解三角形基础篇
基础篇
一、正弦定理
【练习1】
在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sinA ：sinB ：sinC =6：5：4，则sinB =（ ）
A. √74
B. 34
C. 5√716
D. 916
【练习2】
已知△ABC 中，A ：B ：C =1：1：4，则a ：b ：c 等于（ ）
A. 1：1：√3
B. 2：2：√3
C. 1：1：2
D. 1：1：4
【练习3】 在△ABC 中，若a =1，∠A =π4，则
√2b sinC+cosC = ______ ．
【练习4】
在△ABC 中，∠A =
2π3，a =√3c ，则b c =______．
【练习5】
（2019年新课标二文15）
△ABC 内角ABC 的对边分别为a ，b ，c ，已知bsinA+acosB=0,则B=
二、余弦定理
【练习1】
在△ABC 中，若AB =√13，BC =3，∠C =120°，则AC =（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【练习2】 在△ABC 中，已知a =3，b =4，c =√13，则角C 为（ ）
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
三、三角形面积公式
【练习1】
在ABC ?中，3=
AB ，1=AC ，ο30=∠B ，ABC ?的面积为23，则=∠C ( ) A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο75
【练习2】
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2=(a ?b)2+6，C =π3，则△ABC 的面积是（ ）
A. 3√3
2B. 9√3
2
C. √3
D. 3√3
【练习3】
已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为√3
2
，则这个三角形的面积为______ ．
【练习4】
若△ABC的周长为20，面积为10√3，A=60°，则a的值为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【练习5】
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m??? =(a,√3b)与n?=(cosA,sinB)平行．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．
【练习6】
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．
(1)求角A的值；(2)若b+c=√10?, a=2，求△ABC的面积S．
专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，
把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情 况： 当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况： 根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当 a 不小于 b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a . 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0 三角形易错点突破和重难点析解 易错点突破 1．运用三角形三边关系性质致误 例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）. A ．10厘米 B ．14厘米 C ．10厘米或14厘米 D ．无法确定 错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C. 分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形. 正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B. 2．应用判定方法致误 例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由. 错解：∠1=∠2. 理由如下： 在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC. 所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2. 分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.” 正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD. 所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2. 3．不理解“对应”致误 例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 错解：这两个三角形全等. 图3 图4 解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本 共4页，第1页 高三（15）班《解三角形》的教学设计 高三数学备课组 姜友粮 【教学目标】： 知识与技能目标： 掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题． 过程与方法目标： 通过例题的分析和学生的自主探究，使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。 情感、态度与价值观目标： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，从而加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展学生的数学应用意识。 〖教学重点〗边角的转化，正确运用数学语言。 〖教学难点〗应用解三角形知识解决实际问题，灵活运用正弦定理、余弦定理。 【教学设计】： 一、 复习建构本课题知识结构： 1、知识框架与知识点 帮助学生回顾公式，为具体运用公式做好必要的知识铺垫，对知识网络进行梳理，从整体上把握本课题的知识结构。 正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用： 解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化；二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。 “熟记”两个定理的变形及推论 (1) 正弦定理变形： a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ； sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R ； (2)余弦定理 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， a 2＋c 2－ b 2＝2a c cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 2021年高考数学二轮复习重难点突破----------解三角形类的 解答题处理方法 一、必备知识 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == （）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4) ,,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-= +-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?21 ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两 边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） 高考重点突破：解三角形 知识点梳理 1、正弦定理：__a sin A __＝__b sin B ____＝__c sin C _＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径. 由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝____ sin A ∶sin B ∶sin C _____； (2)a ＝___2Rsin A _____，b ＝__2Rsin B _____，c ＝__2Rsin C ___； (3)sin A ＝___a 2R ____，sin B ＝___b 2R ___，sin C ＝__c 2R _____等形式，以解决不同的三角形问题. 2.余弦定理：a 2 ＝__ b 2 ＋c 2 －2bccos A ________，b 2 ＝__ a 2 ＋c 2 －2accos B _____， c 2＝____ a 2＋b 2 －2abcos C ____. 余弦定理可以变形为：cos A ＝___b2＋c2－a22bc ________，cos B ＝___a2＋c2－b2 2ac ______， cos C ＝___a2＋b2－c2 2ab ______. 3.面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由 此计算R 、r. 4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分. 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题. 解三角形时，三角形解的个数的判断 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝bsin A bsin A 《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析： 解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析： 本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。 三、教学目标： 知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。 过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。 四、教学方法： 探究式教学、讲练结合 五、教学重难点 教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题； 教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。 五、教学过程 明确方向【最新考纲】 （1）掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度 量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问 题. 【重难点】三角形中的两解问题、边 角互化、恒等变换问题．握高考方向， 强调复习重 难点。 纲，让学生熟 悉本节课高 考考点，以便 更好的备考 高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理 基础运用 边角互化多向思维【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用 1.【2015高考北京，文11】在 C ?AB中，3 a=，6 b=，2 3 π ∠A=， 则∠B=． 2.【2016高考全国I卷】△ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、 b、c.已知5 a=，2 c=，2 cos 3 A=， 则b=（） （A）2（B）3（C）2 （D） 3 3.【2013全国II卷】ABC ?的内 考点1是正 余弦定理的 简单运用，学 生课前完成， 教师课堂上 和学生核对 答案，并要求 学生思考每 道题考察的 知识点是什 么？变式1 教师引导学 生思考角B 的值到底有 几个？从而 总结如何解 答三角形的 两解问题. 例2要求两 学生课前完 成例1，目的 是让学生提 前梳理公式， 而课堂上要 求学生回答 每道题考察 的知识点是 什么？是为 了更深化学 生对公式的 理解，而变式 1的训练，是 引导学生对 三角形两解 的问题进行 总结，强调大 边对大角情 况。 通过让学生 解三角形 （一）教学目标 1.知识与技能： (1) 掌握正、余弦定理、重要不等式、基本不等式、函数值域等相关的知识。 (2) 掌握解决三角形问题中最值问题的常规方法：不等式法和函数法。 2.过程与方法： 进一步体会函数，不等式，平面几何等知识的交汇融合；通过周长、面积最值得求解培养学生分析、归纳能力及知识迁移的能力。 3.情感、态度与价值观： (1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。 (2) 培养学生数学素养和逻辑思维能力。 （二）教学重点与难点 重点：理解并掌握正弦定理、余弦定理、重要不等式、基本不等式及平面几何知 识等的应用。 难点：三角形最值问题中通法通解的形成及贯彻；数形结合思想，函数思想的培 养。 （三）教学过程设计 一、知识回顾、归纳总结： 三角形性质： 1.角的关系：A B C π++=，外角等于不相邻两个内角和。 2.边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 3.角与边的关系： ①大角对大边，等角对等边 ②正弦定理及变形： 变形： ③余项定理及变形： 2()sin sin sin a b c R R ABC A B C ===?为外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C === sin sin sin 222a b c A B C R R R = == ::sin :sin :sin a b c A B C =222 2cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=ABC C a b c ?=++ 4.周长与面积： 重要不等式、均值不等式： 重要不等式： 均值不等式： 变形： 二、例题讲解、规范解答： 注意：分析周长或面积取到最大值的条件。 12ABC S ?=?底高111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?===时取等） 当且仅当b a R b a ab b a =∈≥+,,(222时取等） 当且仅当b a b a ab b a =>>≥+,0,0(22 ()2a b ab +≤cos _______ ABC A B C a b c a b c B ?的内角、、所对的边分别为、例1:(2014陕西、；若、、成等比数列求的最小值 ) 2cos(),cos a b A C ABC A B C a b c c C C c ABC c ABC ++?==?=?的内角、、所对的边分别为、、；若(1)求的大小(2)若求面积的最大值(例2:(2016吉林白山一模改编)3)若求 周长的最大值 12 c b =+变式：(1)求若求的最大值a b c 解：、、称等比数列 2b ac ∴=222cos 2a c b B ac +-=222a c ac ac +-=22ac ac ac -≥12=a c ==当且仅当,""成立 数学分析】 解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，提高学生解决实际问题的能力。 【教育分析】 解三角形一章的教育价值主要体现在： 1.正弦、余弦定理的证明，体现了知识间的相互联系，使学生体会联系发展等辩证观点，培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2.通过两个定理的实际应用，引导学生通过自己的数学实践活动，从时间问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。 【教材分析】 在本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 一、内容与课程学习目标 本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题。 二、内容安排 1、课时安排 本章教学约需6课时，具体分配如下（仅供参考）： 2.1正弦定理与余弦定理约2课时 2.2三角形中的几何计算约1课时 2.3 解三角形的实际应用举例约2课时 本章复习约1课时 2、知识结构 重难点突破：三角函数与解三角形中最值问题全梳理模块一、题型梳理 题型一三角函数给定区间上的最值问题 例题1：函数的最大值与最小值之和为 A．B．0C．－1D． 【解析】． 例题2：设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值． 【解析】(1)() f x＝ 2 sin2ωx－sin ωx cos ωx ＝ 1cos21 sin2 222 x x ω ω - -- cos 2ωx－ 1 2 sin 2ωx＝ π sin2 3 x ω ?? -- ? ?? ． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π 4 ，又ω＞0，所以 2ππ =4 24 ω ?．因此ω＝1． (2)由(1)知() f x＝ π sin2 3 x ?? -- ? ?? ．当π ≤x≤ 3π 2 时， 5π 3 ≤ π8π 2 33 x-≤．所以 π sin21 23 x ?? -≤-≤ ? ?? ，因此－1≤() f x≤ 2 ．故() f x在区间 3π π, 2 ?? ?? ?? 上的最大值和最小值分别为 2 ，－1． 2sin(09) 63 x y x ππ ?? =-≤≤ ? ?? 21 - 7 09,,sin()1, 363663 x x x ππππππ ∴≤≤∴-≤-≤≤-≤ max min 2, y y ∴== 2 ()sin cos(0) f x x x x ωωωω =->() y f x = 4 π ω () f x 3 [,] 2 π π 例题3： 函数的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出最小正周期及图中、值；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值． 【解析】：（I ） ()f x 的最小正周期为π， 076 x π = ，03y =. （II ）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是当206x π+=，即12 x π =-时，()f x 取得最 大值0；当26 2 x π π +=- ，即3 x π =- 时， ()f x 取得最小值3-. 例题4： 已知函数，. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）由已知，有21 3 3 ()cos sin cos 3cos 224 f x x x x x 21 3 3sin cos cos 2x x x 1 33sin 21cos 24x x 1 3 sin 2cos 24 x x 1 sin 223 x .所以()f x 的最小正周期22 T . （Ⅱ）因为()f x 在区间 , 412 上是减函数，在区间 ,124 上是增函数. 14 4 f ，112 2f ，1 44 f . 所以，函数()f x 在闭区间 , 44 上的最大值为 1 4，最小值为12 . ()3sin 26f x x π?? =+ ?? ? ()f x 0x 0y ()f x ,212π π??- -???? ()2 cos sin 34 f x x x x π? ? =?+ -+ ? ? ?x R ∈()f x ()f x ,44ππ?? - ??? ? 《解三角形》单元教学设计 一、单元整体目标分析 本单元教学目标： 本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标: 1.知识与技能目标: ①掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形。 ②初步运用正弦定理、余弦定理解决测量距离、物体高度等有关的实际问题。 ③通过解三角形培养学生的方程思想、化归思想、函数思想，并培养学生解题的优化意识。 2过程与方法： ①通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决些简单的三角形度量问题。 ②能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。 ③通过解三角形在实际中的一些应用, 开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。 3.情感与价值观： ①培养和发展学生数学应用意识，渗透励志教育。 ②在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，体方程思想、建模思想，并体会方程的应用价值。 ③通过学习培养自己学习数学的兴趣和信心；提高学习能力，增强和他人合作的意识，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。 二、要素分析 1、数学视角的分析 解三角形一章是在初中“解直角三角形”和前面的“向量”相关内容基础上构建起来的，定理本身的应用十分广泛。解三角形是三角函数知识和平面向量知 识在三角形中的具体运用，是将生产、生活实际问题转化为解三角形计算问题的重要工具，具有广泛的应用价值。解三角形问题和大量需要用解三角形为工具的实际问题的存在，以及数学本身和实际问题都在促使正弦定理，余弦定理的产生。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，从而提高学生解决实际问题的能力。 2、《课标》视角的分析 新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》(以下简称《标准》)对“解三角形”的教学要求是:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决-些与测量和几何计算有关的实际问题，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，侧重点放在学生探究和推理能力的培养上，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。《标准》更关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决些与测量和几何计算有关的实际问题。 3、教学内容分析 （1）正弦、余弦定理的证明，培养了学生实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力进步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。 （2）体现数学与经济、生活等现实世界的联系，培养和发展学生利用解三角形的知识解决身边实际问题的能力。在解三角形的应用中，关键是把实际问题转化成数学问题，这种转化对于实际问题的解决是非常重要的，通过本章知识的学习，将进一步提高学生的数学建模能力。 （3）有利于关注数学知识的来龙去脉，解三角形问题是现实的要求，数学本身和实际问题都在促进正弦定理和余弦定理的产生，应用定理解决s角形的边角关系的度量，为学生今后实际工作储备了知识能力 4、学情分析 人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.锐角中，已知，则的取值范围是 A. B. C. D. 2.在中，角的对边分别为，且满足，则 的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3.在中，，则的 值等于 A. B. C. D. 4.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外 接圆的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F 重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与 的外接圆面积的比值为，那么 A. 先变小再变大 B. 仅当M为线段EF 的中点时，取得最大值 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 5.已知三角形ABC 中，边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大 时，AB 的长为 A. B. C. D. 6.在中，分别为内角所对的边，，且满足 若点O 是外一点，，平面四边形OACB 面积的最大值是 A. B. C. 3 D. 7.在中，，则使有两解的x 的范围是 A. B. C. D. 8.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则 的面积为 A. B. C. D. 1 1 / 19 9.在中，若，则是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10.在中，已知分别为的对边，则为 A. B. 1 C. 或1 D. 11.设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且， 则b的取值范围为 A. B. C. D. 12.在中，内角所对边的长分别为，且满足 ，若，则的最大值为 A. B. 3 C. D. 9 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 13.设的内角所对的边分别为且，则角A的大小 为______ ；若，则的周长l的取值范围为______ ． 14.在中，所对边的长分别为已知 ，则______ ． 15.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则 的形状是______ ． 16.在中，若，则的形状为______ ． 17.在中，角的对边分别为，若， 且，则______ ． 18.如果满足的三角形恰有一个，那么k的取值范围是 ______ ． 19.已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为1，且满足 ，则面积的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共11小题，共132.0分） 20.在锐角中，是角的对边，且． 求角C的大小； 若，且的面积为，求c的值． 解三角形的教学设计高 三公开课 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 《解三角形》教学设计 高三数学组 一、教材分析： 解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。所以通过本章学习，学生应该能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。 二、学情分析： 本班是美术重点班，学生平均分大概是六七十分，基础一般，而且学生是从三月份才开始学习文化知识，对于一些解题技巧、解题方法学生也已经遗忘了很多，所以解三角形对于学生来说也就比较困难，而引导学生合理选择定理进行边角关系，解决三角形的综合问题，则更需要通过课堂进一步复习和掌握。 三、教学目标： 知识与技能：掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理解斜三角形问题。 过程与方法：培养学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题。培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感态度价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。 四、教学方法： 探究式教学、讲练结合 五、教学重难点 教学重点：正余弦定理的运用、解三角形中边角互化问题； 教学难点：解三角形中的恒等变换及综合问题。 五、教学过程 教学环节教学内容师生活动设计意图 高考定位明确方向 课题：解三角形 【最新考纲】 （1）掌握正弦定理、余弦定理，并 能解决一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理 等知识和方法解决一些与测量和几何 计算有关的实际问题. 【重难点】三角形中的两解问题、 边角互化、恒等变换问题． 教师引导,把 握高考方 向，强调复 习重难点。 通过高考考 纲，让学生 熟悉本节课 高考考点， 以便更好的 备考高考。 教学环节教学内容师生活动设计意图 公式定理 【典例精讲】 考点1正、余弦定理的简单运用考点1是正 余弦定理的 学生课前完 成例1，目 《三角形》重难点突破 一、三边关系与绝对值化简综合 解题技巧：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数。 易错点：绝对值前有减号时，容易符号出错，可将绝对值化简的结果先加括号再去括号避免出错。 1．已知a ，b ，c 是三角形三边长，试化简：|b ＋c －a|＋|b －c －a|＋|c －a －b|－|a －b ＋c|. 二、已知两边边长，求周长范围。 解题技巧：先利用三边关系求出第三边的取值范围，再把三边相加。 2、若三角形的两边长分别为3和5，则其周长C 的取值范围是( )． A. 6＜C ＜15 B.6＜C ＜16 C.11＜C ＜13 D.10＜C ＜16 三、与三边关系有关的证明题 3．如图，P 为△ABC 内任意一点，求证：PA ＋PB ＋PC>12(AB ＋BC ＋AC)． 四、三角形的高、中线、角平分线 三角形的高是线段、不管是锐角三角形还是直角三角形、钝角三角形都会有三条高 锐角三角形的高交于三角形内部，直角三角形的高交于直角顶点，钝角三角形的高延长线交于三角形外。某条边上的高的作法：从另一顶点往这条边作垂直，如果是钝角要先把这条边延长，再从另一顶点往延长线作垂直。 4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形 5．钝角三角形三条高所在的直线交于（） A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的边上 D．不能确定 6．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段． 任何三角形的三条角平分线都交于三角形内部，任何三角形的三条中线都交于三角形内部。 中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形D．周长相等的三角形 8．如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是．9．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=cm． 第8题第9题 10．下列叙述不正确的是（） A．三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点一定在三角形内部 B．三角形的三条中线交于一点（重心），这个点一定在三角形内部 C．三角形的三条高线交于一点（垂心），这个点一定在三角形内部 D．三角形内部的平分线、高线、中线都是线段 11．下列语句正确的是（） A．三角形的三条高都在三角形内部B．三角形的三条中线交于一点 C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部12．下面说法错误的是（） A．三角形的三条角平分线交于一点B．三角形的三条中线交于一点 C．三角形的三条高交于一点D．三角形的三条高所在的直线交于一点 13．下列说法正确的是（） A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内部 D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外 正余弦定理 和解三角形 的实际应用 要求层次 重难点 正余弦定理 C 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题 解三角形 C 1.直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a . (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2.(勾股定理) (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； (3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b . 2.斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边. (1)三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π. (2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 知识内容 高考要求 模块框架 解三角形 2a b c R ===.(R 为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ?+-=??=+-?+-??=+-?=????=+-?+-?=?? 3.三角形的面积公式： (1)S △＝ 12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)； (2) S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12 ac sin B ； (3) S △＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin() c A B A B +； (4) S △＝2R 2sin A sin B sin C .(R 为外接圆半径) (5) S △＝4abc R ； (6) S △ 1()2s a b c ??=++ ??? ；(海伦公式) (7) S △＝r ·s . 4.解三角形： 由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C . (1)角与角关系：A +B +C = π； (2)边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a -b < c ，b -c < a ，c -a > b ； (3)边与角关系：正余弦定理. 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. 6.推论：正余弦定理的边角互换功能 ① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R = ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C ++++=2R ④ ::sin :sin :sin a b c A B C = 正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式. 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形 知识点清单 一.正弦定理： 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半 径） sin A sin B si 2.变形：1) a b c a b c sin sin si nC sin sin si nC 2）化边为 角： a :b: c sin A: sin B :s in C - a si nA. b sin B a sin A J b sin B c sin C c sin C ' 3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC 4）化角为边：sin A a ; J sin B b ; si nA a J7 sin B b sin C c sin C c 5）化角为边：sin A a sin B b si nC c 2R‘2R'2R 3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a, 解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A ;求出b与c c sin C ②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理旦泄求出c边 c sin C 4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U ①a bsin A时，B无解； ②a bsinA或a b时，B有一个解; 专题4.7 解三角形的综合应用 一、考情分析 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题。 二、经验分享 考点一测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成 的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度，θ为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即i＝ h l＝tan θ 考点二实际测量中的常见问题 求AB图形需要测量的元素解法 求竖直高度 底部可达∠ACB＝α，BC＝a 解直角三角形 AB＝a tan α底部不可达 ∠ACB＝α，∠ADB＝β， CD＝a 解两个直角三角形 AB＝ a tan αtan β tan β－tan α 求水平距离山两侧 ∠ACB＝α，AC＝b，BC ＝a 用余弦定理 AB＝a2＋b2－2ab cos α河两岸 ∠ACB＝α，∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理AB＝ a sin α sin（α＋β） 河对岸 ∠ADC＝α，∠BDC＝β， ∠BCD＝δ，∠ACD＝γ， CD＝a 在△ADC中， AC＝ a sin α sin（α＋γ） ； 在△BDC中， BC＝ a sin β sin（β＋δ） ； 在△ABC中，应用 余弦定理求AB 三、题型分析 重难点题型突破1解三角形中的实际问题 例1、如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠P AB＝90°，∠P AQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m. 【答案】900 【解析】由已知，得∠QAB＝∠P AB－∠P AQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ. 又PB为公共边，所以△P AB≌△PQB，所以PQ＝P A. 在Rt△P AB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900， 所以P，Q两点间的距离为900 m. 【变式训练1-1】、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.青岛版-数学-八年级上册-三角形易错点突破和重难点析解
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