希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）
0 前言
传统的数据分析方法都是基于线性和平稳信号的假设，然而对实际系统，无论是自然的还是人为建立的，数据最有可能是非线性、非平稳的。
希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种经验数据分析方法，其扩展是自适应性的，所以它可以描述非线性、非平稳过程数据的物理意义。
1 HHT简介[贺礼平.希尔伯特-黄变换在电力谐波分析中的应用研究[D].湖南:中南大学,2009]HHT的发展。
1995年，Norden E.Huang为研究水表面波构思出一种所谓“EMD--HSA”的时间序列分析法，通过这种方法他发现水波的演化不是连续的，而是突变、离散、局部的。
1998年，Norden E.Huang等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。
HHT是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法，由两部分组成：
第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）（the sifting process，筛选过程），它是由Huang提出的,基于一个假设：任何复杂信号都可以分解为有限数目且具有一定物理定义的固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF；也称作本征模态函数）；EMD方法能根据信号的特点，自适应地将信号分解成从高到低不同频率的一系列IMF；该方法直接从信号本身获取基函数，因此具有自适应性，同时也存在计算量大和模态混叠的缺点。
第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA），利用Hilbert变换求解每一阶IMF 的瞬时频率，从而得到信号的时频表示，即Hilbert谱。
简单说来，HHT处理非平稳信号的基本过程是：首先，利用EMD方法将给定的信号分解为若干IMF，这些IMF是满足一定条件的分量；然后，对每一个IMF进行Hilbert变换，得到相应的Hilbert谱，即将每个IMF表示在联合的时频域中；最后，汇总所有IMF的Hilbert谱就会得到原始信号的时间-频率-能量分布，即Hilbert谱。
在HHT中，为了能把复杂的信号分解为简单的单分量信号的组合，在进行EMD方法时，所获得的IMF 必须满足下列两个条件：
1）在整个信号长度上，一个IMF的极值点和过零点数目必须相等或至多只相差一点。
2）在任意时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的平均值为零，也就是说IMF的上下包络线对称于时间轴。
满足上述两个条件的IMF 就是一个单分量信号。
连续时间信号)(t x 的Hilbert 变换)(?t x
定义为： τττπτττππd t x d t x t t x t x
?
?+∞∞-+∞∞--=-=*=)(1)(11)()(?. 2 HHT 理论 经验模态分解（Empirical Mode Decomposition ，EMD ）
对于给定的信号，Huang 所介绍的EMD 方法是：
（1）首先找到信号的极大值和极小值，用三次样条插值拟合上下包络线)(t u 和)(t v ，计算上下包络线在每一点上的平均值，从而获得一平均值曲线1m ，即2/)]()([1t v t u m +=；
（2）设分析信号为)(t x ，用)(t x 减去平均值)(1t m ，即11)(m t x h -=.
如果，1h 满足IMF 的两个条件，那么1h 就是)(t x 的第一个IMF 分量；否则，将1h 作为原始信号，重复（1）（2），得上下包络的平均值11m ，再判断11111m h h -=是否满足IMF 的两个条件；若不满足，重复循环k 次，得到k k k m h h 1)1(11-=-，直到k h 1满足IMF 的两个条件。记1c 为信号)(t x 经EMD 得到的第1个IMF 分量。
其中，有两种不同的筛分停止标准：
①类似柯西收敛准则的()()∑∑=-=--=T t k T t k
k k h h h SD 021102111；当k SD 小于一个预定值时，筛选停止。
②筛分次数预先选定，在s 次连续筛选内，当零点数和极点数相等或最多相差一个，筛选过程将停止。困难：如何设定筛选次数？
（3）将1c 从)(t x 中分离出来，得到11)(c t x r -=；
将1r 作为原始数据，重复（1）～（3），得到)(t x 的第2个IMF 分量2c ；重复循环n 次，得到信号)(t x 的n 个IMF 分量，则有
n n
i i r c t x +=
∑=1)( 式中n r 称为残余分量，分解结束时是一个恒定值或单调函数，代表信号的平均趋势。
上面的分解过程可以解释为尺度滤波过程，每一个IMF 分量都反映了信号的特征尺度，代表着非线
性非平稳信号的内在模态特征。
Hilbert 谱分析（Hilbert Spectrum Analysis ，HSA ）
获得了信号的IMF 分量以后，即可对每一阶IMF 做Hilbert 变换；设)(t c i 的Hilbert 变换为)(?t c
i ，则有
τττπτττππd t c d t c t t c t c i i i i ?
?+∞∞+∞∞-=-=*=--)(1)(11)()(? 从而，信号)(t x 的解析信号（analytic signal ）为
)()()(?)()(t j i i i i i e t a t c
j t c t z θ=+= 这里)(?)()(22t c t c t a i i i +=，即瞬时振幅；???
? ??=)()(?)(t c t c arctg t i i i θ，即瞬时相位。
解析信号的极坐标形式反映了Hilbert 变换的物理含义：它通过一正弦曲线的频率和幅值调制获得局部的最佳逼近。
根据瞬时频率的定义，IMF 分量的瞬时频率为
dt t d t i i )()(θω=，dt t d t f i i )(21)(θπ=. 于是，?==+=T i i dt t j i t j i i i i e t a e t a t c j t c t z 0)()()()()(?)()(ωθ.
对每一阶IMF 作Hilbert 变换，并求出相应的解析函数的幅值谱和瞬时频率，从而原始信号)(t x 可以表示为
∑∑∑∑====?====
n i dt j i n i n i n i t j i i i i i e t a e t a t z t c t x 1111)()(Re )(Re )(Re )()(ωθ
其数学表达式反映了HHT 是FT 的一种扩展形式。
上式反映了信号幅值、时间和瞬时频率之间的关系。信号的幅值可表示为时间、瞬时频率的函数),(t H ω，从而获得信号幅值的时间、频率分布——Hilbert 谱，即
∑=?=
n i dt j i i e
t a t H 1)(),(ωω 进而，对时间积分可获得信号的Hilbert 边际谱 ?=T dt t H h 0),()(ωω.
),(t H ω描述了信号的幅值在整个频率上随时间和频率的变化规律；而)(ωh 描述了信号在每个频率上的总振幅（或能量）。
3 HHT 的优点
与传统的信号或数据处理方法相比，HHT具有如下特点：
（1）HHT能分析非线性非平稳信号。
传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳信号。历史上还出现过不少信号处理方法，然而它们不是受线性束缚，就是受平稳性束缚，并不能完全意义上处理非线性非平稳信号。HHT则不同于这些传统方法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，适用于分析非线性非平稳信号。
（2）HHT具有完全自适应性。
HHT能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的IMF。这点不同于傅立叶变换和小波变换。傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。在实际工程中，如何选择小波基不是一件容易的事，选择不同的小波基可能产生不同的处理结果。我们也没有理由认为所选的小波基能够反映被分析数据或信号的特性。
（3）HHT不受Heisenberg测不准原理制约——适合突变信号。
傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换都受Heisenberg测不准原理制约，即时间窗口与频率窗口的乘积为一个常数。这就意味着如果要提高时间精度就得牺牲频率精度，反之亦然，故不能在时间和频率同时达到很高的精度，这就给信号分析处理带来一定的不便。而HHT不受Heisenberg测不准原理制约，它可以在时间和频率同时达到很高的精度，这使它非常适用于分析突变信号。
(4)HHT的瞬时频率是采用求导得到的。
傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换有一个共同的特点，就是预先选择基函数，其计算方式是通过与基函数的卷积产生的。HHT不同于这些方法，它借助Hilbert变换求得相位函数，再对相位函数求导产生瞬时频率。这样求出的瞬时频率是局部性的，而傅立叶变换的频率是全局性的，小波变换的频率是区域性的。
4 HHT存在的问题
HHT的关键技术是EMD方法，然而EMD存在以下几个困难：
1）包络曲线和均值曲线的拟合。Huang的方法在整个数据长度上采用三次样条插值拟合包络曲线，在数据长度大且波动剧烈的情况下，其计算量将是很大的，这种方法要占用大量的机时，实时性太差。
采用不同的包络算法会产生不同的IMF，如何包络算法的优劣？如何判断采用某种包络算法，EMD是收敛的（即经过有限次“筛选”获得有限阶IMF）？[贺礼平.希尔伯特-黄变换在电力谐波分析中的应用研究[D].湖南:中南大学,2009]
2）边界处理问题。对有限长信号的分析一般都会遭遇边界处理问题，如小波分解等。但小波分解中的边界处理误差，如果采用直接时间算法不会在各小波分量间传递，而HHT的分解过程注定了其边界处
理结果将在分解过程中一直传播下去，引起结果的较大摆动，这就决定了研究 HHT 边界处理算法的重要性。
3）模态混叠。由于EMD 分解过程可解释为尺度滤波的过程，因此获得的)~1(n i C i =在尺度上表现为从小到大变化，解释为频率就是从高频到低频的分解过程。但i C 未必严格单调从小到大变化，可能会产生尺度交叉现象，其结果有可能产生尺度混叠的现象。
4）筛法。筛法是HHT 的核心，它包括两方面的问题：一是筛法的依据问题，即筛法有没有可靠的理论依据，如果筛法没有将会导致分析结果不唯一或者错误；二是筛法的效率问题，就是要提高筛法的速度。由于Huang 等人在提出EMD 时采用的是包络线拟合经验筛法，每次筛选需要拟合两条曲线，因而速度慢。提高运算速度的一种自然设想是直接拟合均值曲线，而不通过拟合两条包络线，这样运算量几乎可以减少一倍，但总结现有的经验筛法，无论是Huang 等人提出的连续均值筛法（SMS ），还是余泊提出的自适应时变滤波分解（ATVFD ）和盖强提出的极值域均值模式分解（EMMD ），都没有从理论上说明直接拟合信号均值曲线的理论依据。Huang 本人提出了确定一个筛分过程停止的准则。该条件准则可以通过限制标准差的大小来实现，标准差SD 通过两个连续的处理结果来计算得出：
()()∑∑=-=--=T t k T t k
k h h h SD 021102111.
SD 称为筛分门限值，一般取0.2～0.3。如果SD 小于这个门限值，筛分过程就停止，从而认为k h 1为第一阶IMF 。
而法国学者Gabriel Rilling 等提出中止条件，在我们大多数人手中的EMD 的程序中，定义函数 ()min max min
max e e e e t a -+=（min max e e ，分别为上下包络线）
作为判定是否中止筛选过程的判据。设定三个门限值1θ、2θ、α，规定当()t a 里面小于1θ的比率达到α，且不存在大于2θ的值时，中止筛选过程。默认值为，1θ=0.05，2θ=0.5，α=0.95.
5）HHT 是基于EMD 的时频分析方法；因而，缺少合适的方法或准则对其结果进行评估和判定
[安怀志.希尔伯特-黄变换的理论和应用的研究[D].黑龙江:哈尔滨工程大学,2008]。
6）如何将HHT 从一维空间发展到二维空间或者高维空间
[安怀志.希尔伯特-黄变换的理论和应用的研究[D].黑龙江:哈尔滨工程大学,2008]。 7）端点延拓问题[安怀志.希尔伯特-黄变换的理论和应用的研究[D].黑龙江:哈尔滨工程大学,2008]。
文献[谭善文.多分辨希尔伯特-黄(Hilbert-Huang)变换方法的研究[D].重庆:重庆大学,2001]在EMD
方法的基础上引入了多分辨分析技术，提出了分段IMF，建立了多分辨EMD方法，通过可调的时间矩形窗对信号进行筛分，实现了信号的多尺度分解，并且显著地减小了计算量，增加了信号处理的实时性，有效地消除了IMF中的模态混叠现象。由于多分辨EMD方法是基于信号的局部时间尺度特征的，因此该方法特别适合于分析非线性非平稳信号。（利用Hilbert变换对分段IMF求解瞬时频率，可以获得以分段IMF 为基函数的信号表示形式，它是一般化的Fourier级数形式，进一步可以得到信号的能量时频分布——Hilbert谱。结合多分辨EMD方法和HSA方法，从而建立多分辨Hilbert-Huang变换。由于引入了多分辨分析技术，是的Hilbert-Huang变换既保留了小波变换中时频局部化的优点，同时又因为不需要基函数，克服了小波变换中选择小波基函数的困难。多分辨Hilbert-Huang变换对信号具有良好的局部化、自适应和分析结果的直观性。）