13.4课题学习最短路径问题
◇教学目标◇
【知识与技能】
能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
【过程与方法】
体会图形的变换在解决最值问题中的作用.
【情感、态度与价值观】
通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
【教学难点】
利用图形变换进行线段的转移.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由.
二、合作探究
探究点1三角形周长最短的问题
典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹.
[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.
理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F,
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,
根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短.
探究点2坐标系中的将军饮马问题
典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x轴上行驶.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标.
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标.
(3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置.
[解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近.
(2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近.
(3)如图所示,过点A作关于x轴的对称点A',连接A'B,A'B与x轴的交点即为所求.
三、板书设计
最短路径问题
最短路径问题
◇教学反思◇
本节的内容是最短路径问题,知识点应安排逐步的生成过程,环环相扣,一步步上,要将问题分解,化大为小,化难为易,降低难度.要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得轻松自如.
《最佳路径》教学设计 《最佳路径》教学设计（精选3篇） 教材简析： 课文记叙了迪斯尼乐园临近开放之际，世界建筑大师格罗培斯为其景点之间的路径设计焦躁不已时，却由法国南部农民卖葡萄的做法获得启示，采取提前开放，按游人踩出的痕迹铺设人行道的做法，获得了世界最佳设计的荣誉，表现了他聪明机智的品质和顺应游客意愿的思想作风。 重点难点：课文的二、三部分是重点，重点感悟迪斯尼乐园的最佳路径设计与法国南部农民卖葡萄之间的联系，从而理解课文蕴含的哲理。 教学要求： 1、正确、流利、有感情地朗读课文。 2、学会本课生字，理解生字组成的新词。 3、理解课文内容，了解迪斯尼乐园的最佳路径设计与法国南部农民卖葡萄之间的联系。懂得尊重他人，相信他人，给人自由与选择的机会，其中蕴涵着巨大的价值。 教学准备：挂图、光盘、生字卡片若干；搜集有关迪斯尼乐园、沃尔特?迪斯尼、格罗培斯以及世界上一些著名的建筑及他的设计者的资料。
教学时间：2课时 第一课时 教学目的：初读课文，了解课文主要内容，学会生字新词，学习第一段。 教学过程： 一、激趣导入，揭示课题 1、同学们，你们喜欢看动画片么？大家一定对“米老鼠”“唐老鸭”这样的动画人物不陌生。知道他们是谁创造的么？（美国动画片大师沃尔特．迪斯尼） 2、迪斯尼公司的创始人不但创造出了这么多个性鲜明、活泼可爱的动画人物，对于全世界热爱动画片的人来说，他还有一个巨大的贡献，那就是迪斯尼乐园。迪斯尼乐园是一座现代化的游乐园，它有着“探险世界”“未来世界”“幻想世界”“开拓之城”等主题乐园，把严肃的教育内容寓于娱乐形式之中，丰富而且有趣。迪斯尼乐园备受全世界男女老少的喜爱，这里可以说是每个人梦的故乡，好像来到了用梦和幻想编织的殿堂。 3、揭示课题，质疑。今天我们要学习的课文，就是和 迪斯尼乐园有关的。 板书课题：6、最佳路径（最佳路径：就是最好的路线。） 看到这个题目，你们脑中产生了哪些问题？
专题学习：最短路径问题 一、教学目标: 知识与技能： 理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 过程与方法： 能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题。 情感态度与价值观： 通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 二、教学重、难点 教学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。 三、学法指导 自主探索，合作交流。 四、教学过程 （一）、创设情景，引入新知。 同学们：我们已经学习过“两点之间的所有连线中，线段最短。”和“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”等问题，我们称他们为最短路径问题。 （二）、自主学习，探究新知。 1、如图所示，从A地到c地有四条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 2、两点在一条直线异侧： F E D C B A
活动1: 已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。 思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA+PB最短呢？ 3、两点在一条直线同侧 活动2：如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ （1）你能将这个问题抽象为数学问题吗？ （2）这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小
最佳路径 教学目标： 知识与能力： 1、学会本课生字新词，理解由生字组成的词语。读准多音字：吆喝（hè）、看（kān）管、调转（diào zhuǎn）。 2、正确、流利、有感情地朗读课文。 过程与方法： 1、引导学生联系上下文思考、讨论问题，围绕“迪斯尼乐园路径设计为什么被评为世界最佳设计？它与法国南部农民卖葡萄有什么联系”等问题发表自己的见解。 2、激发学生学习兴趣，收集有关“迪斯尼乐园”的介绍，以“走进迪斯尼”“迪斯尼的故事”开展综合活动。 情感态度与价值观 理解课文内容，懂得尊重他人，相信他人，给人自由与选择的机会，其中蕴含着巨大的价值。 课时安排： 第一课时：激发兴趣，初读课文，了解大意，理清层次，阅读课文1、2自然段，引导学生各抒己见。 第二课时：阅读课文3——7自然段，了解相关资料，阅读同题文章，联系生活实际，寻找生活中的“最佳路径”。 教学过程： 第一课时 一、激趣导入，揭示课题 1、同学们，你们喜欢看动画片么？大家一定对“米老鼠”“唐老鸭”这样的动画人物不陌生。知道他们是谁创造的么？（美国动画片大师沃尔特?迪斯尼） （格罗培斯：美国哈佛大学建筑学院院长，现代主义大师和景观建筑方面的专家，他从事建筑研究40多年，攻克过无数个建筑方面的难题，在世界各地留下70多处精美的杰作。） 2、迪斯尼公司的创始人不但创造出了这么多个性鲜明、活泼可爱的动画人物，对于全世界热爱动画片的人来说，他还有一个巨大的贡献，那就是迪斯尼乐园。迪斯尼乐园备受全世界男女老少的喜爱，这里可以说是每个人梦的故乡，好像来到了用梦和幻想编织的殿堂。 3、揭示课题，质疑。 今天我们要学习的课文，就是和迪斯尼乐园有关的。
课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时） 内容分析 1.课标要求 “课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。 2.教材分析 知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。 能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。 思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思 想。在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性， 所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。 3.学情分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线2l的什么位置时，NB AM+ +最小?”需要将其转化为“当 MN 点N在直线2l的什么位置时，NB AM+最小?”。能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。
初二最短路径问题归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
最短路径问题专题学习【基本问题】 m n
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小． 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为 P ． 三角形任意两边之 差小于第三边．PB PA -≤ AB ＇． PB PA -最大值＝ AB ＇． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23．6 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） l A B D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4
A ．120 ° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 2 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重 合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分 别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为 B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值 是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最 小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． y x B O A y x B A O 第6题 第
《最佳路径》教案2篇Teaching plan of the best path
《最佳路径》教案2篇 前言：教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。一般包括教学目标、教学重难点、教学方法、 教学步骤与时间分配等环节。本教案根据教学设计标准的要求和教学对象的特点， 将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。便于学习和使用，本 文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘 Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1：《最佳路径》教案 2、篇章2：《最佳路径》教案 篇章1:《最佳路径》教案 教材简析： 《最佳路径》是一篇内容生动，意蕴深远的课文，文章 讲述了世界著名建筑大师格罗培斯为设计法国迪斯尼乐园的路径大伤脑筋，后来受到卖葡萄的老奶奶“给人自由，任其选择”的做法的启发，产生了“撒下草种，提前开放”的设计策略，最终所形成的路径被评为世界最佳路径的过程。故事给人以启示：尊重他人，相信他人，给人自由与选择的机会，其本身就是一种最佳选择。
教学目标： 1、学会本课生字新词，理解由生字组成的词语。 读准多音字：吆喝（he）、看（kān）管、调转（diào zhuǎn）。 2、正确、流利、有感情地朗读课文。 3、引导学生联系上下文思考、讨论问题，围绕“迪斯尼乐园路径设计为什么被评为世界最佳设计?它与法国南部农民卖葡萄有什么联系”等问题发表自己的见解。 4、激发学生学习兴趣，收集有关“迪斯尼乐园”的介绍，以“走进迪斯尼”、“迪斯尼的故事”开展综合活动。 5、理解课文内容，懂得尊重他人，相信他人，给人自由与选择的机会，其中蕴含着巨大的价值。 教学重点： 1、正确、流利、有感情地朗读课文。 2、理解课文内容，懂得尊重他人，相信他人，给人自由与选择的机会，其中蕴含着巨大的价值。 教学难点：
最短路径问题探究 一、教材分析与学情分析 1．教材分析 （1）教学内容 《最短路径问题探究》是九年级下为让学生能灵活的运用对称、平移解决近几年中考中常见的最短路径问题而设置的一节专题课． 初中三年，孩子们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课 （2）地位和作用 近几年各地中考均有最短路径问题的考试，为让学生能熟练解决该类问题，本节课在已有平移、对称知识的基础上，引导学生探究如何运用平移、对称解决最短路径问题。它既是平移、对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用. 2．学情分析 （1）已有基础知识与生活经验分析 学生已掌握对称、平移、勾股定理等知识，但综合运用能力还较差。加之来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的. （2）学生起点能力分析 学生已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．综合运用能力较差，学习死，不能做到学习与研究相结合. 二、教学目标： 依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标： ●知识与技能目标 1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题 2、学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题 ●方法与过程目标 1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯． 2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力 ●情感与态度目标
13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修
建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
《最佳路径》课堂实录 课始，孩子读题，生看老师板书课题。此乃鞭笞孩子们不要在心猿意马了！齐读一遍课题后我们开始了一起学习的旅程。 “通过我们的预习，我们知道了最佳路径的设计者是谁？” “格罗培斯。” 再请孩子们说一遍这个主人公的大名。我板书名字。 “斯这个生字会写吗？请同学们看我怎么写？”我开始板书，教学这个生字如何写好看。 “怎么记住它？” “左其右斤。” “这个斯放在名字里面，没有什么特殊的意思，还有一个名字里面也有斯。” “普罗米修斯。” “迪斯尼。” 孩子们还举出了好几个含“斯”的名字。 “这些名字都是——” 孩子们说：“人的名字。” “迪斯尼不是人的名字。”有孩子不同意。 “迪斯尼乐园是根据一个人的名字取的，他就是迪斯尼。”接着我介绍了迪斯尼的一些情况，当孩子们知道了他就是《米老鼠和唐老鸭》等动画片的制作人，他们都非常激动。 我总结道：“这些名字里面的‘斯’大多只是表示读音的，而‘斯’这个字在我们中国的语言里面，有很多意思，你能先给他组词吗？” 孩子们只能组词，然后我说：“斯在古语中常常是这样、这个、这的意思，比如刘禹锡《陋室铭》里面的‘斯是陋室，惟吾德馨’中的斯就是这的意思。现在我们再来看一下，最佳路径的设计者是——” “格罗培斯。” “那么他是怎么设计出这个最佳路径的呢？请读课文，注意读通读准。 孩子们读着，我不时下去指导一些后进生。读完课已经上了9分钟了。 学会正确流利的朗读，读懂每一自然段的意思。 再次读课文，并思考一个问题：这篇文章一共7个自然段，如果请你分段，你会怎么分？（孩子们面面相觑）是的，分段首先要看每一个自然段是什么意思，现在我们就来一步步读。“ 接着我请陈娇、黄达愿读第一自然段。 读中有一个小插曲—— 黄达愿将打电报读成了打电话。我则请孩子们讨论为什么不可以读错，适时，我介绍了迪斯尼乐园的建造时间和一些情况。接着，我指出：“看来读书不可以马虎，有时候真的连一个字都不能错，因为这有可能将句子的意思改变了。” 接着我们讲到施工部催促定稿，所以打电报，我问“定什么稿？” “路径的设计方案。” “是的，看来第一自然段主要讲施工部在催促路径设计的方案。路径到底设计好了没有呢？我们来看第二自然段。” （第15分钟） 请朱佳琪读后，我问：“这个自然段的意思明白吗？” 孩子们不会。于是我转入理解“催促”这个生词。“请孩子们联系第一段来理解。第一自然段写到接到电报，你猜电报里面会写些什么？”孩子们在我这个问题下思维开始活跃起来，答案意思差不多，但是字数不一样，我乘机借电报字数要求要少而意思要明白这个特点来请孩子们修改他们的电报，这很有趣，当然也初步感受了情况的紧急。 “不管你发的电报里具体的是哪几个字，但是你们的意思就是定稿要快！快！” 学生和我一起说：“快！！” “是的”，我说：“其实这就是催促。” 这个词语基本讲好，接着我请曾磊读这一自然段，然后和学生一起总结了它的段意（此段的最后一句可以成为段意）。利用
13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.
八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C
6最佳路径 一、教学目标 1.学会本课生字新词，理解由生字组成的词语。读准多音字：吆喝（hè）、看（kān）管、调转（diào zhuǎn）。 2.正确、流利、有感情地朗读课文。 二、过程与方法 1.引导学生联系上下文思考、讨论问题，围绕“迪斯尼乐园路径设计为什么被评为世界最佳设计？它与法国南部农民卖葡萄有什么联系”等问题发表自己的见解。 2.激发学生学习兴趣，收集有关“迪斯尼乐园”的介绍，以“走进迪斯尼”、“迪斯尼的故事”开展综合活动。 三、课时安排 第一课时：激发兴趣，初读课文，了解大意，理清层次，阅读课文1.2自然段，引导学生各抒己见。 第二课时：阅读课文3——7自然段，了解相关资料，阅读同题文章，联系生活实际，寻找生活中的“最佳路径”。 第一课时 （一）激趣导入，揭示课题 1.同学们，你们喜欢看动画片么？大家一定对“米老鼠”“唐老鸭”这样的动画人物不陌生。 知道他们是谁创造的么？（美国动画片大师沃尔特.迪斯尼） （格罗培斯：美国哈佛大学建筑学院院长，现代主义大师和景观建筑方面的专家，他从事建筑研究40多年，攻克过无数个建筑方面的难题，在世界各地留下70多处精美的杰作。）
2.迪斯尼公司的创始人不但创造出了这么多个性鲜明、活泼可爱的动画人物，对于全世界热爱动画片的人来说，他还有一个巨大的贡献，那就是迪斯尼乐园。迪斯尼乐园备受全世界男女老少的喜爱，这里可以说是每个人梦的故乡，好像来到了用梦和幻想编织的殿堂。 3.揭示课题，质疑。 今天我们要学习的课文，就是和迪斯尼乐园有关的。 [板书课题：6.最佳路径]（最佳路径：就是最好的路线。） 看到这个题目，你们脑中产生了哪些问题？ （为什么迪斯尼乐园的路径是最佳路径？这条最佳路径是如何设计出来的？） （二）初读课文，理解大意 1.请同学们带着这些问题，自由朗读课文，要求读准字音。 2.检查读书情况。指名分节通读全文，正音：滨、窄、踩，多音字：吆喝（hè）、看（kān）管、调转（diàozhuǎn）。 3.交流初步阅读后能解答的问题，也可提出新的问题。 4.能说说课文主要讲了一件什么事吗？ （世界建筑大师格罗培斯为迪斯尼乐园的路径设计大伤脑筋，后来从一位年老的葡萄园主卖葡萄的方法上受到启发，最终他设计的路径被评为世界最佳设计。） 5.理清课文层次 你能按照事情的发生、发展、高潮、结果来给课文分分段吗？ 第一段（1——2）写格罗培斯为迪斯尼乐园的路径设计大伤脑筋，前往地中海海滨清理思绪。
13．4课题学习：最短路径问题 教学目标: 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究,培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 教学重点： 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点： 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。 导学过程: 一、创设情景,引入新知。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。 二、自主学习,探究新知。 问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中,不小心掉进茅厕坑,为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子,于是决定去河边先洗个澡,冲洗掉身上的脏物，然后再回家,如图所示，请你设计一种路线,教教可怜的灰太狼,告诉他走那条路线回家最近吗？ 茅厕 河边
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么? 将A,B 两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线. 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗？ (1）从A 地出发，到河边ｌ洗澡,然后到B 地; （２）在河边洗澡的地点有无穷多处,把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到洗澡地点，再回到B 地的路程之和; （3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在ｌ的什么位置时,ＡC 与CＢ的和最小(如图). 问题2 如图,点Ａ，B 在直线ｌ的同侧,点C 是直线上的一个动点，当点Ｃ在ｌ的什么位置时，AC与CB的和最小?
八年级上《最短路径问题》同步练习含答案 基础题 知识点最短路径问题 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________． 2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B. (1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短； (2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长． 3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小． 4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
中档题 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置． 6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P. (1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数． 7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点． (1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________． 8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
西师大版五年级下册语文 《最佳路径》教案设计 谷永文 镇平县高丘镇中心小学 《最佳路径》教案设计 教学目标： 1、引导学生联系上下文思考、讨论为什么迪斯尼乐园路径设计被评为世界最佳设计？它与法国南部农民卖葡萄有什么联系? 2、理解课文内容，懂得尊重他人，相信他人，给人自由与选择的机会，其中蕴含着巨大的价值。 教学过程： 一、激趣导入，揭示课题 1、同学们，你们喜欢看动画片么？大家一定对“米老鼠”“唐老鸭”这样的动画人物不陌生。知道他们是谁创造的么？（美国动画片大师沃尔特．迪斯尼） 2、迪斯尼公司的创始人不但创造出了这么多个性鲜明、活泼可爱的动画人物，对于全世界热爱动画片的人来说，他还有一个巨大的贡献，那就是迪斯尼乐园。(展示迪斯尼乐园图片) 是的，迪斯尼乐园备受全世界男女老少的喜爱，这里可以说是儿童的乐园，是每个人梦的故乡，在这里好像来到了用梦和幻想编织的殿堂。不仅迪斯尼乐园令人瞩目，它的路径设计更让人叹为观止！ 3、揭示课题，质疑。 今天我们要学习的课文，就是和迪斯尼乐园有关的。
【板书课题：14、最佳的路径】（最佳路径：就是最好的路线。） 二、设疑自探 1.看到这个题目，你们脑中产生了哪些问题？ （为什么迪斯尼乐园的路径是最佳路径？这条最佳路径是如何设计出来的？是谁设计的？） 2.出示自学提示： （1）.快速默读课文，勾画出重点句子，体会人物的情感。 （2）.用自己的话复述道路的设计过程。 三、质疑再探，整体感知 1. 格罗培斯设计的迪斯尼乐园是感觉游人的选择而确定的。 2. 格罗培斯哈佛大学建筑师和设计研究生院院长，长期从事建筑教育和设计业务。 3. 从卖葡萄的老人那儿受到启发设计出来。 四、再读课文，解疑合探 1、比起迪斯尼乐园的设计，路径的设计应该是微不足道的，简直可以说是“小菜一碟”，为什么会让他伤脑筋？ 格罗培斯是一个世界建筑设计大师，从事建筑研究已经40多年，攻克过无数个建筑方面的难题，为什么路径设计却让他大伤脑筋？（景点之间的道路设计并非如一般人所说的“微不足道”，而是与整体设计密切相关，是有机组成部分；因为他追求的不是“设计出”，而是“最佳”。） 2、指导朗读。突出：40多年、无数个、难题、微不足道、大伤脑筋、50多次、没有一次、更加焦躁。 3、读到这儿，可以看出格罗培斯是一个怎样的人？
《最短路径问题（1）》教案 13.4.1 将军饮马问题 【一】教学目标 (一) 学习目标 1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题; 2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题; 3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 〔二〕教学重点 教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为〝两点之间，线段最短〞和〝垂线段最短〞的问题. 〔三〕教学难点 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【二】教学过程 〔一〕课前设计 1．预习任务 前面我们研究过一些关于〝两点的所有连线中， 〞， 〝连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 〞 等的问题，我们称它们为问题． 【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径 2．预习自测 ⑴如下图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是. 【设计意图】让学生回顾旧知〝两点之间，线段最短〞，为引入新课作准备. 【知识点】两点之间、线段最短 【答案】②，两点之间，线段最短〔或者三角形中两边之和大于第三边〕
⑵：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 【知识点】两点之间线段最短 【思路点拨】依据〝两点(直线异侧)一线型〞，和〝两点之间，线段最短〞，那么AP+PB的最小值为线段AB的值. 【解题过程】连接AB交于直线l于点P，那么点P就是所求的点. 【答案】如图，那么点P就是所求的点. ⑶如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 【知识点】两点之间线段最短 【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测〔1〕，根据〝两点之间，线段最短〞，连接AB即可. 【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，那么点P就是所求的点. 【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短. ⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，那么点P可能的个数为〔〕个 A. 3 B. 2 C. 1 D.0 【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质 【思路点拨】将〝A，B在直线l的同侧〞利用轴对称转化为〝A，B 在直线l的异侧〞，又根据〝两点之间线段最短〞可得出只有唯一的点P. 【答案】C 【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受〝两点之间，线段最短〞，为新课中〝同侧的两点〞转化为〝异侧的两点〞做铺垫．〔二〕课堂设计 1.知识回顾 ⑴两点的所有连线中，线段最短； ⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ⑶三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边. 2.问题探究实际问题转化为数学问题
13.4课题学习最短路径问题 知识点： 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 同步练习： 1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 2.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短， B A l 3..在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
4. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
参考答案： 1. 2.这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，B ′C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下： 证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线． 因为点C 与C ′在直线l 上， 所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 3. 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点． 4.解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ， 则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12 AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求． (2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短． 5.解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．
课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想。 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣。在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有所用的数学。 【教学重难点】 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决。 【教学过程】 一、创设情景引入课题 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。 （板书）课题 学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识。 二、自主探究合作交流建构新知 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线。
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点。设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）。 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2：尝试解决数学问题 问题1 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B'吗？ 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：
《最佳路径》习题和反思 《最佳路径》习题 一、看拼音写词语。 qǐdíyuángǎohǎibīnguǎiwānmànshānbiànyě ()()()()() kānguǎnxiázhǎisīxùcuīcùwēibùzúdào ()()()()() 二、照样子在括号内填上合适的词语。 例：选择（路径） 攻克（）设计（） 铺设（）清理（） 三、按要求写词语。 写反义词：宽（）年迈（） 写近义词：焦躁（）启发（） 四、给下面带点的字选择正确的解释，把序号填在括号里。 道：①路；②方法、规律；③线条、细长的痕迹；④用言语表示情意。 1.我发现老师的书上画了不少横道。（） 2.这本来就是一件微不足道的小事。（） 3.让我们向奋战在抗非典一些的医务人员道一声感谢。（） 4.崎岖的小道上，满是荆棘。（） 五、仔细阅读课文，完成下列填空。
1.“她这种___________，____________选择的做法使大师深受启发，……” 格罗培斯受到的启发是：________________________________________________________ _____________________ ________________________________________________________ ___________________________________________ 2.施工部按要求在乐园撒下草种。没多久，小草长出来了，整个乐园的空地被绿草地所覆盖。在迪斯尼乐园提前开放的半年里，草地被踩出许多小道，这些踩出的小道_____________，___________________。第二年，格罗培斯让人________________________________铺设了人行道。 迪斯尼乐园的路径之所以被评为世界最佳设计，是因为________________________________________________________ _________ ________________________________________________________ ________________________________________________________。 六、阅读短文，完成练习。 莫泊桑学写作 19世纪法国著名作家莫泊桑，早在青少年时期就爱好写作。他如饥似渴地读了许多文学名著，也写了不少文章。不管是作品的思想内容，还是写作技巧、语言，都没有什么特色。他非常苦