专题1-2 解三角形重难点、易错点突破
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三角形定“形”记
根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．
1．通过角之间的关系定“形”
例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
2．通过边之间的关系定“形”
例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
细说三角形中解的个数
解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨．
1．出现问题的根源
我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，
把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数．
显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：
当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：
根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当a 不小于b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解．
2．解决问题的策略
(1)正弦定理法
已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝b sin A a .
若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0 (2)余弦定理法 已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求c . 利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 整理得c2－2bc cos A－a2＋b2＝0. 适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解． (3)公式法 当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表： A<90°A≥90° a≥b a a>b a≤b a>b sin A a＝b sin A a 一解二解一解无解一解无解 3．实例分析 例在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝2(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个 挖掘三角形中的隐含条件 解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件1.两边之和大于第三边 例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围． 隐含条件2.三角形的内角范围 例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 例3 在△ABC 中，tan A tan B ＝a 2 b 2，试判断三角形的形状． 例4 在△ABC 中，B ＝3A ，求b a 的取值范围． 正弦、余弦定理三应用 有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例． 1．平面几何中的长度问题 例1 如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，求梯形的高． 2．求范围 例2 如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝1，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的取值范围(注：0 时，f (x )＝x －1x 为增函数)． 3．判断三角形的形状 例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k ，(k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值． 专题1-2 解三角形重难点、易错点突破参考答案 三角形定“形”记 例1 分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状． 解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理 2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 2 2ac ＝c ， 即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b . 所以△ABC 是等腰三角形．故选B. 方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ， 得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π， 所以A －B ＝0，即A ＝B . 所以△ABC 是等腰三角形，故选B. 答案 B 点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系． 例2分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，可得 sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝b ＋c a ，整理得a (a ＋c )＝b (b ＋c )， 即a 2－b 2＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0. 因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ， 所以△ABC 是等腰三角形．故选C. 答案 C 点评 本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现． 细说三角形中解的个数 例 分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况． 解 方法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 可得sin B ＝22sin 45°＝12<1. 又因为a >b ，所以A >B ，故B ＝30°， 符合条件的△ABC 只有一个． 方法二 由余弦定理得 22＝c 2＋(2)2－2×2×c cos 45°， 即c 2－2c －2＝0，解得c ＝1± 3.而1－3<0， 故仅有一解，符合条件的△ABC 只有一个． 方法三 A 为锐角，a >b ，故符合条件的△ABC 只有一个． 挖掘三角形中的隐含条件 例1 [错解] ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2＋k ＋22－k ＋422kk ＋2＝k 2－4k －122kk ＋2 <0. ∴k 2－4k －12<0，解得－2 又∵k 为三角形的边长， ∴k >0. 综上所述，0 [点拨] 忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，需满足k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0. [正解] ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122kk ＋2 <0. ∴k 2－4k －12<0，解得－2 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2， 综上所述，k 的取值范围为2 温馨点评 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就行了. 例2 [错解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°，∴A ＝90°. 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3. [点拨] 上述解法中在用正弦定理求C 时丢了一解．实际上由sin C ＝32可得C ＝60°或C ＝120°，它们都满足 条件． [正解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝2 3. 当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3. 故△ABC 的面积是23或 3. 温馨点评 利用正弦定理理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错. 例3 [错解] tan A tan B ＝a 2b 2sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B cos B cos A ＝sin A sin B sin A cos A ＝sin B cos B sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形． [点拨] 上述错解忽视了满足sin 2A ＝sin 2B 的另一个角之间的关系：2A ＋2B ＝180°. [正解] tan A tan B ＝a 2b 2sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B cos B cos A ＝sin A sin B sin A cos A ＝sin B cos B sin 2A ＝sin 2B 2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 温馨点评 在△ABC 中，sin A ＝sin BA ＝B 是成立的，但sin 2A ＝sin 2B 2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. 例4 [错解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3A sin A ＝sin A ＋2A sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A ＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1. ∵0≤cos 2A ≤1， ∴－1≤4cos 2A －1≤3， ∵b a >0，∴0 [点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致b a 取值范围求错． [正解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3A sin A ＝sin A ＋2A sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A ＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1. ∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A .∴A ＋B ＝4A <180°，