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课题学习最短路径问题

13.4 课题学习最短路径问题

一、教学设计理念

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。

本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，利用轴对称、平移等变化再把数学问题转化为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，体现了数学化的过程和转化思想。

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手．解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在直线l上找到点C，使AC与CB 的和最小”，需要将其转化为“在直线l异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．所以在课堂上特别对这几个问题进行了针对性的设计。

二、教学对象分析

八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。一直以来，学生对多媒体环境下的几何探究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲望，学习投入程度大。他们观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。学生在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助，学生本身具有一定的探究精神和合作意识，能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待加强。(1)最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。(2)解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在直线l上找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“在直线l异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难。(3)在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生会想不到。

三、教学目标

1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。

2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。

3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。

4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。

四，教学重点

将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。

五，教学难点：

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。

六、教学实施

1．最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．

(2)问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

分析：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′交直线l于点M.

(3)则点M即为所求的点．

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

2.运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

【例2】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

问题：如图A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？

（假设河两岸平行,桥MN 与河岸垂直,A到的距离大于河宽.）方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径AMNB最短”实际是就是“AM+BN”

最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．

怎样保证“AM+BN”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接AB就可以了！由于河两岸平行, 故桥长MN是一个定值,无论桥架在何处,MN是必经路线,要使从A到B的折线最短,只需AM+BN最短即可.

为此我们不妨将桥MN平移到处,且M与A重合,则N与重合,由平移性质知AM=CN .由“两点之间,线段最短”的性质知,要使AM+BN最短(即+BN最短),只要点N在线段上即可．

为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图2的作图后，再加以说明．

图2的操作步骤是，过点A作AC⊥河和于点C，在线段AC上截取AC=桥长，然后连接CB 交于点N，最后过点N作MN⊥河于点M.则MN即为所求的架设桥的地点.

作法：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B 应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．

解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．

(2)连接BC与河岸的一边交于点N.

(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.

则MN为所建的桥的位置．

(实际应用题)桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

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13.4 课题学习最短路径问题一、教学设计理念最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，利用轴对称、平移等变化再把数学问题转化为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，体现了数学化的过程和转化思想。最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手．解答“当点A、B 在直线l 的同侧时，如何在直线l 上找到点C，使AC 与CB 的和最小”，需要将其转化为“在直线l 异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．所以在课堂上特别对这几个问题进行了针对性的设计。二、教学对象分析八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。一直以来，学生对多媒体环境下的几何探究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲望，学习投入程度大。他们观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。学生在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助，学生本身具有一定的探究精神和合作意识，能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待加强。(1)最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。(2)解答“当点 A 、B 在直线l 的同侧时，如何在直线l 上找到点C，使AC 与CB 的和最小”，需要将其转化为“在直线l 异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难。(3)在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生会想不到。三、教学目标 1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。 2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。 3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。 4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。四，教学重点

【13.4,,课题学习,,最短路径问题】

【13．4,,课题学习,,最短路径问题】 13．4 课题学习最短路径问题能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．一师一优课一课一名师 (设计者： ) 一、创设情景，明确目标如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．二、自主学习，指向目标自学教材第85 页至87 页，思考下列问题： 1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短． 2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．三、合作探究，达成目标探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有

一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和； (3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1：对于问题2，如何将点B “移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持

浅析城市道路与交通工程系统分析

浅析城市道路与交通工程系统分析发表时间：2018-11-09T14:42:03.797Z 来源：《建筑学研究前沿》2018年第19期作者：付丽娜 [导读] 机动车在市场上的保有量的增加，在我国许多大城市交通拥堵现象已成为正常现象，交通问题的产生也越来越多。黑龙江省宏盛建筑工程有限公司黑龙江省肇东市 151100 摘要：城市道路与交通工程复杂而精细，本文简要介绍了道路与交通工程分析的作用、目的和步骤，对模型的建立和运行以及如何进行定性定量分析进行了阐述，总结了道路与交通工程系统分析的主要内容，为城市道路交通系统分析提供理论依据。关键词：城市道路；交通工程；分析；总结；依据前言机动车在市场上的保有量的增加，在我国许多大城市交通拥堵现象已成为正常现象，交通问题的产生也越来越多。引起城市交通拥堵的原因是多方面的，根本原因是城市的交通需求和交通供给失衡，所以需要针对交通系统进行分析和解决。 1 基本概念 1.1 城市道路与交通工程复杂而庞大，在规划、设计和修建时往往要涉及数以亿计的资金投入，而营运管理中每天都关联着数千辆车辆直接或问接的运行效率和经济性。工程系统分析是探讨规划、设计、修建和营运管理工程系统的方法，其任务就是为管理部门提供合理配置和使用资源、选择最佳方案的分析工具。城市道路与交通工程系统就是针对道路与交通工程规划、设计、修建和营运管理问题的特点综合系统分析方法论、优化技术、微观经济概念预测方法和决策理论等学科知识，进行资源配置和方案选择的方法。 1.2 工程系统分析的步骤。系统分析作为决策者的一个有力工具，对决策者改善政策、制定质量以及实施有效领导等方面有重要影响，其基本步骤如下：（1）明确目标：在进行系统分析时，第一步要做的就是对系统和系统范畴进行明确定义，清楚了解系统的环境以及系统各个组成部分之间的关系等；接着就是对反映系统行为、性能或者性状的数据进行大量采集，选择相应的评价标准和评价指标，对现有系统的性能和状态进行定性描述和定量评价时，通过数据分析的利用加以实现；完成评价后，应该调查并预测现有系统当下和将来的需求，并与现有的系统实际状态和使用系能进行类比，进一步使得现有系统存在问题的内容和范围都有所确定。根据这些分析依据来对现有系统开展价值分析，讨论后确定接受度高且实现性强的系统整改的目标和目的。（2）可选方案的提出：按照系统的问题和所定的目标及目的对多个可能的方案进行可行性分析和筛选，多次进行系统分析和系统评价，从众多改进法方案中筛选出可行性较高的方案。（3）选择方案的分析评价：在上一个步骤中已经完成了各项方案的分析，因此这时应该依据按照表征系统的行为、性状和特征模拟所得到的一个或数个模型细致的技术、经济政治可行性分析，对系统实施后的各种状态进行计算分析。（4）方案的选择与决策：完成系统分析后，系统分析员需要将结构化分析结果用概述的形式传给决策者，说明评定指标和标准，表明系统目的和目标的确立依据，提供可行的参考方案并对各方案实施的效果进行比较分析，在讨论中系统分析员可以提出自己的一些建议和看法。（5）方案实施和反馈：系统分析结果的验证是在确定方案实施过程中和结束后需要进行的基本步骤，验证的结果是分析方法和分析选用参数修整完善的基本依据，后期新方案和性政策推荐可以以此为构建基础并适时推出。 1.3 城市道路与交通工程系统。道路与交通工程的规划、设计、修建和后期运作管理是城市道路与交通工程系统分析的主要对象。这些问题的基本特征与微观经济概念预测法、系统分析方法论、技术优化、决策理论等相结合就是实现资源优化配置和最佳方案的选择的依据基础。城市道路与交通工程庞大而复杂，投入甚大，各管理部门的资源优化配置和最佳解决方案的选择是工程系统分析工作的主要内容。 2 模型的建立与运行模型是将系统和问题的全貌以立体直观的方式呈现给决策者的一种工具，通过直观的呈现各种问题来加强决策者的决策能力，在城市道路与交通工程系统的分析过程中模型是必不可少的。模型的一个重要作用就是使分析员能够根据具体模型来分析各种各样的变量、因素以及关系之间是如何相互依赖、相互作用的，通过分析来推测可能对系统产生影响的各种行为、性状、性能等，进一步对方案的效果进行评价，对方案进行必要的完善。所以，模型的建立是城市道路与交通系统分析的重中之重，其建立和运行步骤如下：初步设计、根据现有数据初步证实、通过模型预测新情况、根据实际偏差改进模型。 3 城市道路与交通系统分析的主要内容 3.1 线性规划与图论。线性规划是运筹学中的一个分支，运筹学会通过运用图解法、人工变量法、单纯形法等求解方法来将所分析的问题具体呈现出来。通常情况下，使用线性规划有两个目的：一个目的是根据任务要求，采用最省资源的方式完成工作；第二个目的是根据被限定的资源，采用最佳方案经济有效地完成任务。同时，作为运筹学另一个分支的图论则是以“图”的形式来反映庞大而复杂的工程系统以及管理问题，其最优结果通过数学方法求得。通过情况下，要分析完成某项任务的最少时间、最省费用、最短距离等，都可以通过图论的方法来进行。 3.2 网络技术。这里所说的网络技术跟我们日常生活中所理解的网络技术不同，作为图论的一个分支，其主要的表示方法有箭线图和顺序图，主要工作第一步是对承接的工作展开项目分析，并依据分析结果绘制出与预期要求相符的网络图，若通过分析绘制得到的网络没有达到预期要求目标，分析人员就可以结合时间、资源、费用等因素的影响对原图进一步调整优化，以达到最终的满意效果，在施工组织和施工计划管理的过程中往往会用到网络技术。 3.3 预测与决策。预测与决策是两个不同的概念，预测是以某件事物的历史资料为依据，采取科学的方法和逻辑推来对该事物的发展趋势进行预测分析，并对估计结果进行客观评价，然后再调对人们的行动进行调节引导；而决策则是指在众多可选方案中选择出可行性最佳的执行方案。 3.4 技术经济分析与评价。在道路工程中，在可行性研究阶段需要用到技术经济评价，技术经济评价是对成本和效益动态计算并最终得出定量评价依据的一种手段，所采用的研究方法包括有工程经济学的理论和方法，通过分析来说明某个方案的优劣。

运筹学试题及答案

运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束

B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是

运筹学论文最短路问题

运筹学论文 ——旅游路线最短问题摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。关键词：最短路 0-1规划约束条件提出问题: 从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。各城市之间的航线距离如下表：重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明重庆0 1640 1500 662 2650 649 北京1640 0 1200 1887 1010 2266 杭州1500 1200 0 1230 2091 2089 桂林662 1887 1230 0 2822 859 哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494 昆明649 2266 2089 859 3494 0 问题分析： 1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。 2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就

导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。就如同下图实线代表两个城市相连为1, 虚线代表没有相连为0 3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。 LINGO解法：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，将其标为1）假设：设变量x11。如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。这里取其中xij (i

运筹学试题及答案汇总

3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单

运筹学试题及答案4套

《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。 -13 1 1 6 1 1-200 2-1 1 1/2 1/2 1 4 07 三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序a b c d e f g h 紧前工序——a a b,c b,c,d b,c,d e 试画出该工程的网络图。（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键

线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。六、（15分）用动态规划法求解下面问题：

七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。 2 -1 1 0 0 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 6 10 0 -3 -1 -2 0 （1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地产地甲乙丙丁产量 A41241116 B2103910

C8511622需求量814121448 《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。二、（20分）已知运输表如下：销地产地B1B2B3B4供应量 50 A 1 3 2 7 6 A 2 60 7 5 2 3 25 A 3 2 5 4 5 需求量60 40 20 15 （1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。三、（35分）设线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4

道路交通工程系统分析方法实验1

实验一网络技术在道路交通工程应用一、实验目的通过实验，使学生掌握网络技术在道路交通工程中的实际应用；掌握WinQSB软件绘制计划网络图，计算时间参数，求关键路线；同时，学会计算机技术的应用。二、实验原理根据工期及工序关系，为每个工序定义最早开始和结束日期、最迟开始和结束日期，形成顺序的网络逻辑图，找出关键路径。通过对关键路径的时间压缩和对非关键工序的资源调配，达到压缩工期和资源平衡的目的。三、实验内容网络技术在道路交通工程中的应用。四、实验仪器、设备及材料每人一台计算机、WinQSB软件五、实验步骤例题1：某项工程由11项作业组成（分别用代号A，B，……，J，K表示），其计划完成时间及作业间相互关系如表7-1所示，要求编制该项工程的网络计划并计算其时间参数。表7-1 实验操作步骤 1、运行“PERT_CPM”，出现图1所示界面图1 2、运行file菜单下的new problem 命令，出现图2所示界面。

图2中各项目含义： Problem Type(问题类型)如下： Deterministic CPM ：确定型关键路线法 Probabilistic PERT ：概率型网络计划技术 Data Entry Format ——选择数据输入是以矩阵或图形输入 Select CPM Data Field ——Normal Time 正常时间 Crash Time 赶工时间 Normal Cost 正常费用 Crash Cost 赶工费用 3、求例1，则①Problem Title 后给文件命名，Number of Activities 后给出作业数‘11’，Time Unit 后给出时间单位‘day ’，②Problem Type 选择’Deterministic CPM ’，③ Select CPM Data Field 选’Normal Time ’，④ 输入界面如图3所示，OK 确定后出现输入矩阵如图4 所示，图2 图3

运筹学试题及答案.

运筹学试题及答案一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加__人工变量_的方法来产生初始可行基。2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、_技术系数 __和__限定系数_。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是__无非负约束(或无约束、或自由)_变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 _破圈法__。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为__负指数_分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为__不确定__型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用__效用曲线_来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是追求目标函数的_ 最小 __值，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的__ 优先因子(或权重)__。二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【 D 】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【 D 】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零 11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【 A 】A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【 B 】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【 C 】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【 B 】 A．若原问题为无界解，则对偶问题也为无界解 B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解 c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解

运筹学最短路例2解题步骤

解：1.给起点标以v1（0，s） 2. I={v1}， J={v2，v3，v4，v5，v6，v7} 弧集合{（v i，v j）| v i∈I，v j∈J }={（v1，v2），（v1，v3），（v1，v4）} 并有：s12=l1+c12=0+2=2 s13=l1+c13=0+5=5 s14=l1+c14=0+3=3 min(s12,s13,s14)=s12=2 给弧（v1,v2）的终点v2标以（2，1） 3.此时I={v1,v2} J={v3,v4,v5,v6,v7}弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J }={(v1,v3)(v1,v4)(v2,v3)} 并有：s23=l2+c23=2+2=4 min(s13,s14,s23)=s14=3 此时，给弧（v1,v4）的终点v4标以（3，1） 4. 此时I={v1,v2,v4} J={v3,v5,v6,v7} 弧集合{（v i,v j）| v i∈I,v j∈J } ={(v1,v3),( v2,v3),( v2,v6),( v4,v3),( v4,v5) } 并有：s26=l2+c26=2+7=9 s43=l4+c43=3+1=4 s45=l4+c45=3+5=8 min(s13,s23 ,s26,s43,s45)=s23=s43=4 此时，给弧（v2,v3）的终点v3标以（4，2）给弧（v4,v3）的终点v3标以（4，4）

5.此时I={v1,v2,v3,v4 } J={ v5,v6,v7 } 弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J }= { ( v2,v6),( v3,v6),( v3,v5),( v4,v5) } 并有：s36=l3+c36=4+5=9 s35=l3+c35=4+3=7 min(s26,s36 ,s35,s45 )=s35=7 此时，给弧（v3,v5）的终点v5标以（7，3） 6. 此时I={v1,v2,v3,v4 ,v5} J={ v6,v7 } 弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J } = { ( v2,v6),( v3,v6),( v5,v6) } 并有：s56=l5+c56=7+1=8 min(s26,s36 ,s56 )=s56=8 此时，给弧（v5,v6）的终点v6标以（8，5） 7. 此时I={v1,v2,v3,v4 ,v5, v6} J={ v7 } 弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J } = {( v6,v7) } 并有：s67=l6+c67=8+5=13 ∴此时最短路径为：v1→v2→v3→v5→v6→v7 或 v1→v4→v3→v5→v6→v7 距离为：13

《课题学习最短路径问题》的教学反思

《课题学习最短路径问题》的教学反思最短路径问题是新人教版的八年级教材内容，是新增加的内容，因此，在备课的过程中难以找到相关的课件或者习题，对于这部分内容的教学，怎样才能讲的透彻，是个值得深入钻研的问题，上了这一节课我有以下几点体会：一：教师要合理安排一节课的组织教学、检查复习、教学新知、巩固练习、课堂小结和布置作业等课堂教学环节的顺序和时间分配。在一堂课中，要特别精心用好前20分钟左右的“黄金”教学时间，用于讲解新知、重点、难点内容，忌用黄金时间“去炒隔天的夹生饭”，保证学生有充分时间去当堂自学、练习、巩固新知，确保学生的主体地位。这节课我先从学生身边的数学问题入手，“你从教室到操场有两条路可以走，你会选择走哪条？”“为什么要走这条，走这条路有什么优势？”让学生体会到了数学就在我们身边，为什么要学习最短路径。这让学生引起了很大的学习兴趣，提高了学生的学习积极性。二：课堂结构的安排，要主次分清，快慢得当。教学中，要根据教学内容的深度、难度和学生的认知水平，合理分配时间段，合理把握教学节奏，有的课可适当加快节奏，有的课则需放慢节奏，有的内容易少花时间，有的内容则应多花时间；对于这一堂课而言，各个教学环节可有不同的节奏，开始时的基础训练，可以紧锣密鼓，营造一种热烈的气氛；使学生尽快集中思维，进入状态，当学生探得新知，总结规律时，则应放慢节奏。特别是对于两点在直线的同侧时，要在直线上找一点使得它到两点的距离和最短，我让学生自己找一个点的对称点，并提出问题：你是怎样想到要找对称点的？它起了什么作用？“让学生解决这个问题，给学生足够的时间和空间进行探索，对于分散教学难点起了很大的作用，收到了很好的教学效果。因此，一堂课内应视需要，时而似快马奔腾，时而似闭庭信步，使学生的思维有张有弛，快慢相间，提高效率。三：“少”是相对于“多”而言的，“精”是相对于“杂”或“粗”而言的，所谓精讲，就是教师在充分把握教材、大纲和学生学习情况的基础上，讲解精辟透彻，画龙点睛，抓住实质和关键，讲在点子上。本节课我重点放在找到动点使它到两点的距离和最短，其次重点放在证明上，让学生明白：利用两点之间线段最短就说明了线段和最短，为什么还要证明它最短呢？目的是让学生体会另一种证明最短问题的方法。因而“精讲”不在于量上，更重要的在于质上。难道讲5分钟是精讲，讲30分钟就不是精讲？更不是以花时间的多少来衡量的。而要看当讲不当讲。有些内容很简单的课，讲5分钟不为少；而内容较难的重点章节，讲30分钟不为多。如果不能调动学生的积极性，抓不住要害，讲不在关键处，即使讲得再少也不能算“精讲”。

最全的运筹学复习题及答案78213

四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3

运筹学最短路径实验

实验项目：最短路径问题实验学时： 4 实验日期：2012年11月30日实验要求：案例模型分析实验内容：用最短路径模型解决具体问题前言运输是物流过程的主要职能之一，也是物流过程各项业务的中心活动。物流过程中的其它各项活动，如包装、装卸搬运、物流信息等，都是围绕着运输而进行的。可以说，在科学技术不断进步、生产的社会化和专业化程度不断提高的今天，一切物质产品的生产和消费都离不开运输。物流合理化，在很大程度上取决于运输合理化。所以，在物流过程的各项业务活动中，运输是关键，起着举足轻重的作用。而有效的缩减路径可以使得运输费用降低。本文运用Dijkstra 算法求出最短路径，以最大限度地节约运输费用降低物流成本，Dijkstra 算法用于求解最短路径问题最常用的方法之一。 Dijkstra 算法的基本步骤如下：（1）给起点1v 以P 标号()01=v p ,其余各点均给以T 标号，()∞+＝i V T 。（2）若i v 点为刚得到的ｐ标号的点，考虑这样的点为j v ，考虑()j i v v ,这条边，且 ()j v 为T 标号，对j v 的T 标号进行如下更改 ()()()[] ij i j j l v P v T v T +=,min （3）比较所有具有Ｔ标号的点，把最小者改为Ｐ标号，即()()[] i v V P i min =，当存在两个以上最小者时，可同时改为Ｐ标号，若全部点均为Ｐ标号，则停止，否则- i v 代i v 改为第二步重做。

案例分析下图所示是某地区交通运输的示意图，试问从1v 出发，经哪条路线达到8v 才能使总行程最短？使用Dijkstra 求解。 2v 5 4v 9 6v 4 4 7 5 4 1v 8v 6 4 5 1 3v 7 5v 6 7v 步骤： 1. 首先给1v 以P 标号，()01=V P ,给其余所有的点以T 标号，()()8,,2,1 =+∞=i V T i 2. （1）考察点1V ，边()()3121,,,V V V V ()()()[][]()()()[][]6 60,min ,min 440,min ,min 1313312122=+∞+=+==+∞+=+=l V P V T V T l V P V T V T （2)比较所有T 标号()(){}32,V T V T ，()42=V T 最小，所以给2V 以P 标号，令 ()42=V P ,记录路径()21,V V 3. (1) 2V 为刚得到P 标号的点，考察边()()5242,,,V V V V ()()()[][]954,min ,min 24244=+∞+=+=l V P V T V T ()()()[][]844,min ,min 25255=+∞+=+=l V P V T V T （2）比较所有T 标号，()()(){}543,,V T V T V T ,()63=V T 最小，给3V 以P 标号，令 ()63=V P ,记录路径()31,V V 4. （1）3V 为刚得到P 标号的点，考察()()5343,,,V V V V ()()()[][]946,9min ,min 34344=+=+=l V P V T V T ()()()[][]876,8min ,min 35355=+=+=l V P V T V T （2）比较所有T 标号，()(){}54,V T V T ,()85=V T 最小，给5V 以P 标号，令

课题学习最短路径问题教案

13.4课题学习最短路径问题 ◇教学目标◇ 【知识与技能】能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 【过程与方法】体会图形的变换在解决最值问题中的作用. 【情感、态度与价值观】通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识. ◇教学重难点◇ 【教学重点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【教学难点】利用图形变换进行线段的转移. ◇教学过程◇ 一、情境导入如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由. 二、合作探究探究点1三角形周长最短的问题典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹. [解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求. 理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F, ∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,

根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短. 探究点2坐标系中的将军饮马问题典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x轴上行驶. (1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标. (2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标. (3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置. [解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近. (2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近. (3)如图所示,过点A作关于x轴的对称点A',连接A'B,A'B与x轴的交点即为所求. 三、板书设计最短路径问题最短路径问题 ◇教学反思◇ 本节的内容是最短路径问题,知识点应安排逐步的生成过程,环环相扣,一步步上,要将问题分解,化大为小,化难为易,降低难度.要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得轻松自如.

13.4 课题学习最短路径问题(第1课时)

13.4 课题学习最短路径问题（第1课时）学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学过程一、引入新知：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．二、探索新知问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如 B A l B · · A

道路交通工程系统分析.

课程设计课程名称道路交通工程系统分析设计题目交通系统分析应用程序设计姓名专业年级交通工程2009级学号指导教师成绩日期2012 年7 月6 日

评语指导教师： 2012年月日目录

1 线性归划 (3) 1.1 模型及分析 (3) 1.2 Matlab求解方法 (3) 1.3 Lingo求解方法 (4) 2 运输规划 (6) 2.1 模型及分析 (6) 2.2 Lingo求解方法 (8) 3 整数规划 (9) 3.1 模型及分析 (9) 3.2 Lingo求解方法 (9) 4 图与网络分析 (11) 4.1 模型及分析 (11) 4.2 Matlab求解方法 (11) 5 预测分析 (12) 5.1 模型及分析 (12) 5.2 R软件求解方法 (16) 5.3 Excel求解方法 (17) 6 参考资料 (18) 1 线性规划

实例：某桥梁工地用一批长度为8.4m 的角钢（数量充分多）制造钢桁架，因构造要求需将角钢截成三种不同规格的短料：2m 、3.5m 、4m 。这三种规格短料需求量分别为100根、50根、50根。试问怎样截料才能使废料最少。 1.1 模型分析这个问题是线性规划中的截料优化问题，经过分析后可以知道该批角钢有六种截法如表1所示钢材截取方法表1 长度根数截法一二三四五六 2m 2 2 0 0 0 4 3.5m 1 0 1 0 2 0 4.5m 0 1 1 2 0 0 废料长（m ） 0.9 0.4 0.9 0.4 1.4 1.4 所以上述问题下列数学模型来表达： x x x x x x z 4.04.14.09.04.09.0min 654321+++++= ?? ???????≥=+ +=++=++且为整数0 ,,,,,502502100422s.t.654321432531321.x x x x x x x x x x x x x x x 该问题为线形规划问题，为求得最优解，下面分别用Matlab 和Lingo 求解。 1.2 用Matlab 方法求解该问题化为标准模型如下所示。 cx z =min ?? ?? ???≤≤=≤UB LB b x A b Ax x 11s.t.. 用命令：[x ，fval]= =linprog （c ，A ，b ，A1，b1，LB ，UB ）在MATLAB 中

最全的运筹学复习题及答案

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少