解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力,以及对一般和特殊关系的认识,因此备受命题者的青睐,成为高考热点。然而,由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性,大多数学生在解决这类问题时,感到束手无策。
我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考.
一、 利用线性函数模型
在中学数学教材中,大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的,解题时最根本点是将抽象函数具体化,这种方法虽不能代替具体证明,但却能找到这些抽象函数的解题途径,特别是填空题、选择题,直接用满足条件的特殊函数求解,得出答案即可。常见的抽象函数模型有:
例1、函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且f (1)=2,
f (x )在区间[-4,2]上的值域为 。 0a a ≠且
解析:由题设可知,函数f (x )是正比例()y kx k =为常数的抽象函数,由f (1)=2可求得
k=2,∴ f (x )的值域为[-8,4]。
例2、已知函数f (x )对任意,x y R ∈,满足条件()()()2f x y f x f y +=+-,且当x >0时,
f (x )>2,f (3)=5,求不等式2(22)3f a a --的解。
分析:由题设条件可猜测:f (x )是y =x +2的抽象函数,且f (x )为单调增函数,如果
这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。
解:设1221,0x x x x -则,∵当x >0时,f (x )>2,∴21()2f x x -,则
, 即,∴f (x )为单调增函数。
∵,
又∵f (3)=5,∴f (1)=3。∴2(22)
(1)f a a f --,∴2221a a --,
解得不等式的解为-1 < a < 3。 例3、定义在R上的函数()y f x =,对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠,且有
()()()f x y f x f y +=成立。求:
(1)f (0); (2)对任意值x ,判断f (x )值的正负。
分析:由题设可猜测f (x )是指数函数()(01)x f x a a
a =≠且的抽象函数,
从而猜想f (0)=1且f (x )>0。
解:(1)令y =0代入()()()f x y f x f y +=,则()()(0)f x f x f =,
∴[]()1(0)0f x f -=。若f (x )=0,则对任意12x x ≠,有12()()0f x f x ==,
这与题设矛盾,∴f (x )≠0,∴f (0)=1。
(2)令y =x ≠0,则[]2(2)()()()0f x f x f x f x ==≥,又由(1)知f (x )≠0,
∴f (2x )>0,即f (x )>0,故对任意x ,f (x )>0恒成立。
例4、已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),当1x 时()
0f x 且()()()f xy f x f y =+ (1)求(1)f ;(2)证明f (x )在定义域上是增函数。
分析:由题设可猜测f (x )是对数函数()log (01)x a f x a a =≠且的抽象函数,第(1)问采用
赋值法易求出结果;第(2)应用函数的单调性定义来证明,其中注意()()()f xy f x f y =+的应用。
解:(1)令1x y ==得(1)2(1)f f =,故(1)0f =.
(2)令1y x =得1(1)()()0f f x f x =+=,故1()()f f x x
=-, 任取12,(0,)x x ∈+∞,且12x x ,则221211
1()()()()()x f x f x f x f f x x -=+=, 由于21x x >1,故21
()x f x >0,从而2()f x >1()f x ∴()f x 在(0,+∞)上是增函数。
上面列举了几种特殊类型的抽象函数,解法上是借助特殊函数模型铺路,虽然不 可用特殊模型代替求解,但可借助特殊模型理解题意,类比探索出解题思路。
二、利用函数的相关性质
1.函数的单调性:在函数与不等式相结合的题目中,若把所给式子适当变换,转化为利用
函数的单调性,巧妙地脱去抽象符号“ f ”,从而化为一般不等式求解。
例5、已知奇函数)(x f 在其定义域(-1,1)上是减函数,且)1()1(2a f a f -+-<0,则实数a 的
取值范围是
分析:要得到关于a 的不等式,由)(x f 在其定义域(-1,1)上是减函数易去掉抽象符号“ f ”。 解:∵)(x f 是奇函数
∴)1()1(2a f a f -+-<0 ?2(1)
(1)f a f a ---?2(1)(1)f a f a -- 又)(x f 在其定义域(-1,1)上是减函数
∴111a --且2111a --且211a
a --
解得0<a <1 2.函数的周期性:利用函数的周期性对函数进行自变量的平移变换,使新的自变量在同一
个单调区间或与条件的取值相同,然后求解。
例6、已知函数()f x 满足(3)()()f x f x f x +=-=,(1)1f =-,求(2005)f +(2006)f 的值 解析:由(3)()f x f x +=可得函数()f x 的周期为3,则(2005)f =(1)f ,(2006)f =(2)f , 又(3)()f x f x +=- ∴(2)f =(13)(1)f f -+=-=(1)f ,故结果为2 。
3.运用函数的图象:根据题目条件作出函数略图,用图象的单调性、对称性与特殊点的函
数值等寻求解题方法。
例7、已知函数(1)f x +是偶函数,且()f x 在[)1,+∞上是增函数,又(0)0f =,则(1)()0
x f x -
的解集是 。
解析:由函数(1)f x +是偶函数得其图象对称轴为0x =,所以函数()y f x =的图象对称轴为
1x =,又(0)0f =且()f x 在[)1,+∞上是增函数,可作出函数()y f x =的简图
∴ (1)()0x f x -?(1)
0x -且()0f x 或(1)0x -且()0f x
?0x
或1
2x 三、 其他方法 1、赋值法:在定义域内成立的式子对于定义域内的特殊值总成立。因此通过观察和分析,将一般量赋予特殊值,从而转化为要解决的问题。
例8、已知()f x 的定义或为R ,且对任意实数12,x x 有1212()()f x x f x x ++-=122()()f x f x +
总成立。求证()f x 为偶函数(()f x ≠0)。
分析:取特殊值使等式产生()f x 与()f x -,以便解决问题。
解:令120,0x x ==,则22(0)(0)f f =, ∵(0)f ≠0, ∴(0)f =1,
令120,x x x ==-,则()()2(0)()f x f x f f x +-=,
∴()()f x f x =- 即 ()()f x f x -= 故()f x 是偶函数。
2、 换元法:引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量,便可实现未知向已知的转换。
例9、已知函数()f x 满足条件1()2()f x f x x
+=,则()f x = 解析:由于难以判断()f x 是何种类型的函数,故不可能先设出()f x 的表达式,但把条件中
的x 换成1x ,即11()2()f f x x x +=,把它与原条件式联立消去1()f x
得 2
2()3x f x x
-=。 3、整体变换:从函数的局部不能找到解题方法,但将函数式作适当变形后把部分视为一个
整体来考虑,就可找到解题方法。
例10、设()f x 、()g x 都是定义在R 上的奇函数,()()()2F x af x bg x =++在区间(0,)+∞上
的最大值是5,求()F x 在(,0)-∞上的最小值。
分析:将式子()()()2F x af x bg x =++变形为()2()()F x af x bg x -=+是奇函数。
解:令()()2()()x F x af x bg x Φ=-=+,则()x Φ是奇函数且在(0,)+∞上有最大值是3,
∴()x Φ在(,0)-∞上有最小值3-,
故()F x 在(,0)-∞上有最小值1-。
总之,只要能透彻理解概念,在实际解题过程中不断转换思维角度,综合各种方法,灵活运用技巧,就会寻找到抽象函数解题的突破口。
参考文献:1、《奥林匹克竞赛解题方法》,山西教育出版社,周沛耕、王中峰主编;
2、《解决抽象函数的基本方法》,中学教研,2002.1,李加军;
3、《直击高考(数学)》,世界图书出版社,张斌主编。
初中反比例函数习题集合(经典) (1)下列函数,① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ; 其中是y 关于x 的反比例函数的有:_________________。 (2)函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数,则a 的值是( ) A .-1 B .-2 C .2 D .2或-2 (3)如果y 是m 的反比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) A .反比例函数 B .正比例函数 C .一次函数 D .反比例或正比例函数 (4)如果y 是m 的正比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) (5)如果y 是m 的正比例函数,m 是x 的正比例函数,那么y 是x 的( ) (6)反比例函数(0k y k x = ≠) 的图象经过(—2,5)和(2, n ), 求(1)n 的值;(2)判断点B (24,2-)是否在这个函数图象上,并说明理由 (7)已知函数12y y y =-,其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例,且当x =1时,y =1; x =3时,y =5.求:(1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当x =2时,y 的值. (8)若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限,则m 的值是( ) A 、 -1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、-1; D、不能确定 (9)已知0k >,函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是( ) (10)正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点. (11)正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A (1,a ), 则a = . (12)下列函数中,当0x <时,y 随x 的增大而增大的是( ) A .34y x =-+ B .123y x =-- C .4 y x =- D .12y x =. x y O x y O x y O x y O A B C D
八、数数、读数与写数 同学们已经学过亿以内数的读法和写法。并把每四个数位分为一级,亿以内的数分为个级、万级。根据读法规定:每级末尾的零是不读的;数中间有一个或连续几个零时,都只读一个零。因此,在遇到零时的读法和写法,应当引起格外的注意。 例17、7、7、0、0、0这六个数字组成一个六位数,要求:(1)一个零也不读;(2)只读一个零;(3)读两个零。写出所有符合条件的数。 解由读法规则,满足条件的有 (1)707700(读作七十万七千七百) 777000(读作七十七万七千) (2)700077(读作七十万零七十七) 707007 (读作七十万七千零七) 707070(读作七十万七千零七十) 770007(读作七十七万零七) 770070 (读作七十七万零七十) 770700 (读作七十七万零七百) (3)700707(读作七十万零七百零七) 我们在课堂上学习的是“满十进一”的十进制计数方法。用来计数的数字(或称数码)是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0共10个,把这些数字中的若干排成一行(可以重复出现)就成为一个数。每个数字所在的位置不同,它所表示的计数单位就不同。所以,一个数中的每个数字除了它本身所表示的数值外,还有位置值,这种计数原则我们叫做位值原则。如342中的3,处于百位,表示300;4处于十位,表示40,因此342=300+40+2。 例2一个两位数,个位数字比十位数字大1,把个位数字和十位数字交换位置后得到一个新的两位数。如果原数与新数的和是77,求这个两位数。 分析我们利用计数原则来解这题。为方便起见,用表示原数的个位数字,表示十位数字。那么
原数==×10+×1 新数==×10+×1 所以原数+新数=×10+×1+×10+×1 =×11+×11 =77=7×11 就是说,11个的和加上11个的和,或者说11个+的和等于77,那么 +=7 把7拆分 因为个位数字比十位数字大1,对照拆分结果可知,个位数字=4, 十位数字=3,原数是34。 例3最大的七位数与最小的七位数的差是多少? 分析一个数的位数是以左边第一个不是0的数字算起的,而计数码中最大的数是9,最小的数是0。因此最大的七位数是9999999,最小的七位数是1000000。它们的差是 9999999-1000000=8999999
3 反比例函数的应用 教材跟踪训练 (一)填空题:(每空2分,共12分) 1.长方形的面积为60cm2,如果它的长是ycm,宽是xcm,那么y是x的 函数关系,y写成x的关系式是。 2.A、B 途中是匀速直线运动,速度为v km/h,到达时所用的时间是t h, 那么t是v的函数,t可以写成v的函数关系式 是。 3.如图,根据图中提供的信息,可以写出正比例函数的关系式 是;反比例函数关系式是。 (二)选择题(5′×3=15′) 1.三角形的面积为8cm2,这时底边上的高y(cm)与底边x(cm) 之间的函数关系用图象来表示是。 2.下列各问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A:小明完成100m赛跑时,时间t(s)与跑步的平均速度v(m/s)之间的关系。 B:菱形的面积为48cm2,它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系。 C:一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D:压力为600N时,压强p与受力面积S之间的关系。 3.如图,A、B、C为反比例函数图象上的三个点,分别从A、 B、C向xy轴作垂线,构成三个矩形,它们的面积分别是S1、 S2、S3,则S1、S2、S3的大小关系是 A:S1=S2>S3B:S1<S2<S3 C:S1>S2>S3D:S1=S2=S3 x y -1 O 2 x y B A O C
(三)解答题(共21分) 1.(12分)如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V (m 3/h )与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少? ④如果每小时排水量是5m 3,那么水池中的水将要多少小时排完? 2.(9分)如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 交于点A ,从A 向x 轴、y 轴分别作垂线,所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 D x y B A O C
亿以内数的读写法练习题 班级姓名 一.填空。 1.( )个一万是十万,一百万是10个(),10个一千万是(),10个一百是(),10个一百万是()。 2.一个数从右边起第五位是()位,第九位是()。 3.按我国的计数习惯,数位从个位起,按顺序把每()数位分为一级,个级的数位包括()位,()位,()位,()位;万级的计数单位包括(),(),(),()。 4..每相邻两个计数单位之间的进是()。 5.千万位的左边是(),右边是()。 6.一个六位数的最高位在()位,最高位在千万位上的数是()位数。 7.6720078是()位数,最高位是()位,数中前一个”7”在()位,表示(),后一个“7”在()位,表示()。 8.最大的六位数是(),最小的七位数是(),这两个数相差()。 9.用8. 0. 5. 7. 3五个数字组成一个最大的五位数是(),最小的五位数是()。 10.一个数由8个千万,5个万,3个十组成的数是(),这个数读作()。 二,下列各数先分级,再读数。
9000400读作: 3080750读作: 50647000读作: 40068930读作: 三.写出下列各数。 五百万零六百写作: 八千三百万四千零三十二写作: 二十三万零六十五写作; 五千万六千七百写作: 四.写出由下面各数组成的数。 1.四百万,八十万,五万和三千()。 2.八千万和四十()。 3.五千万,三万,七千和四十()。 4.九十万,七万,和二百()。 五.用0, 0, 4, 5, 6, 7这七个数字按要求组成七位数。 1.读两个0的(). 2.读一个0的()。 3.所有的0都不读()。 4.读三个0的()。
《梅花易数》的千古秘密 来源:易缘天下邵雍的一本《梅花易数》,不只道尽了预测术的诡异神奇,也道尽了预测术最高层次“善易者不卜”的基础理论构架。自《梅花易数》流传以来,无数的易学爱好者潜心研究,但都只是在《梅花易数》的门槛内外徘徊,很少有人能登堂入室真正进入了《梅花易数》的神圣预测理论殿堂,让无数易人扼腕叹息。 其实仔细研究《梅花易数》,我们会发现,《梅花易数》的理论始终没有离开“时间、空间、人或者物”之间的三者辩证关系,邵康节先生在其《梅花易数》一书中所有的预测案例都在应用这种“时、空、人或物”之间的关系理论,而且预测都百发百中。但邵康节先生在其《梅花易数》一书中并没有真实的完全把这种“时、空、人或物”之间的关系理论和盘托出,而是采用了比较隐讳的“体用互变”之说来间接的阐述“时、空、人或物”之间的辩证关系。如果搞明白了“时间、空间、人或事物”三者之间的辩证关系,那么邵康节先生《梅花易数》的所有案例我们都能十分直观简单的预测出来。下面,我把《梅花易数》中凡是交待清楚人或事物发生变化时的“时间、方位(空间)、 人或事物的部位特征变化”以及“交待清楚预测应期”的案例逐一进行分析,以便广大易友能真正体会到“时间、空间、人或事物”三者关系之理论的预测神奇。 1、《梅花易数》之“老人有忧色占”。 时间:己丑日卯时 方位:往巽方 人物:老人 人的部位特征:面有忧色 经过:在途中偶遇而测 用“时空人三者关系理论”分析: ①事发在巽方位,即辰巳方位。 ②老人面有忧色,可知人体部位特征变化为凶相。 ③由此可断:老人在辰巳日或戌亥日必有灾难(这就是利用人和方位的吉凶关系而推导出应灾时间)。 ④今日己丑,顺数庚寅、辛卯、壬辰、癸己,辰巳正好在五日内,但为什么邵先生断五日,而不断十一日戌亥日,甚至更远的日期呢?因为邵先生和老人在途中相遇,两人都在行走中,相对速度很快,所以事情应速应近应旬内而不应旬外,所以断五日小心有灾。后于五日内老人赴宴吃鱼被鱼骨鲠喉而死。 2、《梅花易数》之“少年有吉色占”。 时间:壬申日午时 方位:离方来 人物:少年 人物部位特征变化:喜形于色 经过:有少年从南方来。 用“时空人三者关系理论”分析: ①人在离方,即丙午丁方位。 ②少年喜形于色可知身体部位特征为吉相。 ③由此可断:少年在丙午丁日或壬子癸日有喜事(这是根据人和方位的关系而推导出应验吉的时间)。 ④今日壬申日,顺延癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、戊寅、己卯、庚辰、辛巳、壬午、癸未、甲申、乙酉、丙戌、丁亥、戊子正好十七日,那邵先生为什么不断两次出现的“壬癸、丙丁”和出现一次的“子、午”而断第二个“子日”呢?因为是少年来,则和相遇比慢了许多,速度慢则在旬外应验而不是旬内应验,故应验应在十日以外则只有“丙戌、丁亥、戊子”三日符合“时空人”三者关系预测理论,所以邵先生断“十七日内有喜”。
反比例函数练习题 一、填空题(每空3分,共42分) 1.已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点(2,-3),则k 的值是_______,图象在__________象限,当x>0时,y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比,当x =1时,y =-6,则当y = 3时,x=________。 3.若反比例函数y=(2m-1)2 2 m x -的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4.已知反比例函数x m y )23(1 -= ,当m 时,其图象的两个分支在第一、三象限内;当m 时,其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大; 5.在函数(为常数)的图象上有三个点(-2,),(-1,),(,), 函数值,,的大小为; 6.已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7.已知正比例函数y=kx(k≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y= k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2 的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m <-1,则下列函数:①()0 x x m y = ;② y =-mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中,y 随x 增大而增大的是___________。 10.当>0,<0时,反比例函数的图象在__________象限。 11.老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质,甲:函数图象不经过第三象限;乙:函数图象经过第一象限;丙:y 随x 的增大而减小;丁:当2
反比例函数经典中考例题解析一 一、 填空题(每空3分,共36分) 1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________ 2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x (n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3),则m =______,n =_________ . 3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y= 3 x 的图象都过A (m ,1)点,求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________. 4、已知反比例函数2k y x -=,其图象在第一、三象限内,则k 的值可为 。 (写出满足条件的一个k 的值即可) 5、已知反比例函数x k y = 的图象经过点)2 1 4(,,若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B (2,m ),求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________ 6、已知双曲线x k y = 经过点(-1,3),如果A (11,b a ),B (22,b a )两点在该双曲线上,且1a <2a <0,那么1b 2b . 7、函数y=x 2的图象如图所示,在同一直角坐标系内,如果将直线y=-x+1沿y 轴向上平 移2个单位后,那么所得直线与函数y= x 2 的图象的交点共有 个 8、已知函数y kx =- (k≠0)与y=4x -的图象交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直于y轴,垂足为点C ,则△BOC 的面积为____ (第9题)
9.如图,11POA V 、 212P A A V 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4 (0)y x x =>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________. 10. 两个反比例函数x y 3= ,x y 6 =在第一象限内的图象如图 所示, 点P 1,P 2,P 3,…,P 2 005在反比例函数x y 6 = 图象上,它们的横坐标分别是x 1,x 2,x 3,…,x 2 005,纵坐标分别是1,3,5,…,共2 005个连续奇数,过点P 1, P 2,P 3,…,P 2 005分别作 y 轴的平行线,与x y 3 = 的图象交点依次是Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2),Q 3(x 3,y 3),…,Q 2 005(x 2 005,y 2 005),则 y 2 005= . 二、选择题(每题3分,共30分) 11、反比例函数k y x = 与直线2y x =-相交于点A ,A 点的横坐标为-1,则此反比例函数的解析式为( ) A .2y x = B .12y x = C .2y x =- D .12y x =- 12、如图所示的函数图象的关系式可能是( ). (A )y = x (B )y =x 1 (C )y = x 2 (D) y = 1x 13、若点(3,4)是反比例函数2 21m m y x +-=图象上一点,则此函数图象必须经过点 ( ). O x y (第12题) 第10
亿以内数的读写法练习题 亿以内数的读写法练习题 【习题一】 1、10个一百万是( )( )个一千万是一亿 10个( )是一百万 2、84507600 这里的8表示8个( ),4表示( ),5表示( )。602090000是由6个( ),2个( ),9个( )组成。 3、五千二百零九万四千四百人,写作( )人,省略万后面的尾数约是( )万人。 4、从右边起,每( )个数位分一级,个级的计数单位有( ),表示多少个( ),万级包括的计数单位有( ),表示多少个( )。 5、一个数四舍后得近似数是50万,这个数千位上的数最大只能是( )。 6、在( )里填上最大的数或在里填上>、<、=。 3 6215( )31万8 1320000( )8亿9 876( )10万 9 876( )9万44987( )41
万 6 5000( )70万 78 7890( )781万54 630( )55万 7、把下面各数按从小到大的顺序排列。 4108500 420 4105800 48510 00 8、读一读,写一写。 ①20XX年我国固定电话用户大约有216000000户,读作:( ),省略亿位后面的尾数,用“亿”作单位是:( )。 ②去年全国有中学生62580000人,读作:( ),用亿作单位是:( )。 ③我国人口总数是十二亿九千五百三十三万人,写作:,省略亿位后面的尾数是:( )。 9、写出由下列数组成的数,并读出这个数。 ①6个百万、8个万、4个十写作( )读作( ); ②三亿、三十一个万、4个十写作( )读作( ); ③5个十万、8个亿万、6个百亿写作( )读作( ); ④3个十万、58个万、8个千写作( )读作( ); ⑤6个百万、8个万、4个十写作( )读作( );
反比例函数的意义习题 【自主领悟】 1. 苹果每千克x 元,花10元钱可买y 千克的苹果,则y 与x 之间的函数关系式为 . 2. 某立方体的体积为1000cm 3 ,立方体的高h 随底面积S 的变化而变化,那么h 与S 之 间的函数关系式为 . 3 . 下 列 函 数 中 , 是 反 比 例 函 数 的 是 ( ) A .(1)1y x +- B .11y x = - C .21y x = D .23y x = 4. 若y 与-2x 成反比例函数关系,x 与3 z 成正比例,则y 与z 的关系 ( ) A .成正比例函数 B .成反比例函数 C .成一次函数 D .不能确定 5. 已知y 是x 的反比例函数,当2x =时,6y =,(1)写出y 与x 的函数关系式;(2) 求当4x = 时,y 的值. 6. y 是x 的反比例函数,下表给出了x 与y 的一些值: (1)写出这个反比例函数的表达式; (2)根据函数表达式完成上表. 【自主探究】 问题1 下列等式中,哪些是反比例函数
(1)5x y = (2)x y 2-= (3)xy =21 (4)25+=x y (5)x y 23- = (6)31 +=x y (7)y =x +4 名师指导 根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成x k y =(k 为常数,k ≠0)的形式,容易看出,这里(1)、(7)是整式,(4)的分母不是只单独含x ,(6)改写后是x x y 31+=, 分子不是常数,只有(2)、(3)、(5)能写成定义所给定的形式. 问题2 当m 取什么值时,函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数? 名师指导 反比例函数x k y = (k ≠0)的另一种表达式是1-=kx y (k ≠0),后一种写法中x 的次数是-1,因此m 的取值必须满足两个条件,即m -2≠0且3-m 2 =-1,特别注意不要遗漏 k ≠0这一条件,也要防止出现3-m 2=1的错误. 解题示范 解:因为2 3)2(m x m y --=是反比例函数,所以有 231, 20,m m ?-=-? -≠? 解得2m =-. 即当2m =-时,函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数. 问题3 已知函数y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 成反比例,且当x =1时,y =4;当x =2时,y =5. (1)求y 与x 的函数关系式; (2)当x =-2时,求函数y 的值. 名师指导 本题中,函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的,要用待定系数法来解答.先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式,再代入已知条件中的数值,通过解方程或方程组求出待定系数的值.这里要注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的待定系数不一定相同,故不能都设为k ,为了区分开,要用不同的字母表示.
反比例函数知识点归纳总结与典型例题 (一)反比例函数的概念: 知识要点: 1、一般地,形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意:(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数; (2)解析式有三种常见的表达形式: (A )y = x k (k ≠ 0) , (B )xy = k (k ≠ 0) (C )y=kx -1 (k ≠0) 例题讲解:有关反比例函数的解析式 (1)下列函数,① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ;其中是y 关 于x 的反比例函数的有:_________________。 (2)函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数,则a 的值是( ) A .-1 B .-2 C .2 D .2或-2 (3)若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数,则m =________,解析式为________. (4)反比例函数(0k y k x = ≠) 的图象经过(—2,52, n ), 求1)n 的值; 2)判断点B (24,2- (二)反比例函数的图象和性质: 知识要点: 1、形状:图象是双曲线。 2、位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第________象限内;(2)当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性:(1)当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________; (2)当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势:双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点____________;(2)对于k 取互为相反数的两个反比例函数(如:y = x 6 和y = x 6 -)来说,它们是关于x 轴,y 轴___________。 例题讲解: 反比例函数的图象和性质: (1)写出一个反比例函数,使它的图象经过第二、四象限 . (2)若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限,则m 的值是( ) A 、 -1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、-1; D、不能确定 (3)下列函数中,当0x <时,y 随x 的增大而增大的是( ) A .34y x =-+ B .123y x =-- C .4 y x =- D .12y x =.
反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、反比例函数y = x n 5 图象经过点(2,3),则n 的值是( ). A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y = x k (k ≠0)的图象经过点(-1,2),则这个函数的图象一定经过点( ). A 、(2,-1) B 、(- 2 1 ,2) C 、(-2,-1) D 、( 2 1 ,2) 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s (km ),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t (h )与行驶速度v (km/h )的函数关系图象大致是( ) 4、若y 与x 成正比例,x 与z 成反比例,则y 与z 之间的关系是( ). A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y =kx -k ,y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y = x k 满足( ). A 、当x >0时,y >0 B 、在每个象限内,y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图,点P 是x 轴正半轴上一个动点,过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y = x 1 于点Q ,连结OQ ,点P 沿x 轴正方向运动时, Rt △QOP 的面积( ). A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A . B . C . D .
7、在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量 m 的某种气体,当改变容积V 时,气体的密度ρ也随之改变. ρ与V 在一定范围内满足ρ= V m ,它的图象如图所示,则该 气体的质量m 为( ). A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A (-3,y 1),B (-2,y 2),C (-1,y 3)三点都在函数y =-x 1的图象上,则y 1,y 2,y 3的大 小关系是( ). A 、y 1>y 2>y 3 B 、y 1<y 2<y 3 C 、y 1=y 2=y 3 D 、y 1<y 3<y 2 9、已知反比例函数y = x m 21-的图象上有A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,当x 1<x 2<0时,y 1<y 2,则m 的取值范围是( ). A 、m <0 B 、m >0 C 、m <2 1 D 、m > 2 1 10、如图,一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点,则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是( ). A 、x <-1 B 、x >2 C 、-1<x <0或x >2 D 、x <-1或0<x <2 二、填空题(每小题3分,共30分) 11.某种灯的使用寿命为1000小时,它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限,则在一次函数b kx y +=中,y 随x 的增大而 (填“增大”或“减小”或“不变”). 13、若反比例函数y =x b 3 -和一次函数y =3x +b 的图象有两个交点,且有一个交点的纵坐标为6,则b = . 14、反比例函数y =(m +2)x m 2 - 10的图象分布在第二、四象限内,则m 的值为 .
初中数学反比例函数组卷 一.选择题(共10小题) 1.(2015?温州模拟)在同一坐标系中(水平方向是x轴),函数y=和y=kx+3的图象大 致是() A.B.C.D. 2.(2015?本溪模拟)在反比例函数的每一条曲线上,y都随着x的增大而减小, 则k的值可以是() A.﹣1B.1C.2D.3 3.(2015?于洪区一模)如果函数y=kx﹣2(k≠0)的图象不经过第一象限,那么函数y= 的图象一定在() A.第一,二象限B.第三,四象限C.第一,三象限D.第二,四象限4.(2015?杭州模拟)如图,点A是反比例函数(x<0)的图象上的一点,过点A 作平行四边形ABCD,使B、C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为() A.1B.3C.6D.12 5.(2015?宜宾校级模拟)若点(3,4)是反比例函数图象上一点,则此函 数图象必须经过点() A.(2,6)B.(2,﹣6)C.(4,﹣3)D.(3,﹣4)6.(2015春?安岳县期中)下列四个点中,在反比例函数y=﹣的图象上的点是()A.(2,4)B.(﹣2,﹣4)C.(﹣2,4)D.(4,2)
7.(2015春?江津区校级月考)若反比例函数经过(﹣2,3),则这个反比 例函数一定经过() A.(﹣2,﹣3)B.(3,2)C.(3,﹣2)D.(﹣3,﹣22)8.(2014?常州)已知反比例函数y=的图象经过点P(﹣1,2),则这个函数的图象位于 () A.第二,三象限B.第一,三象限C.第三,四象限D.第二,四象限9.(2014?兰州)若反比例函数的图象位于第二、四象限,则k的取值可以是()A.0B.1C.2D.以上都不是10.(2015?潮南区一模)已知一次函数y=kx+k﹣1和反比例函数y=,则这两个函数在同 一平面直角坐标系中的图象不可能是() A.B.C.D. 二.填空题(共15小题) 11.(2015?闸北区模拟)已知:反比例函数的图象经过点A(2,﹣3),那么 k= . 12.(2015?济南校级一模)如图,等腰Rt△ABC的斜边BC在x轴上,顶点A在反比例函数的图象上,连接OA,则OC2﹣OA2= . 13.(2014?瑞安市校级模拟)若反比例函数y=(2k﹣1)的图象在二、四象限,则k= .
反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 (一)反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点. (二)反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称). (三)反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象: (1)图象的形状:双曲线. 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限; 在每个象限内,y随x的增大而减小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限; 在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)在双曲线的另一支上.
图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)和(,)在双曲线的另一支上.4.k的几何意义 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是). 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称 点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三 角形PQC的面积为. 图1 图2 5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论. (2)直线 与双曲线的关系: 当 时,两图象没有交点; 当 时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
<梅花易数>中隐藏的秘诀 梅花易数中的隐藏秘诀 本来是想写整个资料,但是想想几万字,十几万的去搞,实在是费力不讨好。而且有的东西,几句话也可以说清楚明白!我就把我周易座谈交流时候讲的一点东西摘出来给大家分享,希望赞同我的,学习的朋友少走些弯路,如果你觉得我说的有道理的话。 梅花易数中的确隐藏了秘诀,而不知道这些秘诀,只能靠自己心眼去领悟了。梅易实在是:简单而又最高深的预测法。因为它把易经中的法则发挥的淋漓尽致。 下面我就写下,里面占卜实例中隐藏的秘密!明白的人也能按自己的思路去发掘下。以下是抽取书里两则实例剖析下: 牡丹占 巳年三月十六日卯时,先生与客往司马公家共观牡丹。时值花开甚盛,客曰:「花盛如此,亦有数乎?」先生曰:「莫不有数。且因问而可占矣。」逐占之。以巳年六数,三月三数,十六日十六数,总得二十五数,除三八二十四数,余一数为乾,为上卦。卯时四数,共得二十九数,又除三八二十四数,余五为巽卦,作下卦,得天风姤。又以总计二十九数,以六除之,四六除二十四,得五爻动,变鼎卦,互见重乾。逐与客曰:「怪哉,此花明日午时,当为马所践毁。」众客愕然不信,次日午时,果有贵官观牡丹,二马相啮,群至花间驰骤,花尽为之践毁。断之曰:「巽木为体,干金克之,互卦又见重干,克体之卦多矣,卦中无生意,固知牡丹必为践毁。所谓马者,乾为马也。午时者,离明之象,是以知之也。」 问:为什么牡丹为马所践毁?乾卦有很多种,比如老人,当官的,等等,为什么只取了马?为什么定在明日午时?例子中似乎从头到尾连起数都讲解清楚了,读了好像明白了,但是其实根本和没讲一样!如果得出乾卦来都是马么?..... 但是其实这作者还是讲了。只是用秘诀的形式写了。现在做一下剖析! 乾为马的取像不错,但是里面有个取像的佐证,也就是克应的外应出来是关键。在前面几句就点到了:先生与客往司马公家共观牡丹。关键是:“司马公家” 几字。万物莫不类聚易有云:方以类聚,物以群分......同声相应,同气相求。水流湿,火就燥。云从龙,风从虎。当然里面有更深的含义和诀窍,不便点明。两外再解释下为什么定在明日午时呢午时怎定出来的?书中是这样解释的:午时者,离明之象,是以知之也。这是一个时间的克应,但是其实深层次含义也有,卦的解释:因为重乾。乾为马马在地支是午火,大家注意没,二先天的乾也在午方,是不?那为什么说是明天呢,不说是今天呢?书里也说了!自己琢磨去吧,哈哈!还有一点:乾卦应了马像,也同样应了当官的像,大家注意没?下面在来一个例子
反比例函数知识点总结 知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如x k y = (k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理 解: ⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数; ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = (0k ≠),②1 kx y -=(0k ≠),③k y x =?(定值)(0k ≠); ⑸函数x k y = (0k ≠)与y k x = (0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了,由于 反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值, 从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出 k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们关于原点对称,由于反比例函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确; ③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ★关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表: 注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当0k >时,y 随x 的增大而减小,就会与事实不符的矛盾。 反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性,也可以推断出k 的符号。如x k y =在第一、第三象限,则 可知0k >。 ★反比例函数x k y = (0k ≠)中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。 如图所示,过双曲线上任一点P (x ,y )分别作x 轴、y 轴的垂线,E 、F 分别为垂足, 则OEPF S PE PF y x xy 矩形=?=?==k ☆ 反比例函数x k y = (0k ≠)中,k 越大,双曲线x k y = 越远离坐标原点;k 越小,双曲线x k y = 越靠近坐标原点。 ☆ 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x 和直 线y=-x 。
周易梅花易数解卦十六 步 公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
解卦十六步 看卦名 看爻辞象辞 看卦宫卦位 看阴阳爻位 看卦气旺衰 看体用生克 看互卦 看变卦 看综卦 看错卦 以卦读象,分析各个卦与主卦之间的关系 以卦取数 象的取舍 转换卦象太极点获取相关信息 串联象与数的各个元素勾勒出画面 以上为基本断卦流程,具体断卦时得根据实际情况对上面的步骤灵活的取舍 研习梅花易的三步筑基功夫 一步:瞬间显像 世界上能够无国界的语言当属音乐和绘画作品,因为这些东西含有的内在神蕴不需要文字,哪一种文字也表述不清楚它真实的含义。此谓只可意会,不可言传。我们老祖宗的周易符号就是一虚一实两种道道的符号,变化万千,就让世界的人们忙活了几千年,到现在还有很多迷没有解开。所以研究周易的人,首先要回归到符号上面去。符号只是象,只是一个对宇宙时空表述上的最恰当的归类反映。 做法上首先把中文名字换成图象来记,就是把64卦象的阴爻和阳爻的多重组合图印在脑子中,听到人说某一卦,脑中就是阴阳爻的图象,就象说中国人说中国话从不想那几个字怎么写。别老是临时去想,这卦的爻怎么画呀等等。因为如此一想,很多卦的灵机就让你想跑了,这是后话,先记着这一步吧。说着容易,做起来稍难一点,其实并不是很难,只是费些时间而已,当然更重要的是一般人不愿意费这个功夫,总想把理论搞明白,然后再操练。做法正好反了,改过来就行。 二步:图像转换 这一步是在前一步已完成差不多的情况下才能操作的。也就是当起出一卦后,瞬间或几十秒内就能清晰地将卦像显示在脑海中,这时就需要进一步练习另一转换的基础功夫了: 一卦定准后,当然依据所显原理可以讲很多信息,这个是后话,暂且放下这个话题。卦像一定有动爻,动静在卦像中就是这从这个动爻上
第十七章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义:一般地,形如x k y =(k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征: ⑴等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k ),分母中含有自变量x ,且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法 ① 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) 连线(从左到右光滑的曲线) ⑵反比例函数的图像是双曲线,x k y =(k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函 数值0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=)。 ⑷反比例函数x k y = (0≠k )中比例系数k 的几何意义是:过双曲线x k y = (0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ) 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值 是多少?【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ,(0≠k )
即kx y =1-(0≠k )又在第二,四象限内,则0
反比例函数难题 1、如图,已知△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3…△P n An-1An都是等腰直角三角形,点P1、P 2、P3…Pn都在函 2、如图1,矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上,点E(m,1)是对角线BD的中点,点A、E在反比例函 数y= (1)求AB的长; (2)当矩形ABCD是正方形时,将反比例函数y=k x 的图象沿y轴翻折,得到反比例函数y= 1 k x 的图象(如 图2),求k1的值; (3)在条件(2)下,直线y=-x上有一长为2动线段MN,作MH、NP都平行y轴交第一象限内的双曲线 y=k x 于点H、P,问四边形MHPN能否为平行四边形(如图3)?若能,请求出点M的坐标;若不能,请说明 理由.
1.已知反比例函数y= 2k x 和一次函数y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b ),(a+k ,b+k+2)两点.?(1)求反比例函数的解析式; (2)求反比例函数与一次函数两个交点A、B 的坐标: (3)根据函数图象,求不等式 2k x >2x -1的解集;?(4)在(2)的条件下,x轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形?若存在,把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在,请说明理由.
1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y =kx +b (k≠0)的图象与反比例函数y = (m≠0)的图象交于二、四象限内的A 、B 两点,与x 轴交于C 点,点B 的坐标为(6,n ),线段OA =5,E 为x 轴负半轴上一点,且s i n ∠AOE =\f (4,5). (1)求该反比例函数和一次函数; (2)求△AO C的面积. (1)过A 点作AD⊥x轴于点D,∵sin ∠AO E= 错误!未定义书签。,OA =5, ∴在Rt△ADO中,∵sin∠AOE=错误!未定义书签。 =错误!未定义书签。= 4 5, ∴AD=4,DO=OA 2-DA2=3,又点A 在第二象限∴点A的坐标为(-3,4), x m