高一数学选修课系列讲座（一）
-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如
2
2
(,,,,,)
ax bx c
y a b c d e f R
dx ex f
++
=∈
++
的函数称为分式函数。如
2
21
x
y
x x
+
=
+
，
21
2
x
y
x
+
=
-
，
41
3
x
y
x
+
=
+
等。
2、分式复合函数
形如
2
2
[()]()
(,,,,,)
[()]()
a f x bf x c
y a b c d e f R
d f x ef x f
++
=∈
++
的函数称为分式复合函数。如
2
21
12
x
x
y
+
=
-
，
sin2
3sin3
x
y
x
+
=
-
，
y=
二、学习探究
探究任务一：函数(0)
b
y ax ab
x
=+≠的图像与性质
问题1：(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像是怎样的？
例1 画出函数
21
1
x
y
x
-
=
-
的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
小结：(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”
的处理方法。
分式函数(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像与性质：
（1）定义域：；（2）值域：；
（3）单调性：单调区间为；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；
（5）奇偶性：当时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2：(0)
b
y ax ab
x
=+≠的图像是怎样的？
例2、根据y x
=与
1
y
x
=的函数图像，绘制函数
1
y x
x
=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。小结：分式函数(,0)
b
y ax a b
x
=+>的图像与性质：
（1）定义域：；（2）值域：；
（3）奇偶性：；
（4）单调性：在区间上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据y x
=与
1
y
x
=的函数图像，绘制函数
1
y x
x
=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子，思考
1
y x
x
=--与
1
y x
x
=-的图像又是怎样的呢？
思考
1
2+
y x
x
=与
2
3
y x
x
=-的图像是怎样的呢？(,,0)
b
y ax a b R ab
x
=+∈≠的图像呢？
小结：(,,0)
b
y ax a b R ab
x
=+∈≠的图像如下：
（i）(0,0)
b
y ax a b
=+>>(ii) (0,0)
b
y ax a b
=+><(iii) (0,0)
b
y ax a b
=+<>
(iv) (0,0)
b
y ax a b
x
=+<<
(,,0)
b
y ax a b R ab
x
=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的图像与性质
问题3：例4 函数221
1
x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？
思考：函数2
1
21
x y x x +=
++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 小结：对于分式函数22(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方
法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
22
111
(1)221212(1)311
x y x x x x x x x x +=
==≠-++++++-++
巩固练习：
1、若,,3,x y R xy y +
∈+=则x y +的最小值是 ；
2、函数2
34
x
y x =
+的值域是 ； 3、已知[)221
(),1,ax x f x x x
--=
∈+∞内单调递减，则实数a 的取值范围是 ； 4、不等式2
0x a x
-->的在[]2,1内有实数解，则实数a 的取值范围是 ； 5、不等式2
0x a x
-
->的在[]2,1内恒成立，则实数a 的取值范围是 ； 6、已知()a
f x x x
=-+
在区间[2,3)单调递减，求a 的取值范围是 ； 7、函数221
x x
y x x -=-+的值域是
8、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意},()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于
任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．若21
()12x x
f x -=+，则函数()f x 在R 上
的“定下界”m =__________．
9、设(),[0,+)1
a
f x x x x =+
∈∞+． （1）当4a
=时，求()f x 的最小值； （2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。
10、已知函数()2a
f x x x =+的定义域为(]0,2（a 为常数）.
（1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；
（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值。
11、（1）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??
=+->≠ ???
的定义域为R +，求实数a 的取值范围； （2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??
=+->≠ ???
的值域为R +，求实数a 的取值范围。
12、已知函数a
y x x
=+
有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在上是减函数，
在)+∞上是增函数。
（1）如果函数2b
y x x
=+在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数，求实常数b 的值；
（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)c
y x x x
=+≤≤的最大值和最小值。
分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如
2
2
(,,,,,)
ax bx c
y a b c d e f R
dx ex f
++
=∈
++
的函数称为分式函数。如
2
21
x
y
x x
+
=
+
，
21
2
x
y
x
+
=
-
，
41
3
x
y
x
+
=
+
等。
2、分式复合函数
形如
2
2
[()]()
(,,,,,)
[()]()
a f x bf x c
y a b c d e f R
d f x ef x f
++
=∈
++
的函数称为分式复合函数。如
2
21
12
x
x
y
+
=
-
，
sin2
3sin3
x
y
x
+
=
-
，y=
二、学习探究
探究任务一：函数(0)
b
y ax ab
x
=+≠的图像与性质
问题1：(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像是怎样的？
例1、画出函数
21
1
x
y
x
-
=
-
的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】
212(1)11
2
111
x x
y
x x x
--+
===+
---
，即函数
21
1
x
y
x
-
=
-
的图像可以经由函数
1
y
x
=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
12
111
2
11
y y y
x x x
=??→=??→=+
--
右上
由此可以画出函数
21
1
x
y
x
-
=
-
的图像，如下：
单调减区间：(,1),(1,)
-∞+∞；
值域：(,2)(2,)
-∞+∞
；
对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？
【小结】(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像与性质
（1）定义域：{|}
d
x x
c
≠-；
（2）值域：{|}
a
y y
c
≠；
（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d
c c
-∞--∞； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a
c c
-；
（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2：(0)b
y ax ab x
=+
≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1
y x x
=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要
求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1
y x x
=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-
函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：
【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)b
y ax a b x
=+
>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；
x
（2
）值域：{|y y y ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数；
（4
）单调性：在区间(,)-∞∞ 上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以y 轴和直线=为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据y x =与1y x =
的函数图像，绘制函数1
y x x
=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1
y x x
=-的图像
解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；
根据单调性定义，可以判断出1
y x x
=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞
函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：
【反思】结合刚才的两个例子， 1y x
x =--与
1y x x =-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与2
3y x x
=-的图像是怎样的呢？(,,0)b
y ax a b R ab x
=+
∈≠的图像呢？
x
函数1
y x
=--
的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。 【注】()y x x x x =--=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x
=+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。同样的道理1y x x =-的图像与1
y x x
=-的图像关于x 轴对称，所以图像
如下：
【小结】(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的图像如下： （i ）(0,0)b
y ax a b x
=+
>>
(ii) (0,0)b
y ax a b x
=+
><
(iii) (0,0)b
y ax a b x
=+<>
(iv) (0,0)b
y ax a b x
=+
<<[来源:学+科+网Z+X+X+K]
(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的图像与性质
问题3：函数221
1
x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？
【分析】22212(1)3(1)22
2(1)3111x x x x y x x x x +++-++=
==++-+++ 22y x x =+122(1)1y x x ??→=+++左23
211
x x y x ++??→=+下
所以221
1
x x y x ++=+的图像与22y x x =+的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：(1,3)--
单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞ 单调减区间为：[2,1),(1,0]--- 值域：(,7][1,)-∞-+∞
图像如下：
【反思】函数2
1
21
x y x x +=
++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 【小结】对于分式函数22(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的
方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
22
111
(1)221212(1)311
x y x x x x x x x x +=
==≠-++++++-++
例1、若,,3x y R x y xy +∈++=则x y +的最小值是__________．
解：由(1)3x y xy x x y ++=++=，得3
1
x y x -+=
+[来源:学科网] 3(1)444
11221111
x x x y x x x x x x x x -+-+++=+=+=+-=++-≥++++
【注】此处可以借助函数4
2(1)y t t x t
=+-=+的图像与性质
【变式】若,,3x y R x y xy ∈++=且，求x y +的取值范围.
例2、求函数[]2412
(),2,51
x x f x x x -+=
∈-的值域. 解：22412(1)2(1)99
()=12111x x x x f x x x x x -+---+=
=-+----，令1t x =-，则 9()2,[1,4]f t t t t =+-∈，结合9
y t t
=+图像与性质，可知当[1,3]t ∈时函数单调递减，当[3,4]t ∈时函数单调
递增，又17
(1)8,(3)4,(4)4
f f f ===，所以()[4,8]f x ∈
【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。 【变式】求函数[]21
(),2,5412
x f x x x x -=
∈-+的值域.
例3、已知()a
f x x x
=+
在区间[2,)+∞单调递增，求a 的取值范围. 【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开. 解：当0a =时，()f x x =在区间[2,)+∞显然单调递增；
当0a <时，结合()a
f x x x
=+
的图像与性质，可知函数在区间[2,)+∞单调递增
当0a >时()f x 在区间)+∞2≤，所以(0,4]a ∈ 综上所述，实数a 的取值范围为(,4]-∞.
【变式】已知()a
f x x x
=-+在区间[2,3)单调递减，求a 的取值范围.
1、若,,3,x y R
xy y +
∈+=则x y +的最小值是________． 2、函数234
x
y x =+的值域是________．
3、已知[)221
(),1,ax x f x x x
--=
∈+∞内单调递减，求实数a 的取值范围。[来源:学|科|网] 4、（1）若函数
()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??
=+->≠ ???
的定义域为R +，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??
=+
->≠ ???
的值域为R +，求实数a 的取值范围。
5、设(),[0,+)1
a
f x x x x =+
∈∞+．
（1）当4a =时，求()f x 的最小值；
（2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。
2、不等式2
0x a x
-->的在[]2,1内有实数解，则实数a 的取值范围________． 3、不等式2
0x a x
-
->的在[]2,1内恒成立，则实数a 的取值范围________． 4、函数221
x x
y x x -=-+的值域是________．
5、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意}
,()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．
若21
()12x x
f x -=+，则函数()f x 在R 上的“定下界”m =__________．
7、已知函数()2a
f x x x
=+
的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；
（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．
8、【06年上海】已知函数
a
y x x
=+
有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在上是减函数, 在)+∞上是增函数.
（1）如果函数2b
y x x
=+
在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数,求实常数b 的值；
（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)c
y x x x =+≤≤的最大值和最小值；
（3）当n 是正整数时, 研究函数(0)n
n c y x c x
=+>的单调性,并说明理由.
9、【08年上海】已知函数||
1
()22x x f x =-
。
（1）若
()2f x =，求x 的值；
（2）若2
(2)()0t
f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
10、【11年虹口】对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[,]m n D ?，同时满足：
①
)(x f 在[,]m n 内是单调函数；
②当定义域是[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数
x
x g y 5
3)(-
==不存在“和谐区间”． （2）已知函数x
a x a a y 2
21
)(-+=（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”[,]m n ，当a 变化时，求出m n -的最大值． （3）易知，函数
x y =是以任一区间[,]m n 为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不
需证明，但不能用本题已讨论过的
x y =及形如ax
c
bx y +=
的函数为例）
《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。二．学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三．教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.知识目标： 1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标： 1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法 2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标： 使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点：正切函数的图象及其主要性质。 难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式：启发、探究式发现教学. 四．流程设计 （一）.复习引入： （1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？ （2）类比：利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 一、 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈． (设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）． 教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质． 二、 主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数． 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？ y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。 二、学习探究 探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？ 例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处 理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示 问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间 上就是增函数, 在区间 上为减函数; (5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ） ，（∞+0 必过点 ）（b ,0 ） ，（c 0 ) 1,(1,--k k ） （ ） （1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞，（为减 ),2+∞-a b （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0 为减 为增，101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称， 函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。 直线和关于 对称，直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且＞0＞a ＞a 0 ＞k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ），（），（∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+，0 [)∞+，0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+，0 (][) ∞+∞，，ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 ）（0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- ）（ ) ,(,a b b a b a --）（ 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。，, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减，，递减，递增，，???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ，],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ，无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ） （00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 正弦、余弦函数的图像及性质习题 一、选择题 1、若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是 A ．[]π,0 B ．???? ??23,2ππ C ． ?? ?? ??ππ,2 D ．?? ? ? ??ππ2,23 2、函数x y sin 1-=的最小值是 A ．1- B ．0 C ．2- D ．1 3、若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2 π +2k π（k ∈Z ） D ．－ 2 π +2k π（k ∈Z ） 4、使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 5、已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3 6.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为 ，则等于 ． A ． B ． C ．2 D ．4 7．函数y=3cos （ 52x －6 π ）的最小正周期是( ) A ． 5 π2 B ． 2 π 5 C ．2π D ．5π 8．下列函数中，同时满足①在（0， 2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2 x D ．y=|sinx| 9、函数??? ?? ?- ∈=32,6,sin ππx x y 的值域是 ??3π- 4 π ?322 3 cos()3 y x π ω=+ (0)ω>2 π ω12 12 1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习 A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π， 高一数学选修课系列讲座（一） -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += -，12 3x y x -+= +等。 二、学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质： （1）定义域： ；（2）值域：； （3）单调性：单调区间为； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如图所示 问题2：(0)b y ax ab x =+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1 y x x =+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结：分式函数(,0)b y ax a b x =+ >的图像与性质： （1）定义域：；（2）值域：； （3）奇偶性：； （4）单调性：在区间上是增函数， 在区间上为减函数； （5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像，绘制函数1 y x x =-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 结合刚才的两个例子，思考1y x x =-- 与1 y x x =-的图像又是怎样的呢？ 思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像呢？ 小结：(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像如下： （i ）(0,b y ax a b x =+>> 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对 8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间． 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ? ?? 24,4ac b a ??--∞ ? ?? 单调区间 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递减 ,2b a ??- +∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递增 ,2b a ?? - +∞ ??? 递减 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法 观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2） x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 =《正切函数的图像与性质》 教案及说明
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