专题4.7 解三角形的综合应用
一、考情分析
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题。
二、经验分享
考点一测量中的有关几个术语
术语名称术语意义图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成
的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度，θ为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即i＝
h
l＝tan θ
考点二实际测量中的常见问题
求AB图形需要测量的元素解法
求竖直高度
底部可达∠ACB＝α，BC＝a
解直角三角形
AB＝a tan α底部不可达
∠ACB＝α，∠ADB＝β，
CD＝a
解两个直角三角形
AB＝
a tan αtan β
tan β－tan α
求水平距离山两侧
∠ACB＝α，AC＝b，BC
＝a
用余弦定理
AB＝a2＋b2－2ab cos α河两岸
∠ACB＝α，∠ABC＝β，
CB＝a
用正弦定理AB＝
a sin α
sin（α＋β）
河对岸
∠ADC＝α，∠BDC＝β，
∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，
CD＝a
在△ADC中，
AC＝
a sin α
sin（α＋γ）
；
在△BDC中，
BC＝
a sin β
sin（β＋δ）
；
在△ABC中，应用
余弦定理求AB
三、题型分析
重难点题型突破1解三角形中的实际问题
例1、如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠P AB＝90°，∠P AQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
【答案】900
【解析】由已知，得∠QAB＝∠P AB－∠P AQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△P AB≌△PQB，所以PQ＝P A.
在Rt△P AB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q两点间的距离为900 m.
【变式训练1-1】、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
【答案】 30
【解析】在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝sin120°
sin30°·10＝103(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝30(m)．
重难点题型突破2 平面几何中的解三角形问题
例2、如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π
4
，AB ⊥AD ，AB ＝1.
(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π
6，CD ＝4，求sin ∠CA D.
【答案】（1）12；（2）25
5
【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，
所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝1
2
.
(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，即AC sin π6＝4
sin θ
，①
在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－(π2－θ)＝θ－π
4，
由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB
sin ∠BCA ，
即
AC sin 3π4＝1
sin （θ－π4
），② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin （θ－π
4
）sin θ，
即4(
22sin θ－2
2
cos θ)＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，
所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝25
5
.
【变式训练2-1】、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝3，∠A ＝120°，BD ＝3.
(1)求AD 的长；
(2)若∠BCD ＝105°，求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）3；（2）123－9
4
.
【解析】(1)∵在△ABD 中，AB ＝3，∠A ＝120°，BD ＝3，
∴由余弦定理得cos 120°＝3＋AD 2－92×3AD ，解得AD ＝3(AD ＝－23舍去)，∴AD 的长为 3.
(2)∵AD ∥BC ，∠A ＝120°，BD ＝3，AB ＝AD ＝3，∠BCD ＝105°，
∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝45°，∴由正弦定理得BC sin 45°＝DC sin 30°＝3sin 105°，解得BC ＝33－3，DC ＝
36－32
2. 如图
过点A 作AE ⊥BD ，交BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD ，交BD 于点F ， 则AE ＝12AB ＝32，CF ＝1
2BC ＝33－32
，
∴四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·(AE ＋CF )＝12×3×(32＋33－32)＝123－9
4
.
【变式训练2-2】、(2020·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2c sin B ＝3a tan A. (1)求b 2＋c 2
a
2的值；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）4；（2）7 【解析】(1)∵2c sin B ＝3a tan A ， ∴2c sin B cos A ＝3a sin A ， 由正弦定理得2cb cos A ＝3a 2，
由余弦定理得2cb ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3a 2，化简得b 2＋c 2＝4a 2，
∴b 2＋c 2
a
2＝4.
(2)∵a ＝2，由(1)知b 2＋c 2＝4a 2＝16， ∴由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6
bc
，
根据基本不等式得b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤8，当且仅当b ＝c 时，等号成立，∴cos A ≥68＝3
4.
由cos A ＝6bc ，得bc ＝6cos A ，且A ∈(0，π
2)，
∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×6
cos A ×sin A ＝3tan A.
∵1＋tan 2A ＝1＋sin 2A cos 2A ＝cos 2A ＋sin 2A cos 2A ＝1cos 2A
， ∴tan A ＝
1
cos 2A
－1≤169－1＝7
3
.∴S ＝3tan A ≤7. ∴△ABC 面积的最大值为7.
重难点题型突破3 与三角形有关的最值(范围)问题
例3.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32
B.22
C.12
D ．－12
【答案】C
【解析】因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝1
2
，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C. 【变式训练3-1】、.(2020·安徽省江南十校联考)在钝角△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A.2 B.9
8 C ．1 D.78
【答案】B
【解析】∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2(sin A －14)2＋98，∴sin
A ＋sin C 的最大值为9
8
.
【变式训练3-2】、在△ABC 中，b ＝3，B ＝60° (1)求△ABC 周长l 的范围；
(2)求△ABC 面积最大值． 【答案】（1）23＜l ≤33；（2）33
4
【解析】(1)l ＝3＋a ＋c ，
b 2＝3＝a 2＋
c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a ＋c )2－3ac ＝3，
∵(a ＋c )2－3＝3ac ≤3×(a ＋c 2)2，
∴a ＋c ≤23，
当仅仅当a ＝c 时，取“＝”， 又∵a ＋c ＞3， ∴23＜l ≤3 3.
(2)∵b 2＝3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ， ∴ac ≤3，
当且仅当a ＝c 时，取“＝”， S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin 60°＝33
4，
∴△ABC 面积最大值为33
4
.
四、迁移应用
1.在△ABC 中，sin B ＝1
3，BC 边上的高为AD ，D 为垂足，且BD ＝2CD ，则cos ∠BAC ＝( )
A ．－33 B.33 C ．－
1010
D.1010
【答案】A
【解析】依题意设CD ＝x ，AD ＝y ，则BD ＝2x ，BC ＝3x .因为sin B ＝13，所以AB ＝AD
sin B ＝3y .因为BC 边上
的高为AD ，如图所示
所以AB 2＝AD 2＋BD 2＝y 2＋4x 2＝9y 2，即x ＝2y .所以AC ＝AD 2＋CD 2＝x 2＋y 2＝3y .根据余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝9y 2＋3y 2－9x 22·3y ·3y ＝－6y 263y 2
＝－3
3.故选A.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为S ＝3
2
c ，则ab 的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
【答案】C
【解析】在△ABC 中，由已知及正弦定理可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，即2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋sin B ，所以2sin B cos C ＋sin B ＝0.因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，C ＝2π
3.由
于△ABC 的面积为S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝32c ，所以c ＝1
2ab .由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，整理可
得1
4
a 2
b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时，取等号，所以ab ≥12. 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，已知(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为( ) A ．8 3 B ．4 3 C ．2 3 D.3 【答案】B
【解析】由已知等式得
a 2＋
b 2－
c 2＝ab ，则
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.由C ∈(0，π)，所以sin C ＝3
2.又16
＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，则ab ≤16，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×16×3
2＝4 3.故S max ＝4 3.故选B.
4.(2020·吉林长春质量监测(四))《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC 和DE ，两标杆之间的距离BD ＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H 在同一直线上，从前面的标杆B 处后退123步，人眼贴地面，从地上F 处仰望岛峰，A ，C ，F 三点共线，从后面的标杆D 处后退127步，人眼贴地面，从地上G 处仰望岛峰，A ，E ，G 三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A ．1 255步
B ．1 250步
C ．1 230步
D ．1 200步
【答案】A
【解析】因为AH ∥BC ，所以△BCF ∽△HAF ，所以BF HF ＝BC
AH .
因为AH ∥DE ，所以△DEG ∽△HAG ，所以DG HG ＝DE
AH
.
又BC ＝DE ，所以BF HF ＝DG HG ，即123123＋HB ＝127
127＋1 000＋HB ，所以HB ＝30 750步，
又
BF HF ＝BC
AH ，所以AH ＝5×（30 750＋123）123
＝1 255(步)．故选A. 5.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .
(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积． 【答案】（1）6；（2）
15
6
【解析】(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ， 所以cos C ＝b 2c ＝1
4
.
由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝1
4
，
所以a ＝4，即BC ＝4.
在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，
所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6，所以AD ＝ 6. (2)因为AE 是∠BAC 的平分线，
所以
S △
ABE
S
△
ACE
＝1
2AB ·AE ·sin ∠BAE 12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2， 又S △ABE S
△ACE
＝BE EC
，所以BE EC
＝2，
所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝2
3
.
又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝15
4.
又S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ， 所以S △ADE ＝12×DE ×AC ×sin C ＝15
6
.
专题二突破重难点 一．物质转化 例1.现有一包固体粉末，可能是碳酸钠、硫酸钠、硫酸铜、氯化钠中的一种或几种，为了测定其组成，取适量样品进行下列实验，请根据实验现象判断： （1）取样品溶于水，得到无色澄清溶液，则此固体粉末中一定没有． （2）取上述溶液适量，滴加过量的氯化钡溶液，出现白色沉淀．过滤，向沉淀中加入过量的稀硝酸，沉淀部分消失并产生气泡，则此固体粉末中一定含有． （3）取步骤哦（2）试验后的滤液，加入稀硝酸化后，再加入硝酸银溶液，出现白色沉淀．由此某同学得出此固体粉末中一定含有氯化钠．你认为此结论是否正确？（填“是”或“否”）．请说明理由 ． 例2.某化学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展如下探究活动。 探究一：A、B、C、D分别是碳酸钠、氢氧化钠、氢氧化钙、硫酸钠中的一种，它们之间的转化关系如图一所示。（“→”表示物质之间的转化关系，“—”表示物质之间可以发生化学反应） （1）四种物质中，属于盐类的物质是（填化学式，下同）（2）物质D是。 探究二：设计一个优化的实验方案，验证某氯化钠溶液中混有碳酸钠、硫酸钠和氢氧化钠并提纯氯化钠，其实验流程及部分实验现象如下图二所示。 （3）药品溶液的pH 7试剂甲是溶液； （4）第Ⅲ步实验中还可观察到的现象是； （5）证明药品中含有氢氧化钠的证据是；第Ⅳ步所得滤液中除指示剂外，还含有的溶质是。 二．除杂 例3.下列除去物质中的少量杂质（括号内为杂质）的方法，正确的是（） A.CO(CO2)——通过足量的灼热氧化铜 B.MnO2粉末（KCl）—溶解、过滤、洗涤、干燥 C.FeSO4溶液（CuSO4）—加入足量锌粉、过滤 D.Na2SO4溶液（NaCl）—加入适量硝酸银溶液、过滤 选项物质（括号内为杂质）试剂操作方法 A FeSO4溶液（CuSO4）过量锌粉过滤 B CO2气体（CO）过量氧气点燃 C CaO固体（CaCO3）足量的水过滤 D NaCl固体（Na2CO3）过量稀盐酸蒸干 例5.某化学兴趣小组欲除去固体氯化钠中混有少量可溶性氯化镁和难溶性泥沙，设计如图所示实
y 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r
专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，
把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情 况： 当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况： 根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当 a 不小于 b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a . 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0 第4 讲盈亏问题 教学目标本讲主要学习三种类型的盈亏问题： 1. 理解掌握条件转型盈亏问题： 2. 理解掌握关系互换性盈亏问题; 3. 理解掌握其他类型的盈亏问题，本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。经典精讲盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈” “两亏”。 1. “盈亏”型例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4 粒就多9 粒，如果每人分5 粒则少6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分4 粒就多9 粒，，第二种每人分5 粒则少6 粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15 1 15 （位），糖果的粒数为： 4 15 9 69 （粒）。 2. “盈盈”型 例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10 个桃，就多出9 个桃，每只小猴分11个桃则多出2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？ 分析：老猴子的第一种方案盈9 个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：7 1 7 （只），老猴子有7 10 9 79 （个）桃子。 3. “亏亏”型例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有7 1 7 （人）书有7 10 9 61（本）。根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式： （盈+亏）两次分得之差=人数或单位 数 （盈-盈）两次分得之差=人数或单位数 （亏-亏）两次分得之差=人数或单位数条件转化型的盈亏问题这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题。 【例1】军队分配宿舍，如果每间住3 人，则多出20 人；如果每间住6 人，余下2 人可以每人住一个房间，现在每间住10 人，可以空 出多少个房间？ 【分析】每间住6 人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少6 2 2 10 （人），那么两次分配方案人数相差20+10=30（人），即可以空出10-50 10 5 （间）房间。 【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34 人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4 个房间。求学生宿舍有多少间，住 一 质 点 运 动 学 知识点： 1． 参考系 为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。 2． 位置矢量与运动方程 位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r 表示。位矢用于确定质点在空间的位置。位矢与时间t 的函数关系： k ?)t (z j ?)t (y i ?)t (x )t (r r ++== 称为运动方程。 位移矢量：是质点在时间△t 内的位置改变，即位移： )t (r )t t (r r -+=?? 轨道方程：质点运动轨迹的曲线方程。 3． 速度与加速度 平均速度定义为单位时间内的位移，即： t r v ?? = 速度，是质点位矢对时间的变化率： dt r d v = 平均速率定义为单位时间内的路程：t s v ??= 速率，是质点路程对时间的变化率：ds dt υ= 加速度，是质点速度对时间的变化率：dt v d a = 4． 法向加速度与切向加速度 加速度 τ?a n ?a dt v d a t n +== 法向加速度ρ=2 n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。 切向加速度dt dv a t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。 在圆周运动中，角量定义如下： 角速度 dt d θ = ω 角加速度 dt d ω= β 而R v ω=，22 n R R v a ω== ，β==R dt dv a t 5． 相对运动 对于两个相互作平动的参考系，有 ''kk pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a += 重点： 1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的 物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。 2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。 3. 理解伽利略坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。 难点： 1．法向和切向加速度 2．相对运动问题 三、功和能 知识点： 1. 功的定义 质点在力F 的作用下有微小的位移d r （或写为ds ），则力作的功定义为力和位移的标积即 θθcos cos Fds r d F r d F dA ==?= 对质点在力作用下的有限运动，力作的功为 ? ?=b a r d F A 在直角坐标系中，此功可写为 ???++=b a z b a y b a x dz F dy F dx F A 小学奥数盈亏问题题库教师版 盈亏问题 知识点说明： 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数 (亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意1.条件转换2.关系互换 板块一、直接计算型盈亏问题 【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2 块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少 块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差541 -=（块）．第一种余7块，第二种少2 块，那么第二次与第一次总共相差砖数：729 +=（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先 队员919 ?+=（块）． ÷=（人）．共有砖：49743 【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那 么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多 少？ 【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个 桃子？ 光 的 干 涉 和 衍 射 知识点： 1. 获得相干光的基本原理：把一个光源的一点发出的光束分为两束。具体方法有分波阵面法和分振幅法。 2. 杨氏双峰干涉：是分波阵面法，其干涉条纹是等间距的直条纹。 条纹中心位置： 明纹：,...,2,1,02=±=k a D k x λ 暗纹：,...,2,1,02 2)12(=+±=k a D k x λ 条纹间距：λa D x 2= ? 3. 光程差δ 4. 位相差 δλ π φ2= ? 有半波损失时，相当于光程增或减 2 λ ，相位发生π的突变。 5. 薄膜干涉 （1）等厚干涉：光线垂直入射，薄膜等厚处为同一条纹。 劈尖干涉：干涉条纹是等间距直条纹. 对空气劈尖： 明纹：,...2,12 2==+k k ne λλ 暗纹：,...,2,1,02 ) 12(2 2=+=+ k k ne λ λ 牛顿环干涉：干涉条纹是以接触点为中心的同心圆环. 明环半径：,...2,1)21-(== k n R k r λ 明 暗环半径：,...,2,1,0== k n kR r λ 暗 （2）等倾干涉：薄膜厚度均匀，采用面广元，以相同倾角入射的光，其干涉情况一样， 干涉条纹是环状条纹。 明环：,...2,12 sin 22 2 12 2==+-k k i n n e λλ 暗环：,...,2,1,02 ) 12(2 sin 22 2 12 2=+=+ -k k i n n e λ λ 6. 迈克尔逊干涉仪 7. 单缝夫朗和费衍射 用半波带法处理衍射问题,可以避免复杂的计算. 单色光垂直入射时,衍射暗纹中心位置: ,...2,12 2sin =±=k k a λ φ 亮纹中心位置: ,...,2,1,2 ) 12(sin =+±=k k a λ φ 8. 光栅衍射 9. 光学仪器分辨率 重点： 1. 掌握用半波带法分析夫朗和费衍射单缝衍射条纹的产生及其亮暗纹位置的计算. 2. 理解光栅衍射形成明纹的条件,掌握用光栅方程计算谱线位置。 3. 理解光程及光程差的概念.，并掌握其计算方法；理解什么情况下反射光有半波损失。 4. 掌握劈尖、牛顿环干涉实验的基本装置，会计算干涉条纹的位置，并了解其应用。 难点： 1．光栅衍射及谱线位置的计算。 光 的 偏 振 知识点： 1. 光波是横波,自然光、线偏振光、部分偏振光等的定义和描述。 2. 偏振片的起偏和检偏 3. 马吕斯定律 4. 反射和折射时光的偏振 5. 双折射现象 重点： 1. 从光的偏振说明光是横波,理解用偏振片起偏和检偏的方法. 2. 掌握马吕斯定律,能熟练应用它计算偏振光通过检偏器后光强的变化. 3. 掌握用反射和折射现象获得偏振光的方法. 4. 理解光轴的概念，理解寻常光与非常光的区别。 难点： 1. 光轴的概念，寻常光与非常光。 量 子 光 学 基 础 知识点： 1. 光电效应 方程 A h v m m e -=ν22 1 2. 康普顿散射 3. 玻尔氢原子理论 4. 激光 重点： 1. 理解入射光频率对光电效应的影响,会利用光电效应公式计算有关的物理量. 2. 理解康普顿效应,会计算散射波长等有关物理量。 教学中如何突破重难点 我们都知道，评价一节课优劣的一个重要指标，就在于看本节课的重难点是否被突破。如何把握重点、突破课堂教学中的难点，是教学活动中永恒的主体，教师只有把握重点、突破教学上的难点，才会扫除学生学习上的障碍，解除学生心理上的困惑，增强学生学好数学的坚定信念，从而达到提高教学质量的目的。那么，如何能把握教材中的重难点，又怎样才能在教学中突破重难点呢？ 一．课前研讨，分析教材，初步确定重难点。 教师在教学中能抓住重点并突破的解决好重点，是教好课的基本条件。教材的重点，是指教材中最基本、最主要的内容，它在整个教材中有重要的地位和作用，在大量知识的相互关系中它是主要矛盾，处于主导地位，起着主要的支配作用。确定教材重点，首先要认真研究教材，掌握教材具有关键性的知识内容，然后再考虑学生的实际情况。 课堂教学中突出重点有那些方法？ 1、明确重点问题，引起学生重视。 2、讲解重点问题，要做好充分准备。 3、巩固重点问题，做必要的练习。 4、处理好重点问题和非重点问题的关系。 教材的难点是学生不易理解的知识或不易掌握的技能技巧。教师所教的内容，有难有易，如果教师不把难点加以解决，不但影响当前学生的学习，还会为理解以后的新知识和掌握新技能造成困难。根据各种难点的具体特点，有以下解决方法： 1、缺乏基础知识造成的难点 学生新知识的获得是由浅入深，由近及远，由已知到未知，循序渐进。这就是温故而知新的方法。 2、由于知识抽象造成的难点 解决的办法有：讲解时多联系学生所熟悉的实际，用生活中的具体实例讲解抽象的东西。 3、对新知识过于生疏造成的难点 对于一些新知识，运用原有的思维很难理解，需要在认识上有个新飞跃，这就要求教师采取演示、实验的方法帮助学生理解。 4、其他情况造成的难点 有的问题涉及面广，需要同时综合的运用多种理论知识去分析解决。对这类问题，切勿急躁，要仔细分析问题的复杂因素，逐个解决，然后综合的运用所掌握的现有知识，灵活的解决新课题。 综上所述，对待各类问题，要具体分析，区别对待，切不可千篇一律的用一种方法解决。 数学运算:盈亏问题计算公式 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。 如果物体还有剩余，就叫盈; 如果物体不够分，就叫亏。 凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。 盈亏问题的常见题型为给出某物体的两种分配标准和结果，来求物体数量和参与分配的对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果的组合，这里以一道典型的盈亏问题对三种情况的几种组合加以说明。 注意：公司中两次每人分配数的差也就是大分减小分 一、基础盈亏问题 1. 一盈一亏（不够）【一次有余（盈），一次不够（亏）】可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略) 测试：如果每人分9 个苹果，就剩下10 个苹果;如果每人分12 个苹果，就少20 个苹果。 2. 两次皆盈（余），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人） 45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略） 测试：如果每人分8 个苹果，就剩下20 个苹果;如果每人分7 个苹果，就剩下30 个苹果。 3. 两次皆亏（不够），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？”解：（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略） 测试：如果每人分11 个苹果，就少10 个苹果;如果每人分13 个苹果，就少30 个苹果。 三角形易错点突破和重难点析解 易错点突破 1．运用三角形三边关系性质致误 例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）. A ．10厘米 B ．14厘米 C ．10厘米或14厘米 D ．无法确定 错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C. 分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形. 正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B. 2．应用判定方法致误 例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由. 错解：∠1=∠2. 理由如下： 在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC. 所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2. 分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.” 正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD. 所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2. 3．不理解“对应”致误 例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 错解：这两个三角形全等. 图3 图4 15年期中考试重难点突破 15年期中考试与往年相比，具有传承性，亦有突破，会是传统与创新、变革激烈碰撞的一年，要想取得好成绩，必须开阔视野，明确考试命题的方向，熟悉中考考点，章节重难点，易错点，易混淆点，自己问题所在，逐一突破，才能在考试中立于不败之地——稳定可靠，藉此讲义，助你成功。 中考考点： 一、一元二次方程： 三大陷阱：①二次项系数a ≠0;②利用关于x 1，x 2的等式求未知字母系数的值时，验△；③关于方程的类型的分类讨论； 中考考点：①利用方程根的定义求代数式的值；（整体代入法，若结合一元二次方程根与系数的关系，还需要注意降次思想）②解一元二次方程；（配方法，熟练理解记忆公式法，含字母系数的十字相乘因式分解法，二次项系数不为1的因式分解法，可化为一元二次方程的分式方程的解法及步骤，高次方程与整体思想注意验△）③韦达定理及根与系数的关系；（据根的分布，求字母系数的取值或范围时注意字母所在位置或利用配方法判断方程根的分布，会求含x 1，x 2的对称式的值及利用构造法求值（非对称式要结合根的定义），注意含x 1，x 2的绝对值的问题的常用解题策略，⑤一元二次方程的应用；常见题型：面积问题（注意平移，分割拼接转化为特殊图形，立体转化为平面）、经济型问题（归一法），单循环、双循环问题（会以选择题形式出现）。 新变化：一元二次方程解决几何图形中的计算问题；（动点位置或运动时间，线段最值，等腰三角形分类讨论，直线与圆的位置关系） 一、一元二次方程： 1、如图，正方形ABCD 的边长为2，M 为AD 的中点，N 在边CD 上且∠NMB=∠MBC ，MN 的延长线与BC 的延长线交于点G ，则GN 的长是 。 2、如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线c bx x y ++= 221的顶点，则方程12 1 2=++c bx x 的解的个数是（ ） A 、0或2 B 、0或1 C 、1或2 D 、0或1或2 3、二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2 +bm ；④a-b+c ＞0；⑤若ax 12 +bx 1=ax 22 +bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 4、已知方程x 2 -2（m 2 -1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ） A ．m=±1 B ．m=-1 C ．m=1 D ．m=0 G N D C B A 盈亏问题 【知识要点】 1．概念：所谓“盈”是物品有多余，所谓“亏”是指物品不足。把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，每人少分，则物品有余；每人多分则物品不足。已知所余（所盈）和不足（所亏）的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。 2．解答盈亏问题的关键：弄清楚盈、亏与两次分配差的关系。 数量关系：（1）一盈一亏类型：份数=（盈+亏）÷两次分配差 双盈类型：份数=（大盈－小盈）÷两次分配差 双亏类型：份数=（大亏－小亏）÷两次分配差 （2）总数量=每次分的数量×份数+盈 总数量=每次分的数量×份数－亏 【典型例题】 例1、某校乒乓球队有若干名学生。如果少一个女生，增加一个男生，则男生为总数的一半；如果少一个男生，增加一个女生，则男生为女生人数的 一半，乒乓球队共有多少个学生？ 例2、幼儿园老师给小朋友分梨子，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。问有多少个小朋友？有多少个梨子？ 例3、小红把自己的一些连环画借给她的几个同学。若每人借5本，则差17本；若每人借3本，则差3本。问小红的同学有几人？她一共有多少本连环画？ 例4、幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？ 例5、全班去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？ 智慧湾 从前，一个农夫带了一只狗，一只兔子和一棵青菜，来到河边，他要把这三件东西带过河去。那儿仅有一只很小的旧船，农夫最多只能带其中的一样东西上船，否则就有沉船的危险。刚开始，他带了菜上船，回头一看，调皮的狗正在欺侮胆小的兔子。他连忙把菜放在岸上，带着狗上船，但贪嘴的兔子又要吃鲜嫩的青菜，农夫只好又回来。他坐在岸边，看着这三件东西，静静地思索了一番，终于想出了一个渡河的办法。同学们，你知道农夫是怎么做的吗？ 随堂小测 姓名成绩 1、老师将一批铅笔奖给三好学生，每人4支多10支；每人6支多2支。问：三好学生有多少人？铅笔有多少支？ y 第一章 质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r 解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本 小学数学盈亏问题专题讲解，太棒了，家长照着辅导准没错！ 一、基本题型 第一类：一盈一亏 例1：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？ 分析：依题中条件，我们可知： 第一种分法：每人3块，还剩16块 第二种分法：每人5块，还少4块 我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以不仅把那剩下的16块分完，还少4块，总数上，第二次比第一次多16+4=20块。 换句话说：每人多分2块，就得多分20块，我们就可以算出有多少人了，20÷2=10人，那总饼干数就是：10×3+16=46或10×5-4=46 第二类：二次都是盈 例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就多4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？ 第二种分法：每人5块，还多4块 我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由剩下16块变成只剩下4块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块。 换句话说：每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2=6人，那总饼干数就是：6×3+16=34或6×5+4=34 第三类：二次都是亏 例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则少4块饼干；如果每人分5块，那么就少16块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？ 第一种分法：每人3块，还少4块 第二种分法：每人5块，还少16块 我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由少4块变成了少16块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块。 换句话说：每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2=6人，那总饼干数就是：6×3-4=14或6×5-16=14 二、变化题型 语言上的变化 例：同学去划船，如果每只船坐4人，则少1只船；如果每只船坐6人，则多出 4只船，问同学们共多少人？租了几只船？ 分析：讲解时，可先让学生练习以下这道题，引导学生在对比两道例题异与同，进行条件转换。 （同学去划船，如果每只船坐4人，则多4人；如果每只船坐6人，则少24人，问同学们共多少人？租了几只船？） 例：学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？ 分析：仔细观察，发现第一次分法与基本题型的分法不一样，有什么办法转换过来？由其中两人各擦4块、其余各擦5块则余12块，可知，若每人都擦5块，则余12-（5-4）×2=10块，而每人擦6块则正好。 可见每人多擦一块可把余下的10块擦完.则擦玻璃人数是[12-（5-4）×2]÷（6-5）=10（人），玻璃的块数是6×10=60（块）。 三、特殊例题 1．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8 支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？ 分析：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。 解1：都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。 ［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--钢笔的价钱25×5－15 ＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数 盈亏问题 知识点说明： 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”,分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈),如果每人多分，则物品就不足(也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”. 可以得出盈亏问题的基本关系式: （盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 （盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数 （亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况,都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意1.条件转换２.关系互换 板块一、直接计算型盈亏问题 【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩７块;如果每人搬5块,则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块? 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系:每人搬4块,还剩7块砖;每人搬5块,就少2块．这两次搬砖，每人相差541 += -=(块）．第一种余7块，第二种少2块,那么第二次与第一次总共相差砖数:729（块)，每人相差１块，结果总数就相差9块,所以有少先队员919 ÷=（人).共有砖：49743 ?+=(块）. 【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元，就多出了８元;每人出7元，就多出了４元.那么有多少个同学去买蛋糕?这个蛋糕的价钱是多少？ 【解析】“多8元”与“多4元”两者相差844 ÷= -=(元),每个人要多出871 -=（元),因此就知道,共有414（人），蛋糕价钱是84824 ?-=（元）. 共4页，第1页 高三（15）班《解三角形》的教学设计 高三数学备课组 姜友粮 【教学目标】： 知识与技能目标： 掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题． 过程与方法目标： 通过例题的分析和学生的自主探究，使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。 情感、态度与价值观目标： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，从而加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展学生的数学应用意识。 〖教学重点〗边角的转化，正确运用数学语言。 〖教学难点〗应用解三角形知识解决实际问题，灵活运用正弦定理、余弦定理。 【教学设计】： 一、 复习建构本课题知识结构： 1、知识框架与知识点 帮助学生回顾公式，为具体运用公式做好必要的知识铺垫，对知识网络进行梳理，从整体上把握本课题的知识结构。 正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用： 解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化；二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。 “熟记”两个定理的变形及推论 (1) 正弦定理变形： a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ； sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R ； (2)余弦定理 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， a 2＋c 2－ b 2＝2a c cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . （3模2真+技巧点拨）2019届高三语文总复习重难点突破必备参考资料标点 4.2018·重庆卷下列选项中，依次填入下面文字中横线处的标点符号，最恰当的一项是( ) 《海底两万里》是科幻作家儒勒·凡尔纳创作的一部科幻小说。小说讲述了法国生物学家阿龙纳斯利用一艘构造奇妙的潜水船____鹦鹉螺号____在海底旅行的所见所闻，赞美了那深蓝的国度____史诗般的海洋。在我们身边，也有一艘这样的奇妙的潜水船____是它发现了冰海沉船，激发大导演卡梅伦拍摄了史上最赚钱的电影____是它帮助美国海军在地中海找到了不小心丢失的氢弹，避免了一次灾难。它的一生充满了传奇。人类对深海的很多重大发现中都有它的身影。它就是深潜水器中的明星____阿尔文号(Alvin)载人潜水器。 A．“”，。，： B．————，：，： C．《》、。；—— D．( ) 、：；—— 4．D [解析] 本题考查正确使用标点的能力，能力层级为E级(表达应用)。利用排除法，第一、二处，不是书名，排除C项；第四处表示提示下文，应用冒号，排除A项；第六处有解释说明的作用，应用破折号，排除B 项。 5．2018·天津卷下列标点符号使用正确的一项是( ) A．在滨海航母主题公园风筝节上，各式纸鸢迎风起舞。其中全国最大、直径30米的巨型软体风筝——滚地龙的放飞成为节日的一大亮点。 B．俗语讲：日久见人心。心者思想也，常人之心，年月可现，哲人之心，世纪方知。 C．我国许多优秀的影视作品都是由文学作品改编而成的，如《英雄儿女》(根据巴金《团圆》改编)、《红高粱》(根据莫言《红高粱家族》改编)……等等。 D．中华文化是尚群的文化。小到家庭、大到国家、民族，都是群，而群就是公。《礼记·礼运》中所说的“天下为公”，已经成为至理名言。 5．A [解析] 本题考查正确使用标点符号的能力。B项，正确的标点符号应为“常人之心，年月可现；哲人之心，世纪方知”，“常人之心”与“哲人之心”属并列关系；C项，省略号与“等等”删除其中的一个；D 项，“家庭”后的顿号改为逗号，属于并列层次不当。 4．2018·山东卷下列各句中，标点符号使用正确的一句是( ) A．最近两天，京津地区、华北中南部、黄淮、江淮、汉水流域、贵州等地的日平均气温达到了入夏以来的最高值。 B．《新民丛报》虽然名为“报”，其实却是期刊，是梁启超等人于1902年在日本横滨创办的，曾产生过较大影响。 C．在市场竞争日益激烈的当下，他不得不认真思考公司的业绩为什么会下滑，怎样才能打开产品的销路？ D．新鲜大米，手感滑爽，米粒光洁，透明度好，腹白很小(米粒上呈乳白色的部分)，做出的米饭清香可口。 4．B [解析] 本题考查正确使用标点符号的能力。A.并列成分共分四个大层次，所以标点改为“京津地区，华北中南部，黄淮、江淮、汉水流域，贵州等地”。C.整体没有疑问的语气，所以句末的问号改为句号。D.句内括号应紧跟在被注释的词语之后，故改为“腹白(米粒上呈乳白色的部分)很小”。 2021年高考数学二轮复习重难点突破----------解三角形类的 解答题处理方法 一、必备知识 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == （）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4) ,,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-= +-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?21 ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两 边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）学而思第4讲盈亏问题教师版
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