（1）若方程x x f 2)(=恰有三个不同的实数根，求实数a 的值； （2）当0>a 时，若对任意的],0[+∞∈x ，不等式)(2)1(x f x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. 4已知0≥a ，函数a a x x x f 25)(2+--=. (1)若函数)(x f 在]3,0[上单调，求实数a 的取值范围； (2)若存在实数2,1x x ，满足)()(0))((2121x f x f a x a x =<--且，求当a 变化时 21x x +的取值范围.
（1）若函数)]([)(x f f x F =与)(x f 在R x ∈时有相同值域，求实数b 的取值范围； （2）若方程21)(2=-+x x f 在)2,0(上有两个不同实数根2,1x x ， ①求实数b 的取值范围； ②求证： 41121<+x x 6已知函数),()(2R b R a b ax x x f ∈∈--=+. (1) 若,2,2≥=b a 且函数)(x f 的定义域，值域均为],1[b ，求b 的值； (2) 若函数)(x f 的图像与直线1=y 在)2,0(∈x 上有2个不同的交点，试求a b 的范围.
二次函数绝对值问题
常见绝对值类问题汇总 ——辽宁数学小丸子编辑 【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值 【题2】设1()4 2(,)x x f x a b a b R +=+?+∈，若对于1[0,1],()2x f x ?∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2 ()8 m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围 【题6】设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7 f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k ≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时， （1）5 ()4f x ≤（2）()2 g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有 24 ax b +≤【推广】设函数2 ()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*) nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b =++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的 求解策略 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f . 故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢留给读者思考。
二次函数及含有绝对值练习
二次函数及含有绝对值练习 的取值范围； 恒成立，求实数、若函数a a x x x f ≥-++=|2|1)(1 2、的取值范围；成立，求实数使若存在一个a a x ≥+|2x |-|1-x | 3、的值 ，求实数的最小值为若函数a a x x x f 3|2||1|)(+++= 的最小值是 函数|2018||2017||4||3||2||1|)(-+-++-+-+-+-=x x x x x x x f Λ [)) 1()1()(-.)1()1()(-.)1()1()(-.)1()1()(-.,0|,)1()(|)1()()(0)().(4a F a F a F a F D a F a F a F a F C a F a F a F a F B a F a F a F a F A a x g x f x g x f x F x g x f -≤+≤-≥+≤-≤+≥-≥+≥>----+=∞+且）（且）（且）（且）（则（）若设函数上单调递增， ，都是偶函数，且在、已知 的值求实数的最小值为、已知函数a ax x x a x x f , 2 111)4()(522+-++-+=
的取值范围 求实数有四个不同的根，若方程 、已知函数a a ax x g x f x g x f x x g x x f 03|)()(|)()(,34)(,)(62=----+-== ) ,()),(),,((.|||||)||,(|.|;||||)||,(|.),(),(.. 2 ),(,2 ),(,,7b a m b a m b a M m D b a b a b a M C b a b a b a m B b a b a m b a M A b a b a b a m b a b a b a M R b a =+=-+-=-++=+--+= -++=∈） 下列式子错误的是（ 定义：、设 的取值范围是 则有两个不同的零点，、已知m m x x x f x x ----+-=23 4234)(8 的取值范围 求实数，的最小值为、已知a x x a x x a x x x f 1)0(321 1)(9>-+--+-+ =
绝对值函数系列习题(二次函数)
含有绝对值符号的函数的性质 1、已知不等式| |2 2x x a +≤对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是_______. 2、若关于x 的不等式||22 a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是_______. 3、函数2 |1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______. 4、设常数R ∈a ，以方程20112||=?+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A _______. 5、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_______. 6、对任意的120x x <<，若函数1 ()f x a x x b x =-+折线（两侧的射线均平行于x 轴）， 试写出a 、b 应满足的条件 . 7、已知函数()2log f x x =，正实数,m n 满足m n <， 且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ????上的最大值为则m =________,n =_________. 8、设,,a b R ∈且1b ≠.若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是_______. 9、关于x 的方程092 2=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a _______. 10、若函数1log 2 )(| 3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______. 11、定义在R 上的函数()f x 的图像过点(6,2)M -和(2,6)N -，且对任意正实数k ，有 ()()f x k f x +<成立，则当不等式|()2|4f x t -+<的解集为(4,4)-时，则实数t 的值 为_______. 12、已知函数21(0)()log (0) x a x f x x x ?++≤=?>?有三个不同零点，则实数a 的取值范围为_______. 13、设关于x 的不等式4|4|2 +≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数m 的取 值范围是_______.
二次函数绝对值的问题练习及答案
二次函数绝对值的问题练习及答案 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明 例1 设a 为实数，函数 2 ()||1f x x x a =+-+，x R ∈ （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值 解；（1）0a =时， () f x 为偶函数 0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数 （2）2 222 2131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ?? ?+-+=++-≥? ??? ?=+-+=??? ?-++=-++< ????? 当()min 13 ,24a f x a ≤-=- 当()2min 11 ,1 22a f x a -<<=+ 当()min 13 ,24a f x a ≥=+ 例2 已知函数 1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围； (3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）. 解：（1）方程|()|()f x g x =，即 2 |1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的
5含绝对值的二次函数(教案及练习)
含绝对值的二次函数 含绝对值的二次函数其本质是分段函数，研究含绝对值的二次函数就是分段研究二次函数的局部性态．设定分类讨论的标准是问题解决的前提条件，数形结合则是问题能否正确解决的关键 所在． 例1．解下列各题： （1）（2010全国）直线1=y 与曲线a x x y +-=2有4个交点，则实数a 的取值范围是 ． （2）（2008浙江）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间]3,0[上的最大值为2，则=t ． （3）设集合{} {}2,,022<=∈<++-=x x B R a a a x x x A ，若Φ≠A 且B A ?，则实数a 的取值范 围是 ． 例2．设函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2 （1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）求函数)(x f 的最小值．
例3．已知函数1)(,1)(2-=-=x a x g x x f ． （1）若关于x 的方程)()(x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若R x ∈时，)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求函数)()()(x g x f x h +=在区间]2,2[-上的最大值． 例4．设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值．
5.含绝对值的二次函数 班级 姓名 一、综合练习 1．设b a <<0，且x x x f ++= 11)(，则下列大小关系式成立的是（ ） （A ）)()2()(ab f b a f a f <+< （B ）)()()2(ab f b f b a f <<+ （C ）)()2()(a f b a f ab f <+< （D ）)()2 ()(ab f b a f b f <+< 2．已知{}n a 为等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和,若9843=++a a a ，则9S = ． 3．直线750x y +-=截圆221x y +=所得的两段弧长之差的绝对值是 ． 4．函数y k x a b =--+与y k x c d =-+的图象1(k 0k )3 >≠且交于两点)3,8(),5,2(，则c a + 的值是_______________. 5．任意满足305030x y x y x -+≤??+-≥??-≤? 的实数,x y ，若不等式222()()a x y x y +<+恒成立，则实数a 的取值 范围是 . 6．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，N M ,是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PN PM ,的斜率分别为12,k k ，021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则双曲线的离心率为 ． 二、本讲练习 1．设函数c bx x x x f ++=)(给出下列四个命题： ① 0=c 时，)(x f y =是奇函数； ② 0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实根； ③ )(x f y =的图象关于),0(c 对称； ④ 方程0)(=x f 至多有两个实根． 其中正确的命题是 （ ） （A ）①④ （B ）①③ （C ）①②③ （D ）①②④ 2．若不等式2 1x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的范围为 . 3．设a 为实数，函数a x x x f -=)(，求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值．
二次函数与绝对值函数2
【二轮复习】 再谈含绝对值的二次函数 高考题中的函数解答题目前对同学们来说仍是个难点，尤其当出现含绝对值的“二次”函数时，很多同学感 觉无从下手，画不出图、找不出分类讨论的依据，本专题就结合大家所研究过的典型例题，进行归类、对比、体验、感悟，期望大家能总结规律，看透本质，攻克此类题。绝对值的函数的本质是分段函数，常见的是两段（或三段）均为二次函数或一次、二次组合，就从涉及到的抛物线的对称轴条数，对此类题进行归类。类型一、同轴型（单轴型） 例1、求函数2()|3|f x x ax =--（ （a 为常数）在[] 0,3x ∈上的最大值 变式1、已知函数2()|2|f x x x a =-+在[]0,5上的最大值是8，求a 的值 变式2、求()||f x x x a =-在[]2,4x ∈时的最大值 类型二、异轴型（双轴型） 例2、设a R ∈，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值 例3、已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈ (1) 若f (x )在R 上是增函数，求a 的范围； (2)试求函数f (x )的单调区间； (3)若存在 [] 2,2a ∈-使方程f (x )－m =0有三个不同的根， 求m 的范围 (4)若方程有三个不同的根，记为x 1,x 2,x 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围
例4、已知函数2()|2|f x x x ax a =-++，求()f x 的最小值 类型三、异次混合型 例5、定义在R 上的函数2()||(1)f x x x a x =---，1 a >- 若f (x )在[0,1]上的最大值与最小值分别记为M(a )，N(a )，求g(a )= M(a )—N(a )
(最新整理)二次函数绝对值的问题练习及答案
(完整)二次函数绝对值的问题练习及答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)二次函数绝对值的问题练习及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)二次函数绝对值的问题练习及答案的全部内容。
二次函数绝对值的问题练习及答案 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰,以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值,充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系,往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想,以下举例说明 例1 设a 为实数，函数 2()||1f x x x a =+-+,x R ∈ (1)讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值 解；(1)0a =时， ()f x 为偶函数 0a ≠时,()f x 为非奇非偶函数 （2）22222131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ???+-+=++-≥? ????=+-+=????-++=-++< ????? 当()min 13,24a f x a ≤-=- 当()2min 11,122a f x a -<<=+ 当()min 13,24a f x a ≥=+ 例2 已知函数 1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g 。 (1）若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2）若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围； (3）求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）。 解：（1)方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然,1x =已是该方程
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f . 故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢留给读者思考。
高中数学绝对值函数系列习题二次函数
含有绝对值符号的二次函数 1、已知不等式| |2 2x x a +≤对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是_______. 2、若关于x 的不等式||22a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是_______. 3、函数2|1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______. 4、设常数R ∈a ，以方程20112||=?+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A _______. 5、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_______. 6、对任意的120x x <<，若函数1 ()f x a x x b =-+（两 侧的射线均平行于x 轴）， 试写出a 、b 应满足的条件 . 7、已知函数()2log f x x =，正实数,m n 满足m <且()()f m f n =，若()f x 在区间2 ,m n ????则m =________,n =_________. 8、设,,a b R ∈且1b ≠.若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是_______. 9、关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a _______. 10、若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______. 11、定义在R 上的函数()f x 的图像过点(6,2)M -和(2,6)N -，且对任意正实数k ，有 ()()f x k f x +<成立，则当不等式|()2|4f x t -+<的解集为(4,4)-时，则实数t 的值为 _______. 12、已知函数21(0)()log (0) x a x f x x x ?++≤=?>?有三个不同零点，则实数a 的取值范围为_______.
与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。 1．设()c bx ax x f ++=2，当1≤x 时，总有()1≤x f ，求证当2≤x 时，()7≤x f . 证明：由于()x f 是二次函数，()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ，或 ??? ??-a b f 2，故只要证明()()72;72≤-≤f f ；当22≤-a b 时，有72≤?? ? ??-a b f ，由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f . 由()()()?????+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]()???? ?????=--=--+=01121021121f c f f b f f f a ()()()()()()() 0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤. ()()()()()()() 0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤. ()()()()()()1112 111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时，22444222b a b c a b c a b ac a b f ?-=-=-=?? ? ??- 722 12122<=?+≤?+≤b a b c . 因此当2≤x 时，()7≤x f . 点评：从函数性质的角度分析，要证2≤x 时，()7≤x f ，只要证当2≤x 时，()x f 的最大值M 满足7≤M . 而()x f 又是二次函数，不论a 、b 、c 怎么取值()x f 在[]2,2-
绝对值函数系列习题(二次函数)
含有绝对值符号的函数的性质 x +2 1已知不等式aw 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是 |x| 2、若关于x的不等式x2 c2—|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是______________ 3、函数y=|x2—和函数y=x+k的图像恰有三个交点，贝U k的值是_______________ . 4、设常数a^R，以方程|x + a| 2x =2011的根的可能个数为元素的集合A= _______ 5、不等式x+3 - x-1 Ea2 -3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_____________ 6、对任意的x,<0vx2，若函数f (x) =a x —x j+b x —x2|的大致图像为如图所示的一条 y 折线(两侧的射线均平行于x轴), 试写出a、b应满足的条件 __________ . 7、已知函数f (x )= log2 x，正实数m,n满足men , 且fm=fn，若fx在区间||m , n」上的最大值为 贝H m = ______ , n = ________ . 8、设a,b^R,且b式1.若函数y=ax—1+b的图象与直线y = x恒有公共点，贝y a,b应满 足的条件是_______ . 9、关于x的方程x2 +ax +a2—9 =0( R)有唯一的实数根，贝y a = ________ 10、若函数f (x) =2心—log a x+1无零点，则a的取值范围为_____________ 11、定义在R上的函数f (x)的图像过点M (-6,2)和N(2, -6)，且对任意正实数k，有 f (x k) ：： f (x)成立，则当不等式| f (x —t) 2卜：4的解集为(-4,4)时，则实数t的值为. x +1 +a (x 兰0) 12、已知函数f(x)=』I ' '有三个不同零点，则实数a的取值范围为_______ . log2 x (x >0) 13、设关于x的不等式|x2 -4x m^x 4的解集为A，且0，A , ^' A，则实数m的取值范围是.
