13.4 课题学习最短路径问题
教学目标
1．了解将军饮马及造桥选址两个常见类型．
2．会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题．
3．能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目．
教学重点难点
1．将实际问题抽象为数学问题．
2．解答最短路径问题．
课时安排
2课时．
教案A、B
第1课时
教学内容
将军饮马．
教学过程
一、导入新课
问题1 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
二、探究新知
1．将实际问题抽象为数学问题
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．
（1）把A、B两地抽象为两个点；
（2）把河边l近似地看成一条直线（下图），C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．2．尝试解决数学问题
（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求．
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（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？
学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：
作出点B关于l 的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′＝CB（下右图）．连接AB′，则AB′与l 的交点即为所求．
3．证明“最短”
师生共同分析，合作证明“AC＋BC”最短．
证明：如上右图，在直线l上的任一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′．
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋BC′．
即AC＋BC最短．
提问：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？
学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．
三、巩固练习
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR 的周长最短吗？
学生独立完成，必要时教师点拨指导．
四、课堂小结
总结用数学解决实际问题的步骤．
第2课时
教学内容
造桥选址．
教学过程
一、导入新课
造桥选址问题：如下图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
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二、探究新知
1．将实际问题抽象为数学问题
把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
2．尝试解决数学问题
（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
（2）如下左图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
（3）如上右图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
3．证明“最小”
为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？
证明：如上右图，在△A′N′B中，
∵A′B＜A′N′＋BN′，
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
三、课堂小结
归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
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