13.4 课题学习最短路径问题
一、教学设计理念
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连接
直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、
平移、旋转等变化进行研究。
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体展开对“最短
路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，利用轴对称、平移等变化再把数学问题转化为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，体现了数学化的过程和转化思想。
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，
解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，
无从下手．解答“当点A、B 在直线l 的同侧时，如何在直线l 上找到点C，使AC 与CB
的和最小”，需要将其转化为“在直线l 异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样
转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明
作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．所以在课堂上特别对这几个问题进行了针对
性的设计。
二、教学对象分析
八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。
一直以来，学生对多媒体环境下的几何探究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲望，学习投入程度大。他们观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运
用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学
习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。学生在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助，学生本身具有一定的探究精神和合作意识，能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待加强。(1)最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中
接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，
更会感到陌生，无从下手。(2)解答“当点 A 、B 在直线l 的同侧时，如何在直线l 上找到点C，使AC 与CB 的和最小”，需要将其转化为“在直线l 异侧两点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称、平移变化实现转化，一些学生在理解和操作上存
在困难。(3)在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生会想不到。
三、教学目标
1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。
2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际
问题数学化。
3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中
的重要作用。
4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理，更
进一步体会到数学知识在生活中的应用。
四，教学重点
将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。
五，教学难点：
探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。
六、教学实施
1．最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直
线的交点即为所求．
如图所示，点A，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C，使CA＋CB 最短，
这时点 C 是直线l 与AB 的交点．
(2) 问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条
笔直的河边l 饮马，然后到 B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
【例1】在图中直线l 上找到一点M，使它到A，B 两点的距离和最小．
分析：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点．
解：如图所示：(1)作点 B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′交直线l 于点M.
(3)则点M 即为所求的点．
点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.
为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：
证明：由作图可知，点 B 和B′关于直线l 对称，
所以直线l 是线段BB′的垂直平分线．
因为点 C 与C′在直线l 上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形
的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
【例2】如图，从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂
直的桥，应如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B 地的路程最短？
问题：如图 A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处才能
使从 A 到B 的路径AMNB 最短？
（假设河两岸平行, 桥MN 与河岸垂直,A 到的距离大于河宽. ）方法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径AMNB 最短”实际是就是“AM+BN”
最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．
怎样保证“AM+BN”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接AB 就可以了！由于
河两岸平行, 故桥长MN 是一个定值,无论桥架在何处,MN 是必经路线,要使从 A 到B 的折线
最短, 只需AM+BN 最短即可.
为此我们不妨将桥MN 平移到处,且M 与A 重合,则N 与重合,由平移性质知AM=CN .
由“两点之间,线段最短”的性质知,要使AM+BN 最短(即+BN 最短),只要点N 在线段上即可．
为了更为清楚的表达这种方法，我们构造出如图 2 的作图后，再加以说明．
图2 的操作步骤是，过点 A 作AC ⊥河和于点C，在线段AC 上截取AC= 桥长，然后连
接CB 交于点N，最后过点N 作MN ⊥河于点M. 则MN 即为所求的架设桥的地点.
作法：从A 到B 要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最
短，只要AM＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC，从C 到B
应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为
所建的桥．
解：(1)如图2，过点 A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．
(2 )连接BC 与河岸的一边交于点N.
(3)过点N 作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN 为所建的桥的位置．
(实际应用题)桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的AO，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB
桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮
助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？