2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1.如果集合.A B 同时满足{}1.
2.
3.4A
B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对
(),A B 为“好集对”
。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
64862A B C D
２.设函数()()
lg 101x f x -=+,()()
122x x f f --=方程的解为( )
()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101
A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺
序排列而成那么A 除以126的余数是( )
4.在直角
ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D
为垂足. ,,1
AD a BD b CD a b ===-=.
设数列
{}
k u 的通
项
为
()1221,1,2,3,
,k
k k k k k u a a b a b b k --=-+-
+-=则( )
20082007200620082007200620082007
20082007 2007200820082007
.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==
5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的
顺序排成一个新的数列
{}
n a ,易见123451,3,7,9,13
a a a a a =====那么
2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597
6.
设
A B ==1+cos871-cos87 则():A B =
..
.A B C D 2
2
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n
为使得n
n a =
取实数值的最小正整数,则对应此n 的
n a 为
783660
A B C D
9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体
1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为
2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()
()()()()()()12,,
f
x f x f x f f x ==
()()()()()
()()()()()()()()()()()
()
1121,,,
n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…
设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()
()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ?=??=??=??
的解为_________________
12.设平行四边形ABCD
中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线
AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________
三．解答题
13.已知椭圆2
2
412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).
1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.
2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.
3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由. 14.
数列
{}
n x 由下式确定:
112
,1,2,3,,121
n
n n x x n x x +=
==+,试求
[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)
15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足
,ayz bzx cxy
p x y z
++=其中p 为给定的正实数,试求()()()2
2
2
s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当
s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.
2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题
1.C.
2.A.
3.C.
4.A.
5.B
6.D. 第1题解答过程
逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .
元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .
同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .
所以4个元素满足条件的选择共有62222=-??种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.
第2题解答过程 令)110
lg(+=-x
y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，
)110lg(--=y x .从而)110lg()(1
--=-x x f . 令t x =2，则题设方程为
)()(1
t f
t f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，
1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，解得 2lg 2
1
2=
=t x . 从而 1)2(lg log )2lg 2
1
(log 22-==x . 答：A.
第3解答过程
注意 972126??=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, ）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷?+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）. （1）
又因为1103-≡，
n
n
)1(103-≡（mod7）,所以i
i i A 34000
10)500(?-=∑=i
i i ）（1)500(4000
-?-≡∑=
100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）.
(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.
另解：632126?=，99999963，
1109999996
-=，）（）（11011066--n ， ,3,2,1=n 所以49950010497498101031041010110210
1006118811941200
+?++?+?+?= A
+
-?++-?+-?+-?=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200 ）
（499500497498103104101102100+++++ 2200499500101102100999999÷?+++=）（B 60060200100999999++=B 60060300999999+=B 60360999999+=C ，
其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C. 第4解答过程
易见BD AD CD ?=2，即
ab b a =-2
）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为a
b
q -=的等比
数列的前1+k 项和.故b
a b a q q a u k k k k k +--=--=+++1
11)(1)1(， 3,2,1=k .
即 b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111
)()(])()([1
1212++++----++=k k k k b b a a b
a
)]1()()1([111+---++=
++b b a a b a k k ])([12121b b a a b a k k ?--?+=++ 233])([1+++=--+=k k k u b a b a ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）
另解：易见BD AD CD ?=2，即
ab b a =-2
）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222
=?+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得
21
5+=
a ， 2
1
5-=b . 显然k u 是首项为k
a ，公比为a
b
q -
=的等比数列的前1+k 项和，故 b
a b a q q a u k k k k k +--=
--=+++1
11)(1)1(]
)251()251[(5
1
1
1++--+=
k k ，
,3,2,1=k . 于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，
它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A. 第5题解答过程
{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的
项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m
中不能被2，5或11整除的项的个数为
??
?
???-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中??a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.
估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---
≈=)11
1
1)(511)(211(---?=m 11105421?
??=m m 114=，故 55194
11
2007≈?≈m . 又
因
??
????-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，
并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.
又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于4011
1151121
1110110=-
?-?-?=?）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=?中，不能被2，5，11整除的数有20005040=?个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .
第6题解答过程
显然 287cos 127cos 123cos 12
++
++++=A
5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；
287cos 127cos 123cos 12
-+
+-+-=B
5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到
)1sin()1sin(1sin cos 2 --+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2 +--=θθθ,
所以
+-+-+-=?
)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 2
1sin 2A
)5.42sin 5.44(sin -+ 22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，
+-+-+-=?
)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 2
1sin 2B )5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.
故
5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()2
1sin 2(:)2
1sin 2(:==?
?
=B A B A
12+=. 答：D.
另解：
2
A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，
2
B 5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，
++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 2
2
i i B i
A )5.43sin 5.43(cos i ++
∑=++=21
)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i
)
2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)
5.1sin 5.1(cos 22
i i i +-+-+= )
2sin 2(cos 1)
44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cos
i i i +-+-+=
1
cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+= )
1sin 1)(cos 1sin 2()
22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos
i i i i i +-+-+=
=)5.22sin 5.22(cos 1
sin 22sin
i +. 因为2A 和2B
是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，
1sin 5.22sin 22sin 2
=B , 122222
222
145
sin 45
cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2
:
2
:2+=+=+
=+===
=
B A B A .
答：D.
第7解答过程
解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，2
2
2
a c
b <+.
易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；2
2
2
c a b -<
))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，
即
26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a
)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.
第8题解答过程 注意到22-=
x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，
故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜
2
π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422
-=θ，-
θπθ2cos 4
3cos 1cos 2222==-=，
故
8
3π
θ=
，
83cos )83sin 83(cos
πππn i a n n =+=+ 83sin πn i . n a 取实数，当且仅当08
3sin
=πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 82008
3cos 2008-====ππx a a n . 答：-1.
第9题解答过程
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解 2017年5月7日8:00——10:00 一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分） 1.已知向量()() 1,3,3,1AP PB ==-，则向量AP 与 AB 的夹角等于 ． 解一：由题设(0AP PB ?=?=，且||||AP PB =，故APB ?为等腰直角三角形，从而向量AP 与 AB 的夹角等于 4 π. 解二：因为(11)AB AP PB =+=-，所以2cos ,AB AP <>=，所以向量AP 与AB 的夹角等于 4 π. 2.已知集合()(){} |10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈?，则实数a 的取值范围是 ． 解：有题设，知(21)(2)0 (31)(3)0 a a a a -->?? --≤? 所以：122133 a a a ?>>的左，右焦点， P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34 OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率 为 ． 答案：5． 5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线 段AC1相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n，第一行是1,2,…,n. 例如： 3123 894 765 T设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P 的轨迹方程.
11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: 222 y z xy yz zx. x233 （2）是否存在实数k>3，使得对于任意实数x.y,z下式恒成立？ 222 y z k xy yz zx，试证明你的结论. x23 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB =
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题 一.选择题 1.如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对 (),A B 为“好集对” 。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862A B C D ２.设函数()() lg 101x f x -=+,()() 122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101 A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺 序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角 ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1 AD a BD b CD a b ===-=. 设数列 {} k u 的通 项 为 ()1221,1,2,3, ,k k k k k k u a a b a b b k --=-+- +-=则( ) 20082007200620082007200620082007 20082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的 顺序排成一个新的数列 {} n a ,易见123451,3,7,9,13 a a a a a =====那么 2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 6. 设 A B ==1+cos871-cos87 则():A B = .. .A B C D 2 2 7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n 为使得n n a = 取实数值的最小正整数,则对应此n 的 n a 为 783660 A B C D
江苏省高中数学竞赛校本教材[全套] (共30讲，含详细答案)-苏教版 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143)
§19立体图形，空间向量 (161) §20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB.
10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+2 2，b y x =+2 2 ，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的 最大值为 （ ） A ．2 b a + B ．ab C ．22 2b a + D ．2 2 2b a + 2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），?? ? ??41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1 x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N 3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数 列，那么z y x ++的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是 222C B A ?的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形 B ．111 C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形 C ．111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形 D ．111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形 5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A ．不存在 B ．有且只有一对 C ．有且只有两对 D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．设集合[]{}{} 222 <==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B =___________________. 7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写 成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 _________________. 9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10．在ABC ?中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2 2 2c b a +=______________. 1 2 0.5 1 x y z
2019年浙江省高中数学竞赛试卷 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 化简三角有理式x x x x x x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。 22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=( 4422s i n c o s s i n c o s x x x x =++ 。 2． 若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3． 集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-， {}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b . 若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ） A ．k r == B ．k r == C ．12k r == D ．1122 k r -±-±==解答．C. P Q Q R P R ==，
高中数学竞赛初赛试题 一 选择题 1. 如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{} 1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对 (),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对， 那么“好集对”一共有（）个 64862A B C D ２.设函数()()lg 10 1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21 .log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100 到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126 的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为 ()1221,1,2,3,, k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质 的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个 新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么 2007____________a = 192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 783660A B C D
２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m <
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．） 1．已知向量()1,3AP =uu u r ，() 3,1PB =-uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 ． 2．已知集合()(){}10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ?，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知复数22cos sin 33 z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ． 5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ． 6．若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ． 7．若3tan 43 x =，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动， 其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ． 9．设数列12321,,,,a a a a L 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =L ），1a ，7a ，21a 成等比数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ． 10．对于某些正整数n ，分数2237 n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ． 二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 11．设数列{}n a 满足： ①11a =；②0n a >；③2111 n n n na a na ++=+，*n ∈N . 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 考试时间:2019年6月30日上午9:00 1.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i ?+. 2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =21 3. 3.函数()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期=2π. 4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值= 5、从1,2,,10???中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115 . 6、在边长为1的正方体1111ABCD A B C D ?内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 1AC 相切，则小球半径的最大值=45 . 7、设H 是ABC ?的垂心，且3450HA HB HC ++=，则 cos AHB ∠=6? . 8、把21,2,,n ???按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ???. 例如：3123894765T ?? ??=?????? 设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.
9、如图所示，设ABCD是矩形，点,E F分别是线段, AD BC的中点，点G在线段EF上，点,D H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:3 HAB GAB ∠=∠. 10、设O是坐标原点，双曲线: C 22 22 1 x y a b ?=上动点M处的切线交C的两条渐近 线于,A B两点. (1)求证：ABC ?的面积S是定值; （2）求AOB ?的外心P的轨迹方程.
2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,，且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=?→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a= 二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的
. 2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ． 答案：－8 2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数 m = . 答案：32 - 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）． 答案：19145 4． 已知1cos45 θ=，则44sin cos θθ+= ． 答案：45 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3 ==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案：6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前 n 项和等于 ． 答案：1(848)7 n + 7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 答案：(0,2) 8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *， 则[(2011)]f f = ． 答案：6 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 ． 答案：4 3 10．已知m 是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值 是 ． 答案：3,14,30 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 （考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30） 注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器． 一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简） 1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____． 2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____． 3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____． 4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____． 5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____ 6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=____． 7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____． 8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ． 二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分） 9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ． A B C D E F G H l
2017年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式310 (1)(2)x x -+的展开式中6x 的系数为 ． 2.已知 3)5a -=,则实数a = ． 3.设2()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则22a b -的取值范围为 ． 4.设x ,y R ∈,且222222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+,则x y -= ． 5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数2()1g x x ax =++（x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 ． 6.设S 是5 (0,)8中所有有理数的集合，对简分数q S p ∈，(,)1p q =，定义函数1()q q f p p +=，则2()3 f x =在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆22(1)(2)1x y -+-=和圆22(3)(4)3 x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ． 8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ． 9.已知平面向量a ，b ，c ，满足||1a =，||2b =，||3c =，01λ<<，若0b c ?=，则|(1)|a b c λλ---所有取不到的值的集合为 ． 10.已知22,0, ()1,0,x x f x x x -
2020年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷 一、选择题 1． 下列三数32 ，log 1682，log 27124的大小关系是( ) (A)32＜log 1682＜log 27124 (B)32＜log 27124＜log 1682 (C)log 27124＜32＜log 1682 (D)log 27124＜log 1682＜32 2． 已知两点A (1，2)，B (3，1)到直线l 的距离分别是2，则满足条件的直线l 共有( )条 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3． 设f (n )为正整数n (十进制)的各位上数字的平方之和，比如f (123)=12+22+32 =14，记 f 1(n )=f (n )，f k +1(n )=f (f k (n ))，k =1，2，3，…，则f 2020(2020)的值是( ) (A)20 (B)4 (C)42 (D)145 4． 设在xOy 平面上，0＜y ≤x 2 ，0≤x ≤1所围成图形的面积为3 1，则集合M ={(x ，y )| |y |-|x | ≤1}，N ={(x ，y )| |y |≥x 2 +1}的交集M ∩N 所表示图形的面积是( ) (A)3 1 (B)23 (C)1 (D)43 5． 在正2020边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为( ) (A)2020 (B)10032 (C)10032-1003 (D)10032 -1002 6． 设函数f (x )=sin cos sin tan x x x x +++tan cot cos tan x x x x +++sin cos cos cot x x x x +++tan cot sin cot x x x x ++，则f (x )在(0，2 π )内 的最小值是( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 二、填空题 7． 手表的表面在一平面上，整点1，2，3，…，12这12的圆周上．从整点i 到整点(i +1)的向量记作1i i t t +u u u u r ，则1223233412112t t t t t t t t t t t t +++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g L g =____. 8． 设a i ∈R + (i =1，2，…，n )，α，β，γ∈R ，且α+β+γ=0，则对任意x ∈R ， ()()()1 111()111n x x x x x x i i i i i i i a a a a a a α αβββγγγα+++=++++++++∑=_____. 9． 在1，2，3，…，2020中随机选取三个数，这三个数能构成递增等差数列的概率等于____. 10． 已知集合A ={(x ，y )| x 2 +y 2 -2x cos α+2(1+sin α)(1-y )=0，α∈R }，B ={(x ，y )| y =kx +3， k ∈R }．若A ∩B 为单元素集，则k =______. 11． 设a ，b 为非零实数，x ∈R ，若442222sin cos 1x x a b a b +=+，则20082008 20062006sin cos x x a b +=_____. 12． 2323 ,,111max min{,,,}a b c R a b c a b c + ∈++=______.
江苏省高中数学竞赛预赛试题 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数y=f(x) 的图像按a→=(π 4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x+ π 4)+2，那么y=f(x) 的解析式为 ( ) A．y=sin x B．y=cos x C．y=sin x+2 D．y=cos x+4 解: y=sin[(x+π 4)+ π 4], 即y=cos x.故选B． 2．如果二次方程x2－px－q=0 (p，q∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有( ) A．5个B．6个C．7个D．8个 解：由?=p2+4q>0，－q<0，知方程的根一正一负． 设f(x)=x2－px－q，则f(3)= 32－3p－q＞0，即3p+q＜9. 由p，q∈N*，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意． 故选C． 3．设a>b>0，那么a2+ 1 b(a－b) 的最小值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 解：由a>b>0，可知0 第 1 页 2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 （考试时间：2018 年 6 月 30 日上午 9:00—11:30） 题号 一 二 总分 9 10 11 12 得分 评卷人 复核人 注意：1.本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 3.书写不要超过装订线； 4.不得使用计算器. 一、 填空题（每题 8 分，共 64 分，结果须化简） 1：设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且| z |=5 ，则 z =________. 2 ：设n 是正整数，且满足n 5 = 438427732293 ，则 n =________ . 3：函数 f (x)=| sin(2x)+sin(3x)+sin(4x) | 的最小正周期=________ . 4：设点 P, Q 分别在函数y = 2x 和y = log x 的图象上，则| PQ | 的最小值__________. 5：从1, 2,,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 s 2 ≤ 1 的概率为_________ . 6：在边长为 1 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC1 相切，则 小球半径的最大值为_________ . 7：设 H 是△ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0 ，则cos AHB ________ 8：把1,2,……, n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格Tn ，第一行是1,2,……,n 例如（图1）：设 2018在T100的第i 行第j 列，则(i,j)=________ (图1) 二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分） 3. 如图所示，设 ABCD 是矩形，点 E , F 分别是线段 AD , BC 的中点，点G 在线段 EF 上，点 D , H 关于 线段 AG 的垂直平分线l 对称.求证: ∠HAB = 3∠GAB . D C E F A B安徽省高中数学联赛试题2018
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