重难点突破：三角函数与解三角形中最值问题全梳理模块一、题型梳理
题型一三角函数给定区间上的最值问题
例题1：函数的最大值与最小值之和为
A．B．0C．－1D．
【解析】．
例题2：设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．
【解析】(1)()
f x＝
2
sin2ωx－sin
ωx cos ωx
＝
1cos21
sin2
222
x
x
ω
ω
-
--
cos 2ωx－
1
2
sin 2ωx＝
π
sin2
3
x
ω
??
--
?
??
．
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
π
4
，又ω＞0，所以
2ππ
=4
24
ω
?．因此ω＝1．
(2)由(1)知()
f x＝
π
sin2
3
x
??
--
?
??
．当π ≤x≤
3π
2
时，
5π
3
≤
π8π
2
33
x-≤．所以
π
sin21
23
x
??
-≤-≤
?
??
，因此－1≤()
f x≤
2
．故()
f x在区间
3π
π,
2
??
??
??
上的最大值和最小值分别为
2
，－1．
2sin(09)
63
x
y x
ππ
??
=-≤≤
?
??
21
-
7
09,,sin()1,
363663
x x x
ππππππ
∴≤≤∴-≤-≤≤-≤
max min
2,
y y
∴==
2
()sin cos(0)
f x x x x
ωωωω
=->()
y f x
=
4
π
ω
()
f x
3
[,]
2
π
π
例题3： 函数的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出最小正周期及图中、值；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值．
【解析】：（I ）
()f x 的最小正周期为π，
076
x π
=
，03y =. （II ）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是当206x π+=，即12
x π
=-时，()f x 取得最
大值0；当26
2
x π
π
+=-
，即3
x π
=-
时，
()f x 取得最小值3-.
例题4： 已知函数，. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）由已知，有21
3
3
()cos sin cos 3cos 224
f x x
x x x
21
3
3sin cos cos 2x x x 1
33sin 21cos 24x x
1
3
sin 2cos 24
x x 1
sin 223
x .所以()f x 的最小正周期22
T
.
（Ⅱ）因为()f x 在区间
,
412
上是减函数，在区间
,124
上是增函数.
14
4
f
，112
2f ，1
44
f . 所以，函数()f x 在闭区间
,
44
上的最大值为
1
4，最小值为12
. ()3sin 26f x x π??
=+
??
?
()f x 0x 0y ()f x ,212π
π??-
-????
()2
cos sin 34
f x x x x π?
?
=?+
-+ ?
?
?x R ∈()f x ()f x ,44ππ??
-
???
?
题型二 三角函数中有关相位的最值问题
例题5： 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是________．
【解析】，∴，
∴，当时．
例题6： 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小
正值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【解析】，将函数的图象向右平移个单位得
由该函数为偶函数可知，即，所以的最小正值是为．
()sin 24f x x π?
?
=+
??
?
?y ?()sin[2()]sin(22)44f x x x ππ???-=-+=+-2()42
k k Z ππ
?π-=+∈()82k k Z ππ?=--∈1k =-min 38π
?=x x x f 2cos 2sin )(+=?y ?8π4π83π4
3
π())4f x x π=+()f x
?()2)4f x x π
?=+-2,42k k Z ππ?π-=+∈328k ππ?=+?38
π
图象经过点,18π??
???
，则?的最小值为（ ） A ．
512π B ．
712
π C ．
524
π D ．
724
π 【分析】先逆用两角和的正弦公式化简可得()2sin(2)3
f x x π
=+
，再根据sin()y A x ω?=+的图象变换规
律，可得变换后的解析式为2sin(22)13πy x φ=+-+，将点,18π??
???
代入解方程并结合0?>，即可求出?的最小值．
【解析】()sin 22f x x x =12(sin 2cos 2)
2
2
x x =+
2(sin 2cos cos2sin )33ππx x =+2sin(2)3x π=+ 所以将函数()f x 的图象向右平移(0)??>个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为
2sin 2()2sin(22)33ππy x φx φ?
?=-+=+-???
?，再向上平移1个单位，得到的函数图象对应的函数解析式
为2sin(22)13πy x φ=+
-+，因为所得图象经过点,18π??
???
，所以2sin(22)1183ππφ?+-+=， 所以7sin(
2)012πφ-=，所以72,12=πφk πk Z -∈，所以7,224
k ππφk Z =-+∈，又0?>，所以当0k =时，?取得最小值724
π．故选：D ．
【小结】本题主要考查两角和的正弦公式的逆用，三角函数图象的平移变换及三角方程的解法．
例题8： 已知曲线cos(2)||2C y x π????
=+<
??
?：的一条对称轴方程为3
x π
=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π??
???
，则θ的最小值是（ ） A ．
6
π
B ．
4
π
C ．
3
π D ．
12
π
【分析】cos(2)y x ?=+在对称轴处取得最值有2cos(
)13π?+=±，结合||2?π<，可得3
π
?=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ??=++ ???，结合其对称中心为04π??
? ???
可得()26k k Z ππθ=
-∈即可得到θ的最小值.
【解析】∵直线3
x π
=
是曲线C 的一条对称轴.2()3
k k π
?π∴?
+=∈Z ，又||2?π<
.3
π
?∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ??=++ ???.曲线E 的一个对称中心为04π??
? ???
.22()432k k Z πππθπ∴?++=+∈.
()26
k k Z ππθ=
-∈，注意到0θ>，故θ的最小值为3π
.故选：C.
【小结】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
例题9： 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填
入了部分数据，如下表：
(Ⅰ)(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值． 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,A ω?===-. 数据补全如下表：
且函数表达式为π
()5sin(2)6
f x x =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π
()5sin(22)6
g x x θ=+-．
因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ
212
k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π
21212
k θ+-=
， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π
6
．
π
()sin()(0,||)2
f x A x ω?ω?=+><()y f x =θ(0)θ>()y
g x =()y g x =5π
(
,0)12
θ
题型三 三角函数与导数、基本不等式相结合的最值问题
例题10：
在
ABC
中，角
A
、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3
c
a B
b A -=
，则cos cos cos a B
a A
b B
+的最大值为（ ）
A
B
C
D
【分析】利用边角互化思想结合等式cos cos 3
c
a B
b A -=
可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1
cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A
=
++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.
【解析】cos cos 3
c
a B
b A -=，
()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，
A ∴、
B 均为锐角且
cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A B
a A
b B A A B B
=
+
+1cos sin cos sin A B
B A
=
===
+
B ． 【小结】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．
例题11：
函数()15sin 7cos y x x =+的最大值是______.
【分析】方法一：利用导数求函数的最大值，
方法二：利用基本不等式构造222
168
16sin 9cos 7cos 24sin cos 7cos 255
x x x x x x ?
?+++
≥+? ???，再求原式的最值.
【解析】方法一：()22215cos 15sin 7sin 15cos 15sin 7sin y'
x x x x x x =-+=--
()()230sin 7sin 155sin 36sin 5x x x x =--+=-++，
令0y'=，得3sin 5x =
或5
sin 6x =-，因为函数的定义域为R ，所以函数若存在最大值，则最大值应在极大值处取到，当3sin 5x =，4cos 5x =时，函数的最大值为
64
5
. 方法二：因为2216sin 9cos 24sin cos x x x x +≥，当4sin 3cos x x =时，等号成立；
21687cos 7cos 255x x ?
?+≥? ??
?，当4cos 5x =时，等号成立，
所以222
168
16sin 9cos 7cos 24sin cos 7cos 255
x x x x x x ??+++
≥+? ???， 即8
16724sin cos 7cos 165
25x x x ?+?≤+
，764
3sin cos cos 525
x x x +≤， 6415sin cos 7cos 5x x x +≤，当4cos 5x =，3
sin 5
x =时，等号成立，
因此函数()15sin 7cos y x x =+的最大值是645.故答案为：645
【小结】本题考查三角函数求最值，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.
题型四 解三角形中有关三角形面积的最值问题
例题12：
在
ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b B a C c A =+，若ABC 外
接圆的半径为
3
，则ABC 面积的最大值是______. 【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围(0,)B π∈可求B 的值，利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【解析】
2cos cos cos b B a C c A =+，
∴由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，
A B C π
++=，(sin s )in A C B ∴+=，又(0,)B π∈，sin 0B ∴≠，2cos 1B ∴=，即1cos 2
B =
，可得：3
B π
=
，
ABC
，2sin 2
b π∴=?，解得2b =，由余弦定理
2222cos b a c ac B =+-，可得224a c ac +-=，又222a c ac +，2242a c ac ac ac ac ∴=+--=（当且仅当a
c =时取等号），即ac 最大值为4，ABC ∴
面积的最大值为1
4sin 2
B ?=.
.
【小结】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
ABC 的面积的最大值为（ ）
A ．
B ．4
C D ．【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由
1
sin 2ABC S AB AC BAC ?=
?∠()421sin θ???=+-??，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【解析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =，AD =
，34
ABD
ABC
S S ∴=
，
131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴?=??∠，8
3
AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，
()11
24ABC
S
AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ?∴=?∠=∠-=-????
()421(sin θ??=
+-?其中tan ?=，0BAC θ<<∠，∴当22πθ?+=时，sin(2)1max θ?+=，
()ABC max
S ∴=C ．
【小结】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
题型五 解三角形中有关目标函数的最值问题
例题14：
已知ABC ?的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且3
cos cos 5
a C c A
b -=
，则tan()A C -的最大值为______．
【分析】利用正弦定理将3
cos cos 5a C c A b -=
化为3sin cos sin cos sin 5
A C C A
B -=，然后利用三角形内角和定理将B 用()πA
C -+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 8cos sin A C A C =，再由同角三角函数关系可得tan 4tan A C =，将其代入tan()A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出tan()A C -的最大值． 【解析】因为3
cos cos 5a C c A b -=
，由正弦定理得3sin cos sin cos sin 5
A C C A
B -=，又()B A
C π=-+，所以3
sin cos sin cos sin[()]5
A C C A A C -=-+π，即
3
sin cos sin cos sin()5
A C C A A C -=+，
所以5sin cos 5sin cos 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+，所以2sin cos 8cos sin A C A C =， 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，所以,(0,
)2
A C π
∈，所以tan 4tan A C =，
所以
2tan tan 3tan 3
tan()11tan tan 14tan 4tan tan A C C
A C A C C
C C
--=
==
+++，又tan 0C >
，所以
14tan tan C C +≥，当且仅当
14tan tan C C =，即1tan 2C =时，等号成立， 所以
33
tan()1
44tan tan A C C C
-=
≤
+，所以tan()A C -的最大值为34．故答案为：3
4
【小结】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >．
的等边
ABC 中，G Q 两点，则
11
GP GQ
+的最大值为__________. 【分析】设AGP θ∠=，在
,APG AQG 中由正弦定理，用θ表示出,PG GQ ，再利用正余弦的和角公
式，将11GP GQ
+表示为 θ的函数，求该函数的最值即可. 【解析】设BC 中点为D ，AGP θ∠=，2,3
3ππθ??∈???
?
，如下图所示：
因为G 是重心，所以222
33AG AD AC =
?=?=.在AGP 中，由正弦定理得，sin sin GP AG PAG APG =∠∠， 所以sin
165sin sin 66AG GP π
ππθθ?==????-+ ? ?????
，同理在AGQ △中，由正弦定理得1
sin 6GQ πθ=?
?- ?
??. 所以11sin sin 2sin cos 666GP GQ πππθθθθ????+=++-=?= ? ?????，2,33ππθ??∈??
??
，当2πθ
=时，max
112GP GQ π
??+== ???
【小结】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，属综合中档题；本题中，选择角度为变量，是解决问题的关键.
模块二、真题赏析
1. (2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是_____． 解法一：因为()2sin sin 2=+f x x x ，
所以2
1()2cos 2cos 24cos 2cos 24(cos )(cos 1)2
'=+=+-=-+f x x x x x x x ，
由()0'≥f x 得1cos 12≤≤x ，即2233
ππππ-+≤≤k x k ，， 由()0'≤f x 得11cos 2-≤≤x ，即223ππππ++≤≤k x k 或223
π
πππ--≤≤k x k ，∈Z k ，
所以当23
π
π=-
x k （∈Z k ）时，()f x 取得最小值，
且min ()(2)2sin(2)sin 2(2)333π
πππππ=-
=-+-=f x f k k k ． 解法二：因为()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x 所以2
2
2
3
[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x
443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27
[]344
-++++++?=≤x x x x ，当且仅当3(1cos )1cos -=+x x ，
即1cos 2=x 时取等号，所以2
270[()]4
≤≤f x ，所以()f x 的最小值为2-
2. (2018全国卷Ⅱ)若在是减函数，则的最大值是
A ．
B ．
C ．
D ．
解法一：，且函数在区间上单调递减，则由
，得．因为在上是减函数，所以，解得，
解法二：因为，所以，则由题意知 在上恒成立，即
，在上恒成立，结合函数
的图象可知有，解得，所以，
所以的最大值是，故选A ．
3. (2018北京)
在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变
化时，的最大值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】由题意可得
（其中，），∵,
，
∴当时，取得最大值
3，故选C ．
()cos sin =-f x x x [,]-a a a π4
π2
3π4
π()cos sin )4
=-=
+π
f x x x x cos =y x [0,]π04ππ+≤≤x 344ππ-≤≤x ()f x [,]-a a 434
ππ
?
--??????≥≤a a 4π≤a ()cos sin =-f x x x ()sin cos '=--f x x x ()sin cos 0'=--≤f x x x [,]-a a sin cos 0+≥x x )04
π
+
≥x [,]-a a )4π=+y x 044
πππ
?
-+????+??≥≤a a 4π≤a 04π<≤a a 4
π
d (cos ,sin )P θθ20x my --=θm d d =
=
=
=
cos ?=
sin ?=
1sin()1θ?--≤≤d 1=+
0m =d
4. （2017
新课标Ⅱ）函数23()sin 4f x x x =-([0,])2
x π
∈的最大值是 ． 【解析】化简三角函数的解析式，则
(
)2231
1cos cos 44
f x x x x x =--
=-++
=2(cos 12x --+， 由[0,]2
x π
∈可得cos [0,1]x ∈
，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1．
5. （2016全国I ）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5 【解析】因为为函数的零点，为图像的对称轴，所以
（，
为周期）
，得（）．又在单调，所以，又当时，，在不单调；当时，，在单调，满足题
意，故，即的最大值为9．
6. （2017江苏）已知向量，，．
（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值． 【解析】（1）因为，，，所以．
若，则，与矛盾，故．于是． 又，所以． （2）. 因为，所以，从而
于是，当，即时，取最大值3；当，即时，取最小值 ππ()sin()(0),24f x x+x ω?ω?=>=-，
≤()f x π4
x =(
)y f x =()f x π5π
()1836
，ω4x π=-
()f x 4x π
=
()y f x =2π24kT T
=+k Z ∈T 221T k π=+k Z ∈()f x 5(,)1836ππ11
,62T k π5k =11,4πω?==-()f x 5(,)1836ππ4k =9,4πω?==()f x 5(,)1836
ππ
9ω=ω(cos ,sin )x x =a (3,=b [0,]x π∈∥a b x ()f x =?a b ()f x x (cos ,sin )x x =a (3,=b ∥a b 3sin x x =cos 0x =sin 0x =22
sin cos 1x x +=cos 0x ≠tan x =[0,]x π∈56
x π=
π(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =?=?=-=+a b [0,]x π∈ππ7π[,]666x +
∈π1cos()6x -≤+≤ππ66x +
=0x =()f x π6x +=π5π
6
x =()f x -
7. （2017山东）设函数，其中．已知． （Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左
平移
个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． 【解析】（Ⅰ）因为，
所以 ，由题设知，
所以
，．故，，又，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以．因为， 所以，当，即时，取得最小值．
()sin()sin()62f x x x π
πωω=-
+-03ω<<()06
f π
=ω()y f x =4
π
()y g x =()g x 3[,]44ππ-()sin()sin()62
f x x x ππ
ωω=-+
-1()cos cos 2f x x x x ωωω=
-
-3
cos 2
x x ωω=
-13(sin cos )22x x ωω=
-)3x πω=-()06
f π
=6
3
k ωπ
π
π-
=k Z ∈62k ω=+k Z ∈03ω<<2ω
=())3
f x x π
=
-()))4312g x x x π
ππ=+-=-3[,]44
x ππ
∈-2[,]12
33
x π
ππ
-∈-
123
x π
π
-
=-
4
x π
=-
()g x 3
2
-
模块三、模拟题汇编
1．（2020·黑龙江高三）若函数()sin 22f x x x =-的图像向左平移8
π
个单位得到函数()g x 的图像.则()g x 在区间3,88ππ??
-
????
上的最小值为（ ）
A
B ．
C ．D
【分析】注意平移是针对自变量x ，所以()()8
g x f x π
=+=2sin(2)12
x π
-
，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知()sin 22sin(2)3f x x x x π
==-
，()()8
g x f x π
=+= 2sin[2()]2sin(2)8312
x x πππ+-=-，又3,88x ππ??
∈-????，故22[,]1233x πππ-∈-，
2sin(2)[12
x π
-
∈，所以()g x 的最小值为
【小结】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数
()()sin f x A x =+ω?（π
0,0,2
A >><
ω?）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）
A ．π12
B ．
π6 C ．π3
D ．5π12
【分析】a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得． 【解析】由题意3114126T ππ=-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412πππ
+=，在y 轴左边第一个零点是
6
4
12
π
π
π
-
=-
，∴a 的最小值是
12
π
．故选：A.
【小结】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ω?=+的零点就是其图象对称中心的横坐标．
3．（2020·湖南长郡中学高三月考）已知函数()2sin(1)f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有
()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．4
D ．
1
2
【分析】由题意可知1()f x 是函数的最小值,2()f x 是函数的最大值,则12||x x -的最小值就是函数的半周期. 【解析】对任意的x ∈R ,()()12()f x f x f x ≤≤成立,所以()1min ()2f x f x ==-,()2max ()2f x f x ==,
所以12
min
2T x x -=
,又()2sin(1)f x x π=+的周期22T π
π
=
=,所以12min 1x x -=,故选:B . 【小结】本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大
4．（2020·四川高三）把函数()sin 2(0)6f x A x A π?
?
=-≠ ??
?的图象向右平移4
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g
x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）
A ．
512
π
B ．
56
π C ．
6
π D ．
12
π
【分析】先求出()g
x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数
m 满足的等式，从而可求其最小值.
【解析】()sin 2(0)6f x A x A π?
?=-≠ ???的图象向右平移4
π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ???
?=--=-
? ????
?，故()2sin 223g x m A x m π?
?-=--
??
?
. 令22232x m k πππ--
=+，k Z ∈，解得7122
k x m ππ=++，k Z ∈.因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴，
令07122
ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ
=--，k Z ∈，因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512
m π
=.故选：A. 【小结】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =
的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-????，另
外，如果x m =为正弦型函数
()()sin f x A x =+ω?图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．
5．（2020北京高三）将函数图像上的点向左平移()个单位长度得到点．若
位于函数的图像上，则
A ．，的最小值为
B ．，的最小值为
C ．，的最小值为
D ．，的最小值为
【解析】因为点在函数的图象上，所以， 又在函数的图象上，所以，则或
，，得或，．又，故的最小值为，故选A ．
6．（2020天津高三）将函数（其中>0）的图像向右平移
个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是 A ． B ．1 C ． D ．2
【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以，所以的最小值为2，选D ．
sin(2)3y x π
=-
(,)4
P t π
s 0s >P 'P 'sin 2y x =1
2
t =
s 6
πt =s 6π12t =
s 3
π2t =s 3
π
(,)4P t π
sin(2)3y x π=-sin(2)43t ππ=?-=1
sin 62
π=1
(
,)42
P s π
'-sin 2y x =1sin 2()24s π=-2()246
s k ππ
π-=+52(
)24
6s k π
ππ
-=+k Z ∈6s k ππ=-+6s k ππ=--k Z ∈0s >s 6π()sin f x x ω=ω4
π
3(
,0)4π
ω135
3
4π)4
sin()4(sin )4()(ωπ
ωπωπ-
=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2
)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω