生生地“耸立”在了众人的眼前。手术成功啦！夫妻俩欣喜万分。回到家里，他们迫不及待地打开冰箱，从里面取出了番茄酱瓶子。丈夫把刚刚动过手术的长长的手指伸进瓶子，顺利地将瓶底仅存的一层番茄酱“捞”了出来，兴奋而又自豪地凝望着妻子，而妻子则眼巴巴地盯着丈夫食指尖上的番茄酱……(番茄酱广告) 3.全是洗衣粉惹的祸 一位年轻的日本夫妇来到南美某国旅游。在机场，当日本男子经过安检门的时候，报警器响了起来。他马上意识到自己的衣袋里还装者几枚硬币。于是，他一脸歉意地掏出这几枚硬币，让海关人员过目。不料，海关人员顿时大惊失色。原来，该男子手里除了那几枚硬币外，还有一些可疑的白色粉末。海关人员一涌而上，不由分说地把他强行驾走。其实，那些白色粉状物并不是毒品，而是衣服洗涤时没有完全溶解的洗衣粉。可怜的日本男子大呼冤枉，而年轻的妻子更是痛哭流涕，深感自责。(洗衣液广告)