思考与练习
1.基本力学性能
1-1
混凝土凝固后承受外力作用时，由于粗骨料和水泥砂浆的体积比、形状、排列的随机性，弹性模量值不同，界面接触条件各异等原因，即使作用的应力完全均匀，混凝土也将产生不均匀的空间微观应力场。在应力的长期作用下，水泥砂浆和粗骨料的徐变差使混凝土部发生应力重分布，粗骨料将承受更大的压应力。
在水泥的水化作用进行时，水泥浆失水收缩变形远大于粗骨料，此收缩变形差使粗骨料受压，砂浆受拉，和其它应力分布。这些应力场在截面上的合力为零，但局部应力可能很大，以至在骨料界面产生微裂缝。
粗骨料和水泥砂浆的热工性能（如线膨胀系数）的差别，使得当混凝土中水泥产生水化热或环境温度变化时，两者的温度变形差受到相互约束而形成温度应力场。由于混凝土是热惰性材料，温度梯度大而加重了温度应力。环境温度和湿度的变化，在混凝土部形成变化的不均匀的温度场和湿度场，影响水泥水化作用的速度和水分的散发速度，产生相应的应力场和变形场，促使部微裂缝的发展，甚至形成表面宏观裂缝。混凝土在应力的持续作用下，因水泥凝胶体的粘性流动和部微裂缝的开展而产生的徐变与时俱增，使混凝土的变形加大，长期强度降低。
另外，混凝土部有不可避免的初始气孔和缝隙，其尖端附近因收缩、温湿度变化、徐变或应力作用都会形成局部应力集中区，其应力分布更复杂，应力值更高。
1-2
解：若要获得受压应力-应变全曲线的下降段，试验装置的总线刚度应超过试件下降段的最大线刚度。
采用式（1-6）的分段曲线方程，则下降段的方程为：
20.8(1)x
y x x
=
-+ ，其中c y f σ= p x εε= ，1x ≥ 混凝土的切线模量d d d d c
ct p
f y E x σεε=
=? 考虑切线模量的最大值，即
d d y
x
的最大值： 222222
d 0.8(1)(1.60.6)0.8(1) , 1d [0.8(1)][0.8(1)]y x x x x x x x x x x x -+----==≥-+-+
令22d 0d y
x =，即：
223221.6(1)(1.60.6) 1.60[0.8(1)][0.8(1)]x x x x x x x ---=-+-+ 221.6(1)(1.60.6) 1.6[0.8(1)]x x x x x ∴--=-+
整理得：30.8 2.40.60 , 1x x x -+=≥ ；解得： 1.59x ≈
222
max 1.59d d 0.8(1.591)0.35d d [0.8(1.591) 1.59]
x y y x x =-?-??
===- ??-+?? 2,max 3
max max d d 260.355687.5N/mm d d 1.610c ct p f y E x σεε-????
∴==?=?= ? ?????? 试件下降段的最大线刚度为：
22
2,max 100mm 5687.5N/mm 189.58kN/mm >150kN/mm 300mm
ct A E L ?=?= 所以试件下降段最大线刚度超过装置的总线刚度，因而不能获得受压应力-应变全曲线（下降段）。
1-3
解：计算并比较混凝土受压应力-应变全曲线的以下几种模型：( , )p c
x y f εσ
ε=
= ① Hognestad ：22 ,01
110.15 ,
11u y x x x x y x x ?=-≤≤?
??
?-=-≥ ??-???
（取2u x =） ② R üsch ：22 ,01
1 ,
1y x x x y x ?=-≤≤?=≥?
③ Kent-Park ：23
0.5
2 ,01
20.672=10 ,16.89c c y x x x f x f ε-?=-≤≤?
+??≥?-?
（取0.5 2.5p εε=） ④ Sahlin ：1x y x e -=? ⑤ Young ：sin()2y x π
= ⑥ Desayi ：2
21x
y x
=+
⑦式（1-6）：
2
2
2 ,01
,1
0.6(1)
y x x x
x
y x
x x
?=-≤≤
?
?
=≥
?-+
?
令0 , 0.5 , 1 5
x=…，计算y，结果如表1-3。
表1-3 几种混凝土受压应力-应变全曲线的计算结果
y x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
①0 0.75 1 0.93 0.85 0.78 0.70 0.63 0.55 0.48 0.40
②0 0.75 1 1 1 1 1 1 1 1 1
③0 0.75 1 0.83 0.67 0.50 0.33 0.20 0.20 0.20 0.20
④0 0.82 1 0.91 0.74 0.56 0.41 0.29 0.20 0.14 0.09
⑤0 0.71 1 0.71 0
⑥0 0.80 1 0.92 0.80 0.69 0.60 0.53 0.47 0.42 0.38
⑦0 0.75 1 0.91 0.77 0.65 0.56 0.48 0.43 0.38 0.34
将7种曲线在同一坐标图表示出来，进行比较，见图1-3。
图1-3 几种混凝土受压应力-应变全曲线
1-4
解：棱柱体抗压强度
c
f采用不同的计算式计算结果如下：
（1）2
30
(0.85)(0.85)3020.267N/mm
172172
cu
c cu
f
f f
=-=-?=
（2）2
13013030
3020.426N/mm
1453145330
cu
c cu
cu
f
f f
f
++
==?=
++?
（3）2
0.84 1.620.8430 1.6223.58N/mm
c cu
f f
=-=?-=
峰值应变p ε采用本书建议计算式，取220.267N/mm c f =：
663(70010(70017210 1.47410p ε---=+?=+?=?
受压应力-应变曲线关系采用分段式：
232(32)(2) 01 1
(1)a a a d y x x x x x y x x x αααα?=+-+-≤≤?
?
=>?-+?
对于C30混凝土，31.47410p ε-≈?，取 2.2a α=，0.4d α=
即：23
22.2 1.40.2 01 1
0.4(1)y x x x x x
y x x x ?=-+≤≤??=>?-+?
初始弹性模量4203
20.267
2.2
3.02510N/mm 1.47410
c
a p
f E αε-=?
=?
=?? 峰值割线模量42
3
20.267 1.37510N/mm 1.47410
c
p p
f E ε-=
=
=?? 轴心抗拉强度2/3
2/320.260.2630 2.510N/mm t cu
f f ==?= 受拉应力-应变曲线为：61.71.20.2 1 1
(1)t y x x x x y x x x α?=-≤?
?
=>?-+?
，其中,t p x εε=
，t
y f σ
=。 220.3120.312 2.510 1.966t t f α==?=
即：6
1.71.20.2 1 1
1.966(1)y x x x x
y x x x ?=-≤??=>?-+?
抗剪强度0.57
0.5720.390.3930 2.710N/mm p cu f τ==?=
剪应力-剪应变曲线为：341.9 1.70.8y x x x =-+，其中p x γγ=
，p
y τ
τ=。 峰值割线剪切模量6
2106720N/mm 176.8
83.56 2.710P p p G τγ=
==+ 初始切线剪切模量20 1.9 1.9672012768N/mm p G G ==?=
2.主要因素的影响
2-1
解：①推导式2-3：
根据要求，弹性状态下，根据：c
e e
f h bh
e N bh N =?+2
1
12130，得： )6(10h
e
bh
f N c e +=
②推导式2-4：
弹性状态下，根据：e
e
e e e e x h x h
bh e N bh N h bh e N bh N -=?+?-2112
12
11213030，得：
125.0e h h x e += 2-2
解：①偏心受压：根据研究得出的结论，偏心受压试验中，应力-应变全曲线的
形状与试件偏心距或应变梯度无关，即偏心受压与轴心受压可采用相同的曲线方
程：
x ≤1时：32)2()23(x x x y a a a -+-+=ααα；
x ≥1时：x
x x
y d +-=
2)1(α；
而根据我国的设计规，采用6.0,2==d a αα。据此得到的应力-应变全曲线如图2-2a 所示：
图2-2a 偏心受压应力-应变全曲线
同时，建议采用混凝土偏心抗压强度（e c f ,）和相应的峰值应变（e p ,ε）随偏心距的（0e ）而变化的简化计算式：
)
/6(12.02.10,,h e f f p e p c e
c +-==εε 根据题设，此时，
1286.13
.0612
.02.1)/6(12.02.10,,=?+-=+-==
h e f f p e p c
e c εε ,,,21.1286,,2, 2.2572p e p e p e p p p
x x εεε
εεεεε=====
1
2.2572
232011
2.25722201
(32)(2)(1) (2) 1.7581
0.6(1)a a a d x
S x x x dx dx
x x
x
x x dx dx x x
αααα??=+-+-+??-+=-+=-+????
②偏心受拉：混凝土的偏心受拉仍采用轴心受拉的计算公式：
x ≤1时：y =1.2x -0.26x
x ≥1时，y =
x
x x t +-7
.1)1(α，其中2
312.0t t f =α。 此处假设采用30C 混凝土，则a 1.43MP t f =，得：
638.043.1312.0312.022=?==t t f α
据此得到的应力-应变全曲线如图2-2b 所示：
页眉 《钢筋混凝土原理和分析》读书笔记经过一个学期的课程学习，我在《钢筋混凝土原理和分析》教材及本科基础专业知识储备的基础上，外加查阅的其它一些相关钢筋混凝土内容的学习资料，包括教材、专著及论文等，基本掌握了书中所讲述的关于钢筋混凝土的基础知识，深化了原有的知识理论，形成较为完整的混凝土知识理论系统。由于在课程学习过程中，贺东青教授是安排我在课堂上讲解“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”的部分内容，因此，本报告后续内容也主要围绕“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”这一方面作细致展开,其他内容知识仅作一概括。 随着建筑科技的快速发展和各类工程建筑的迅速崛起，混凝土结构经历了很长时间的发展，现已经广泛应用于诸多民用和工业用建筑，为社会发展和人类生活水平提高做出了卓越贡献。在本科阶段学习的《混凝土结构设计原理》课程中，我大致了解了混凝土结构的分类、应用、构件的基本设计原理以及方法等。所涵盖的理论知识、学习方法以及思维方式都对作为结构工程方向的我们以后专业课的学习以及工作起到重要的积极的作用。 一、对《高等混凝土结构》课程的认知 在本科学习期间，有关钢筋混凝土结构的课程中，一般先简要的介绍钢筋和混凝土的材性，后以较大篇幅着重说明各种基本构件的性能、计算方法、设计和构造要求等，较多地遵循结构设计规范的体系和方法，以完成结构设计为主要目标。 《钢筋混凝土原理和分析》是以研究和分析钢筋混凝土结构的性能及一般规律，并以解决工程中出现的各种问题为目标，本书中用大量的篇幅系统地介绍主要材料—混凝土在单轴和多轴应力状态下，以及各种特殊条件下的强度和变形的一般规律，以此作为了解和分析构件性能的基础。在表述钢筋混凝土构件在各种受力条件下的性能时，强调以试验结果为依据，着重介绍其受力变形和破坏的全过程、各种因素的影响、机理分析、重要技术指标的确定、计算原则和方法等。 本书是研究和设计钢筋混凝土结构的主要理论基础和试验依据，其内容和作用如同匀质线弹性结构的“材料力学”。但是钢筋混凝土是由非线性的、且拉压强度相差悬殊的混凝土和钢筋组合而成，受力性能复杂多变，因而课程的内容更为丰富。 钢筋混凝土结构作为结构工程的一个学科分支，必定服从结构工程学科的一般规律：从工程实践中提出要求或问题，通过调查统计、实验研究、理论分析、计算对比等多种手段予以解决。总结其一般变化规律，揭示作用机理，建立物理模型和数学表达，确定计算方法和构造措施，再回到工程实践中进行验证，并加以改进和补充。一般需经过实践—研究—实践的多次反复，渐臻完善，最终为工程服务。 钢筋混凝土既然是由性质迥异的两种材料组合而成，必定具有区别于单一材料结构（如钢结构、木结构等）的特殊性。所以，钢筋混凝土的性能不仅依赖于两种材料本身的性质，还在更大程度上取决于二者的相互关系和配合。钢筋混凝土的承载力和变形性能的变化幅度很大。有时甚至可以按照所规定的性能指标设计专门的钢筋混凝土，合理选用材料和配筋构造，以满足具体工程的特定要求。 总所周知，混凝土是非匀质的、非线性的人工混合材料，力学性能复杂，且随时间而变化，性能指标的离散性又大；而钢筋和混凝土的配合又呈多样性，更使得钢筋混凝土的性能十分复杂多变。至今，钢筋混凝土构件在不同受力状态和环境条件下的性能反应已有较多的实验和理论研究结果，
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
思考与练习 1.基本力学性能 1-1 混凝土凝固后承受外力作用时，由于粗骨料和水泥砂浆的体积比、形状、排列的随机性，弹性模量值不同，界面接触条件各异等原因，即使作用的应力完全均匀，混凝土也将产生不均匀的空间微观应力场。在应力的长期作用下，水泥砂浆和粗骨料的徐变差使混凝土部发生应力重分布，粗骨料将承受更大的压应力。 在水泥的水化作用进行时，水泥浆失水收缩变形远大于粗骨料，此收缩变形差使粗骨料受压，砂浆受拉，和其它应力分布。这些应力场在截面上的合力为零，但局部应力可能很大，以至在骨料界面产生微裂缝。 粗骨料和水泥砂浆的热工性能（如线膨胀系数）的差别，使得当混凝土中水泥产生水化热或环境温度变化时，两者的温度变形差受到相互约束而形成温度应力场。由于混凝土是热惰性材料，温度梯度大而加重了温度应力。环境温度和湿度的变化，在混凝土部形成变化的不均匀的温度场和湿度场，影响水泥水化作用的速度和水分的散发速度，产生相应的应力场和变形场，促使部微裂缝的发展，甚至形成表面宏观裂缝。混凝土在应力的持续作用下，因水泥凝胶体的粘性流动和部微裂缝的开展而产生的徐变与时俱增，使混凝土的变形加大，长期强度降低。 另外，混凝土部有不可避免的初始气孔和缝隙，其尖端附近因收缩、温湿度变化、徐变或应力作用都会形成局部应力集中区，其应力分布更复杂，应力值更高。 1-2 解：若要获得受压应力-应变全曲线的下降段，试验装置的总线刚度应超过试件下降段的最大线刚度。 采用式（1-6）的分段曲线方程，则下降段的方程为： 20.8(1)x y x x = -+ ，其中c y f σ= p x εε= ，1x ≥ 混凝土的切线模量d d d d c ct p f y E x σεε= =? 考虑切线模量的最大值，即 d d y x 的最大值： 222222 d 0.8(1)(1.60.6)0.8(1) , 1d [0.8(1)][0.8(1)]y x x x x x x x x x x x -+----==≥-+-+
《钢筋混凝土原理和分析》读书笔记 经过一个学期的课程学习，我在《钢筋混凝土原理和分析》教材及本科基础专业知识储备的基础上，外加查阅的其它一些相关钢筋混凝土容的学习资料，包括教材、专著及论文等，基本掌握了书中所讲述的关于钢筋混凝土的基础知识，深化了原有的知识理论，形成较为完整的混凝土知识理论系统。由于在课程学习过程中，贺东青教授是安排我在课堂上讲解“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”的部分容，因此，本报告后续容也主要围绕“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”这一面作细致展开,其他容知识仅作一概括。 随着建筑科技的快速发展和各类工程建筑的迅速崛起，混凝土结构经历了很长时间的发展，现已经广泛应用于诸多民用和工业用建筑，为社会发展和人类生活水平提高做出了卓越贡献。在本科阶段学习的《混凝土结构设计原理》课程中，我大致了解了混凝土结构的分类、应用、构件的基本设计原理以及法等。所涵盖的理论知识、学习法以及思维式都对作为结构工程向的我们以后专业课的学习以及工作起到重要的积极的作用。 一、对《高等混凝土结构》课程的认知 在本科学习期间，有关钢筋混凝土结构的课程中，一般先简要的介绍钢筋和混凝土的材性，后以较大篇幅着重说明各种基本构件的性能、计算法、设计和构造要求等，较多地遵循结构设计规的体系和法，以完成结构设计为主要目标。 《钢筋混凝土原理和分析》是以研究和分析钢筋混凝土结构的性能及一般规律，并以解决工程中出现的各种问题为目标，本书中用大量的篇幅系统地介绍主要材料—混凝土在单轴和多轴应力状态下，以及各种特殊条件下的强度和变形的一般规律，以此作为了解和分析构件性能的基础。在表述钢筋混凝土构件在各种受力条件下的性能时，强调以试验结果为依据，着重介绍其受力变形和破坏的全过程、各种因素的影响、机理分析、重要技术指标的确定、计算原则和法等。 本书是研究和设计钢筋混凝土结构的主要理论基础和试验依据，其容和作用如同匀质线弹性结构的“材料力学”。但是钢筋混凝土是由非线性的、且拉压强度相差悬殊的混凝土和钢筋组合而成，受力性能复杂多变，因而课程的容更为丰富。 钢筋混凝土结构作为结构工程的一个学科分支，必定服从结构工程学科的一般规律：从工程实践中提出要求或问题，通过调查统计、实验研究、理论分析、计算对比等多种手段予以解决。总结其一般变化规律，揭示作用机理，建立物理模型和数学表达，确定计算法和构造措施，再回到工程实践中进行验证，并加以改进和补充。一般需经过实践—研究—实践的多次反复，渐臻完善，最终为工程服务。 钢筋混凝土既然是由性质迥异的两种材料组合而成，必定具有区别于单一材料结构（如钢结构、木结构等）的特殊性。所以，钢筋混凝土的性能不仅依赖于两种材料本身的性质，还在更大程度上取决于二者的相互关系和配合。钢筋混凝土的承载力和变形性能的变化幅度很大。有时甚至可以按照所规定的性能指标设计专门的钢筋混凝土，合理选用材料和配筋构造，以满足具体工程的特定要求。 总所知，混凝土是非匀质的、非线性的人工混合材料，力学性能复杂，且随时间而变化，性能指标的离散性又大；而钢筋和混凝土的配合又呈多样性，更使得钢筋混凝土的性能十分复杂多变。至今，钢筋混凝土构件在不同受力状态和环境条件下的性能反应已有较多的实验和理论研究结果，建立了相应的计算法和构造措施，可以解决工程问题。但是，还缺乏一个完善的、统一的理论法来概括和解决普遍的工程问题。 考虑到混凝土材性和钢筋混凝土构件性能的这些特点，应遵循以下原则：
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
钢筋混凝土原理习题 第一章绪论 1.1混凝土梁破坏时有哪些特点？钢筋和混凝土是如何共同工作的？ 1.2钢筋混凝土有哪些优点和缺点？ 1.3本课程主要包括哪些内容？学习本课程要注意哪些问题？ 第二章混凝土结构材料的物理力学性能 2.1 混凝土的立方抗压强度。轴心抗压强度和抗拉强度是如何确定的？为什么低于？与有何关系？与有何关系？ 2.2 混凝土的强度等级是根据什么确定的？我国新《规范》规定的混凝土强度等级有哪些？ 2．3 某方形钢筋混凝土短柱浇筑后发现混凝土强度不足，根据约束混凝土原理如何加固该柱？ 2.4 单向受力状态下，混凝土的强度与哪些因素有关？混凝土轴心受压应力-应变曲线有何特点？常用的表示应力-应变关系的数学模型有哪几种？ 2.5 混凝土的变形模量和弹性模量是怎样确定的？ 2.6什么是混凝土的疲劳破坏？疲劳破坏时应力-应变曲线有何特点？ 2.7什么是混凝土的徐变？徐变对混凝土构件有何影响？通常认为影响徐变的主要因素有哪些？如何减少徐变？ 2.8 混凝土收缩对钢筋混凝土构件有何影响？收缩与哪些因素有关？如何减少收缩？
2.9 软钢和硬钢的应力-应变曲线有何不同？二者的强度取值有何不同？我国新规范中将钢筋按强度分为哪些类型？了解钢筋的应力-应变曲线的数学模型。 2．10 钢筋有哪些形式？钢筋冷加工的方法有哪几种？冷拉和冷拔后钢筋的力学性能有何变化？ 2.11 钢筋混凝土结构对钢筋的性能有哪些要求？ 2．12 什么是钢筋和混凝土之间的粘结力？影响钢筋和混凝土粘结强度的主要因素有哪些？为保证钢筋和混凝土之间有足够的粘结力要采取哪些措施？ 第三章按近似概率理论的极限状态设计法 3．l 结构可靠性的含义是什么？它包含哪些功能要求？结构超过极限状态会产生什么后果？建筑结构安全等级是按什么原则划分的？ 3．2 “作用”和“荷载”有什么区别？影响结构可靠性的因素有哪些？结构构件的抗力与哪些因素有关？为什么说构件的抗力是一个随机变量？ 3．3 什么是结构的极限状态？结构的极限状态分为几类，其含义各是什么？ 3．4 建筑结构应该满足哪些功能要求？结构的设计工作寿命如何确定？结构超过其设计工作寿命是否意味着不能再使用？为什么？ 3．5 正态分布概率密度曲线有哪些数字特征？这些数字特征各表示什么意义？正态分布概率密度曲线有何特点？ 3．6 材料强度是服从正态分布的随机变量，其概率密度为，怎样计算材料强度大于某一取值的概率P（＞）？ 3．7 什么是保证率？什么叫结构的可靠度和可靠指标？我国《建筑结构设计统一标准》对结构可靠度是如何定义的？
2009—2010学年第一学期考试卷 试卷编号：（A ）卷 级《混凝土结构设计原理》课程 课程类别：必 考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分100分，考试时间120分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 一、判断题(每题1分，共20分) 1． 由于构件的裂缝宽度和变形随时间而变化，因此进行裂缝宽 度和变形验算时，还应考虑长期作用的影响。【 】 2． 对矩形截面小偏心受压构件，除进行弯矩作用平面内的偏心受力计算外，还应对垂直于弯矩作用平面按轴心受压构件进行验算。【 】 3． 钢筋混凝土受扭构件纵向受力钢筋的布置应尽可能沿构件截面周边均匀布置。【 】 4． 受弯构件斜截面的抗剪通过计算加以控制，斜截面的抗弯一般不用计算而是通过构造措施加以控制。【 】 5． 受扭构件中，不但箍筋承担扭矩，纵筋也要承担扭矩，如果两者搭配不当，可能出现部分超筋破坏。【 】 6． 混凝土保护层厚度是指纵向受力钢筋的外边缘到截面边缘的垂直距离。【 】 7． 当混凝土受弯构件的最大裂缝宽度不满足规范限值时，最有效的措施是增加截面的高度和提高混凝土强度等级。【 】 8 ． 钢筋混凝土大小偏心受压构件破坏的共同特征是：破坏时受压区混凝土均压碎，受压区钢筋均达到其强度值。【 】 9． 钢筋混凝土梁中纵筋的截断位置为，在钢筋的理论不需要点处截断。【 】 10.当一根梁的抵抗弯矩图未完全包裹设计弯矩图时，说明该梁的正截面承载力在某些截面不足。【 】 11. 可采用超张拉的办法减少预应力钢筋的应力松弛损失。【 】 12. 结构设计的基准期一般为50年。即在50年内，结构是可靠的，超过50年结构就失效。【 】
思考与练习 1. 基本力学性能 1- 1 混凝土凝固后承受外力作用时，由于粗骨料和水泥砂浆的体积比、形状、排列的随机性，弹性模量值不同，界面接触条件各异等原因，即使作用的应力完全均匀，混凝土内也将产生不均匀的空间微观应力场。在应力的长期作用下，水泥砂浆和粗骨料的徐变差使混凝土内部发生应力重分布，粗骨料将承受更大的压应力。 在水泥的水化作用进行时，水泥浆失水收缩变形远大于粗骨料，此收缩变形差使粗骨料受压，砂浆受拉，和其它应力分布。这些应力场在截面上的合力为零，但局部应力可能很大，以至在骨料界面产生微裂缝。 粗骨料和水泥砂浆的热工性能（如线膨胀系数）的差别，使得当混凝土中水泥产生水化热或环境温度变化时，两者的温度变形差受到相互约束而形成温度应力场。由于混凝土是热惰性材料，温度梯度大而加重了温度应力。环境温度和湿度的变化，在混凝土内部形成变化的不均匀的温度场和湿度场，影响水泥水化作用的速度和水分的散发速度，产生相应的应力场和变形场，促使内部微裂缝的发展，甚至形成表面宏观裂缝。混凝土在应力的持续作用下，因水泥凝胶体的粘性流动和内部微裂缝的开展而产生的徐变与时俱增，使混凝土的变形加大，长期强度降低。 另外，混凝土内部有不可避免的初始气孔和缝隙，其尖端附近因收缩、温湿度变化、徐变或应力作用都会形成局部应力集中区，其应力分布更复杂，应力值更高。 1- 2
解：若要获得受压应力-应变全曲线的下降段，试验装置的总线刚度应超过试件 下降段的最大线刚度。 采用式（1-6 ）的分段曲线方程，贝U 下降段的方程为： y 0.8(x x 1)2 x ，其中 y 试件下降段的最大线刚度为: E -t,max - 5687.5N/mm 2 100 亦 189.58kN/mm >150kN/mm L 300mm 所以试件下降段最大线刚度超过装置的总线刚度，因而不能获得受压应力 应变全曲线（下降段）。 1-3 解：计算并比较混凝土受压应力- 应变全曲线的以下几种模型：（x ： , y f -） 混凝土的切线模量E ct - d dy f c dx p 考虑切线模量的最大值，即 月的最大值: Qdx 0.8(x 1)2 x x(1.6x 0.6) [0.8( x 1)2 x]2 0^ (x 22 1) 2 ，x 1 [0.8( x 1)2 x]2 0,即: 2 1.6(x 1)(1.6x 0.6) 2 3 [0.8( x 1)2 x]3 [0.8( x 1)2 x]2 1.6(x 2 1)(1.6x 0.6) 1.6x[0.8(x 1)2 x] 整理得: 0.8x 3 2.4x 0.6 0 , x 1 ;解得：x 1.59 dy dx max dy dx x 1.59 E ct,max d_ d max 0.8 (1.592 1) [0.8 (1.5于 1) 1.59]2 0.35 dy dx max p - 0.35 5687.5N/mm 2 1.6 10 3
钢筋混凝土原理和分析 读书报告
强度和变形的一般规律 钢筋混凝土原理和分析读书报告混凝土的多轴强度是指试件破坏时三向主应力的最大值: 用 f1， f2，f3 表示，相应的峰值主应变为：ε1p，ε2p，ε3p。符号规则为： 0000 国内外发表的混凝土多轴试验资料已为数不少，但由于所用的三轴试验装置、试验方法、试件的形状和材料等都有很大差异，混凝土多轴性能的试验数据有较大离散性。尽管如此，混凝土的多轴强度和变形随应力状态的变化仍有规律可循，且得到普遍的认同。 4.3.1二轴应力状态 1.二轴受压(C/C, σ1 =0) 混凝土在二轴拉／压应力不同组合下的强度试验结果如图。 混凝土二轴抗压强度对比图。 混凝土的二轴抗压强度（ f3 ）均超过其单轴抗压强度（ fc ）：C/C 随应力比例的变化规律为： σ2 /σ3 =0～0. 2 f3随应力比的增大而提高较快；
σ2 /σ3 =0. 2 - 0. 7 f3变化平缓，最大抗压强度为(1. 25～1. 60) fc，发生在σ2 /σ3 ＝0.3～0.6之间，σ2 /σ3 =0. 7～1. 0 f3随应力比的增大而降低。 σ2 /σ3 = 1 (二轴等压) fcc=(1.15～1.35) fc 1混凝土二轴受压的应力-应变曲线为抛物线形，有峰点和下降段，与单轴受压的应力-应变全曲线相似。 2试件破坏时，最大主压应力方向的强度f3和峰值应变ε3p，大于单轴受压的相应值(f c,εp ）； 3初始斜率随应力比σ 2 / σ3增大；双轴压状态下的抗拉延性比单轴压状态下大得多；
1两个受力方向的峰值应变ε2p，ε3p随应力比例(σ2/σ3 )而变化； 2ε3p的变化曲线与二轴抗压强度的曲线相似，最大应变值发生在σ2/σ3≈0.25处，应变ε3p在数值上最大； 因为：σ2/σ3 =0.5～1.0σ2/σ3 =0～0.2 3只有σ2/σ3≈0.25左右，由于σ2值适中，限制了该方向的拉断，又不致引起σ3方向的突然崩碎，从而使σ3方向的峰值应变值ε3p最大。 4而ε2p由单轴受压（σ2/σ3=0)时的拉伸逐渐转为压缩变形，至二轴等压（σ2/σ3 =1)时达最大压应变ε2p= ε3p，近似直线变化。 1混凝土二轴受压的体积应变（εv≈ε1+ε2+ε3）曲线也与单轴
第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q
(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--
钢筋混凝土原理和分析 钢筋混凝土是由钢筋和混凝土两种物理—力学性能完全不同的材料所组成。混凝土的抗压能力较强而抗拉能力却很弱。钢材的抗拉和抗压能力都很强。为了充分利用材料的件能，把混凝土和钢筋这两种材料结合在一起共同工作，使混凝土主要承受压力，钢筋上要承受拉力，以满足工程结构的使用要求。 一混凝土结构的发展简况及其应用 钢筋混凝土是在19世纪中叶开始得到应用的，由于当时水泥和混凝土的质量都很差，同时设计计算理论尚未建立，所以发展比较缓慢。直到19世纪末，随着生产及建设的发展需要．钢筋混凝土的试验工作、计算理论、材料及施工技术均得到了较快的发展。目前已成为现代工程建设中应用最广泛的建筑材料之一。在工程应用方面，钢筋混凝土最初仅在最简单的结构物如拱、板等中使用，随着水泥和钢铁工业的发展．混凝土和钢材的质量不断改进，强度逐步提高。20世纪20年代以后，混凝土和钢筋的强度有了提高，出现了装配式钢筋混凝土结构、预应力混凝土结构和壳体空间结构，构件承载力开始按破坏阶段计算，计算理论开始考虑材料的塑性。20世纪50年代以后，高强混凝土和高强钢筋的出现使钢筋混凝土结构有了飞速的发展。装配式混凝土、泵送商品混凝土等工业化的生产结构，使钢筋混凝土结构的应用范围不断扩大。 近20年来，随着生产水平的提高，试验的深入，计算理论研究的发展，材料及施工技术的改进，新型结构的开发研究，混凝土结构的应用范围在不断的扩大，已经从工业与民用建筑、交通设施、水利水电建筑和基础工程扩大到近海工程、海底建筑、地下建筑、核电站安全壳等领域，并已开始构思和实验用于月面建筑。随着轻质高强材料的使用，在大跨度、高层建筑中的混凝土结构越来越多。近年来，随着高强度钢筋、高强度高性能混凝土以及高性能外加剂和混合材料的研制使用，高强高性能混凝土的应用范围不断扩大，钢纤维混凝土和聚合物混凝土的研究和应用有了很大的发展。还有，轻质混凝土、加气混凝土、陶粒混凝土以及利用工业废渣的“绿色混凝土”，不但改善了混凝土的性能而且对节能和保护环境具有重要的意义。此外，防射线、耐磨、耐腐蚀、防渗透、保温等特殊的混凝土以及智能型混凝土及结构也正在研究中。
数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：
解: X 0 1,X 1 1,X 2 2, f(x 。) 0,f(X 1) 3,f(X 2) 4; 1 -(X 1)(x 2) 2 1 -(x 1)(x 2) 6 1 3(x 1)(x 1) 6?设X j , j 0,1,L ,n 为互异节点，求证： n (1) x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n); j 0 n (2) (X j x)k l j (x) 0 (k 0,1,L ,n); j 0 证明 (1)令 f (x) x k n 若插值节点为X j ,j 0,1,L , n ，则函数f (x)的n 次插值多项式为 x k l j (x)。 j 0 f (n 1}() 插值余项为 R n (x) f (x) L n (x) n 1(x) (n 1)! 又Q k n, 第二章 2?当 x 1, 1,2 时，f(x) 数值分析 0, 3,4,求f (x)的二次插值多项 式。 X 2 (X 4 一 3 2) (X X /V 1 - 2(X X 1)(x X 2) (X 。 X 1)(X ° X 2) (X X 0)(X X 2) (X 1 沧)任 X 2) (X X °)(X X 1) (X 2 X °)(X 2 X 1) l °(x ) h(x) 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X ) y k l k (x) k 0
f (n 1)( ) 0 FUx) 0 n x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n); j 0 n ⑵(X j x)k l j (x) j 0 n n (C?x j ( x)ki )l j (x) j 0 i 0 n n i k i i C k ( x) ( X j l j (x)) i 0 j 0 又Q 0 i n 由上题结论可知 n x ：l j (x) x i j 0 n 原式 C k ( x)k i x i i 0 (x x)k 又 Q f (a) f(b) 0 L i (x) 0 插值余项为R(x) 1 f (x) J(x) - f (x)(x x °)(x x i ) 7 设 f (x) 2 C 2 a,b 且 f (a) f(b) max f (x) a x b 1(b a) 2 max a x b f (x). 解：令X 。 a, x i b ， 以此为插值节点 x X X X 0 L i (x) f(x 。) f (X i ) X 0 X i X X 0 X b X a = f(a) f(b)- 得证。 a b x a 0,求证: 则线性插值多项式为 f(x) 2f (x)(x x))(x X i )
1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。