史丰收速算法的教学
进行史丰收速算法教学，需要研究明确下面五个问题。
1、内容。用于加、减、乘、除四则运算方面，包括下面内容：（1）指算加法，包括两个一位数相加；多个一位数连加；两个两位数（包括一个是一位数）相加；多个两位数连加；两个多位数相加；多个多位数连加。（由于减法通过"复合数"转化为用加法计算，所以没有指算减法计算。）（2）口算乘法，就是乘数是一位数乘法的一笔清或一口清，包括乘数是
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、9的一位数乘一位数、一位数乘两位数、一位数乘多位数的乘法。（3）笔算乘法，包括乘数是两位数的乘法，乘数是多位数的乘法。（4）心算乘法，跟笔算乘法的内容相同。（5）笔算除法，包括除数是一位数的除法，除数是两位数的除法，除数是多位数的除法。（6）心算除法，内容跟笔算除法的内容相同。
2、形式。史丰收速算法可以安排在基础课里学习，也可以安排在活动课、练习课里学习，可以在兴趣小组里学，也可以在家里学习。
3、时间。史丰收速算法未进入课堂常规教学以前，一般安排在活动课里学习，或者用课余规定的时间来学习。深圳市的福南小学、华富小学、罗湖小学、翠北小学、莲花小学等是每周安排学习一次，新沙小学是每周学习两次，每次40分钟，时间排定在学校的课程表里，竞赛前再适当增加培训时间。研究所组织的强化班培训，安排在周六或周日里进行，每生每次学半天，学生按排定的时间去学习。
4、结构。教学史丰收速算法，无论是在活动课（第二课堂）里教学，还是在基础课（第一课堂）里教学，都要做好传授知识、开发智力、培养能力、激发非智力因素等方面的工作。所以，教学史丰收速算法应该运用启发式，积极引导学生主动探求知识，研究课堂教学优化，提高教学效率。因此，采用合适的课堂教学结构，以保证史丰收速算法教学的顺利进行是很有必要的。
5、用书。史丰收速算法国际研究与培训中心已编有供师生使用的《史丰收速算法普及本》和相应的练习册，还有速算教学VCD碟。教材是教学的中介。教学的依据，有了合适的教材，就有利于教与学。
目录
序史丰收速算法简介
第一章概述——————————————————————————1 §1.1 问题的提出———————————————————————1
§1.2 一位数乘多位数—————————————————————4
第二章一位数乘多位数—————————————————————6 §2.1 传统方法为什么那么笨——————————————————6
§2.2 高位乘法的快速算法大意—————————————————7
§2.3 提出几个概念——————————————————————9
§2.4 一位乘法运算程序和法则—————————————————9
§2.5 2的乘法规律—————————————————————10
§2.6 3的乘法规律——————————————————————13
§2.7 4的乘法规律——————————————————————18
§2.8 5的乘法规律——————————————————————23
§2.9 6的乘法规律——————————————————————26
§2.10 7的乘法规律——————————————————————31
§2.11 8的乘法规律——————————————————————37
§2.12 9的乘法规律——————————————————————41
§2.13 个位规律综合分析———————————————————44
§2.14 小结—————————————————————————46
第三章指算加法———————————————————————48 §3.1 手指与数码——————————————————————48
§3.2 一位加法———————————————————————50
§3.3 进位法则———————————————————————55
§3.4 一位数累加——————————————————————57
§3.5 小结—————————————————————————59
第四章多位数加、减法—————————————————————60 §4.1 多位的加法——————————————————————60
§4.2 纯心算加法——————————————————————61
§4.3 传统加减法的迂回曲折—————————————————62
§4.4 复合数————————————————————————62
§4.5 负数与复数的转换———————————————————64
§4.6 多位数减法及加减法混算————————————————65
第五章多位乘法———————————————————————66 §5.1 竖式算法———————————————————————66
§5.2 乘法纯心算的大局探讨—————————————————67
§5.3 乘法纯心算的分位探讨—————————————————69
§5.4 乘法纯心算的方法与例题————————————————69
§5.5 小结—————————————————————————74
第六章多位数除法——————————————————————75
§6.1 竖式除法———————————————————————75
§6.2 除法纯心算——————————————————————77
第七章速算与珠算结合————————————————————85 §7.1 多位数加法——————————————————————85
§7.2 多位数减法及加减混合运算———————————————91
§7.3 多位数乘法与珠算结合—————————————————93
§7.4 积的定位———————————————————————93
§7.5 空盘前乘法——————————————————————96
§7.6 空盘省乘法——————————————————————101
§7.7 多位数除法与珠算结合—————————————————107
第一章概述
§1.1 问题的提出
大家都知道，算术四则运算是一切数学的基础。而在速算中，乘法是快速运算的基础，
可是，两个多位数的乘法，古今中外一直都是从个位算起，再到十位，百位……。乘数有几位，就得列几排，然后从个位加起，最后得出乘积数，中间过程繁多，进位也容易出错。长期以来，多少人曾考虑能否找出新的规律，以提高运算效率。我带着这个问题，经过多年的钻研和摸索，终于发明了一种速算法。我认为老方法之所以“慢”，关键是两个问题没有解决，一是“进位”，二是“相加”。我的快速算法，就是针对“进位”和“相加”的问题取得了新突破，从而提高运算迅速。
为了便于了解“快速算法”的具体内容，首先谈谈快速算法有关的几个问题：
（一）乘法与加法的关系
我们知道，十进制普通加法的运算法则是数位对齐，逐位相加，满十进位。乘法的运算法则是逐位相乘，同位数相加，满十进位。从表面上看，两者都是只有满十进位是相同的。其实，在乘法里的逐位相乘，就表示加法里的数位对齐相加，而乘法的同位数相加，就表示加法里的逐位相加。两个法则里讲的形式虽然不同，但运算实质是一致的，都满足“同位数相加，满十进位”的规律，这是加法与乘法的共性。但是，乘法与加法相比有着不同特点，即其个性。从普通加法来看，每个数位上的相加数变化无常，是异数相加，而乘法表示的是同数相加，每个数位上的数都是相同的，或者说是“同数”连加，这是乘法的特性，也是乘法不同于一般加法的地方。它说明了加、乘之间的关系。更反应出乘法规律性强之所在，是乘法简便于加法的根据。“快速算法“就是抓住乘法这一特点，研究并建立新的简捷算法。
（二）建立速算乘法改变运算程序的初想
普通加法与乘法的运算，有交换律、结合律和分配律。它们的作用与加或乘数的运算技术无关，也就是说，可以从低位算起，也可以从高位算起，还可以从中间任一位算起。例如：7462×2
=7000×2＋400×2＋60×2＋2×2 (高位算起)
=2×2＋60×2＋400×2＋7000×2 （低位算起）
=400×2＋60×2＋2×2＋7000×2 （中间某一位算起）
从这个特点，我们注意到一点很协调的事，即数的读、写、看都是由左到右（由高位到低位）进行，但一般加、减、乘、除运算却是由低位到高位进行（除法表面上是从高位算起，其实它的每一步运算都是从低位算起，商不准还要改商），这样，读、写、看与算四者不统一。而日常应用中却又是先算大数后算小数。考虑到这种脱节，我们的脑海中便产生了乘法能否也从高位算起的想法，如果能把四者统一起来，在实际应用中就方便多了。
乘法运算的实质，都是“同位数相加，满十进位”，而本位的个位数与它后位的进位数在同位上，要进行相加，就提出这样的问题：本位的个位数有无规律？后位的进位数有无规律？能否在运算中把后位的进位数提前找到，提前加入本位？能“提前进位”才能做到从高位算起，边算边清位，边算边定得数，计算速度必然就大大加快了。但是，实现“提前进位”，取决于相乘数的个位规律（简称个律）和进位规律（简称进律）的掌握，这是从高位算要解决的主要问题。
在普通加法中，加法的进位数用进位点“、”表示，运算时把它写在横线下，同位数对齐。深入研究这种形式上的不同，能否从中找出具有共同规律性的东西呢？从低算起的加法，用进位点暂记进位数比较方便；乘法中的进位数用数字比较方便，形式虽然不同，用意则是一样的。现在我们从一点出发，将加、乘法形式统一用数字来表示。这样做，并不影响运算的正确性，相反，更符合实际，更有利于寻找其中的规律性。我们把连加运算的这种书写方式，称为“分裂进、个”。因为，原来的运算是把进位数与前位的个位数混在了一起，完全当做一件事，并按前位的个位数来对待的，这样便造成一种错觉，也掩盖了加法运算的实质。因此，现在把惯用的书写方式改变过来是很有必要的。
我们把后位的进位数简称“后进”，本位上诸数相加后其和的个位数简称“本个”。
例如：普通加法分裂进、个加法
8 3 4 4 8 3 4 4
2 9 6 2 9 6
5 4 3 5 4 3
7 8 9 7 8 9
＋ 2 0 0 4 ＋ 2 0 0 4
1 1 9 7 6 1 1
2 2 →（后进）
＋0 7 5 6 →（本个）
1 1 9 7 6 →（和的每位数=后进＋本个）
从右边“分裂进、个”算式中，我们竖看和11976的每位数是这样构成的：首位数只有“后进”上来的数1，末位数仅为“本个”，即6，中间各位数1、9、7都是“本个加后进”，即（0＋1）、（7＋2）、（5＋2）。我们可以把相加数中最高位的本个看成是0，最低进位的后进也视为0。所以和的每位数都可以统一为“本个加后进”。
加法的特例：同数连加——→乘法
8 3 4 2 8 3 4 2
8 3 4 2 × 4
8 3 4 2 3 1 1 0 →（后进）
＋8 3 4 2 2 2 6 8 →（本个）
3 1 1 0 →（后进）3 3 3 6 8 →（积）
2 2 6 8 →（本个）
3 3 3 6 8 →（积）
乘法同加法一样，竖看，积的每位数也是：首位数为“后进”，末位数为“本个”。其余各位数都是“本个加后进”。从上面乘式中同样可以看出：相乘数“本个”的最高位前位没有数，可视为0；“后进”的最低位的后位也没有数，也视为0。因此，也可以说，积的每位数都可以统一成为“本个加后进“。
从此看来，乘法问题，实质上还是相乘中“本个加后进”的重复运算，只要预先把本个与后进分开，积的每位数便能由高位到低位，按“本个加后进”逐位推移的方法运算得到。而除法则是乘法的逆运算，在乘除的过程中还要用到加减法，这个又促成了加减法的速算法，所以说，乘法是快速计算法的突破点。
为配合快速乘法的需要，加法也应从高位算起。为此，又制定了一种辅助算法——指算，仅用左手五个手指的屈伸翻转，能连加任意个一位数，其间只须脑记进位数。又用一种复合数代替负数，可以把减法变加法，这样就把加减速混合计算统一在一个法则之下。
这就是史丰收速算法的大概描述。
§1.2 一位数乘多位数
我们按照由易到难的原则，先介绍“一位数乘多位数”的速算法。即乘数是一位数，而被乘数是多位数的乘法规律。
任何一个n 位数乘以一位数，其结果将是一个n 位数或者n＋1位数。例如：2345×3=7035，这里是四位数（n =4）。2345乘以一位数3，得数是四位数7035。又如：9999×9=89991，这也是四位数（n =4）乘以一位数，结果是五位数（n＋1 =5）。为了讲解方便起见，我们约定把n位数乘法一位数的得数仍为n位数的情形也说成是n＋1 位，而将其每一位数视为0。
比如前一例中得数7035是四位数，我们可以把它说成是五位数07035。作这样的约定后，我们就可以统一地说：一个n 位数乘以一位数，其得数是一个n＋1位数。
作了上述约定后，我们根据一般乘法规律，还可以得出一个原则：多位数乘以一位数时，得数中的第m位数，是由被乘数第m位数以及跟随这位数的若干位数和乘数而确定的。
例如：1757×2 =3514，按上述约定其积为应是五位，所以积可以视为03514，积的第三位数是5，它等于被乘数的第三位数7与乘数2相乘所的个位数4，与7后的57乘以2所得的进位数1相加而成的。
又如5375×2 =10750，因积的位数已经够五位，所以积的首位数不应补0。积的第三位数7，是由被乘数的第三位数3乘以2所得的6，与3后的数75乘以2所得的进位数1相加而得。
由此可见，要确定乘积中的第m位数，关键是要确定进位数，也就是说，要找出进位规律来。
我们可以把被乘数除数的第m位当做个位数，该位以后的数看作小数（小数点后的数），设这个小数为k，并设乘数为b，被乘数的第m位为am，积的第m位数为cm，则cm=am ×b的个位数＋k×b进到个位的数。
显然，当1＜k×b＜2进，就进1。用b除不等式得
＜k ＜
这就是说，当小数部分k大于、等于而小于时，就进1。所以我们把叫做乘数为b的进位率。
当2() ＜k＜3()时，就进2；3() ＜k＜4()时，就进3；依次类推。
不同的乘数b，进位率也是不同的，现在排列于下：
乘数（b）进位率（）
= 0.5
=
= 0.25
= 0.2
=
=
= 0.125
=
如果我们把小数部分k的小数点去掉，同样把上述进位率的小数点也去掉，于是，我们可以得出乘数分别为2到9的进位规律：
乘数?????????????????????????进位规律
2?????????2满5进1?
3????????3?超进13超进2?
4????????4?满25进14满5进2?4 满75进3?
5????????5?满2进15满4进25满6进35满8进4?
6????????6?超进16超进26满5进36超进46超进5?
7?????? 7超进1??? 7超进2
7超进3 7超进4
7超7进57超进6?
8????????8?满125进1???? 8满25进2
8满375进38满5进4?
8满625进58满75进6
8满875进7?
9?????????9超进19超进2
9超进39超进4
9超进5 9超进6
9超进79超进8
所谓“满”，是指≥的意思，“满5进一”指≥0.5时，以2乘之进1。
“超”，是指>的意思，“超进1”指>0.333……时，以3乘之进1。
由以上进位规律性可以明显看出，当乘数为n 时，最大的进位数是n－1 ，并且有n－1 句进位口决。
第二章一位数乘以多位数
用一位数乘多位数的乘法是乘法的基础，也是快速算法的基本功；因此把它作为学习乘法的开端。本章着重讨论这种乘法从高位算起的方法和理论。
§2.1 传统方法为什么那么笨
关于这个问题可以借助于实例具体说明。如15834被6乘时，若想知道其乘积的千位上是什么数，除去需要知道本位上5×6 =30个位数0（即本个为0）以外，还需要知道后面834×6进到千位上的数。这必须用6把个位上的4。十位上的3，百位上的8乘遍了以后，才知道这个应进的数（是5）。这要消耗很多时间。利用快速计算法的进位规律能够使我们一看834就知道834×6>5000，从而断定进到千位上的数是5，按“本个加后进”的原则可知，积的千位数应该是本个0加上后进5，等于5。由于快速算法能预断进位数，所以能从高位乘起。
§2.2 高位乘起的快速乘法大意
仍以15834×6为例来说明。
1 5 8 3 4
× 6 （1）
9 5 0 0 4
要问乘积的万位数是什么数，首先想到的是被乘数万位上的1乘以6所得数的本个数为6，另一部分是5834×6要进到万位上的后进数，从理论上估计它，应该是5000 < 5834 < 6000 ∵30000=5000×6 < 5834×6 < 6000×6 =36000
等号两边万位数都是3，这充分说明5834×6，进到万位上的一定是3，那么乘积的万位上一定是本个6＋后进3=9。再看千位上的数，这里有5×6 =30本个数0，还有834×6进到千位上的数。这回若同样按照前边那样估计：
800 < 834 < 900
∴4800=800×6 < 834×6 <900×6 =5400就不爽了。因为最左端的千位是4，而最右端的千位数是5，进位数究竟是4？还是5？，一眼难得看出来。不过，只要看到834×6 =5004就能知道进数是5，所以千位上是0＋5=5。
以上就是从高位乘起的大致程序。这里的难点是如何测定后边进上来的数。快速计算法要解决的正是这两个问题：其一是被乘数某位乘了以后的个位数如何求？第二是该位右边的数被乘以后，要进上来什么数。本章以后各节主要讲这两个问题。我们必须能够一下子把要进位的数看出来，才能够由高位自左而右书写出乘积的各位数字。这种一次性进位要比传统乘法由个位起一位位地乘遍后才知进数快得多。这种乘法“快”就快在这里，而且关键正是
既快又准确地估计这种后进的数为多少，没有这种本领也就谈不上“快”了。
§2.3 提出几个概念
为了便于叙述，我们在这里提出几个名词：
（一）本位、假小数
快速乘法和传统乘法一样，都要一位位处理被乘数的每位数字。传统乘法将口诀（九九表）施加于被乘数某位数时，是把这位数当做个位看待的，快速乘法也这样，我们把被乘数中正在处理的那个数位叫做“本位”。从本位右侧第一位到最末位所表示的数，叫做“假小数”。例如在§2.2的竖式（1）中，当用6乘5时，5是本位，它右边的834是假小数。
（二）本个、后进、本位积
本位被乘以后，我们只取本位数与乘数相乘后的积的个位数，它是最后乘积中相应数位的一部分，叫做“本个”。本位的假小数与乘数相乘后要进位的数，叫做“后进”，“本个＋后进”之积的个位数才是最后乘积中相应数位上的数，称做“本位积”，例如（1）式中以5为本位时，乘各在这位上的本个是0，后进是5，本位积是5。当8为本位时，本个是8×6 =48的8，后进是34×6的进位数2，本位积是8＋2 =10中的个位0。
（三）补数
一个数的补数是由10减它而得的差。例如3的补数是7。显然甲数是乙数的补数时，乙数必然也是甲数的补数，这时我们常说甲、乙两数互补。
对于两数之和为100、1000、……的数，我们称为大补数。在10的范围内互补的数有五对，它们是1,9；2,8；3,7；4,6；5,5。
（四）偶同
小于10的两个非负整数同乘以一个偶数时，如果所得乘积的个位数字相同，就说这两个数是偶同，或者说它们互为偶同。偶同数共有五对，它们是
0 , 5；1 , 6；2 , 7；3 , 8；4 , 9。
构成偶同的基本条件是两数相差为5。或者说，两数偶同的必要充分条件是它们的差等于5，也可以说一个小于10的非负整数的偶同数就是该数加5的个位数。
此五对偶同数必须牢牢熟记，随意说出一数，要不假思索地报出它的偶同数出来。例如：0的偶同数5 ，1的偶同数6 ，2的偶同数7……
（五）自倍
自倍是给10以下的非负整数规定的一种运算。
其中0,1,2,3,4的自倍是0,2,4,6,8。
5,6,7,8,9的自倍是它们的偶同的自倍。
即是说，对于5, 6, 7, 8, 9
取偶同0, 1, 2, 3, 4
再自倍0, 2, 4, 6, 8
这里特别要注意：
5的自倍是0，（注：而不是10）
6的自倍是2，（注：而不是12）
7的自倍是4，（注：而不是14）
8的自倍是6，（注：而不是16）
9的自倍是8，（注：而不是18）
这五个自倍数也不难记忆，只要记住偶同的五对数，再知道偶同的两数自倍相同就行了，应该把下边这个表背得烂熟。
偶同数0，5 1，6 2，7 3，8 4，9
自倍数0 2 4 6 8
§2.4 一位数乘法运算程序和法则
一位数乘多位数的乘法运算可分三个层次。
第一、被乘数首位前补0。这项措施无碍于乘积的数值，却能使乘积的位数永远与被乘数的位数相同。如果乘积的位数发生错误，一眼就能看出来。经过这样处理后才可以说：乘积的任何一位都等于这位上的本个加后进，且只取其各的个位数。
第二、从高位算起。即，从最左边补的那个0开始，按
本位积=（本个＋后进）
只取和的个位数的公式，逐位求出本位积。
为什么本个与后进之积大于9，出现十位数时便弃去十位上的数呢？因为本位左边那位的后进数已经把这个十位上的数包括进去了，所以不能再加一次。
本位积的计算一般是作20以内的加法（本个＋后进），并取其和的个位数。因此，20以内的加法越熟练，计算速度就越快。
§2.5 2的乘法规律
从现在起，我们分别讨论不同的乘数与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字相乘时的本个如何求？各种后进如何算？求本个的方法叫个位规律，求后进的方法叫做进位规律。这两种规律合起来是以代替九九表。在一位数乘多位数时比九九表敏捷，是快速乘法的骨架。
乘数为1时，这个大家都懂了吧？！1乘任何数都不变，不进位，后进数为0。
下面正式讲乘数为2的规律。
（一）个位规律
乘数为2的个位规律是本位乘以2时只求其个位数的法则，在§2.4里讲的自倍数，正好就是用乘了0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之后的个位数。所双自倍的算法就是关于乘数为2，求本个的方法。于是
乘数为2时的本个规律是自倍
因些，我们可以将§2.4里的自倍表挪过来当作乘数为2时的本个表。
本位0，5 1，6 2，7 3，8 4，9
本个0 2 4 6 8
【再提醒大家】本位为5，6，7，8，9时的推算本要先取其偶同（减5即是），然后自倍之。不要暗中用九九表计算，那是自毁长城。其实，这五个本个不难刻，通过一定的练习，熟练后必能生巧。
（二）进位规律
乘数为2时只看本位后第一位数字就能决定进位数，2乘0，1，2，3，4都不进位，2乘5，6，7，8，9都进1。数5是进不进位的分界点，满5就进1。不满5就不进位，或者说进位数是0。满5就进1，不满5就不进位，或者说进位数是0。满5的意思是“大于等于5”。小于5时就不进位，等于或者大于5就进1。如果用“满5”代替“等于或者大于5”，便可以把进位法则概括为一句简单的进位规律：
2满5进1
这句话自然暗含着“不够5不进”的意思，这是不言而喻的。
只凭个位后边第一位来判断后进数的方法固然简便，然而后进数是从假小数整体产生的，不是从它的首位产生的。满5的数不仅有5，6，7，8，9。以5－9为首位假小数都满5。既然审断后进数要从假小数着眼，不该只看这假小数的第一位数字；那么我们应该在“满5”的正确理解之下看看这进位规律是否可靠。
0 ≤满5的纯小数＜0.5
∴0 ≤满5的纯小数×2＜1
所以假小数首位小于5时，后进数为0，而且只能是0。
0.5 ≤满5的纯小数＜1
∴ 1 ≤满5的纯小数×2＜2
所以假小数首位大于或者等于5时，后进数为1，而且只能是1。
例如本位后的数为4871，07353，246，1293，38都是不满5的，以它们为假小数时进位数是0。而本位后的数为73591，843，5945，9999，66734都是满5的，以它们为假小数时，进位数是1。
理解了以上这些理论才算真正懂得进位规律的口诀。
（三）计算程序剖析
乘积的每位数是由“本个加后进”的和产生的，即：
本位积=（本个＋后进）之和的个位数
那么演算时要由左而右地逐位求本个与后进然后相加再取其个位数。现在用具体实例说明演算时的思维活动。
【例1】：372869×2=745738
根据§2.4讲的法则，被乘数首位前补0，列出算式：
0 3 7 2 8 6 9
× 2
0 7 4 5 7 3 8
0×2 本个0，后进0（后位3不满5）0＋0得0
3×2本个6，后进1（后位7满5进1）6＋1得7
7×2本个4，后进0（后位2不满5）4＋0得4
2×2本个4，后进1（后位8满5进1）4＋1得5
8×2本个6，后进1（后位6满5进1）6＋1得7
6×2本个2，后进1（后位9满5进1）2＋1得3
9×2本个8，无后位，得8
【例2】：5397963×2被乘数首位前补0，直接用横式算出，注意将位对齐。
05397963×2
= 10795926
【例3】：847536×2 =1695072
0 8 4 7 5 3 6
× 2
1 6 8 5 0 7 2
0×2 本个0，后位8，后进1，得1
8×2本个6，后位4，后进0，得6
4×2本个8，后位7，后进1，得9
7×2本个4，后位5，后进1，得5
5×2本个0，后位3，后进1，得0
3×2本个6，后位6，后进1，得7
6×2本个2，无后位，得2
【习题2.1】计算下列各题的乘积
076429×2= 087654×2= 094318×2=
086532×2= 034852×2= 082734×2=
023145×2= 098356×2= 092342×2=
038592×2= 024543×2= 035495×2=
012594×2= 034869×2= 019467×2=
012356×2= 039458×2= 094732×2=
057459×2= 085376×2= 075359×2=
034528×2= 036218×2= 027487×2=
037593×2= 028537×2= 073702×2=
034758×2= 093445×2= 023646×2=
013853×2= 034729×2= 027634×2=
092745×2= 027354×2= 097532×2=
023465×2= 045723×2= 098586×2=
068795×2= 076784×2= 034724×2=
083265×2= 047385×2= 047265×2=
085735×2= 046296×2= 087473×2=
084764×2= 043762×2= 063287×2=
037527×2= 073462×2= 078596×2=
047583×2= 078346×2= 063485×2=
§2.6 3的乘法规律
（一）个位规律
用3分别去乘0～9各数时，本个的数值有如下表：
本位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
本个0 3 6 9 2 5 8 1 4 7
先看被乘数为偶数的本个，
本位0 2 4 6 8
本个0 6 2 8 4
这四个本个都是本位的补数的自倍。检验一下，看看：
2的补数为8，而8的自倍为6；
4的补数为6，而6的自倍为2；
6的补数为4，而4的自倍为8；
8的补数为2，而2的自倍为4。
这种共同现象并不是偶然的，我们用2k代表被乘数（0，2，4，6，8……）的任何一个，那么
2k的补数是（10－2k），这补数用2乘（先不说自倍，这里保留着十位数），得
（10－2k）×2 =20－4k
按上边讲的个位数字，（20－4k）的个位数字应该是2k×3=6k的个位数字。这话真假未定，现在的问题，是要确认（20－4k）与6k的个位数是否相同。这可以看两数之差|（20－4k）－6k|的个位是否为0来判断。现在
|（20－4k）－6k|=|20－10k|=|2－k|×10
是10的倍数，个位确实是0，所以（10－2k）×2的个位数字也就是6k的个位数字。由此我们得到3乘偶数的个位规律是：
偶数，取补、自倍，简称“偶补倍”。
我们再看奇数被3乘的本个：
本位 1 3 5 7 9
本个 3 9 5 1 7
这五个本个都是被乘数取补、自倍，然后取偶同的结果。也不妨检验下：
1的补是9，9的自倍是8，8的偶同是3；
3的补是7，7的自倍是4，4的偶同是9；
5的补是5，5的自倍是0，0的偶同是5；
7的补是3，3的自倍是6，6的偶同是1；
9的补是1，1的自倍是2，2的偶同是7。
现在也像前面一样把规律讲解下，用2k＋1代表1、3、5、7、9的任何一个数，那么（2k ＋1）的取补，
10－（2k＋1）=9－2k，
按乘法理解，（9－2k）的自倍是2×（9－2k）=18－4k，（18－4k）取偶同，就是18－4k＋5的个位数，现在要确认（18－4k＋5）的个位数字就是（2k＋1）×3=6k＋3的个位数字，那么只要能知道|（18－4k＋5）－（6k＋3）|的个位数是0就行，或者说知道15＋5－10k是10的倍数就行了。前边的式子等于（2－k）×10是10的倍数。由此得出奇数被3乘的个位规律是：
奇数取补、自倍再取偶同，简称“奇、补倍取偶同”。
（二）进位规律
仅从本位右侧一位数字一眼就能判断后进数是几只有乘数为2时可行（满5进1）。乘数为3时就不这样简单了，原因在于本位乘3的进位数取于假小数全体，不是单从假小数首位产生的。
假小数的首位是0、1、2一定不进位。这因为这样的小数一定在0与0.3之间。例如：0.271287<0.3,这小于0.3的小数被3乘的结果一定小于0.9，所以不进位。
假小数的首位是4或进，后进一定是1，因为这样的假小数相当于在0.4与0.6之间的小数。例如：0.45,0.5999都≥0.4而≤0.6，被3乘的结果一定在1.2与1.8之间，所以后进一定是1。
假小数首位为7、8、9时，后进一定是2，因为这样的小数被3乘后一定≥2.1,而≤3，所以进位数一定是2。
如果假小数的首位为3，进位数可能是0，也可能是1，例如：
0.332×3 =0.996,就不进位
0.334×3 =1.002，就进1
首位为6的假小数也有同样的麻烦，可以进1，也可以进2。例如：
0.664×3 =1.992，进1
0.668×3 =2.004，进2
划不清进位界限才使得传统乘法千百年来不得不从低位算起。快速计算法能冲破这个难关，所以它快。那么怎么来划分进位界限呢？进1时一定有一个数被3乘得1，进2时一定有一个被3乘得2，而且这人数一定等于前一个数的二倍。可见被3乘得1的数很重要，这说明促成进位的因素是被3乘后得1的那样一个基准数，被乘数不够基准数，便不进位，够一倍而不够二倍进1，够二倍而不够三倍进2，纯小数都小于1，所以不可能进3或更大的整数。保证进位的基准数叫做“进位率”，从刚才的分析，大家已经明白：乘数为3时的进位率是=，=。
如果把假小数看作纯小数，从以上的讨论，我们得到乘数为3时，进位界限是：
0 ≤纯小数＜时，进数是0
=≤纯小数＜=时，进数是1
=≤纯小数＜1时，进数是2
循环数，是进位的分界点，它们把0与1间的数分为相等的三段，小于一切非负数构成一个区间，记作[0 , )，这一切数都不产生进数。同样，区间[, ),这是进数为1的区间，[, 1）是进数为2的区间。
现在我们应该说乘数为3时，进位规律是满进1。满进2。但是在有限位乘法中不会出现，这样的数；为了简便起见，我们说乘3的进位规规律是：
3超进1，3超进2。
例题：3333不超，故3333×3，不进位
33334 超，故33334×3，进1。
66664不超，故66664×3，进1不进2。
666667超，故666667×3，进2。
乘数为3时的进位过程比乘数为2时麻烦些，不能一概只凭假小数的首位来判断。首位是0、1、2时进0，为4、5时进1，为7、8、9时进2，还算简单。若首位为3或6就麻烦了，首位3时可能进0，也可能进1，首位6时，可能进1，也可能进2，前边的例题已经看
得明白，这时究竟要看几位才能确定？我们只好拿假小数来一位位去和或者对比，比到某位大于3或6的数码就进1或2，比到某位能小于3或6的数就进0或1。
进位的实际工作应该照下边说的步骤进行，从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码抽去3、6两码，这串数就分作三段：0、1、2，4、5，7、8、9。首位在第一区间便进0，在第二区间内就进1，在第三区间就进2。假小数首位若是3，便要将假小数逐位数码与3比较，一旦碰到一位小于3（直到末位都是3，按下位是0看待），就决定不进位，一旦碰到一位大于3，便决定进1。首位为6时也同样，假小数里一旦有一位小于（包括一直到最后都等于）就进1，一旦有一位大于6就进2。
（三）计算程序剖析
【例1】分析75334666281×3时自左而右的进位数
0 7 5 3 3 4 6 6 6 2 8 1
第一位假小数首位7，进2
第二位假小数首位5，进1
第三位假小数首位3，与3比后有4>3进1
第四位假小数首位3，与3比后有4>3进1
第五位假小数首位4，进1
第六位假小数首位6，与6比后有2<6，进1
第七位假小数首位6，同上进1
第八位假小数首位6，同上进1
第九位假小数首位2，进0
第十位假小数首位8，进2
第十一位假小数首位1，进0
【例2】864237×3 =2592711
?
0 8 6 4 2 3 7
× 3
0×3 本个0，后位8，超进2，0＋2得1
8×3本个4，后位64，超进1，4＋1得5
6×3本个8，后位4，超进1，8＋1得9
4×3本个2，后位2，小于进0，2＋0得2
2×3本个6，后位37，超进1，6＋1得7
3×3本个9，后位7，超进2?，9＋2得1
7×3本个1，无后位，故1＋0得1
【例3】开始学速算的读者，也可以先照下列竖式演算。
5360274×3 =16080822
0 5 3 6 0 2 7 4
× 3
本个0 5 9 8 0 6 1 2
后进1 1 1 0 0 2 1 0
1 6 0 8 0 8
2 2
【习题2.2】计算下列乘积
083759×3= 073794×3= 027348×3=
078475×3= 013843×3= 063524×3=
087376×3= 021173×3= 023479×3=
064856×3= 084973×3= 073648×3=
034759×3= 097532×3= 063479×3=
087423×3= 097231×3= 094627×3=
083468×3= 079457×3= 089476×3=
013742×3= 084635×3= 097264×3=
031328×3= 010742×3= 023757×3=
023746×3= 046349×3= 063954×3=
054935×3= 067468×3= 032458×3=
033458×3= 097345×3= 047268×3=
047685×3= 023854×3= 047346×3=
043759×3= 059476×3= 058347×3=
048479×3= 093675×3= 045857×3=
047524×2×3= 047492×2×3= 085473×2×3=
047589×2×3= 098635×2×3= 056375×2×3=
046956×2×3= 047239×2×3= 063824×2×3=
097829×2×3= 084876×2×3= 073754×2×3=
036859×2×3= 073852×2×3= 087626×2×3=
023795×2×3= 094756×2×3= 034785×2×3=
047596×2×3= 073564×2×3= 036856×2×3=
027498×2×3= 027548×2×3= 047683×2×3=
083475×2×3= 036859×2×3= 036753×2×3=
046836×2×3= 047823×2×3= 097464×2×3=
046834×2×3= 089475×2×3= 034765×2×3=
047652×2×3= 036646×2×3= 064836×2×3=
057659×2×3= 047795×2×3= 077862×2×3=
047684×2×3= 057862×2×3= 056385×2×3=
§2.7 4的乘法规律
（一）个位规律
用4分别去乘0－9各数时，本个的值如下表：
本位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
本个0 4 8 2 6 0 4 8 2 6
先看被乘数是偶数的情形：
当本位是0，2，4，6，8时，它们的本个各是0，8，6，4，2。本位与本个是互补的关系，所以本位是偶数时由它取补就是本个。为了记忆简便，我们说是“偶、补”。理论上很简单：
2k×4 =10×（k－1）＋（10－2k），
而10－2k是2k的补数。
再看被乘数是奇数的情形：
当本位是1，3，5，7，9时，它们的补数分别是9，7，5，3，1。而这些补数的偶同又分别是4，2，0，8，6。这正是偶数的本个值。所以奇数的本个应是“奇、补取偶同”。这因为
( 2k＋1 ) ×4－{ [ 10－( 2k＋1 ) ] } =10k－10
这表示(2k＋1)×4与[10－(2k＋1)]有相同的个位数。
那么乘数是4的个位规律是：
偶、补，奇、补取偶同。
（二）进位规律
现在把§2.6对乘数为3讲的那套进位理论一般化，即可作为以后各段的共同根据。
乘数为n进，进位率是,进位分界点是，，……，，共有（n－1 ）。进位界限是：
0 ≤纯小数＜时，进数是0，
≤纯小数＜时，进数是1，
≤纯小数＜时，进数是2，
……………………………………
≤纯小数＜1时，进数是（n－1 ）。
最大的进数是（n－1）。进位区间是[0, ），[，），……，[，1）。
对于4来说，进位率是=0.25。
进位分界点是：=0.25，=0. 5，=0.7 5。
进位区间是：[0, 0.25），[0.25，0.5），[0.5，0.75），[0.75，1）。
进位界限是：0 ≤纯小数＜0.25时，进数是0，
0.25 ≤纯小数＜0.5时，进数是1，
0.5 ≤纯小数＜0.75时，进数是2，
0.75 ≤纯小数＜1时，进数是3.
改写成口诀的进位规律便是：
4满25进1，4满50进2，4满75进3。
附注：乘数为偶数时，分界点的数目是奇数，=0.5一定是一个分界点。乘数为奇数时，分界点的数目是偶数，如乘数为3时，与是分界点（如图2.1）。不管分界点有几个，这些点都均匀地排列在0与1之间，而且（除0.5外）双双关于0.5这点对称，有一个0.5－a，便有另一个0.5＋a与之对称。
乘数n =3时|———————|———|————|———————|
0 0.5 1
图2.1
乘数n =4时|—————|—————|—————|—————|
0 －0.5 ＋ 1
图2.2
这可以帮助记忆，以后每讲一种进位规律，读者最好自己画一个这样的图，可以加深理解。
从进位界限（*）来看，观察进数，应当看到本位后边的两位，若只看一位，当假小数首位是2或者7时要发生疑义，因为在2与3之间，7与8之间各有一个分界点，不妨画一个图把理论形象化。
首位是0的纯小数都在区间[0,0.1)内（图2.3）。首位是1的纯小数都在[0.1,0.2)内，如此类推，直到首位是9的纯小数都在[0.9,1)内。
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
|——|——|……|——|——|——|——|——|——|——|
|←进0 →↑←进1 →∣←进2 →↑←进3 →∣
分界点分界点分界点
图2.3
首位为0、1的纯小数，都在[0,0.1)与[0.1,0.2)内。这两个区间合并成[0,0.2)完全在进数为0的范围[0,0.25)里面，所以肯定不进位。
首数为3、4的纯小数，都在[0.3,0.5)里，所以肯定进1。
同理，首位为5、6时肯定进2，首位为8、9时肯定进3。
唯当首位为2或7时不能只凭这位数字判断；这两处进不进位的分界点在第二位的5上，第二位<5时比>5时少进1.
例如：把18267329的每位数与4相乘后的后进数写在该位下边。
0 1 8 2 6 7 3 2 9
后进数依次为0 3 1 2 2 1 1 3
同样也可以写出7 3 1 2 8 0 1 3 2 4 1 6 逐位乘以4的后进数。
0 7 3 1 2 8 0 1 3 2 4 1 6
后进数依次为 2 1 0 1 3 0 0 1 0 1 0 2
（三）计算程序剖析
【例1】8325134×4 =33300536
0 8 3 2 5 1 3 4
× 4
3 3 3 0 0 5 3 6
0×4 本个0，后位83满75进3，0＋3得3
8×4本个2，后位32满25进1，2＋1得3
3×4本个2，后位25满25进1，2＋1得3
2×4本个8，后位5满5进2，8＋2得0
5×4本个0，后位1，不进，故得0
1×4本个4，后位34，满25进1，4＋1得5
3×4本个2，后位40，满25进1，2＋1得3
4×4本个6，无后位，故得6
【例2】325081432×4 = 1300325728
0 3 2 5 0 8 1 4 3 2
× 4
本个0 2 8 0 0 2 4 6 2 8
后进 1 1 2 0 3 0 1 1 0 0
1 3 0 0 3
2 5 7 2 8
【例3】1241051073×4 =4964204292
0 1 2 4 1 0 5 1 0 7 3
× 4
0 4 9 6 4 2 0 4 2 9 2
0×4 本个0，后位不进，故得0
1×4本个4，后位24不进，故得4
2×4本个8，后位41满25进1，8＋1得9
4×4本个6，后位不进，故得6
1×4本个4，后位1不进，得4
0×4本个0，后位5，满5进2，0＋2得2
5×4本个0，后位1不进，故得0
1×4本个4，后位0不进，故得4
0×4本个0，后位73满50进2，0＋2得2
7×4本个8，后位30满25进1，8＋1得9
3×4本个2，无后进，故得2
【例4】847524326×4 =3390097304
0 8 4 7 5 2 4 3 2 6
× 4
3 3 9 0 0 9 7 3 0
4 本个＋后进= 本位积
0 3 3
2 1 3
6 3 9
8 2 0
0 0 0
8 1 9
6 1 7
2 1 3
8 2 0
4 4
例1，例3是速算的理论剖析，看起来比较繁琐，但在熟悉算法后并不要这些式子，而且要一见到被乘数与乘数后，能马上逐位报出各位的本个和后进（如例2、例4），相加后仅和的个位数，最后熟练到可以一看（听）题不必报出逐位的本个和后进就能直报答案。
【习题2.3】求下列各式的乘积。
047264×4= 048695×4= 037695×4=
056538×4= 047895×4= 073665×4=
097763×4= 067637×4= 021345×4=
037265×4= 041034×4= 036306×4=
047962×4= 097341×4= 021851×4=
047655×4= 013342×4= 093552×4=
023143×4= 025416×4= 034512×4=
035582×4= 036582×4= 026485×4=
036852×4= 093695×4= 093657×4=
026942×4= 037953×4= 083543×4=
036582×4= 027595×4= 013437×4=
031486×4= 026559×4= 034429×4=
027495×4= 062385×4= 012424×4=
036454×4= 036489×4= 026486×4=
034767×4= 032414×4= 097345×4=
078355×4= 026490×4= 027649×4=
023476×3×4= 027456×3×4= 026348×3×4=
026496×3×4= 075265×3×4= 034349×3×4=
098794×3×4= 013323×3×4= 023756×3×4=
034875×3×4= 027693×3×4= 032486×3×4=
047659×3×4= 023756×3×4= 098476×3×4=
083845×3×4= 034758×3×4= 024765×3×4=
047669×3×4= 036590×3×4= 047593×3×4=
034769×2×3×4= 048795×2×3×4= 098658×2×3×4=
036758×2×3×4= 034756×2×3×4= 026484×2×3×4=
035437×2×3×4= 026487×2×3×4= 026858×2×3×4=
037592×2×3×4= 036859×2×3×4= 045867×2×3×4=
043765×2×3×4= 027485×2×3×4= 043765×2×3×4=
038652×2×3×4= 054387×2×3×4= 098746×2×3×4=
046583×2×3×4= 073558×2×3×4= 037658×2×3×4=
§2.8 5的乘法规律
（一）个位规律
用5分别去乘0～9各数时，本个值如下表：
本位0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
本个0 5 0 5 0 5 0 5 0 5
从这表上可以看出，凡偶数被5乘时，个位是0，奇数被5乘时，个位是5。从而乘数为5的个位规律是：
5、偶0奇5。
乘以5时，乘积的个位数是最简单的，只要看被乘数是偶数还是奇数就能判断。
（二）进位规律
乘数为5的进位率是=0.2。最大进位数是4。进位分界点是0.2、0.4、0.6、0.8四个数。
0 ≤纯小数＜0.2时，进数是0，
0.2 ≤纯小数＜0.4时，进数是1，
0.4 ≤纯小数＜0.6时，进数是2，
0.6 ≤纯小数＜0.8时，进数是3.
0.8 ≤纯小数＜ 1 时，进数是4
由以上五个进位界限，简化总结出乘数为5的四条进位规律：
5满2进1，5满4进2，5满6进3，5满8进4.
说详细些，乘数为5时进数可以由假小数的首位决定，首位为，1时进0；
为2，3与进1；为4，5时进2；为6，7时进3；为8，9时进4。五种情形的进数都等于首位数字之半的整数部分。由此总结成乘数为5时的进位规律：
5、折半取整。
但是不要把这话误解仅是本位后一位数的进数，应该是以该数为首位的任何假小数（被5乘后）的进数。
下面我们用这规律逐位判断两个数的进位数。
（1）0 7 8 6 3 2 4 5 3 2 6 3 2 4×5
进位数是3 4 3 1 1 2 2 1 1 3 1 1 2
（2）0 1 3 2 1 4 1 3 6 8 5 5 3 2×5
进位数是0 1 1 0 2 0 1 3 4 2 2 1 1
（三）计算程序剖析
【例1】325137324×5 =1625686620
0 3 2 5 1 3 7 3 2 4
× 5
1 6
2 5 6 8 6 6 2 0
0×5 取0，后位3折半取整，进1，0＋1得1
3×5取5，后位2折半取整，进1，5＋1得6
2×5取0，后位5折半取整，进2，0＋2得2
5×5取5，后位1折半取整，进0，故得5
1×5取5，后位1折半取整，进1，5＋1得6
3×5取5，后位7折半取整，进3，5＋3得8
7×5取5，后位3折半取整，进1，5＋1得6
3×5取5，后位2折半取整，进1，5＋1得6
2×5取0，后位4折半取整，进2，0＋2得2
4×5取0
【例2】初学速算的读者，可仿照下列竖式演算。
536479652×5 =2682398260
0 5 3 6 4 7 9 6 5 2
× 5
本个0 5 5 0 0 5 5 0 5 0
后进 2 1 3 2 3 4 3 2 1 0
乘积 2 6 8 2 3 9 8 2 6 0
【例3】137645839×5 =688229195
0 1 3 7 6 4 5 8 3 9
× 5
0 6 8 8 2 2 9 1 9 5 本个＋后进= 本位积
0 0 0
5 1 6
5 3 8
5 3 8
0 2 2
0 2 2
5 4 9
0 1 1
5 4 9
5 5
【习题2.4】求下列各式的乘积。
034874×5= 038678×5= 098745×5=
064897×5= 023342×5= 097657×5=
083675×5= 092358×5= 064869×5=
083659×5= 034765×5= 023549×5=
037451×5= 082134×5= 023472×5=
094668×5= 036542×5= 036585×5=
037562×5= 089128×5= 023458×5=
027413×5= 023759×5= 025267×5=
043486×5= 073857×5= 093641×5=
021844×5= 076342×5= 036592×5=
036458×5= 085383×5= 089635×5=
023846×5= 036482×5= 063845×5=
023683×5= 036494×5= 034678×5=
093658×3×4×5= 037364×3×4×5= 036458×3×4×5= 032793×3×4×5= 024753×3×4×5= 038659×3×4×5= 036489×3×4×5= 086365×3×4×5= 037659×3×4×5= 036458×3×4×5= 068467×3×4×5= 067884×3×4×5= 037485×3×4×5= 037458×3×4×5= 038669×3×4×5= 098369×3×4×5= 037485×3×4×5= 097675×3×4×5= 037649×3×4×5= 064538×3×4×5= 032395×3×4×5=
§2.9 6的乘法规律
（一）个位规律
用6分别去乘0～9各数时，本个值有如下表：
手脑速算教程及练习 一、什么是手脑速算？ 手脑速算是中国教育学会“十一五”科研规划重点课题，它是用双手运算、双脑记数的一种高效、快速、简捷的计算方法，能使孩子快速掌握任意数的加、减、乘、除。其速度可以超过计算器，手脑速算不仅是速算，还融趣味数学、多元智能为一体，进一步拓展记忆、拓展思维。 二、手脑速算的特点？ 1、易学、不忘: 手脑速算不需要任何工具，无需口诀，手运算，脑记数。算理明确，程序简单，孩子很容易学会。而且一旦学会就不会忘记，因为已经形成了条件反射和形成技能被孩子掌握。 2、健体、益智： 手脑速算是通过左右手快速屈伸不断的刺激大脑神经元，使大脑细胞兴奋，促进血液循环，有效地开发智力，挖掘潜能。 3、教学模式新颖： 在教学过程中加入大量的音乐、舞蹈和丰富多彩的故事儿歌，寓教于乐，让孩子在玩中学，学中玩，且赏识教育贯穿整个课堂始终，以此提高孩子学习兴趣和增加孩子自信心。 4、紧扣小学教材教材： 紧扣小学教学大纲，注重幼小衔接，学以致用。孩子上小学后就非常轻松，同时也非常自信，不仅数学成绩好，还可以带动其他学科，使孩子终身受益。 三、学习手脑速算有什么好处？ 1、学习手脑速算能提高孩子学习数学的兴趣，提高孩子的运算能力、运算速度和运算准确率。 2、开发孩子的左右脑，使孩子左右脑得到平衡发展，让孩子越变越聪明。 3、训练记忆、训练思维、全方位智能训练、训练注意力，以此促进孩子的个性发展。
还可以提高孩子的综合素质，使孩子得以全方位发展。 练习一 一、重新认识手指（学员要反复练习，能够熟练掌握1——10的手势） 食指是1，中指是2，无名指是3，小指是4，拇指是5. 拇指加食指是6，再加中指是7，再加无名指是8，再加小指是9. 拳头紧握是0. 二、认识个位、十位（学员可以将自己的手放在图上，加深对个位和十位的认识）
史丰收速算法下载快速 1、激励后人。史丰收在小学阶段学数学时，就觉得老师从低位算起算得慢，自己更算得慢，他质疑老师，计算能不能从高位算起，使计算快些?老师说，从古至今未曾有过从高位算起，从高位算起我也不会，看你能不能够创造出一个高位算起的方法?史丰收想，是啊!我能不能够创造出一个从高位算起的计算方法?于是，他带着这个新课题进行了艰苦的探索，他日思夜想、反复读书、虚心请教他人。他在学校里算、在家里算，白天算、晚上算，就是节假日也算。纸上是数式，地上是数式，屋里四周墙壁也是数式，甚至手上脚上都是数式。有时，连吃的馒头也写上数式。经过3600多天的无数次计算，终于创出高位算起的速算法，一个十来岁的农村少年能够用这么大的毅力去创造出前人未有的新成果，这不是一个奇迹?这不是中国人的骄傲?史丰收的创新精神和坚强意志是所有人的学习榜样，它将激励更多的青少年为中国的繁荣富强而积极探索，努力奋斗。 2、开发人脑。有资料表明，一个人一生中，在一般情况下，大脑只开发10%左右，还有90%左右未开发。这说明人的大脑的潜力很大。如果多开发大脑，让更多的脑细胞活跃起来，就可以大大提高人的聪明才智。运用史丰收速算法计算，不用计算工具，脑子快速计算，手指辅助计算，就可一口报出计算结果。这个速算过程，就能同时开发左脑和右脑，使更多的脑细胞活跃起来。少年儿童经常进行这样的速算，就能变得更聪明。英国神经学家科斯塞利说：人的大脑，受训练越少，衰老得越快;人脑紧张工作开始得越早，持续的时间越长，脑细胞的老化过程就越缓慢。这说明，人不论老少，积极从事适当的脑力劳动，进行积极的思考是非常有益的。由此推想，青壮年人甚至老年人学一学，练一练史丰收速算法，将会激活更多的脑细胞、减慢脑细胞衰老过程，提高思考效益。 3、训练思维。用史丰收速算法计算，是在脑子里进行快速计算，这样，可以加大思维训练强度，提高思维的灵活性，加快计算速度，提高计算能力。例如，计算0683427×6=4100562，是用乘法速算公式：本位积=(本个十后进)取和的个位数来计算的。求积的头位数4时，经过3次计算：0(本个)+4(后进)=4(本位积);求积的第二位数1时，也经过3次计算：6(本个)+5(后进)=1(本位积);求积的0、0、5、6时，也各自经过3次计算;求积的最后一位数之时，经过2次计算：2(本个)=2(本位积);共进行了3×6+2=20(次)基本计算，按正常熟练要求，学生计算一位数乘六位数的每道算式，平均所用的时间是4-5秒。这样，学生要在4-5秒时间里完成20 次计算。经常进行这样的快算训练，就可以提高学生思维的敏捷性，灵活性，提高学生的推理思维能力和计算效率。 4、熟习己知。学习史丰收速算法，学了一种乘法或加法后，就要多次练，多题练，经常练，反复练，这样，才能算得快，算得准。否则就会快而不准或准而不快。把这样熟习已学过知识的做法迁移到课本学习中，就能扎实地巩固所学知识。华富小学的蒋凌燕、蒋云燕两姐妹，不但做完史丰收速算法课本里的题，还请老师出题练，请同学出题练，请家长出题练，而且姐妹互相出题练。所以她们的速算算得快而准。同时，她们对于低位算起的数学学习，难度减少，计算速度加快，思维灵活性加大，学习成绩提高较大。 5、锻炼意志。学习史丰收速算法，一要有坚强的意志，二要有坚韧的精神。意志是人们为了实现某个目的、在行动上自觉克服困难时表现出来的心理状态。毅力是人们为了实现一定的目的而去克服困难的品质，是获得事业成功的动力，如果没有这两种精神，学习就会松懈下来，甚至会半途而废。参加史丰收速算法学习以后，就要排空时间，排除干扰，依时到指定地点学习，要坚持学、经常学。这样，就得有坚强的意志和坚韧的毅力。所以，学习史丰收速算法，能够锻炼学生的学习意志，提高学生克服学习困难的信心。 6、培养习惯。习惯是由多项重复或多次练习而内化为人所需要的行为方式，学习史丰收速算法，需要学生养成良好的自觉学习的习惯。目前，史丰收速算法大多安排在课余里学习，有的安排在休息时间的星期六或星期天里学习。每次学习，半天要练几百道题，课外还要练
乘法速算方法 一、十位数是1的两位数相乘 乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：15×17 15 + 7 = 22 5 × 7 = 35 --------------- 255 即15×17 = 255 解释： 15×17 =15 ×（10 + 7） =15 × 10 + 15 × 7 =150 + （10 + 5）× 7 =150 + 70 + 5 × 7 =（150 + 70）+（5 × 7） 为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。例：17 × 19 17 + 9 = 26 7 × 9 = 63 连在一起就是255，即260 + 63 = 323
二、个位是1的两位数相乘 方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。 例：51 × 31 50 × 30 = 1500 50 + 30 = 80 ------------------ 1580 因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。 例：81 × 91 80 × 90 = 7200 80 + 90 = 170 ------------------ 7370 1 ------------------ 7371 原理大家自己理解就可以了。 三、十位相同个位不同的两位数相乘
被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。 例：43 × 46 （43 + 6）× 40 = 1960 3 × 6 = 18 ---------------------- 1978 例：89 × 87 （89 + 7）× 80 = 7680 9 × 7 = 63 ---------------------- 7743 四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘 十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。 例：56 × 54 (5 + 1) × 5 = 30-- 6 × 4 = 24 ---------------------- 3024 例: 73 × 77
速算技巧速算技巧Ａ、乘法速算 一、十位数是1的两位数相乘 乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：15×17 15 + 7 = 22 5 × 7 = 35 --------------- 255 即15×17 = 255 解释： 15×17 =15 ×（10 + 7） =15 × 10 + 15 × 7 =150 + （10 + 5）× 7 =150 + 70 + 5 × 7 =（150 + 70）+（5 × 7） 为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。 例：17 × 19 17 + 9 = 26 7 × 9 = 63 即260 + 63 = 323
二、个位是1的两位数相乘 方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。 例：51 × 31 50 × 30 = 1500 50 + 30 = 80 ------------------ 1580 因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。 例：81 × 91 80 × 90 = 7200 80 + 90 = 170 ------------------ 7370 ------------------ 7371 原理大家自己理解就可以了。 三、十位相同个位不同的两位数相乘 被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。 例：43 × 46 （43 + 6）× 40 = 1960 3 × 6 = 18
算加法 、加法的各种情形: （一）、+5用反手 （二八加数小于5 2、直加不够，减内凑反手。 个小于5的数，虚指数就是它比 5少的数， 比5少几，内凑就是几。 （三八加数大于5 个大于5的数，虚指数就是它比 10少的数， 比10少几，补数就是几。 2、减补不够，加外凑反手 大于5的一位数，数指数就是它比 5多的数， 比5多几，外凑就是几。 二、进位规律: 1、直加。 虚指够加直加， +1永远用直加。 内凑为3 内凑为2 内凑为1 1、减补进1 +9永远用减补进1 补数为4 补数为3 补数为2 补数为 外凑为1 外凑为2 外凑为3
直加时， 五指全伸脑进 减补进反手时，数指 由伸变曲脑进
直加练习: 0+1 0+2 0+3 0+4 1+1 1+2 1+3 1+4 2+1 2+2 2+3 3+1 3+2 4+1 0+6 0+7 0+8 0+9 5+1 5+2 5+3 5+4 6+1 6+2 6+3 6+4 7+1 7+2 7+3 8+1 8+2 9+1 进位规律: 直加时， 五指全伸脑进? ）+5用反手，反手练习： 1+5 2+5 3+5 4+5 5+5 6+5 7+5 8+5 9+5 0+5 拇指弯曲就进位） （三）、内凑 个小于5的数，虚指数就是它比 5少的数， 比5少几，内凑就是几。 、手指计算方法 （一）、直加 虚指够加直加， +1永远用直加。 进位规律: 反手时， 数指由伸变曲脑进 （反手时大 加数小于5 :直加不够（虚指不够直加 ），减内凑反手。 内凑为3 内凑为2 内凑为1
内凑练习: 4+2 9+2 3+3 4+3 8+3 9+3 2+4 3+4 4+4 7+4 8+4 9+4 （四）补数：加数+6、+7、+8、+9 时，减 补 进1 （+9永 远用减补进1 ） 个大于5的数，虚指数就是它比10少的数，比10少几，补数就是几。 补数为4 补数为3 补数为2 补数为1 补数练习■ ■ 1+9 2+9 3+9 4+9 5+9 6+9 7+9 8+9 9+9 2+8 3+8 4+8 5+8 7+8 8+8 9+8 3+7 4+7 5+7 8+7 9+7 4+6 5+6 9+6 （五）外凑加数大于5 :减补不够，加外凑反手 大于5的位数，数指数就是它比5多的数，比5多 几， 外凑就是几。 外凑为 1 外凑为 2 外凑为3 外凑练习? ? 1+6 2+6 3+6 1+7 2+7 1+8 6+6 7+6 8+6 6+7
乘法速算法 十几乘十几的速算法 一个乘数与另一个乘数个的位数的和作为前积，两个乘数的个位数的积作为后积，超过1位数进位。(头乘头、尾加尾、尾乘尾、满10进位) 例：13×12＝15613+2＝153×2＝6 13×14＝18213+4＝173×4＝12 十几乘几十几的速算法 十几的个位数与几十几的十位数的积与几十几的数和作为前积，两个数的个位数的积作为后积，超过1位数进位。例：13×23＝2993×2+23＝293×3＝9 14×56＝7844×5+56＝764×6＝24 首同尾互补的两个数相乘的速算法 首数与1的和与数首的积作为前积，两个尾数的积作为后积不够10的前边补0。 例：76×74＝5624 21×29＝609
首互补尾同的两个数相乘的速算法 两个首数的积与尾数的和作为前积，两个尾数的积作为后积不够10的前边补0。 63×43＝27096×4+3＝273×3＝9 87×27＝2349 8×2+7=23 7×7=49 头差1尾互补的两个数相乘的速算法 较大数十位数的10倍的平方与个位数的平方差为这两个数的积。例：42×38＝402-22＝1600-4＝1596 首尾互补与首尾相同的两个数相乘的速算法 首尾互补数首位数加1的和与首尾相同数首位数的积作为前积，两个尾数的积作为后积不够10的前边补0。 例：73×66＝4818（7+1）×6＝483×6＝18 91×22＝2002（9+1）×2＝201×2＝2 首尾连续与首尾互补的两个数相乘的速算法 首数乘首数的积与尾数乘尾数的积的组合加上首数与首数的组合（连续数在前）的10倍的和等于这两个数积。 例：45×37＝1235+430＝1665 78×28＝1464+720＝2184
两位数相乘，在十位数不异、个位数相加等于10的情况下， 如62×68=4216 周根项速算巨匠乘法口诀（教孩子速算），，计较体例：6×（6+1）=42（前积），2×8=16（后积）。 一分钟速算口诀中对特别题的定理是： 肆意两位数乘以肆意两位数，只需魏式系数为“0”所得的 积，肯定是两项数中的尾乘尾所得的积为后积，头乘头（其 中一项头加1的和）的积为前积，两积相邻所得的积。 如（1）33×46=1518（个位数相加小于10，所以十位数小 的数字3不变,十位大的数4必需加1） 计较体例：3×（4+1）=15（前积），3×6=18（后积） 两积构成1518 如（2）84×43=3612（个位数相加小于10，十位数小的数 4不变十位大的数8加1） 计较体例：4×（8+1）=36（前积），3×4=12（后积） 两积相邻构成：3612 如（3）48×26=1248 计较体例：4×（2+1）=12（前积），6×8=48（后积） 两积构成：1248 如（4）245平方=60025 计较体例24×（24+1）=600（前积），5×5=25 两积构成：60025 ab×cd魏式系数=（a-c)×d+(b+d-10)×c “头乘头，尾乘尾，合零为整，补余数。” 1.先求出魏式系数 2.头乘头（其中一项加一）为前积（适应尾相加为10的 数） 3.尾乘尾为后积。 4.两积相连，在十位数上加上魏式系数即可。 如：76×75，87×84吧，凡是十位数不异个位数相加为11 的数，它的魏式系数肯定是它的十位数的数。 如：76×75魏式系数就是7，87×84魏式系数就是8。孩子 如：78×63，59×42，它们的系数肯定是十位数大的数减 去它的个位数。 例如第一题魏式系数等于7-8=-1，第2题魏式系数等于5-9=- 4，只需十位数差一，个位数相加为11的数一概能够采用以 上体例速算。 例题176×75，计较体例：（7+1）×7=565×6=30两 积构成5630，然后十位数上加上7最后的积为5700。 例题278×63，计较体例：7×（6+1）=49，3×8=24，两 积构成4924，然后在十位数上2减去1，最后的积为4914 上面是摘抄了几节实例： -如（1）33×46=1518（个位数相加小于10，所以十位数小
【史丰收速算法的26句口诀】 乘數爲2時，口訣爲：滿五進1； 乘數爲3時，口訣爲：超3進1，超6進2； 乘數爲4時，口訣爲：滿25進1，滿50進2，滿75進3； 乘數爲5時，口訣爲：滿2進1，滿4進2，滿6進3，滿8進4； 乘數爲6時，口訣爲：超16進1，超3進2，滿5進3，超6進4，超83進5； 乘數爲7時，口訣爲：超142857進1，超285714進2，超428571進3，超571428進4，超714285進5，超857142進6； 乘數爲8時，口訣爲：滿125進1，滿25進2，滿375進3，滿5進4，滿625進5，滿75進6，滿875進7； 乘數為9時，口訣爲：超1進1，超2進2，超3進3，……超8進8 1、加减手指算，手指伸屈动一下，结果一下出来，最快者一秒钟算四五个数，林以轩通过学习指速打 破 世界吉尼斯和健力士世界纪录，在速度上是任何速算法都无法比拟的。同时左手的不断摆动来刺激右脑，从而起到开发右脑的潜能。多位上是从个位上分化出来，与学校教的方法一样，无论多少位都可以算出来。比起来其它的方法，一般能算三、四位、最多也不过六位就很了不起了，但对史丰收速算法来讲，二十位、三十位都一样的规律， 2、乘法更不用说了，史丰收速算法的乘法是最强大的，二三四五十位都是一笔算到底，举个例子：6892456697875414898527763127659846387726985267875248972 × 7，别的速算法可以一下子算出来吗？但对史丰收来讲，只是小意思而已，698758×964867类似这样的题别的速算法如果说靠加减还可以令人赞叹的话,史丰收的乘法更令人目瞪口呆,六位乘六位的也就是几秒钟而已,试问一下，哪一种速算法可以几秒钟算出来? 3、除法也是一绝，到余数是几都算得出来。多位除多位，几下就出来了，令人吃惊。 4、如果说加减乘除是这样的话，高等的复杂的数学也没难倒史丰收速算法，史丰收教授不仅是国际上著名的发明家,也是一位了不起的数学家,在勤奋的研究下解决了以前无法笔算的开方问题,并通过马克劳林级数的运用顺利的解决了三角函数和对数等运算方法。故在数学上：“三次方没有笔算开方法，史丰收开立方求两位根被国际上称为中国第五大发明” 。开方、三角函数、对数等也是挥手一下，答案出来，令所有的人都吃惊不已，包括数学家在内。陈省身、杨振宁、苏步青、华罗庚对史丰收的速算法评价都很高。 史丰收速算法的最可取之处在于，总结了进位规律的普遍规律，在数学史上是一大突破，位数长短不受限制，数学上的难题不能依靠一种方法，要有所突破，从逆向的寻找规律，学习史丰收速算法，不能一味的学习，要从中理解为什么这样计算，有什么道理。要学会创新，相信任何人能刻苦研究的话，也能成为一个了不起的数学家。 中新社西安十月十二日电在海内外享有盛誉的中国速算大师史丰收的骨灰，十月四日从北京护送至陕西省大荔县的故乡安葬。据悉，史丰收所发明的速算法是直接凭大脑进行运算的方法，一九九0年被命名为“史丰收速算法”，已编入中国九年制义务教育《现代小学数学》课本。联合国教科文组织誉之为教育科学史上的奇迹。 据了解，史丰收因心脏病发作于九月二十九日在北京逝世，享年五十三岁。他出生于陕西省大荔县两宜镇一个普通农家，从十岁起潜心钻研，发明出任何数乘以二至九，从左向右，从高位到低位的速算规律，编出了“算前位，看后位，提前进位”的速算口诀。上世纪七十年代，史丰收曾与中国著名数学教授华罗庚“竞技”，一个用算盘，一个用速算法，结果史丰收获胜，引起世界范围业内人士的关注。多年来，史丰收致力于速算法推广工作，在深圳成立了“史丰收速算法国际研究与培训中心”、“史丰收速算法研究所”，并逐步在全世界设立培训中心分部。 著名学者杨振宁、陈省身等都指出，学习掌握史丰收速算法，提高演算速度只是一个方面，更重要的是能促进人的思维向更高层次发展。在电子计算机盛行的时代，掌握史丰收的速算方法，能够避免过分依赖先进科技工具带来的负效应。史丰收速算法是直接凭大脑进行运算的方法，又称为快速心算、快速脑算。它打破人类几千年从低位算起的传统方法，运用进位规律，总结二十六句口诀，由高位算起，再配合指算，加快计算速度，能瞬间运算出正确结果，协助人类开发脑力，加强思维、分析、判断和解决问题的能力，是当代应用数学的一大创举。 据悉，“史丰收速算法”是中国首例正式命名的自然科学发明。 《快速计算法》（1978年版）的目录：
乘除法的计算技巧 在计算乘除法时，如果我们合理、灵活地运用乘法的定律以及除法的某些性质和乘除混合运算的一些规律，就能够使计算变得简便，能大大提高计算的正确率。特别是当算式中不能直接运用运算定律、性质及规律时，要通过对算式进行等值变形后再进行合理的计算，只有这样，我们的计算能力才会得到提高。 常用的运算定律和运算性质有： 1、乘法的交换律：a b=b a 乘法的结合律：(a b) c=a (a b) 乘法的分配律：a (b c)=a b a c 2、除法的运算性质： a b=(a n) ( b n)=(a n) (b n) (n^ 0) a b c=a (b c) a b c=a (b c) 例：用简便方法计算： 316X 48-340K 28+24X 48 555555X 55555+11111 伙222225 (“新希望杯”第六届全国数学大赛四年级试题) 分析解答(略) 练习题 1 、用简便方法计算： 25X 32X 125 25 X 64X 125X 5 333X 333
543X 36+117X 36+660X 64 472X 99 (574X 275X 87)-( 82 X 25X 29) 1998X 19991999-199X 19981998 2、若 A=20082009X 2008，B=20082008X 2009，则 A 、B 中较大的数是( ) 填(“A 或B ”，它比较小的那个大( )。 3、6X 4444X 2222+3333X 5555的得数中有( )个数字是奇数。 258X 26-158X 26 2400 4-25 39 X 68X 27- 9 - 17- 13 5600( 8X 35) 3048^( 1014 17) 8640 2480X 248 360X 72+36X 280
乘除法中的速算与巧算 知识储备 整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整” 。要达到“凑整”的目的, 就要将一些数分解、 变形，再运用乘法的交换律、 结合律、分配律以及四则运算中的一些规 则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简便化。 1、 乘法的运算定律 乘法交换律：a>b=b 冶 乘法结合律：(a >b) >c=a >(b >C) 乘法分配律：(a + b) >C=ac + bc 2、 除法的运算性质 (1) a -b=a >C 说b > c) (c 工 0) (2) a — b=(a 十 c)十(b 十 c 芳(0) (3) a — b — c=a —(t )) (4) a — (b — c)=a -> 3、 乘除分配性质 (1) (a + b ) X c=a X c + b c (2) (a — b ) X c=a X c — b X c (3) (a + b ) —c=a —+ b — c (4) (a — b ) —c=a —— b — c 注意: 除数不能为零。 4、 两数之和乘以这两数之差的积等于这两个数的平方差。 2 . 2 (a + b) > (a — b)= a — b 5、 乘法凑整法：这是利用特殊数的乘积特性进行速算， 如5> 2 = 10, 25 X 4 = 100, 125 > 8 = 1000, 625X 8= 5000 , 625X 16= 10000等等。大家要记住这些结果。 思维引导 例1、计算: (1) 999+ 999X 999 (2) 1111X 9999 (3) 125X 25X 32 (4) 576X 422 + 576 + 577 X 576 跟踪练习：计算：(1) 9999 + 9999 X 9999 (2) 140X 299 (3) 808X 125 (4) 461 + 5 X 4610 + 461 X 49 例 2、计算：34X 172— 17X 71 X 2— 34
小学数学速算与巧算方法例解【转】 速算与巧算 在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19）
补数为3 补数为1 指算加法 、加法的各种情形： （一） 、+5用反手 （二） 、加数小于5 1、 直加。 虚指够加直加， +1永远用直加C 2、 直加不够，减内凑反手。 一个小于5的数，虚指数就是它比 5少的数， 比 5少几，内凑就是几。 内凑为3 内凑为2 内凑为1 （三）、加数大于5 1 、减补进1 +9永远用减补进1 一个大于5的数，虚指数就是它比 10少的数， 比10 少几，补数就是几。 补数为4 J Γ~ ? 补数为2
2、减补不够，加外凑反手 大于5 的一位数，数指数就是它比 5多的数，比5多几，外凑就是几。 、进位规律: 直加时， 五指全伸脑进 反手时，数指 由伸变曲脑进一减补进 外凑为1外凑为2外凑为3
三、手指计算方法 ）、直加 虚指够加直加， +1 永远用直 加 直加练习： 0+1 0+2 0+3 0+4 1+1 1+2 1+3 1+4 2+1 2+2 2+3 3+1 3+2 4+1 0+6 0+7 0+8 0+9 5+1 5+2 5+3 5+4 6+1 6+2 6+3 6+4 7+1 7+2 7+3 8+1 8+2 9+1 进位规律：直加时， 五指全伸脑进? 9+5 0+5 进位规律：反手时，数指由伸变曲脑进一（反手时大 拇指弯曲就进位） （三）、内凑 加数小于5 :直加不够（虚指不够直加），减内凑反手 一个小于5的数，虚指数就是它比 5少的数， 比5少几，内凑就是几。 1+5 2+5 3+5 4+5 5+5 6+5 7+5 8+5 （二） +5用反手，反手练习:
一个大于5 的数，虚指数就是它比 10少的数，比10少几，补数就是几。 补数练习： 1+9 2+9 3+9 4+9 5+9 6+9 7+9 8+9 9+9 2+8 3+8 4+8 5+8 7+8 8+8 9+8 3+7 4+7 5+7 8+7 9+7 4+6 5+6 9+6 内凑练习： 4+2 9+2 3+3 4+3 8+3 9+3 2+4 3+4 4+4 7+4 8+4 9+4 (四)补数：加数+6、+7、+8、+9 时，减补进 1 ( +9永远 用内凑为3内凑为2 ).√ 内凑为1减补进1) 补数为4补数为补数为2补数为1
一.两个20以内数的乘法 两个20以内数相乘,将一数的个位数与另一个数相加乘以10,然后再加两个尾数的积,就是应求的得数。如12×13＝156,计算程序是将12的尾数2,加至13里,13加2等于15,15×10＝150,然后加各个尾数的积得156,就是应求的积数。 二.首同尾互补的乘法 两个十位数相乘,首尾数相同,而尾十互补,其计算方法是:头加1,然后头乘为前积,尾乘尾为后积,两积连接起来,就是应求的得数。如26×24＝624。计算程序是:被乘数26的头加1等于3,然后头乘头,就是3×2＝6,尾乘尾6×4＝24,相连为624。 三.乘数加倍,加半或减半的乘法 在首同尾互补的计算上,可以引深一步就是乘数可加倍,加半倍,也可减半计算,但是:加倍、加半或减半都不能有进位数或出现小数,如48×42是规定的算法,然而,可以将乘数42加倍位84,也可以减半位21,也可加半倍位63,都可以按规定方法计算。48×21＝1008,48×63＝3024，48×84=4032。有进位数的不能算。如87×83＝7221,将83加倍166,或减半41.5,这都不能按规定的方法计算。 四.首尾互补与首尾相同的乘法 一个数首尾互补,而另一个数首尾相同,其计算方法是:头加1,然后头乘头为前积,尾乘尾为后积,两积相连为乘积。如37×33＝1221,计算程序是(3＋1)×3×100＋7×3＝1221。 五.两个头互补尾相同的乘法
两个十位数互补,两个尾数相同,其计算方法是:头乘头后加尾数为前积,尾自乘为后积。如48×68＝3264。计算程序是4×6＝24 24＋8＝32 32为前积,8×8＝64为后积,两积相连就得3264。 六.首同尾非互补的乘法 两个十位数相乘,首位数相同,而两个尾数非互补,计算方法:头加1,头乘头,尾乘尾,把两个积连接起来。再看尾和尾的和比10大几还是小几,大几就加几个首位数,小几就减掉几个首位数。加减的位置是:一位在十位加减,两位在百位加减。如36×35＝1260,计算时(3＋1)×3＝12 6×5＝30 相连为1230 6＋5＝11,比10大1,就加一个首位3,一位在十位加，1230＋30＝1260 36×35就得1260。再如36×32＝1152,程序是(3＋1)×3＝12,6×2＝12,12与12相连为1212,6＋2＝8,比10小2减两个3,3×2＝6,一位在十位减,1212－60就得1152。 七.一数相同一数非互补的乘法 两位数相乘,一数的和非互补,另一数相同,方法是:头加1,头乘头,尾乘尾,将两积连接起来后,再看被乘数横加之和比10大几就加几个乘数首。比10小几就减几个乘数首,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减,如65×77＝5005,计算程序是(6＋1)×7＝49，5×7＝35,相连为4935,6＋5＝11,比10大1,加一个7,一位数十位加。4935＋70＝5005 八.两头非互补两尾相同的乘法 两个头非互补,两个尾相同,其计算方法是:头乘头加尾数,尾自乘。两积连接起来后,再看两个头的和比10大几或小几,比10大几就加几个尾数,小几就减几个尾数,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减。如67×87＝5829,计算程序是:6×8＋7＝55,7×7＝49,相连为5549,6＋8＝14,比10大4,就加四个7,4×7＝28,两位数百位加,5549＋280＝5829
速算与巧算方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
速算与巧算 一、加法中的巧算 1.什么叫“补数”? 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。 又如：11+89=100，33+67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100， 在上面算式中，1叫9的“补数”;89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如：87655→12345，46802→53198， 87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1 巧算下面各题： ①36+87+64 ②99+136+101 ③ 1361+972+639+28 解：①式=(36+64)+87②式=(99+101)+136 ③式=(1361+639)+(972+28) =200+136=336 =100+87=187 =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。 例2 ①198+873 ②548+996 ③9898+203 解：①式=(198+2)+(873-2)(熟练之后，此步可略) ③式=(9898+102)+(203-102) =200+871=1071 ②式=(548-4)+(996+4) =10000+101=10101 =544+1000=1544 二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 例 3① 300-73-27 ② -10 解：①式= 300-(73+ 27) ②式=1000-(90+80+20+10) =1000-200=800 =300-100=200 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4① 4723-(723+189) ② 2356-159-256 解：①式=4723-723-189 ②式=2356-256-159 =4000-189=3811 =2100-159 =1941 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则
1.十几乘十几： 口诀：头乘头,尾加尾,尾乘尾. 例：12×14=？ 1×1=1 ２＋４＝６ ２×４＝８ 12×14=168 注：个位相乘,不够两位数要用0占位. ２.头相同,尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加１后,头乘头,尾乘尾. 例：23×27=？ ２＋１＝３ ２×３＝６ ３×７＝21 23×27=621
注：个位相乘,不够两位数要用0占位. ３.第一个乘数互补,另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后,头乘头,尾乘尾. 例：37×44=？ 3+1=4 4×4=16 7×4=28 37×44=1628 注：个位相乘,不够两位数要用0占位. ４.几十一乘几十一： 口诀：头乘头,头加头,尾乘尾. 例：21×41=？ 2×4=8 2+4=6 1×1=1 21×41=861
５.11乘任意数： 口诀：首尾不动下落,中间之和下拉. 例：11×23125=？ 2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7 2和5分别在首尾 11×23125=254375 注：和满十要进一. ６.十几乘任意数： 口诀：第二乘数首位不动向下落,第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字,加下一位数,再向下落. 例：13×326=？ 13个位是3 3×3+2=11
3×2+6=12 3×6=18 13×326=4238 注：和满十要进一. 二位数乘法速算总汇 1、两位数的十位相同的，而个位的两数则是相补的（相加等于10）如：78×72= 37×33= 56×54= 43×47 = 28×22 46×44 （1）分别取两个 数的第一位，而后一个的要加上一以后，相乘。（2）两个数的尾数相乘，（不满十， 十位添作0） 78×72=5616 37×33=1221 56×54= 3024 43×47= 2021 （7+1）×7=56 （3+1）×3=12 （5+1）×5=30 （4+1）×4=20 8×2=16 7×3=21 6×4=24 3×7=21 口决：头加1，头乘头，尾乘尾 2、两个数的个位相同，十位的两数则是相补的如：36×76= 43×63= 53×53= 28×88= 79×39 （1）将两个数的首位相乘再加上未位数（2）两个数 的尾数相乘（不满十，十位添作0）36×76=2736 43×63=2709 3×7+6=27 4×6+3=27 6×6=36 3×3=9 口决：头乘头加尾，尾乘尾
乘除法速算方法 乘除法速算方法 你可以到书城买本速算的书来看看啊 例如：11×12=132，结果是这样来的：将11这个数字拆开为“1”和“1”， 将12两个数字相加，即1+2=3（作为中间数）由于11×12的末尾是2，所以得数的末尾也就是2，将三个数字连在一起就是132.. 像11×13=143 11×15=165 11×17=187.. 这些知识速算书必定有的，当然在看速算书的基础上还要经常做口算第【1】讲；乘除法的速算、
【专题要点】 乘除法速算的基本思路和加减法速算一样，都是“凑整”。根据题中数的特点，把能凑整的数利用乘、除法的运算定律和性质进行凑整的计算。 几种特殊的巧算方法如下： 1、“头同尾合十”的巧算方法；用十位上的数乘以十位上的数加1的积作为前两位数，用个位上的数相乘作为后两位数（如果积不满十，十位上要补写0）。 2、“尾同头合十”的巧算方法：十位上数字的乘积加上个位数字的和，再乘以100，最后积上个位数字的积。 3、两位数、三位数乘11的方法：（1）头做积的头；（2）尾做积的尾；（3头尾相加（或三位数的前两位数与后两位数的和）作积的中间数。如果满10（100）要向前进“1”。 例题1、简便计算下列各题 （1）4×8×25×125
（2）（400－125）×8 ＝（4×25）×（8×125） （利用乘法分配律） ＝100×1000 ＝400×8－125×8 ＝100000 ＝3200×1000 遇到因数5，找个因数2 ＝2200 遇到因数25，找个因数4 遇到因数125，找个因数8
（3）8×64＋61×8 （4）98×101 （利用乘法分配律） （利用乘法分配律） ＝8×（64＋61） ＝98×（100＋1） ＝8×125 ＝98×100＋98×1 ＝1000 ＝9800＋98 ＝9898
分钟速算及十大速算技巧（完整版） 十个手指，手掌面向自己，从左往右数数。 1． 个位比十位大 1 × 9 口诀 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 34× 9=306 89×9=801 78× 9=702 45 × 9=405 2． 个位比十位大 ×9 口诀 个位是几弯回几，原十位数为百位， 38× 9=3.42 25×9=225 左边减去百位数，剩余手指为十位， 13× 9=117 18×9=162 弯指作为分界线。弯指右边是个位。 弯指读 0 为十位，弯指右边是个位。 3． 个位与十位相同× 9 口诀 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 弯指读 9 为十位，弯指右边是个位。 33×9=297 44×9=396 88×9=792 4． 个位比十位小× 9 十位减 1，写百位，原个位数写十位， 94×9=（9-1）× 100+4× 10+（ 100-94）=846 与百差几写个位（加补数） ，如差几十加十位。 83×9=（8-1）×100+ 30+17=747 62×9=（6-1）× 100+2×10+（100-62）=558 加大减差法 前面加数加上后面加数的整数， 减去后面加数 与整数的差等于和（减补数） +1 -2 1378+98=1378 —100+2=1476 5768+9897=5768+10000 —103 =15665 求只是两个数字位置变换两位数的和 前面加数的十位数加上它的个位数，乘以 47+74=（4+7）× 11=121 58+85=（5+8）× 11=143 11 等于和 68+86=（6+8）× 11=154 365427158 +644785963 +742334452 1752547573 1 不够 9 的用分段法 2 中间数字和 >19 的 3 末位数字和 >19 的 口诀 直接相加，并要提前虚进 1 弃 19, 前边多进 1（中间弃 9） 弃 20, 前边多进 1 （末位弃 10）
加法的神奇速算法 一、加大减差法 1、口诀 前面加数加上后面加数的整数，减去后面加数与整数的差等于和。 2、例题 1376+98=1474 计算方法：1376+100-2 3586+898=4484 计算方法：3586+1000-102 5768+9897=15665 计算方法：5768+10000-103 二、求只是数字位置颠倒两个两位数的和 1、口诀 一个数的十位数加上它的个位数乘以11等于和 2、例题 47+74=121 计算方法：（4+7）x 11=121 68+86=154 计算方法：（6+8）x 11=154 58+85=143 计算方法：（5+8）x 11=143 三、一目三行加法 1、口诀 提前虚进一，中间弃9，末位弃10 2、例题 365427158 644785963 +742334452 ——————— 1752547573 方法：从左到右，提前虚进1；第1列：中间弃9（3和6）直接写7；第2列：6+4-9+4=5 以此类推...最后1列：末位弃10（8和2）直接写3 注意：中间不够9的用分段法，直接相加，并要提前虚进1；中间数字和大于19的，弃19，前边多进1，末位数字和大于19的，弃20，前边多进1 减法的神奇速算法 一、减大加差法 1、例题 321-98=223 计算方法：减100，加2 8135-878=7257
计算方法：减1000，加122 91321-8987= 82334 计算方法：减10000，加1013 2、总结 被减数减去减数的整数，再加上减数与整数的差，等于差。 二、求只是数字位置颠倒两个两位数的差 1、例题 74-47=27 计算方法：（7-4）x9=27 83-38=45 计算方法：（8-3）x9=45 92-29=63 计算方法：（9-2）x9=63 2、总结 被减数的十位数减去它的个位数乘以9，等于差。 三、求只是首尾换位，中间数相同的两个三位数的差 1、例题 936-639=297 计算方法：（9-6）x9=27 注意！27中间必须加9，即为差297 723-327=396 计算方法：（7-3）x9=36 注意！36中间必须加9，即为差396 873-378=495 计算方法：（8-3）x9=45 注意！45中间必须加9，即为差495 2、总结 被减数的百位数减去它的个位数乘以9，（差的中间必须写9）等于差。 四、求互补两个数的差 1、例题 73-27=46 计算方法：（73-50）x2=46 613-387=226 计算方法：（613-500）x2=226 8112-1888=6224