|{<>∈x a
x x x 或 当a>2时,}12
|{><∈x a
x x x 或
4.已知f (x )在(-1,1)上有定义,f (
2
1
)=-1,且满足x ,y ∈(-1,1)有f (x )+f (y )=f (
xy
y
x ++1) ⑴证明:f (x )在(-1,1)上为奇函数; ⑵对数列x 1=
21
,x n +1=212n
n x x +,求f (x n ); ⑶求证
25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
(Ⅰ)证明:令x =y =0,∴2f (0)=f (0),∴f (0)=0 令y =-x ,则f (x )+f (-x )=f (0)=0 ∴f (x )+f (-x )=0 ∴f (-x )=-f (x ) ∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解:f (x 1)=f (
21
)=-1,f (x n +1)=f (212n n x x +)=f (n
n n n x x x x ?++1)=f (x n )+f (x n )=2f (x n )
∴
)
()
(1n n x f x f +=2即{f (x n )}是以-1为首项,2为公比的等比数列
∴f (x n )=-2n -1
(Ⅲ)解:
)21
21211()(1)(1)(11
221-++++=+++n n
x f x f x f 221
2)212(2
112111
1->+-=--=---=--n n n
而2
2
1
2)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(,满足:对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有
)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+;
(1)试证明:)(x f 为N 上的单调增函数; (2)n N ?∈,且(0)1f =,求证:()1f n n ≥+;
(3)若(0)1f =,对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ,
证明:∑
=<-n
i i f 1
4
1
)13(12. 证明:(1)由①知,对任意*
,,a b a b ∈--b f a f b a ,
由于0<-b a ,从而)()(b f a f <,所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. (2)由(1)可知n N ?∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ??? ∴ f(2)-f(1)1≥
∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证
(3)(3)由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f
得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1
21
)311(21311)
31
1(313
13131)13(121
<-=--=+???++=-∑
=n
n n n
i i f
6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1,且同时满足:
(1)对任意[]0,1x ∈,总有()2f x ≥; (2)(1)3f =
(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤,则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.
(I)求(0)f 的值; (II)求()f x 的最大值;
(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足*
12(3),n n S a n N =--∈.
求证:1231
12332
()()()()2n n f a f a f a f a n -?+++
+≤+-.
解:(I )令120x x ==,由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤
由对任意[]0,1x ∈,总有()2,(0)2f x f ≥∴= (II )任意[]12,0,1x x ∈且12x x <,则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥
22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥
max ()(1)3f x f ∴==
(III)
*12(3)()n n S a n N =--∈1
112(3)(2)n n S a n --∴=--≥
1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 11
1112113333333()(
)()()()23()4n n n n n n n
n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1
111
43
333()()n n f f -∴≤+,即11433
())(n n f a f a +≤+。 2211221
14144
144441
12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故1
13
()2n n f a -≤+ 1213
13
1()1()()()2n n
f a f a f a n --∴++
+
≤+即原式成立。
7. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ,如果同时满足以下三条:①对任意的[]0,1x ∈,总有
()0f x ≥;②(1)1f =;③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤,都有1212()()()f x x f x f x +≥+成
立,则称函数()f x 为理想函数.
(1) 若函数()f x 为理想函数,求(0)f 的值;
(2)判断函数()21x
g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数,并予以证明;
(3) 若函数()f x 为理想函数,
假定?[]00,1x ∈,使得[]0()0,1f x ∈,且
00(())f f x x =,求证00()f x x =.
解:(1)取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f .
又由条件①0)0(≥f ,故0)0(=f .
(2)显然12)(-=x
x g 在[0,1]满足条件①0)(≥x g ;-
也满足条件②1)1(=g . 若01≥x ,02≥x ,121≤+x x ,则
)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ,即满足条件③,
故)(x g 理想函数.
(3)由条件③知,任给m 、∈n [0,1],当n m <时,由n m <知∈-m n [0,1],
)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴
若)(00x f x <,则000)]([)(x x f f x f =≤,前后矛盾; 若)(00x f x >,则000)]([)(x x f f x f =≥,前后矛盾. 故)(00x f x =
8.已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有
0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。
(Ⅰ)求0x 的值;
(Ⅱ)若0()1f x =,且对任意正整数n ,有1
(
)12n n
a f =+, ,求数列{a n }的通项公式; (Ⅲ)若数列{
b n }满足12
21n n b og a =+,将数列{b n }的项重新组合成新数列{}n c ,具体法则
如下:112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……,求证:
123
11112924
n c c c c ++++
<。 解:(Ⅰ)令120x x ==,得0()(0)f x f =-,①
令121,0x x ==,得00()()(1)(0)f x f x f f =++,(1)(0)f f ∴=-,② 由①、②得0()(1)f x f =,又因为()f x 为单调函数,01x ∴= (Ⅱ)由(1)得121212()()()(1)()()1f x x f x f x f f x f x +=++=++,
1111
(1)()()()(1),2222f f f f f =+=++
111
()0,()1122f a f ==+= 11111111111
()()()()(1)2()1222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+, 1111
()1[()1],222
n n f f ++=+ 112n n a a +=,1
12n n a -??= ?
??
,
1
112212121212n n n b og a og n -??=+=+=+ ?
??
(Ⅲ)由{C n }的构成法则可知,C n 应等于{b n }中的n 项之和,其第一项的项数为
[1+2+…+(n -1)]+1=2)1(n n -+1,即这一项为2×[2
)1(n
n -+1]-1=n(n -1)+1 C n =n(n -1)+1+n(n -1)+3+…+n(n -1)+2n -1=n 2
(n -1)+2
)121(-+n n =n 3
3192912824
+=<
当3n ≥时,
322111111
[](1)2(1)(1)
n n n n n n n n n =<=---+ 3
3331111111111
11[]
234
822334
(1)(1)
n n n n n ∴+
++++
<++-++
-??-??+111111291[]18223(1)81224
n n <++-<++=??+
解法2:
3234(1)(2)0,4(1)n n n n n n n n --=-≥∴≥-
3333311111()4(1)411111111111
11()234842311111119291181648161624
n n n n n
n n n
n <=---∴+++++<++-+
+
--<++-<++=<
9.设函数()f x 是定义域在(0,)+∞上的单调函数,且对于任意正数,x y 有
()()()f xy f x f y =+,已知(2)1f =
.
(1)求1()
2f 的值;
(2)一个各项均为正数的数列
{}n a 满足:()()(1)1(*)n n n f S f a f a n N =++-∈,其中n
S 是数列
{}n a 的前n 项的和,求数列{}n a 的通项公式;
(3)在(2)的条件下,是否存在正数M ,使
122n n a a a ???
?11)a ≥- 2(21)
a ?-(21)
n a ?-
对一切*n N ∈成立若存在,求出M 的取值范围;若不存在,说明理由.
解:(1)∵()()()f xy f x f y =+,令1x y ==,有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=,∴(1)0f =.
再令12,2x y ==,有1(1)(2)()2f f f =+,∴1()(1)(2)011
2f f f =-=-=-,∴1()12f =-
(2)∵()()(1)1n n n f S f a f a =++-11
[(1)]()[(1)]22n n n n f a a f f a a =++=+,
又∵()f x 是定义域(0,)+∞上单调函数,∵0n S >,1
(1)0
2n n a a +>,∴
1
(1)
2n n n S a a =+ ……①
当
1n =时,由
1111
(1)
2
S a a =+,得
11a =,当
2
n ≥时,
1111
(1)2n n n S a a ---=
+ ……②
由①-②,得11111
(1)(1)22n n n n n n n
S S a a a a a ----=+-+=,
化简,得
22
11()0
n n n n a a a a ----+=,∴
11()(1)0
n n n n a a a a --+--=,
∵0n a >,∴110
n n a a ---=,即11n n a a --=,∴数列{}n a 为等差数列. 11a =,公差1d =. ∴
1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-?=,故n a n =.
(3)∵
12
2212
2!
n n n n a a a n n ???=???=?,
12(21)(21)(21)13
(21)
n a a a n ---=??-
令
21)(21)n n n n b a a =
--3(21)n n ?- 而
113(21)(2n n
b n ++?-.
∴1n n b b
+==1>,
∴
1n n
b b +>,数列{}n b 为单调递
增函数,由题意n M b ≤恒成立,
则只需
min
()n M b ≤=
1
b =
∴
M ∈,存在正数M ,使所给定的不等式恒成立,M 的取值范围为
.
10.定义在R 上的函数f (x )满足fxy fx fy f ()()()()++=+=11
20,,且x >
1
2
时,f (x )<0。
(1)设a fnn N n =∈()()*
,求数列的前n 项和S n ; (2)判断f (x )的单调性,并证明。
解:(1)f f f ()11212
11
=?? ?
??+?? ?
??-=- 令x =n ,y =1,则f n f n f f n ()()()()+=+-=-1112
所以,a a a n n 1112=--=-+,
故数列{}a n 是首项为-1,公差为-2的等差数列。
因此,()()S n n n n n
=-+-?-=-·()112
22
(2)设x x R 12、∈,且x x 12<,则x x 210-> 所以 x x 21121
2-+> 于是f x x ()2112
0-+<
又f x f x f x x ()()()2121
1-=-- =-+-=-+21211211
2
0 所以f x f x ()()21
<,而函数f (x )在R 上是减函数。 11. 设函数f (x )定义在R 上,对于任意实数m 、n ,恒有fm n fm fn ()()()+=·,且当x >0时,0(1)求证:f (0)=1,且当x <0时,f (x )>1; (2)求证:f (x )在R 上单调递减;
(3)设集合{
}
A x y f xf y f =>(,)|()()()
22
1·, {}
B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21,,若A B ∩=?,求a 的取值范围。 解:(1)令m=1,n=0,得f (1)= f (1)·f (0) 又当x >0时,0< f (x )<1,所以f (0)=1 设x <0,则-x >0
令m=x ,n=-x ,则f (0)= f (x )·f (-x ) 所以f (x )·f (-x )=1
又0< f (-x )<1,所以f x f x ()()
=
->1
1
(2)设x x R 12、∈,且x x 12<,则x x 210-> 所以0121
<-0恒成立
所以
f x f x f x x ()()()21
21
=- 所以0121<
()
所以f (x 2)< f (x 1),故f (x )在R 上是单调递减的。
(3)由
得:f x y f ()()22
1
+> 因为f (x )在R 上单调递减
所以x y 2
2
1+<,即A 表示圆x y 2
2
1+=的内部 由f (ax -y +2)=1= f (0)得:ax -y +2=0 所以B 表示直线ax -y +2=0
所以A B ∩=?,所以直线与圆相切或相离,即
2112
+≥a
解得:-≤≤33a
12.定义在R 上的函数f (x )对任意实数a 、b 都有f (a +b )+ f (a -b )=2 f (a )·f
(b )成立,且f ()00≠。
(1)求f (0)的值; (2)试判断f (x )的奇偶性;
(3)若存在常数c >0使f c
()2
0=,试问f (x )是否为周期函数若是,指出它的一个周期;若不是,请说明理由。
解:(1)令a =b =0
则f (0)+ f (0)=2 f (0)·f (0) 所以2 f (0)·[f (0)-1]=0 又因为f ()00≠,所以f (0)=1
(2)令a =0,b =x ,则f (x )+ f (-x )=2 f (0)·f (x ) 由f (0)=1可得f (-x )= f (x ) 所以f (x )是R 上的偶函数。 (3)令a x c b c =+=22
,,则
f x c c f x c c fx c f c +?? ???+??????++?? ???-?????
?=+?? ????? ?
??2222222· 因为f c 20?? ?
?
?=
所以f (x +c )+ f (x )=0 所以f (x +c )=- f (x )
所以f (x +2c )=- f (x +c )= -[-f (x )]= f (x ) 所以f (x )是以2c 为周期的周期函数。
13.已知函数f (x )的定义域关于原点对称,且满足:
(1)f x x f x f x f x f x ()()()()()12
12
21
1-=+-·
(2)存在正常数a ,使f (a )=1 求证:(1)f (x )是奇函数;
(2)f (x )是周期函数,并且有一个周期为4a 证明:(1)设t x x =-12
,则 f t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t ()()()()()()
()()()()()()-=-=
+-=-
+-=--=-2121121221121
1
··
所以函数f (x )是奇函数。
(2)令x a x a 122==
,,则f a f a f a f a f a ()()()()()
=+-21
2·
即121
12=
+-f a f a ()()
解得:f (2a )=0
所以f x a f x f a f a f x f x fa fa f x f x ()()()()()()[()]()()()
+=
-+--=-+--=-22122121
··
所以()
f x a f x a f x
f x +=-+=--=4121
1()
()()
因此,函数f (x )是周期函数,并且有一个周期为4a 。
14.已知f x ()对一切x y ,,满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=?,,且当x <0时,f x ()>1,求证:
(1)x >0时,01<0,则-1, 而f f x f x ()()()01=?-=
∴-=
>f x f x ()()
1
1 ∴<<01f x (), 设x x R 12,∈且x x 12<, 则0121<-f x f x ()()12, 即f x ()为减函数。
15.已知函数f x ()是定义在(]-
∞,1上的减函数,且对一切实数x ,不等式fk x fk x
(s i n )(s i n)-≥-22
恒成立,求k 的值。 分析:由单调性,脱去函数记号,得
k x k x k x k x k k x 22
222222
1111412-≤-≤-??????≤+-+≥-????
?sin sin sin sin ()
(sin )(2)
由题意知(1)(2)两式对一切x R
∈恒成立,则有
k x k k x k 2222
111412941≤+=-+≥-=?????????
??=-(s i n )(s i n )m i n m a x 16.设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立,且
(1)2f =-,当0x >时,()0f x <。
(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)试问:当-2003≤x ≤2003时,()f x 是否有最值如果有,求出最值;如果没有,说明理由;
(3)解关于x 的不等式
2211
()()()()22
f bx f x f b x f b ->-,其中22b ≥. 分析与解:⑴令x=y=0,可得f(0)=0
令y=-x ,则f(0)=f(-x)+f(x),∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数 ⑵设-3≤x 1<x 2≤3,y=-x 1,x=x 2
则f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1),因为x >0时,f(x)<0, 故f(x 2-x 1)<0,即f(x 2)-f(x 1)<0。
∴f(x 2)<f(x 1)、f(x)在区间[-2003、2003]上单调递减
∴x=-2003时,f(x)有最大值f(-2003)=-f(2003)=-f(2002+1)=-[f(2002)+f(1)]=-[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=-2003f(1)=4006。 x=2003时,f(x)有最小值为f(2003)= -4006。 ⑶由原不等式,得
2
1[f(bx 2) -f(b 2
x)]>f(x) -f(b)。 即f(bx 2
)+f(-b 2
x)>2[f(x)+f(-b)]
∴f(bx 2
-b 2
x)>2 f(x -b),即f[bx(x -b)]>f(x -b)+f(x -b) ∴f[bx(x -b)]>f[2 f(x -b)]
由f(x)在x ∈R 上单调递减,所以bx(x -b)<2(x -b),∴(x -b)(bx -2) <0
∵b 2
≥2, ∴b ≥2或b ≤-2
当b >2时,b >
b 2,不等式的解集为?
???????b x b x 2|
当b <-2时,b <
b 2,不等式的解集为????
??
??b x b x x 2|或
当b=-2时,不等式的解集为{}
R x x x ∈-≠且,2| 当b=2时,不等式解集为φ
17.已知定义在R 上的函数()f x 满足:
(1)值域为()1,1-,且当0x >时,()10f x -<<;
(2)对于定义域内任意的实数,x y ,均满足:()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=+
试回答下列问题: (Ⅰ)试求()0f 的值;
(Ⅱ)判断并证明函数()f x 的单调性;
(Ⅲ)若函数()f x 存在反函数()g x ,求证:21111511312g g g g n n ??
??
????+++> ?
? ? ?++????????
.
分析与解:(Ⅰ)在()()()()()
1f m f n f m n f m f n ++=+中,令0,0m n >=,则有()()()()()
010f m f f m f m f +=+.即:
()()()()()100f m f m f f m f +=+????.也即:()()()2010f f m ??-=??
. 由于函数()f x 的值域为()1,1-,所以,()
()
2
10f m ??-≠?
?
,所以()00f =.
(Ⅱ)函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -,于是,由已知
()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=
+,我们可以联想到:是否有()()()
()()
1f m f n f m n f m f n --=-(*) 这个问题实际上是:()()f n f n -=-是否成立
为此,我们首先考虑函数()f x 的奇偶性,也即()()f x f x -与的关系.由于()00f =,所
以,在()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=+中,令n m =-,得()()0f m f m +-=.所以,函数()
f x 为奇函数.故(*)式成立.所以,()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--????.任取
12,x x R ∈,且12x x <,则210x x ->,故()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<.所以,
()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=--???,所以,函数()f x 在R 上单调递减.
(Ⅲ)由于函数()f x 在R 上单调递减, 所以,函数()f x 必存在反函数()g x ,
由原函数与反函数的关系可知:()g x 也为奇函数;()g x 在()1,1-上单调递减;且当
10x -<<时,()0g x >.
为了证明本题,需要考虑()g x 的关系式.
在(*)式的两端,同时用g 作用,得:()()()()1f m f n m n g f m f n ??--=??-??
,
令()(),f m x f n y ==,则()(),m g x n g y ==,则上式可改写为:()()1x y g x g y g xy ??--= ?-??
.
不难验证:对于任意的(),1,1x y ∈-,上式都成立.(根据一一对应). 这样,我们就得到了()g x 的关系式. 这个式子给我们以提示:即可以将
2
131n n ++写成1x y
xy
--的形式,则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端.
事实上,由于
()()()()
()()
2
1
1
1
1211
121
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点评:一般来说,涉及函数奇偶性的问题,首先应该确定()0f 的值.
18.已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f (27)=9,当时,。
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若,求a的取值范围。
分析:由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且
在[0,+∞)上是增函数。
解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴
f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设,∴,,
∵时,,∴,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在0,+∞)上是增函数。
(3)∵f(27)=9,又,
∴,∴,∵,∴,
∵,∴,又,故。
19.设函数的定义域为全体R,当x<0时,,且对任意的实数x,
y∈R,有成立,数列满足,且
(n∈N*)
(Ⅰ)求证:是R上的减函数;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若不等式对一切n∈N*均成立,求k
的
最大值.
解析:(Ⅰ)令,得,
由题意知,所以,故.
当时,,,进而得.设且,则,
.
即,所以是R上的减函数.
(Ⅱ)由得,
所以.
因为是R上的减函数,所以,
即,进而,
所以是以1为首项,2为公差的等差数列.
所以,
所以
.
(Ⅲ)由对一切n∈N*均成立.知对一切n∈N*均成立.
设,
知且
又.
故为关于n的单调增函数,.
所以,k的最大值为
20.函数f(x)的定义域为D {}0
∈,都有
=>, 满足: 对于任意,m n D
x x