第34卷第2期福州大学学报(自然科学版)Vol.34No.2 2006年4月Journal of Fuzhou University(Natural Science)Apr.2006
文章编号:1000-2243(2006)02-0260-05希尔伯特-黄变换谱及其在地震信号分析中的应用
陈子雄,吴琛,周瑞忠
(福州大学土木建筑工程学院,福建福州350002)
摘要:介绍了希尔伯特-黄变换(HHT)这一非线性、非平稳信号处理方法,并利用HHT处理了地震工程中
常用的El Centro地震波,得到了该信号的Hilbert谱、边际谱和能量谱,提取了该信号的主要动力特性,并与
该信号的Fourier分析结果进行了对比,显示出HHT这一方法的优越性.
关键词:希尔伯特-黄变换;经验模态分解;固有模态函数;地震信号
中图分类号:TU311.3文献标识码:A
Hilbert-Huang transform spectru m and its application in seismic signal analysis
CHEN Zi-xiong,W U Chen,ZHOU Rui-zhong
(College of Civil Engineering and Architecture,Fuzhou University,Fuzhou,Fujian350002,China) Abstract:HHT is a ne w method to deal with non-linear and non-stationary data.El Centro earth-
quake wave is analyzed by HHT.Through the way,Hilbert spectrum,marginal spectrum and energy
spec trum are got and dynamic property is extrac ted.The comparison between HHT spectrum and Fourier
spec trum is made and the superiority of HHT is demonstrated.
Keyw ords:Hilbert-Huang transform;empirical mode decomposition;intrinsic mode function;seismic signal
地震信号具有短时、突变等特点,是一种典型的非平稳随机信号,必须对其进行分析与处理,才可以提取信号的主要特征.传统的Fourie r变换能够表述信号的频率特性,但不提供任何时域信息[1],而小波分析虽然在时域和频域都具有很好的局部化性质,但本质上仍是一种窗口可调的Fourier变换,在小波窗内的信号必须是平稳的,因而没有根本摆脱Fourier分析的局限[2].小波基的选择也是信号分析中的一个重要问题,另外,小波基的有限长会造成信号能量的泄漏,使信号的能量-频率-时间分布很难定量表述.
Hilbert-Huang变换(HH T)的信号处理方法被认为是近年来对以Fourier变换为基础对线性和稳态谱分析的一个重大突破[2].它由经验模态分解(E mpirical Mode Decomposition,E MD)方法和Hilbert变换(H T)两部分组成,其核心是E MD分解.该方法采用了固有模态函数(Intrinsic Mode Function,I MF)概念以及将任意信号分解为I MF组成的思想,即E MD法,使得瞬时频率具有实际的物理意义[3].它不受Fourier分析的局限,可依据数据本身的时间尺度特征进行模态分解,分解过程中保留了数据本身的特性,再对各I MF分量进行Hilbert变换,得到信号能量在时间尺度上的分布规律,实现地震动力特性的提取.
1Hilbert-Huang变换
1.1经验模态分解和固有模态函数
经验模态分解(EMD)的目的是通过对非线性非平稳信号的分解获得一系列表征信号特征时间尺度的固有模态函数(I MF),使得各个I MF是窄带信号,可以进行Hilbert分析.首先设定两个条件:1整个时间序列的极大极小值数目与过零点数目相等或最多相差一个;o时间序列的任意点上,由极大值确
收稿日期:2005-07-27
作者简介:陈子雄(1981-),男,硕士研究生;通讯联系人:周瑞忠,教授.
基金项目:教育部博士点专项科研基金资助项目(20040386004)
定的包络与由极小值确定的包络的均值始终为零.能满足以上两个条件的信号称为I MF 信号,用Hilbert 变换求I MF 信号的瞬时参数,其结果是准确的.
求取I MF 的具体步骤如下:
1)找出原始序列x (t)的各个局部极大值.这里,为更好地保留原序列的特性,局部极大值定义为时间序列中的某个时刻的值,其前一时刻的值不比它大,后一时刻的值也不比它大.然后用三阶样条函数进行插值,得到原序列的上包络序列值x max (t).同理,可以得到下包络序列值x min (t ).
2)对每个时刻的x ma x (t)和x min (t)取平均,得到瞬时平均值m(t):
m (t)=[x max (t)+x min (t)]/2
(1) 3)用原序列x (t)减去瞬时平均值m(t),得到一个去掉低频的新序列h(t ):
h(t)=x (t)-m(t)
(2)
此时,如果h(t)满足I MF 的两个条件,那它就是固有模态函数.否则,把h (t)当作原序列,重复以上步骤,直至满足I MF 的定义,得到第一个固有模态函数,并以c 1(t)记之.一般来说,c 1(t)代表了原始序列中的高频部分.然后,用原序列减去c 1(t),得到剩余值序列r 1(t):
r 1(t)=x (t)-c 1(t)
(3)
至此,提取第1个固有模态函数的过程全部完成.然后,把r 1(t)作为一个新的原序列,按照以上步骤,依次提取第2,第3,,,,直至第n 个固有模态函数c n (t).之后,r n (t)变成一个单调序列,再也没有内在模函数能被提取出来.
如果把分解后的各分量合并起来,就得到原序列x (t):
x (t )=
E n
j =1
c j (t)+
r n (t )(4)
1.2 Hilbert 变换和Hilbert 谱
通过E MD 分解得到的I MF 分量非常适合作Hilbert 变换,进而求出瞬时频率,得到HHT 谱.Hilbert 变换是一种线性变换,如果输入信号是平稳的,那么输出信号也应该是平稳的;Hilbert 变换强调局部属性,这避免了Fourier 变换时为拟合原序列而产生的许多多余的、事实上并不存在的高、低频成分.
对于任一固有模态函数c(t),其Hilbert 变换^c (t)定义为[4]:
^c (t )=
1P P V Q
c(S )
t -S
d S (5)
式中:P V 代表柯西主值,则对于c(t)的解析信号z (t)为:
z (t)=c(t)+i^c (t )=a(t )e
i H (t )
(6)式中:a(t)和H (t)分别为信号x (t)的瞬时振幅和瞬时相位,按下式计算:
a (t)=
c 2(t)+^c 2(t)
(7)H (t)=arctan (^c (t)/c(t))
(8)
由瞬时相位可得到信号的瞬时频率:
X (t)=d H (t)/d t (9)
可见,由Hilbert 变换得到的振幅和频率都是时间的函数,如果把振幅显示在频率-时间平面上,就可以得到Hilbert 幅值谱H (X ,t),简称Hilbert 谱,记作:
H (X ,t)=Re E n
j=1a j (t)e i Q X j
(t)d t
(10)
H (X ,t)精确地描述了信号的幅值随时间和频率的变化规律.将H (X ,t)对时间积分,就得到Hilbert
边际谱h (X ):
h(X )=
Q T
H (X ,
t)d t (11)
边际谱提供了对每个频率的振幅量测,表达了在整个时间长度内振幅的累积.将振幅的平方对频率积
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分,可定义Hilbert 瞬时能量I E (t),如下式所示:
I E (t)=
Q
X
H 2(X ,t)d X (12)
Hilbert 瞬时能量提供了信号能量随时间的变化情况.将振幅的平方对时间积分,可得到Hilbert 能量谱
E S (X ),如下式所示:
E S (X )=
Q T
H 2(X ,
t)d t (13)
Hilbert 能量谱提供了对于每个频率的能量量测,表达了每个频率在整个时间长度内所累积的能量.
2 EMD 前的准备工作
2.1 端点效应的抑制
在运用EMD 方法对非线性资料进行分解时,必须进行端点抑制.否则,要么会因在端点处弃值而严重影响资料的完整性;要么会因在端点处的发散而使运算溢出;如果抑制的不好,又会因/污染0度过大而使分解严重失真.本文采用了文献[5]介绍的在端点处依据端点附近数据变换插入样条插值起点的方法.在每一次I MF 分解前,先判断待分解系列起始段的变化趋势,若为上升,则将第一个局部极大值作为上包络样条插值的起点,而直接把端点作为下包络样条插值的起点.若为下降,直接把端点作为上包络样条插值的起点,将第一个局部极小值作为下包络样条插值的起点,信号另一端按同样方法处理.该法虽具有一定强制性,也缺乏明确的理论依据,但确能有效抑制端点效应.2.2 确定固有模态函数的判据
要分解出固有模态函数,必须确定I MF 的判据,否则,无限重复的结果只可能得到定常振幅的调频波,这就失去了应有的物理意义.习惯上,用前后h(t)的标准差S 的大小作为I MF 的判据:
S =
E
T
t=0
h k-1(t)-h k (t)
2
E
T
t=0
h k-1(t)
2
(14)
一般说来,S 的值越小,所得的固有模态函数的线性和稳定性就越好,能够分解出的固有模态函数的个数就越多.实践表明,当S 的值介于0.2~0.3时,既能保证固有模态函数的线性和稳定性,又能使所得的固有模态函数具有相应的物理意义[6].
3 HHT 在地震信号分析中的应用
作为Hilbert-Huang 变换在地震信号分析中的一个简单实例,对地震工程中最常用的一条地震记录El Centro 地震波(图1)的南北向分量进行分析.El Centro 波经E MD 分解,形成8个I MF 分量和一个残量,如图2所示.将分解的I FM 分量实行Hilbert 变换,得到地震波的时间-频率-振幅分布图(图3)
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利用公式(11)、(12)、(13)分别得到边际谱(图4)、瞬时能量谱(图5)、Hilbert 能量谱(图6),为比较还作了地震信号的Fourier 频谱(图7)、功率谱密度(图8).表1、表2分别列出了信号能量集中区的一些能量值
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表1 信号能量集中区各时段所对应的能量
Tab.1 Energy of the every period of centralized district of signal energy
t /s 0~11~22~33~44~55~66~77~88~99~10能量412802990900325290074387012072006382807491294053482610584550t /s 10~1111~1212~1313~1414~1515~1616~1717~1818~1919~20能量22562013448001919202142802321901368201524001444108677299118t /s 20~2121~2222~2323~2424~2525~2626~2727~2828~2929~30能量
174330
95428
98034
60215
257140
460500
294810
55189
49215
30926
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表2 信号能量集中区各频段所对应的能量
Tab.2 Energy of the every frequency band of centralized district of signal energy
f /Hz 0~11~22~33~44~55~66~77~88~99~10能量
78036004567400
1219200
404730
277280
250350
113260
154460
23282
36881
4 分析与讨论
1)由图2可知,E MD 首先将地震波中的高频分量分离出来,然后,所分解的IMF 分量的频率依次降低,这说明EMD 分解的效率是非常高的.同时,由于它不依赖如Fourier 、小波那样所需的基函数,自适应性好,因此更为有效地反映信号的内部特征,避免了信号能量的扩散与泄漏.
2)由图2可见,E MD 方法清晰地说明了地震波中无周期性的正弦分量,如果有的话,必然满足I MF 条件分离出来,事实上并没有.这一事实证明:Fourier 分析对地震波这种非平稳信号的分析是不适用的,对非平稳信号的解释是不合理的.
3)从所分解出来的各I MF 分量可以看到,前几个IMF 分量体现了原始信号的主要特征,该频率是地震信号的主要贡献频率.
4)由图3可见,Hilbert 谱是随着频率分布而瞬时变化的,图中显示了该信号的大部分能量集中在10Hz 以下,30s 以内,这在边际谱、瞬时能量谱和Hilbert 能量谱中也得到体现.这在以往的信号处理方法中是不能得到的.
5)由图7的Fouier 频谱和图4的边际谱对比可见,Fourier 谱给出的结果往往会低估低频部分的幅值,而高频部分又往往高于实际的幅值,这应该引起地震工程界的重视.
6)图5所示的瞬时能量谱表达了信号的能量随时间的变化过程,其峰值高达155860,而在大部分能量集中的前30s 内的波能平均值只有9676,比值超过16倍,如此巨大的瞬时峰值能量势必对结构安全产生不利影响.由图6也可见,信号的能量基本上集中在10Hz 以下,这与信号的功率谱的表现情况基本一致.
7)对图5所示的瞬时能量谱每时刻能量求和,可得其结果为1.4787@107
;同理,对图6所示的Hilbert 能量谱的求和,其结果仍然相同,相对误差不到十万分之一,其中的误差是由于计算截断引起的,这也证实了Paraseval 公式的正确性.参考文献:
[1]大崎顺彦(日).地震动的谱分析入门[M].吕敏申,谢礼立,译.北京:地震出版社,1980.
[2]Huang N E,Shen Z,Long S R,et al.The empirical mode decomposi tion and Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary
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[3]钟佑明,秦树人,汤宝平.一种振动信号新变换法的研究[J].振动工程学报,2002,15(2):233-238.[4]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统[M].北京:高等教育出版社,2000.
[5]杜寿昌.基于Hilbert-Huang 变换的心音信号时频分析研究[D].昆明:云南大学,2003.
[6]熊学军,郭炳火,胡筱敏,等.E MD 方法和Hilbert 谱分析法的应用与探讨[J].黄渤海海洋,2002,20(2):12-21.
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第34卷
发电厂房墙体地震响应的反应谱法与时程分析比较 1问题描述 发电厂房墙体的基本模型如图1所示： 图1 发电厂墙体几何模型 基本要求：依据class 9_10.pdf的最后一页的作业建立ansys模型,考虑两个水平向地震波的共同作用(地震载荷按RG1.60标准谱缩放,谱值如下)，主要计算底部跨中单宽上的剪力与弯矩最大值,及顶部水平位移。要求详细的ansys反应谱法命令流与手算验证过程。以时程法结果进行比较。分析不同阻尼值(0.02,0.05,0.10)的影响。 RG1.60标准谱 (1g=9.81m/s2) (设计地震动值为0.1g) 频率谱值(g) 33 0.1 9 0.261 2.5 0.313 0.25 0.047 与RG1.60标准谱对应的两条人工波见文件rg160x.txt与rg160y.txt 2数值分析框图思路与理论简介 2.1理论简介 该问题主要牵涉到结构动力分析当中的时程分析和谱分析。时程分析是用于确定承受任意随时间变化荷载的结构动力响应的一种方法。谱分析是模态分析的扩展，是用模态分析结果与已知的谱联系起来计算模型的位移和应力的分析技术。 2.2 分析框架： 时程分析：在X和Z两个水平方向地震波作用下，提取底部跨中单宽上的剪力、弯矩值和顶部水平位移，并求出最大响应。 谱分析：先做模态分析，再求谱解，由于X和Z两个方向的单点谱激励，因此需进行两次谱分析，分别记入不同的工况最后组合进行后处理得出结够顶部水平位移、底部单宽上剪力和弯矩的最大响应。 3有限元模型与荷载说明 3.1 有限元模型 考虑结构的几何特性建立有限元模型，首先建立平面几何模型，并将模型进行合理的切割，采用plane42单元，使用映射划分网格的方法生产平面单元（XOY平面）。然后，采用solid45
希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973
世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决 的问题”） 一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 三：庞加莱(Poincare)猜想
结构地震反应谱分析实例 在多位朋友的大力帮助下，经过半个多月的努力，鄙人终于对结构地震反应谱分析有了一定的了解，现将其求解步骤整理出来，以便各位参阅，同时，尚有一些问题，欢迎各位讨论！ 为叙述方便，举一简单实例： 在侧水压与顶部集中力作用下的柱子的地震反应谱分析，谱值为加速度反应谱，考虑X与Y向地震效应作用。已知地震影响系数a与周期T的关系： a(T)= 0.4853*(0.4444+2.2222*T) 0 !进行模态求解 ANTYPE,MODAL MODOPT,LANB,30 SOLVE FINISH !进行谱分析 /SOLU ANTYPE,SPECTR SPOPT,SPRS,30,YES SVTYP,2 !加速度反应谱 SED,1,1 !X与Y向 FREQ,0.2500,0.2632,0.2778,0.2941,0.3125,0.3333,0.3571,0.3846,0.4167 FREQ,0.4545,0.5000,0.5556,0.6250,0.7143,0.8333,1.1111,2.0000,10.0000 FREQ,25.0000,1000.0000 SV,0.05,0.0797,0.0861,0.0934,0.1018,0.1114,0.1228,0.1362,0.1522,0.1716 SV,0.05,0.1955,0.2255,0.2642,0.3152,0.3851,0.4853,0.4853,0.4853,0.4853 SV,0.05,0.2588,0.2167 SOLVE FINISH !进行模态求解(模态扩展) /SOLU ANTYPE,MODAL EXPASS,ON MXPAND,30,,,YES,0.005 SOLVE FINISH !进行谱分析(合并模态) /SOLU ANTYPE,SPECTR SRSS,0.15,disp SOLVE FINISH /POST1 SET,LIST !结果1 /INP,,mcom 几种时频分析方法综述2——希尔伯特—黄变换 夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要：希尔伯特—黄变换由经验模态分解（empirical mode decomposition ，简称EMD ）和Hilbert 谱分析两部分组成。经验模态分解方法是一种自适应的、高效的数据分解方法。由于这种分解是以局部时间尺度为基础，因此，它适应于非线性、非平稳过程。通过经验模型分解，任何复杂的数据集都可以被分解为个数有限的、而且常常是为数不多的几个固有模函数(intrinsic mode functions ，简称IMF)的线性叠加。通过分解得到IMF 后，就可以对每一个分量做希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。本文详细对Hilbert-Huang Transform 的过程进行了阐述，并用算例分析指出了其优势所在。 关键词：希尔伯特—黄变换；时频分析技术； 1 希尔伯特—黄变换（Hilbert-Huang Transform ） 1.1 希尔伯特变换与瞬时频率（Hilbert Transform and instantaneous frequency ） 对于任意一个时间序列X(t)，它的希尔伯特变换具有如下形式： -1 ()(t)=,-X Y P d t ττπτ ∞∞? 其中，P ——积分的柯西主值； 希尔伯特变换对于任何属于L p 空间中的函数都存立，即上式中X(t)∈L p （— ∞，+∞）。 通过上述定义，X(t)和Y(t)成为一组复共轭对，同时能够构造一个实部和虚部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t)，Z(t)表示为： ()()(t)=(t)(t)=a ,i t Z X iY t e θ+ 其中， ()()1/222 (t)a =(t)+(t),arctan .X(t)Y t X Y t θ????= ????? 理论上讲有无数种方式去定义虚部，但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析 信号结果的方法。 X(t)的Hilbert 变换实质上是将X(t)与函数1/t 在时域上做卷积，这就决定了通过X(t)的Hilbert 变换能够考察其局部特性。得到X(t)的瞬时相位函数后，其瞬时频率为： ()() (t).d w t dt θ= 1.2 经验模态分解与固有模态函数（Empiricalmode decomposition/EMD and Intrinsic mode function/IMF ） 固有模态函数需要满足两个条件：（1）极值与零点的数量必须相等或最多相差一个；（2）由局部极大值包络和局部极小值包络定义的平均包络曲线上任何一点的值为0； ANSYS地震反应谱SRSS分析 我在ANSYS中作地震分解反应谱分析，一次X方向，一次Y 方向，他们要求是独立互不干扰的，可是采用直进行一次模态分析的话，他生成的*.mcom文件好像是包含了前面的计算 结果，命令流如下： !进入PREP7并建模 /PREP7 B=15 !基本尺寸 A1=1000 !第一个面积 A2=1000 !第二个面积 A3=1000 !第三个面积 ET,1,beam4 !二维杆单元 R,1,0.25,0.0052,0.0052,0.5,0.5 !以参数形式的实参 MP,EX,1,2.0E11 !杨氏模量 mp,PRXY,1,,0.3 mp,dens,1,7.8e3 N,1,-B,0,0 !定义结点 N,2,0,0,0 N,3,-B,0,b N,4,0,0,b N,5,-B,0,2*b N,6,0,0,2*b N,7,-B,0,3*b N,8,0,0,3*b E,1,3 !定义单元 E,2,4 E,3,5 E,4,6 E,3,4 E,5,6 e,5,7 e,6,8 e,7,8 D,1,ALL,0,,2 FINISH ! !进入求解器，定义载荷和求解 /SOLU D,1,ALL,0,,2 !结点UX=UY=0 sfbeam,1,1,PRES,100000, sfbeam,3,1,PRES,100000, sfbeam,7,1,PRES,100000, SOLVE FINISH allsel NMODE=10 /SOL !* ANTYPE,2 !* MSAVE,0 !* MODOPT,LANB,NMODE EQSLV,SPAR MXPAND,NMODE , , ,1 LUMPM,0 PSTRES,0 !* MODOPT,LANB,NMODE ,0,0, ,OFF 希尔伯特的二十三个数学问题 1900年，德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题 》的著名讲演，其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解，而整个 讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题。 ①连续统假设1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。 ②算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。 ③两等高等底的四面体体积之相等M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 ④直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 ⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。 ⑥物理公理的数学处理公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由А.Н.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。 ⑦某些数的无理性与超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地 解决了问题的后半部分，即对于任意代数数□≠0，1，和任意代数无理数□证明了□□的超越性。 ⑧素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。 ⑨任意数域中最一般的互反律之证明已由高木□治(1921)和E.阿廷(1927)解决。 ⑩丢番图方程可解性的判别1970年，□.В.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。 11 系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。 12 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。 13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由В.И.阿诺尔德解决。解析函数情形则尚未解决。 14 证明某类完全函数系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。 15 舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938～1940)与A.韦伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。 16 代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分，И.Г.彼得罗夫斯基曾声明证明了□=2时极限环个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。 ANSYS地震分析实例 土木工程中除了常见的静力分析以外，动力分析，特别是结构在地震荷载作用下的受力分析，也是土木工程中经常碰到的题目。结构的地震分析根据现行抗震规范要求，一般分为以下两类：基于结构自振特性的地震反应谱分析和基于特定地震波的地震时程分析。 本算例将以一个4质点的弹簧－质点体系来说明如何使用有限元软件进行地震分析。更复杂结构的分析其基本过程也与之类似。 关键知识点： (a) 模态分析 (b) 谱分析 (c) 地震反应谱输进 (d) 地震时程输进 (e) 时程动力分析 (1) 在ANSYS窗口顶部静态菜单，进进Parameters菜单，选择Scalar Parameters选项，在输进窗口中填进DAMPRATIO=0.02，即所有振型的阻尼比为2% (2) ANSYS主菜单Preprocessor->Element type->Add/Edit/Delete，添加Beam 188单元 (3) 在Element Types窗口中，选择Beam 188单元，选择Options，进进Beam 188的选项窗口，将第7个和第8个选项，Stress/Strain (Sect Points) K7, Stress/Strain (Sect Nods) K8，从None 改为Max and Min Only。即要求Beam 188单元输出积分点和节点上的最大、最小应力和应变 (4) 在Element Types 窗口中，继续添加Mass 21集中质量单元 (5) 下面输进材料参数，进进ANSYS主菜单Preprocessor->Material Props-> Material Models菜单，在Material Model Number 1中添加Structural-> Linear-> Elastic->Isotropic 属性，输进材料的弹性模量EX和泊松比PRXY分别为210E9和0.3。 (6) 继续给Material Model Number 1添加Density属性，输进密度为7800。 (7) 继续给Material Model Number 1添加Damping属性，采用参数化建模，输进阻尼类型为Constant，数值为DAMPRATIO 希尔伯特23个数学问题及其解决情况 已有 95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界 希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪 的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项 就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： （1）康托的连续统基数问题。 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。 根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的 （一）简单的EMD程序 function imf = emd(x) % Empiricial Mode Decomposition (Hilbert-Huang Transform) % imf = emd(x) % Func : findpeaks x = transpose(x(:));%转置 imf = []; while ~ismonotonic(x) %当x不是单调函数，分解终止条件 x1 = x; sd = Inf;%均值 %直到x1满足IMF条件，得c1 while (sd > 0.1) | ~isimf(x1) %当标准偏差系数sd大于0.1或x1不是固有模态函数时，分量终止条件 s1 = getspline(x1);%上包络线 s2 = -getspline(-x1);%下包络线 x2 = x1-(s1+s2)/2;%此处的x2为文章中的h sd = sum((x1-x2).^2)/sum(x1.^2); x1 = x2; end imf{end+1} = x1; x = x-x1; end imf{end+1} = x; % FUNCTIONS function u = ismonotonic(x) %u=0表示x不是单调函数，u=1表示x为单调的 u1 = length(findpeaks(x))*length(findpeaks(-x)); if u1 > 0, u = 0; else, u = 1; end function u = isimf(x) %u=0表示x不是固有模式函数，u=1表示x是固有模式函数 N = length(x); u1 = sum(x(1:N-1).*x(2:N) < 0); u2 = length(findpeaks(x))+length(findpeaks(-x)); if abs(u1-u2) > 1, u = 0; else, u = 1; end function s = getspline(x) %三次样条函数拟合成元数据包络线 N = length(x); p = findpeaks(x); s = spline([0 p N+1],[0 x(p) 0],1:N); 连续统假设 1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。 Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。 Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。(见 Woodin 2001a). 第34卷第2期福州大学学报(自然科学版)Vol.34No.2 2006年4月Journal of Fuzhou University(Natural Science)Apr.2006 文章编号:1000-2243(2006)02-0260-05希尔伯特-黄变换谱及其在地震信号分析中的应用 陈子雄,吴琛,周瑞忠 (福州大学土木建筑工程学院,福建福州350002) 摘要:介绍了希尔伯特-黄变换(HHT)这一非线性、非平稳信号处理方法,并利用HHT处理了地震工程中 常用的El Centro地震波,得到了该信号的Hilbert谱、边际谱和能量谱,提取了该信号的主要动力特性,并与 该信号的Fourier分析结果进行了对比,显示出HHT这一方法的优越性. 关键词:希尔伯特-黄变换;经验模态分解;固有模态函数;地震信号 中图分类号:TU311.3文献标识码:A Hilbert-Huang transform spectru m and its application in seismic signal analysis CHEN Zi-xiong,W U Chen,ZHOU Rui-zhong (College of Civil Engineering and Architecture,Fuzhou University,Fuzhou,Fujian350002,China) Abstract:HHT is a ne w method to deal with non-linear and non-stationary data.El Centro earth- quake wave is analyzed by HHT.Through the way,Hilbert spectrum,marginal spectrum and energy spec trum are got and dynamic property is extrac ted.The comparison between HHT spectrum and Fourier spec trum is made and the superiority of HHT is demonstrated. Keyw ords:Hilbert-Huang transform;empirical mode decomposition;intrinsic mode function;seismic signal 地震信号具有短时、突变等特点,是一种典型的非平稳随机信号,必须对其进行分析与处理,才可以提取信号的主要特征.传统的Fourie r变换能够表述信号的频率特性,但不提供任何时域信息[1],而小波分析虽然在时域和频域都具有很好的局部化性质,但本质上仍是一种窗口可调的Fourier变换,在小波窗内的信号必须是平稳的,因而没有根本摆脱Fourier分析的局限[2].小波基的选择也是信号分析中的一个重要问题,另外,小波基的有限长会造成信号能量的泄漏,使信号的能量-频率-时间分布很难定量表述. Hilbert-Huang变换(HH T)的信号处理方法被认为是近年来对以Fourier变换为基础对线性和稳态谱分析的一个重大突破[2].它由经验模态分解(E mpirical Mode Decomposition,E MD)方法和Hilbert变换(H T)两部分组成,其核心是E MD分解.该方法采用了固有模态函数(Intrinsic Mode Function,I MF)概念以及将任意信号分解为I MF组成的思想,即E MD法,使得瞬时频率具有实际的物理意义[3].它不受Fourier分析的局限,可依据数据本身的时间尺度特征进行模态分解,分解过程中保留了数据本身的特性,再对各I MF分量进行Hilbert变换,得到信号能量在时间尺度上的分布规律,实现地震动力特性的提取. 1Hilbert-Huang变换 1.1经验模态分解和固有模态函数 经验模态分解(EMD)的目的是通过对非线性非平稳信号的分解获得一系列表征信号特征时间尺度的固有模态函数(I MF),使得各个I MF是窄带信号,可以进行Hilbert分析.首先设定两个条件:1整个时间序列的极大极小值数目与过零点数目相等或最多相差一个;o时间序列的任意点上,由极大值确 收稿日期:2005-07-27 作者简介:陈子雄(1981-),男,硕士研究生;通讯联系人:周瑞忠,教授. 基金项目:教育部博士点专项科研基金资助项目(20040386004) 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。 6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力 用希尔伯特黄变换（HHT）求时频谱和边际谱 1.什么是HHT？ HHT就是先将信号进行经验模态分解（EMD分解），然后将分解后的每个IMF分量进行Hilbert变换，得到信号的时频属性的一种时频分析方法。 2.EMD分解的步骤。 EMD分解的流程图如下： 3.实例演示。 给定频率分别为10Hz和35Hz的两个正弦信号相叠加的复合信号，采样频率fs=2048Hz的信号，表达式如下：y=5sin(2*pi*10t)+5*sin(2*pi*35t) (1)为了对比，先用fft对求上述信号的幅频和相频曲线。 代码: function fftfenxi clear;clc; N=2048; %fft默认计算的信号是从0开始的 t=linspace(1,2,N);deta=t(2)-t(1);1/deta x=5*sin(2*pi*10*t)+5*sin(2*pi*35*t); % N1=256;N2=512;w1=0.2*2*pi;w2=0.3*2*pi;w3=0.4*2*pi; % x=(t>=-200&t<=-200+N1*deta).*sin(w1*t)+(t>-200+N1*deta&t<=-200+N2*det a).*sin(w2*t)+(t>-200+N2*deta&t<=200).*sin(w3*t); y = x; m=0:N-1; f=1./(N*deta)*m;%可以查看课本就是这样定义横坐标频率范围的 %下面计算的Y就是x(t)的傅里叶变换数值 %Y=exp(i*4*pi*f).*fft(y)%将计算出来的频谱乘以exp(i*4*pi*f)得到频移后[-2,2]之间的频谱值 Y=fft(y); z=sqrt(Y.*conj(Y)); plot(f(1:100),z(1:100)); title('幅频曲线') xiangwei=angle(Y); figure(2) plot(f,xiangwei) title('相频曲线') figure(3) plot(t,y,'r') %axis([-2,2,0,1.2]) title('原始信号') 地震时程曲线与反应谱的绘制 ①地震反应谱的意义 地震反应谱表示的是在一定的地震动下结构的最大反应，是结构进行抗震分析与设计的重要工具。 由于同一结构在遭遇不同的地震作用时的反应并不相同，单独一个地震记录的反应谱不能用于结构设计。但是地震记录的反应谱又有一定的相似性，我们可以将具有普遍特性记录的反应谱进行平均和平滑处理，以用于抗震设计。现在，地震反应谱不但是工程抗震学中最重要的概念之一，还是整个地震工程学中最重要的概念之一。 ②地震反应谱的计算方法 反应谱的计算方法涉及到时域分析方法和频域分析方法。 时域分析方法中的Duhamel 积分，是现在公认精度最高的方法。 绝对加速度反应谱公式如下：（推导略） 但由于实际结构系统的阻尼比ξ通常都小于0.1，所以有阻尼系统和无阻尼系统的自振 周期ω近似相等即由ωζω21-=d （精确度≥99.5%）简化成ωω=d ，实际计算中通常按无阻尼系统的自振周期确定。 从而上式可以简化为 ()()()max 00max sin )(?-==--t t a d t e x t a S ττωτωτζω ③用matlab 画地震时程曲线与绝对加速度反应谱： 所需准备软件： excel ，notepad2，matlab 以NINGHE 地震波为例 Code ： %NINGHE 地震波时程曲线 % 加载前用excel 和notepad 对数据进行规整 load NINGHE.txt; % 数据放在安装文件的work目录下 NUMERIC=transpose(NINGHE); % matlab read the data by column, ni=reshape(NUMERIC,numel(NUMERIC),1);% make the date one column t_ni=0:0.002:(length(ni)-1)*0.002; % determine the time plot(t_ni,ni); ylabel('Acceleration'); xlabel('time'); title('NINGHE') %NINGHE绝对加速度反应谱 load NINGHE.txt; NUMERIC=transpose(NINGHE); ni=reshape(NUMERIC,numel(NUMERIC),1);%make the date one column d=0;%d is damping ratio for k=1:600; t(k)=0.01*k;%规范的加速度反应谱只关心前6秒的值 w=6.283185/t(k); t_ni=0:0.02:(length(ni)-1)*0.02; Hw=exp(-1*d*w*t_ni).*sin(w*t_ni); y1=conv(ni,Hw).*(0.02*w);y1=max(abs(y1));%卷积积分 c(k)=y1*10; end;plot(t,c,'black') 希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT） 0 前言 传统的数据分析方法都是基于线性和平稳信号的假设，然而对实际系统，无论是自然的还是人为建立的，数据最有可能是非线性、非平稳的。 希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种经验数据分析方法，其扩展是自适应性的，所以它可以描述非线性、非平稳过程数据的物理意义。 1 HHT简介[贺礼平.希尔伯特-黄变换在电力谐波分析中的应用研究[D].湖南:中南大学,2009]HHT的发展。 1995年，Norden E.Huang为研究水表面波构思出一种所谓“EMD--HSA”的时间序列分析法，通过这种方法他发现水波的演化不是连续的，而是突变、离散、局部的。 1998年，Norden E.Huang等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。 HHT是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法，由两部分组成： 第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）（the sifting process，筛选过程），它是由Huang提出的,基于一个假设：任何复杂信号都可以分解为有限数目且具有一定物理定义的固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF；也称作本征模态函数）；EMD方法能根据信号的特点，自适应地将信号分解成从高到低不同频率的一系列IMF；该方法直接从信号本身获取基函数，因此具有自适应性，同时也存在计算量大和模态混叠的缺点。 第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA），利用Hilbert变换求解每一阶IMF 的瞬时频率，从而得到信号的时频表示，即Hilbert谱。 简单说来，HHT处理非平稳信号的基本过程是：首先，利用EMD方法将给定的信号分解为若干IMF，这些IMF是满足一定条件的分量；然后，对每一个IMF进行Hilbert变换，得到相应的Hilbert谱，即将每个IMF表示在联合的时频域中；最后，汇总所有IMF的Hilbert谱就会得到原始信号的时间-频率-能量分布，即Hilbert谱。 在HHT中，为了能把复杂的信号分解为简单的单分量信号的组合，在进行EMD方法时，所获得的IMF 必须满足下列两个条件： 1）在整个信号长度上，一个IMF的极值点和过零点数目必须相等或至多只相差一点。 2）在任意时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的平均值为零，也就是说IMF的上下包络线对称于时间轴。几种时频分析方法综述2——希尔伯特黄变换
ANSYS地震反应谱SRSS分析共24页
希尔伯特的二十三个数学问题
ANSYS地震分析实例
希尔伯特23个数学问题及其解决情况
emd 希尔伯特黄变换程序
希尔伯特23个问题
提示：本条目的主题不是连续体假设。 在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。 其为：
在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。
康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而连续 统就是实数集的一个旧称。 更加形式地说，自然数集的基数为 为 。而连续统假设的观点认为实数集的基数
。由是，康托尔定义了绝对无限。
等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得
("艾礼富数")而实数的序数是
，连续续假设指
假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：
大于
， 而
连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：
对于所有的序数 ,
库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。
作为希尔伯特第一问题
主条目：希尔伯特的 23 个问题
集合的大小
主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。直观的意思是在“T 的每个元素 只能配上仅仅一个 S 的元素，反之亦然”这个前提下，把 S 与 T 的元素拿出来配 对是可能的。因此，集合{蕉, 苹果, 橙}与集合{黄, 红, 绿}拥有相同基数。 当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考 虑所有有理数的集合时， 有些门外汉可能会天真地认为有理数理所当然地多于整 数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方 法， 我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样 的大小， 而它们都被称为可列集。 对角论证法则证明了整数集跟连续统 （实数集） 的基数并不一样。 连续统假设亦指出，实数集中每一个子集，要么和整数集有相同的基数，要么和 实数集有相同的基数。
证明或证否的不可能性（在 ZFC 系统下）
康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为 了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在 1900 年巴黎的国际数学家大会上 宣布此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。 库尔特·哥德尔在 1940 年指出连续统假设不能在 ZFC 系统下证否，即使接受了 选择公理为前提。这个定理称为哥德尔定理。Paul Cohen 在 1963 年证明了连续 统假设同样不能在 ZFC 下被证明。因此，连续统假设“逻辑地独立于”ZFC。这 些结果都是以 ZFC 的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提， 而这个大前提是被广泛接受为对的。 连续统假设并非被证明跟 ZFC 互相独立的第一个命题。 哥德尔不完备定理一个立 即的结论在 1931 年被发表，那是“‘存在着一个正式命题表达 ZFC 的相容性’ 乃独立于 ZFC”。有别于纯粹数学的，这个一致的命题乃是有着在数学之上的特 性。连续统假设和选择公理乃是最先被证明跟 ZF 集合论独立的命题。在 Paul Cohen 在 1960 年代发展出力迫法以前，这些独立性的证明并没有完成。希尔伯特_黄变换谱及其在地震信号分析中的应用
希尔伯特的23个问题
用希尔伯特黄变换(HHT)求时频谱和边际谱
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希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform,HHT)
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