导数与导函数的概念
【基础知识点】
1 .函数/(X)从丙到花的平均变化率为① _________________ ，若△ x X
2 X i ,
△ y f^)
f(xj ，则平均变化率可表示为
Ar
2.一般的，定义在区间(a ，b )上的函数f(x)，x 。 (a , b)，当 x 无限趋近于0时,
丄 丄^。——x)一无限趋近于一个固定的常数
A ，则称f(x)在x X 。处可导，并
x
x
称A 为f (x)在x X 。处的导数，记作f '(X 。)或f '(x) |x x o
3.几何意义：f (X)在X x 0处的导数就是f(x)在x x 0处的切线斜率。
4?导函数的概念：f (X)的对于区间(a ,b )上任意点处都可导，则 f (X)在各点的导数 也 随x 的变化而变化，因而也是自变量
x 的函数，该函数被称为 f (x)的导函数，记 作
【典例解析】
【典例1】函数f (X)满足f'(1)
2，则当X 无限趋近于0时,
变式：设f(x)在X=X 0处可导,
(3) ______________________________________________________ f(X0 4 X )__LL 型 无限趋近于 1，则 f (x 0)= ________________________________________________
X
(4) _____________________________________________________ f(X 0 4 X ) f(X 0)无限趋近于 1，则 f (X 0)= ________________________________________ r
X
(5) 当厶X 无限趋近于0，
f(X0
2
X )__f(x °
2
X )所对应的常数与f (x 0)的
X
关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
(1) f(1 x) f(1)
2x
(2)
f(1 2x) f(1)
x
【基础知识点】
3
1 ?基本初等函数的求导公式:
(kx b) k (k,b 为常数） ⑵
（C ） 0 （C 为常数）
(x) ⑷（x 2）
2x
(x 3)
3x 2 (丄) x
(■ x)
_1_ 2一x ⑻ (x )
x 1
(
为常数）
⑼ (a x
) a x
ln a (a 0, a 1)
⑽ (log a x) 1 . log a e 1 (a 0, 且a 1) x xl na (11) (e x ) x e (12) (lnx) 1
x (13) (si nx) cosx (14) (cosx) 一 si nx 2. 曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线. 曲线
⑺ 线方程是 y — f (x o )= f '(x o ) (x -x o ); y = f （X ）在点 P （ x o ，f （ x o ））处的切 3.求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 4 ?函数的差、积、商的求导法则： (1) f (x) g(x) ' f'(x) g'(x) (2)
Cf(x) ' Cf (x)' (3) f(x)g(x) ' f'(x)g(x) f(x)g'(x) (4)
f(x) g(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x )
2 (g(x) 0)
【典例解析】
【典例1】求下列函数的导数 （1） y 3 x 5
（3） y log 4 x 1 (2) y —
x
(4) y
si%
x)
1 3 8
【典例2
】已知曲线y 3x 上一点P （2
，-），则过
P
点的切线方程为
12x 3y 16 0 .
变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线 f （x ）
点（1,f （1））处的切线方程为 题型二：点不在曲线上
【典例3】过点（10）作抛物线y x 2 x ［的切线，则其中一条切线为 __________________________ 解析：设切点为x o ,y o ，切线的斜率为f ' x o
2x o 1 ，则切线方程为： y y o f x o x
x o ，因为点（1,0）在切线上，故
y °
f x o 1 x o
，解得
X o 0 ，或X o 2 ，切点为0,1 或 2,3 ，故切线方程为x y 2 0或
3x y 3
变式：1.（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点
1,0 ?与函
数f x e x （ e 是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 _______________ .
2. （2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系 xOy 中，已知点P 是函数f （x ） e x （x 0）的 图
象上的动点，该图象在P 处的切线I 交y 轴于点M 过点P 作I 的垂线交y 轴于点N 设 线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 题型三：已知切线斜率求切线方程 【典例4】求垂直于直线 2x 6y 1 0且与曲线 3 Q 2
y x 3x
5相切的直线方程。
解析：设切点为 x 0, y 0
，切线的斜率为f ' X o
2
3x o 6x 0
3，解得X o 1，切点为
1, 3 ，切线方程为
3x y 6
题型四：已知切线求参数
【典例5】已知直线y
kx 是y ln x 的切线，贝U k 的值为
（5） y cos （- x
）
题型一：点在曲线上 (6) y X x . x
解析：过点P 的切线的斜率为k
2
4，那么切线方程为y
-4x
3
2 ，即
f(0)x gx 2在
3
解析：
设 切点为x ),y o
,切线
的斜率为f ' x o
丄k X o
,切线 方程为
y y o
1 X o
x x o
，即 y
kx y o 1
，由已知条件得 y o 1 0
，切点为
e,1 ,
k 1
e
变式：右直线
y x 是曲线y
x 3 3x 2 3
px 的切线，则实数p 的值为
变式：1 . f'(x)是一次函数，x f'(x) (2x 1)f (x)
1
3
2 ?若对任意的x 有f (x) 4x 且f(1)
2
3?曲线C : f(x)= ax 3+bx 2+cx+d 关于原点成中心对称，y 极小=f(1)=
3
(1 )求f(x)的解析式；
(2)在曲线C 上是否存在点P ,使过P 点的切线与曲线 C 除P 点以外不再有其它公共点? 证明你的结论.
解析：设切点为 x 0,y 0 ，切线的斜率为
3
2
y y 0 x x 0 ，即 y x x o 3x o
3
13 X 。0, p 1 ； x
—
,P
2
4
拓展：点P 是曲线y
e
x
上任意一点，求点
题型五：求函数的解析式
【典例6】已知f(x)的导数f (x) 3x 2 的解析式?
' 2
x o 3x o 6x o p 1，切线方程为
3
2
px o x o ， x o 3x o px o x o 0，解得
P 到直线y x 的最小距离。
2(a 1)x a 2,且 f(O) 2a ,求不等式 f (x)
1，则此函数的解析式是
【答案】4x-y-1=0.
_
1 _
答案 （一In 2,2）解析 设 P （X 0, y 0）, ?/ y = e _x = X ,y ' =_ e _x , A 点 P 处的切线斜率
e
为 k =_ e _X0 =_ 2,
A _ X 0= In 2, A X 0=_ In 2 , A y °= e
ln 2
= 2, ???点 P 的坐标为（_ In 2,2）.
n
3.若曲线 f （x ） = xsin x + 1在x = 处的切线与直线
ax + 2y + 1 = 0互相垂直，则实数 a =
答秦2辉祈『：■令=1,窝匡尅腳左贞尸号卸诗査总1,蓋
1
4. （2008江苏，理8）设直线y -x b 是曲线y In x （x 0）的一条切线，则实数 b 的
2
值是 ___________ . 【答案】In2 — 1 .
1得
X 2，故切点（2, In2），代入直线方程，得，所以
2
5.
（ 2009江苏，理9）在平面直角坐标系 xOy 中，点P
在曲线C:y = x 3_ 10x+3上，且在第二
象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为 2,则点P 的坐标为 _________________________ . 【答案】（—2,15）.
【解析】??? y'= 3x 2_ 10,设切点 P （X 0,y 0）（x 0V 0）,则点 P 处切线斜率 k = 3x 02 — 10= a ,A
X
°
=_ 2（X 0< 0）. A P （— 2,15）. 6. （南通市2013届高三第一次调研测试数学试
卷）
曲线f （x ） f （1）e x f （0）x ■-x 2
在点
（1,f
e
2
（1））处的切线方程为 _______ .
7 .（江苏省淮安市 2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点
1,0 .与函数
练习:
1. （ 2005江苏，理14）曲线y
x 3 x 1在点（1,3 ）处的切线方程是
2. （2014江西）若曲线y = e 「x 上点P 处的切线平行于 直线
2x + y + 1 = 0,则点 P 的坐标是
【解析】，1 ，令1 y '--
x x
b = In2
蛭■卽亠1=0 R 工主总一
f X e x（e是自然对数的底数）图像相切的直线方程是__________________ .
8 .（拓展2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数