分式函数的图像与性质
1、分式函数的概念
形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221
x y x x +=+，
212x y x +=-，41
3
x y x +=+等。
2、分式复合函数
形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221
12x x
y +=-，sin 2
3sin 3x y x +=
-
，y =
等。
※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b
y ax ab x
=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21
1
x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，
即函数211
x y x -=-的图像可以经由函数1
y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
12
111211
y y y x x x =
??→=??→=+--右上 由此可以画出函数21
1
x y x -=
-的图像，如下：
单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；
值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？
【小结】(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d
x x c ≠- ；
（2）值域：{|}a
y y c
≠；
（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d
c c
-∞--∞；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a
c c
-；
（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2：(0)b
y ax ab x
=+
≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1
y x x
=+的图像，并结合函数图像指出函
数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1
y x x
=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-
函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：,y x =0x =
函数的图像如下：
x O
y
x
O y
【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)b
y ax a b x
=+
>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；
（2）值域：{|2,2}y y ab y ab ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,[,+)b b
a a
-∞∞上是增函数， 在区间,0)b b
a a
上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；
（6
例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1
y x x
=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1
y x x
=-的图像 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以判断出1
y x x
=-
的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞x
O
y
y x =x
O
y
y x
=1y x
=
y ax
=b a
b a
-
2ab
2ab
-x
O
y
函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：
【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =--
与1
y x x
=-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的图像呢？
函数1
y x =--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
【注】()y x x x x =--
=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x =+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。同样的道理1
y x x =-的图像
与1
y x x
=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：
x
O y
x
O
y
y x
=1y x
=x
O
y
y x
=-x O
y
y x
=-1y x
=-
【小结】(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠
的图像如下： （i ）(0,0)b
y ax
a b x
=+
>>
(ii) (0,0)b
y ax a b x
=+
>< (iii) (0,0)b
y ax a b x
=+
<>
(iv) (0,0)b
y ax a b x
=+
<<[来源:学+科+网Z+X+X+K] (,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++的图像与性质 问题3：函数221
1
x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？
【分析】22212(1)3(1)22
2(1)3111
x x x x y x x x x +++-++=
==++-+++ 22y x x =+122(1)1
y x x ??→=++
+左23
211x x y x ++??→=+下 所以2211x x y x ++=+的图像与2
2y x x
=+的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：(1,3)--
单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞ 单调减区间为：[2,1),(1,0]--- 值域：(,7][1,)-∞-+∞
图像如下：
y ax
=x
O
y x
O
y
y ax
=
【反思】函数2
1
21
x y x x +=
++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 【小结】对于分式函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
22111
(1)221212(1)3
11
x y x x x x x x x x +=
==≠-++++++-++
二次分式函数具有形式22(,()0)Ax Bx C
y f x Dx A Ex B F
++==
++不同时为. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.
1. 定义域和有界性
20Dx Ex F ++=当方程有解,设12122,0(=Dx Ex x x x x F ++≤)是两个根 .则函数定义
域
12{|}
x x x x x ∈≠∧≠R .当
1
2
2211220,lim 0,lim x x x x Ax Bx C Ax Bx C →→++≠=∞++≠=∞或.此时函数无界.当221122=0=0Ax Bx C Ax Bx C ++++且,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如
2211
x y x -=- ).所以通常当240E DF -≥ ,二次分式函数是无界的.12,x x x x == 是函数
的渐近线.
当2
40E DF -<,函数定义域为R .函数有界.
2. 单调性,极值,值域
y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。 二、学习探究 探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？ 例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处 理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示 问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间 上就是增函数, 在区间 上为减函数; (5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y
高一数学选修课系列讲座（一） -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += -，12 3x y x -+= +等。 二、学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质： （1）定义域： ；（2）值域：； （3）单调性：单调区间为； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如图所示
问题2：(0)b y ax ab x =+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1 y x x =+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结：分式函数(,0)b y ax a b x =+ >的图像与性质： （1）定义域：；（2）值域：； （3）奇偶性：； （4）单调性：在区间上是增函数， 在区间上为减函数； （5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像，绘制函数1 y x x =-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 结合刚才的两个例子，思考1y x x =-- 与1 y x x =-的图像又是怎样的呢？ 思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像呢？ 小结：(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像如下： （i ）(0,b y ax a b x =+>>
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
正弦、余弦函数的图像及性质习题 一、选择题 1、若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是 A ．[]π,0 B ．???? ??23,2ππ C ． ?? ?? ??ππ,2 D ．?? ? ? ??ππ2,23 2、函数x y sin 1-=的最小值是 A ．1- B ．0 C ．2- D ．1 3、若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2 π +2k π（k ∈Z ） D ．－ 2 π +2k π（k ∈Z ） 4、使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 5、已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3 6.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为 ，则等于 ． A ． B ． C ．2 D ．4 7．函数y=3cos （ 52x －6 π ）的最小正周期是( ) A ． 5 π2 B ． 2 π 5 C ．2π D ．5π 8．下列函数中，同时满足①在（0， 2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2 x D ．y=|sinx| 9、函数??? ?? ?- ∈=32,6,sin ππx x y 的值域是 ??3π- 4 π ?322 3 cos()3 y x π ω=+ (0)ω>2 π ω12 12
正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法
观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2）
1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h
x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 =
第九节 函数的图象 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级 基础夯实练 1．(2018·吉林二模)函数y ＝log 3x 的图象与函数y ＝log 13x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于y ＝x 对称 解析：选A.y ＝log 13 x ＝－log 3x ，y ＝log 3x 与y ＝－log 3x 关于x 轴对称． 2．(2018·济南模拟)下列函数f (x )的图象中，满足f ? ?? ??14＞f (3)＞f (2)的只可能是( ) 解析：选D.因为f ? ????14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.又C 中，f ? ????14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ? ?? ??14＜f (3)，所以排除C. 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得 f (x )＝? ????x 2 －2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0， 画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
4．(2018·衡水质检)若函数f (x )＝? ????ax ＋b ，x ＜－1， ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3) 等于( ) A ．－1 2 B ．－54 C ．－1 D ．－2 解析：选C.由函数图象可知：a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，f (x ) ＝? ????2x ＋5，x ＜－1，ln （x ＋2），x ≥－1，所以f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 5．(2018·潍坊二模)使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．[－1，0) C ．(－2，0) D ．[－2，0) 解析：选A.在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)． 6．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4 ＋x 2 ＋2的图象大致为( ) 解析：选D.令y ＝f (x )＝－x 4 ＋x 2 ＋2，则f ′(x )＝－4x 3 ＋2x ，当x ＜－22或0＜x ＜2 2 时，f ′(x )＞0，f (x )递增；当－ 22＜x ＜0或x ＞2 2 时，f ′(x )＜0，f (x )递减．由此可得
6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;
分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221 x y x x +=+， 212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221 12x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += - ，y = 等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---， 即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111211 y y y x x x = ??→=??→=+--右上 由此可以画出函数21 1 x y x -= -的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 二次函数
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-
盘点高考考查函数图象的题型及解法 函数图象、图表它们从“形”的方面表现出“数”的性质，“数”与“形”是数学研究的两类基本对象，它们相辅相成，相得益彰，在多年的高考试题中突出了这一“数形结合”思想方法的考查，本文给出函数图象问题的解法，供参考. 一、图象识别 这类问题通常是给出函数的解析式，要求选择与之对应的图象. 例1 函数1 1 1-- =x y 的图象是（ ） A 1 O x y B -1 O x y C -1 O x y D -1 O x y 解析：取0=x ，则2=y ，图象过点)2,0(，于是，排除A 、D ；取0=y ，则2=x ，图象过点)0,2(，于是，排除C ，故选.B 二、给图求式 这类问题通常是给出函数的图象，要求写出与之对应的函数的解析式. 例2 已知图（1）中函数图象对应的解析式为)(x f y =，则图（2）中的图象对应的函数在下列所给的四式中，只可能是（ ）
A 、|)(|x f y = B 、|)(|x f y = C 、|)|(x f y -= D 、|)(|x f y -= 解析：两图比较，（2）中左边部分相对于（1）不变，而右边部分是由左侧图象沿y 轴翻转 180所得，则当0
看图说话——导数中的图象识别 一、两个实用结论 结论1：在导函数图象中，在x 轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x 轴下方区域对应原函数单调递减区间． 结论2：在导函数图象中，图象由x 轴上方到x 轴下方与x 轴的交点为极大值点；由x 轴下方到x 轴上方与x 轴的交点为极小值点． 二、结论应用 题型1：由导函数图象确定函数单调区间 例1 （2004年高考浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函 数，()y f x '=的图象如图1所示，则()y f x =的图象最有可 能的是（ ） 解：由导函数图象结合结论1知：函数在(0)-∞，上递增，在（0，2）上递减，在(2)+，∞ 上递增．故选（C ）． 点评：要求对导数含义要深刻理解． 题型2：由导函数图象确定函数极值 例2 （2006年高考天津卷）函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图2所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） （Ａ）1个 （Ｂ）2个 （Ｃ）3个 （Ｄ）4个 解：由结论2易知，函数()a b ，只有1个极小值点．
点评：本题主要考查导函数的概念、极值点及对图象的识别能力． 题型3：由导函数图象确定其参数值 例3 （2006年高考北京卷）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点（1，0），（2，0），如图3所示，求： （1）0x 的值； （2）a ，b ，c 的值． 解：（1）由图象可知，在(1)-∞， 上()0f x '>，在（1，2）上()0f x '<，在(2)+，∞上()0f x '>． 故()f x 在(1)-∞，、(2)+，∞上递增，在（1，2）上递减，（结合结论2知）()f x 在1 x =处取得极大值，所以01x =； （2）2()32f x ax bx c '=++， 由(1)0f '=，(2)0f '=，(1)5f =，得32012405a b c a b c a b c ++=??++=??++=? ，，，， 解得2912a b c ==-=，，． 点评：函数的增减性可由导数的值的符号反映出来，利用图象把导函数与函数紧密结合起来考查成为高考亮丽的风景线．
1.5正弦函数的图像与性质基础练习题 一、单选题 1．已知函数()sin 022f x x ππ??????=+<< ???????的图象过点0,2? ?? ，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03?? ??? B ．()1,0 C ．4,03?? ??? D ．()2,0 22sin 0x -≥成立的x 的取值集合是（ ） A ．()32244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? B ．()72244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? C ．()52244x k x k k Z π πππ?? -≤≤+∈???? D ．()572244x k x k k Z π πππ?? +≤≤+∈???? 3．函数π ()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．π 2 4．函数sin 26y x π?? =+ ???的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 5．函数1sin y x =-的最大值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1- 6．已知函数()()sin 2f x x ?=+的图像关于直线3x π =对称，则?可能取值是( ). A ．2π B ．12π - C ．6π D ．6π- 7．函数sin 26y x π? ? =+ ???的一条对称轴是（ ） A ．6x π =- B ．0x = C ．6x π = D ．3x π =
8．函数2sin y x =的最小值是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 9．已知集合{}20M x x x =-≤， {}sin ,N y y x x R ==∈，则M N =（ ） A ．[]1,0- B ．()0,1 C ．[]0,1 D ．? 10．已知函数()sin()()2f x x x R π =-∈，下面结论错误的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0, 2π??????上是增函数 C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D ．函数()f x 是奇函数 11．函数()sin 4f x x π? ?=+ ??? 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．4πx =- B ．4x π = C ．2x π = D ．x π= 12．函数12sin()24y x π=+ 的周期，振幅，初相分别是( ) A ．,2,44ππ B ．4,2,4π π-- C ．4,2,4π π D ．2,2,4π π 二、填空题 13．函数sin 2y x =的最小正周期为_____________ 14．函数1sin 223y x π??=+ ?? ?的最小正周期是_______ 15．y ＝3sin 26x π??- ???在区间0,2π?? ????上的值域是________. 三、双空题 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是 32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．函数sin 24y x π??=+ ???的对称轴为_________，对称中心为_____________. 四、解答题 18．已知函数2sin 23y x π? ?=+ ??? .
有理分式函数的图象及性质 【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠ 单调区间为(,),(,+)d d c c -∞-- ∞（4）直线,d a x y c c =- = ，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b =+ ><的图象和性质：
【例题精讲】 1．函数1 1+- =x y 的图象是 （ ） A B C D 2．函数23 (1)1 x y x x += <-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2 2 2 2 x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++= <= ≠=<= ≠---- 3．若函数2()x f x x a +=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D -- 4．若函数21 ()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .2 2 A a B a C a D a ≠-≠≠ ≠- 5．不等式14x x > 的解集为 （ ） 1111111. (,0)( ,) . (-,)( ,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0, ) 22 2 2 2 2 2A B C D - +∞∞- +∞-∞- 6．已知函数2 ()ax b f x x c += +的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>> 7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2 34 x y x = +的值域是 。 9．若函数1 a x y x a -= --的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数 a = 。 10．函数11 x x e y e -= +的反函数的定义域是 。 11．不等式 2113 x x ->+的解集是 。 12．函数2 2 1 x x y x x -= -+的值域是 。
透视函数图象识别题 选择与所给函数解析式匹配的函数图象问题即识图问题一直是高考中的热点，本文试图将之进行归纳，以帮助同学们复习。 一、利用基本函数的图象变换 例1 函数1 1 1--=x y 的图象为（ ） 解析：易知该函数是由x y 1 - =向右平移一个单位、向上平移一个单位得到的，从而选B. 当然，该函数过（0，2）排出A 、D ，又过（2，0）从而排出C.利用图象变换作函数图象关键是要判断出该函数是由哪个基本函数通过什么样的变换得到的. 二、利用基本函数的基本特征（斜率、截距、对称轴、开口方向等） 例2 bx ax y +=2 与)0(≠+=ab b ax y 的图象只可能是（ ） 解析：由于给出的两函数解析式都不确定，故只能通过一些特征条件选出最恰当的图形来.首先，二次函数过原点排除A ，其次，两函数在x 轴上的截距都为a b - ，从而排除B 和C.当然，本题也可以结合开口方向、斜率、二次函数的对称轴来分析，也不难得出结论.因此，对常见函数图象的处理要牢牢抓住该函数的一些特征条件. 三、将函数性质与函数图象特征有机结合进行判断 函数性质的直观表示便是函数图象，因此，有时借助于函数的性质来分析函数的图象就显得十分方便了.函数的性质一般指函数的单调性、奇偶性、周期性等. 例3函数x x y cos -=的部分图像是 x y O A x y O B x y O C x y O D 1 x A 0 B x -1 C x 1 1 y y 1 1 0 x y 0 -1 y 1 D
解析：因为函数x x x f cos )(-=是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C.当 )2 ,0(π ∈x 时，x x y cos -=<0，排除B. 四、利用原函数与反函数的关系（定义域和值域以及单调性之间的关系） 例4函数)1(21≥+-=x x y 的反函数的图象为（ ） 解析：原函数定义域和值域分别为[)[)+∞+∞,2,,1，它们分别对应反函数的值域和定义域.由此可以判断正确答案为C. 五、结合生活实际判定函数图象 例5向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是 解析：取水深2H h = 时，注水量20V V V >'=，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总量之半.A 中20V V <'，C 、D 中的2 0V V ='，故应排除A 、C 、D ，选B.当然，本题利用 上述导数的几何意义也不难得出正确答案. 六、利用曲线上某点导数的几何意义（切线斜率的变化） 例6如图，ΔOAB 是边长为2的等边三角形，直线t x =截这个三角形位于此直线左方 B 1 C x y A x y y 1 x y 0 D 2 1 0 2 0 2 1 0 x 2 h V H
反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示.
第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 点击生活中的图象识别题 图象的识别是近几年中考数学中的一个重要考点，在各类试卷中，许多与生活问题密切 相关的图象识别题成为一大亮点?现撷取几例加以剖析，望能对同学们学习有所帮助?例1某游泳池分为深水区和浅水区，每次消毒后要重新将水注满泳池，假定进水管 的水速是均匀的，那么泳池内水的高度随时间变化的图象是（） h 」 L h」 J1h 」 L h 」 J II O t O t O:O t A . B. C. D. 析解：由生活经验可知，深水区和浅水区的底面积不同，且深水区面积较小，故水面的 高度上升得快，到浅水区后，水面上升时的面积比深水区要大，所以水面的高度上升得相对慢，符合变化的只有B,故选B. 例2小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿 子到后细端详，父子高兴把家还。”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是 （A）（B）（C）（D） 析解：本题通过读诗来识别图象，是一道设计新颖，具有人文气息的试题.整首诗叙述 了一个变化过程，这个变化过程分三个阶段：（1）儿子学成今日还，老父早早到车站； （2） 儿子到后细端详；（3）父子高兴把家还.能够和三个阶段大致符合的只有 C.故应选C. 例3如图是水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），下列图象能正确反映 容器中水的高度（h）与时间⑴之间函数关系的是（) 析解：观察玻璃容器可知，其底面较大，然后逐渐减小，故滴进水后，其中上升的水面 高度应是先慢后快，到后来便匀速上升，符合上述特征的图象只有 C,故应选C. 练习： 是时间t （小时）的函数，这个函数的大致图象可能是（ ） 2.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水） ，洗衣机经历了进水、清洗、排 水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y （升）与时间x （分钟） 之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） 1.某海产品深加工厂的生产流水线每小时可生产 100件产品，生产前没有产品积 压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时可以装产品 150件，则未装箱的产品数 y （件） 《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表 （2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-《函数的图象》生活中图像识别
正弦函数的图像与性质教案
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