2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1.如果集合.A B 同时满足{}1.
2.
3.4A B =U {}1A B =I ,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，
()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=
方程的解为()
()()()()2222.log lg21
.lg log 101
.lg lg21.log log 101
A B C D --++3.设100101102499500A =L 是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是() 4.在直角ABC V 中,90C ∠=o ,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为
()1221,1,2,3,,k
k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=L L 则()
5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====L 那么
2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597
6.
设
A B ==L L 则():A B =
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.
8.设2007n ≥,且n
为使得n
n a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为
9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.
10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60o 那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为
()()()(
)
()()()1
2,,f x f x f x f f x ==L
()()()()()()()()()()()()()()()()
()
1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====L 其中n =2,3,4…
设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()
()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ?=??=??=??
的解为
_________________
12.设平行四边形ABCD
中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形
ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________
三．解答题
13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).
1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点),4,q =试确定l 的斜率的取值范围.
2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.
3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线请说明理由. 14.数列{}n x 由下式确定:112
,1,2,3,,121
n
n n x x n x x +=
==+L ,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数
部分.)
15.设给定的锐角ABC V 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足
,ayz bzx cxy
p x y z
++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大
值时,,,x y z 的取值.
2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题
1.C.
2.A.
3.C.
4.A.
5.B
6.D. 第1题解答过程
逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .
元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A . 同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .
所以4个元素满足条件的选择共有62222=-??种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C. 第2题解答过程
令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ， )110lg(--=y x .从而)110lg()(1
--=-x x f .令t x =2，则题设方程为
)()(1
t f
t f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故0)]110)(110lg[(=-+t t ，
1)110)(110(=-+t t ，2102=t ，2lg 2=t ，解得2lg 2
1
2=
=t x .从而1)2(lg log )2lg 2
1
(log 22-==x .答：A.
第3解答过程
注意972126??=,2,7和9两两互质.因为0≡A （mod2）,
500102101100++++≡Λ2401500100÷?+≡）（6120300≡≡（mod9）,
所以6≡A （mod18）.（1）
又因为1103-≡，n n )1(103-≡（mod7）,所以
i
i i A 3400
10)500(?-=∑=i i i ）（1)500(400
-?-≡∑=
100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡Λ6
300≡=（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）.
答：C.
另解：632126?=，99999963，
1109999996-=，）（）（11011066--n ，Λ,3,2,1=n 所以499500104974981010310410101102101006118811941200+?++?+?+?=ΛA
60060300999999+=B 60360999999+=C ，
其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6.答：C. 第4解答过程
易见BD AD CD ?=2，即ab b a =-2
）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，
012=--a a ；1)1(=+b b ，
012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为a
b
q -=的等比数列的前1+k 项和.故b
a b a q q a u k k k k k +--=--=+++1
11)(1)1(，Λ3,2,1=k .
即b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111
)()(])()([1
1212++++----++=k k k k b b a a b
a
233])([1
+++=--+=
k k k u b a b
a ，Λ3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）
另解：易见BD AD CD ?=2，即ab b a =-2
）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222
=?+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得
21
5+=
a ，2
1
5-=b . 显然k u 是首项为k a ，公比为a
b
q -=的等比数列的前1+k 项和，故
b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5
11
1++--+=k k ，
Λ,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…， 它满足递推关系,12k k k u u u +=++Λ,3,2,1=k .所以答案为A. 第5题解答过程
{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能
被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为
??
?
???-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中??a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.
估值：设
11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---
≈=)11
11)(511)(211(---?=m 11105421?
??=m m 114=，故5519411
2007≈?≈m . 又因
??
????-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007， 并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a .答：B.
又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的
数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±±
；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由
欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于
4011
11511211110110=-?-?-?=?）（）（）（）（.）
显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=?中，不能被2，5，11整除的数有20005040=?个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….
所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的
55192007=a .答：B.
第6题解答过程
显然287cos 127cos 123cos 12
ο
οοΛ++
++++=A
οοοοΛ5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=； οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=.
注意到
)1sin()1sin(1sin cos 2οοο--+=θθθ，)1cos()1cos(1sin sin 2οοο+--=θθθ,
所以
)5.42sin 5.44(sin οο-+ο
οοο22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，
)5.44cos 5.42(cos οο-+οοοο22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.
故
ο
οοοοοο5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()2
1sin 2(:)2
1sin 2(:==?
?
=B A B A
12+=.答：D.
另解：
2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++=Λ，
2
B οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，
=)5.22sin 5.22(cos 1
sin 22sin ο
οο
οi +.
因为2A 和2B
是实数，所以οοο1sin 5.22cos 22sin 2=A ，οοο1sin 5.22sin 22sin 2
=B ,
122222
222
145
sin 45
cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2
:
2
:2+=+=+
=+===
=
ο
ο
οοοοοB A B A . 答：D. 第7解答过程
解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a c b <+.
易解得b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<
))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即
26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a
)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形.答：4.
第8题解答过程
注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，
0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜
2
π
.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故8
3πθ=，8
3cos )83sin 83(cos
π
ππn i a n n =+=+
83sin
πn i .n a 取实数，当且仅当08
3sin =π
n ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时
1753cos 8
2008
3cos
2008-====ππx a a n . 答：-1. 第9题解答过程
易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得
3327=是奇异数（第一类）；
73242??=不是奇异数； 23369?=是奇异数（第二类）； 373111?=是奇异数（第二类）；
35125=是奇异数（第一类）；
137是质数，不是奇异数；
37343=是奇异数（第一类）；
221301900899-=-=）（130+=2931130?=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160?=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233?=++-=-=-=是奇异数（第二
类）.
答：8. 第10解答过程
解：将向量1AA ，，分别记为，，.2==a 3==b ，
4==c ，且易见
AC ++=1，A ++-=1，BD +-=1，DB -+=1.
)(2)(2
222
a c c
b b a
c b a c b a ?+?+?+++=++=
244332432222?+?+?+++==55，
故551=AC .类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33. 答：55，19，15，33. 第11题解答过程
令t x =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，
)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n Λ；令s y =+1，易见1-=s y ，
2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ，Λ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ，Λ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为
（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得 所以
)()2
3()()23()(233
9629696y x x z z y y x -=-=-=-?0
0=-?=-z y y x z y x ==?.
代入（1）得
1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，
7287291533512+=-x x ，2261217=-x ,32331=-x ,31
323
-
=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x .答：31
323
-===z y x .
第12题解答过程
.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.
记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分
别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为
)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --?-+==平行四边形平行四边形.
由于2324===AD BD AB ，，，易见οο3090=∠=∠DBA ADB ，，
73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且2172
7
322==?==
?AO DO AD AO S DF ADO ，7
4
716712422=
=-
=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749
16
7716747123312==??=???==-?-?AF DF V V l ADF l ADN .
又7
107
4147
472=
-=
-
=-=AF AC CF ，7==AO CO ，
QO DF CO CF ::=， 215171021727=÷?=?=
CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得 ππππ71225
657
122534310007)2574940(7)72521710712
(
3=-?=-=?-
?=
.从而
175
73021225105772)12256574916(
72)7122565774916(
2π
ππππ=?=+=+=V . 答：所求体积为
175
7302π
： 第13题解答过程
解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m .这是 y 的一元二次方程，由判别式0≥?解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则4324221+-=
+m m y y ，4
33622
1+=m y y . 由题设条件，02121<+=?y y x x ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，
得016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即
0164
32444336)1(2
22<++-?++?
+m m
m m m ， 即0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ，3252>
m ，25
3
)1(2 3 53<<- m . 故l 的斜率的取值范围为)5 3 ,53(- . 因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，） （22,1y x -=，从而 04 324343362)(32222121=+-?++? =++=m m m m y y y my . ∴1FA 与共线，即1A 与F 、B 三点共线. III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线. 第14题解答过程 14.解： n n n n n x x x x x 121212 1+=+=+，22 211441n n n x x x ++=+， )1(411 2 22 1 +=- +n n n x x x ，Λ3,2,1=n . 故∑∑==++=- 2006 12 2006 1 2 21 )1(4)11 ( n n n n n x x x ，亦即 8024411 2006 1 2 212 2007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得802541 20061 2 2 2007 ∑=+=n n x x .（*） 由于 11 21 21<+=+n n n x x x ，,,3,2,1Λ=n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31 122 11 2=+= x x x ，11319 23 1122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=20063222006 1 2 )31(1n n n n x x 15120041219911)113(91120063 2 由（*）式得 8629802515141 80252 2007 =+?<< x ， ,802518629122007< 1lg lg 86291lg 2 2007< 3 lg 22007-<<-x ， ∴??2lg 2007-==x k . 第15题解答过程 证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及 222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知 )()(21)()(21)()(212222 22222222222222222222x y y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤2 22222222222z y x c y x z b x z y a ++=)(2)(2 222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而 22 222222222)( ])[(])[(])[(P z cxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即 2 )(P S c b a ≤++，c b a P S ++≤2 . 上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即= ==z y x c b a P ++.因此所求的 S 的最大值为 c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y x c b a P ++. （第13题答图）（第10题答图）（第12题答图） 2008年安徽高中数学竞赛初赛试题 一、选择题 1.若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象 重合，则（） （A ）()()1g x f x -= - （B ）()()1g x f x -= （C ）()()1g x f x -=-- （D ）()()1g x f x -=- 2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（） （A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++o o o L 最接近的是（） （A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 5. 1 2008写成十进制循环小数的形式10.0004986254986252008 =K K K ，其循环 节的长度为() (A)30 (B)40 (C)50 （D ）60 y y A A 1 B 1 C 1 D 1 B C D A B C D Q M P N O F E 6.设多项式()200820080120081x a a x a x +=+++L ，则012008,,,a a a L 中共有（）个是偶 数。 （A ）127 （B ）1003 （C ）1005 （D ）1881 二、填空题 7.化简多项式() 1n n k k m k m n k k m C C x x --=-=∑ 8.函数( )f x = 的值域为 9.若数列{}n a 满足()11 111 0,,21n n n a a a a n a a --+>=≥-，且具有最小正周期2008， 则1a = 10.设非负数122008,,,a a a L 的和等于1，则12232007200820081a a a a a a a a ++++L 的最大值 为 11.设点A ()1,1，B 、C 在椭圆2234x y +=上，当直线BC 的方程为时，ABC V 的面积最大。 12.平面点集(){},|1,2,,;1,2,,G i j i n j n ===L L ，易知2G 可被1个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），3G 可被2个三角形覆盖，则覆盖2008G 需要个三角形。 三、解答题 13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记η为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求η的分布。 14.设() 11,,2n a a n ≥=≥，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。证 明：无论1a 取何正整数时，不在数列{}n a 的素数只有有限多个。 15.设圆1O 与圆2O 相交于A ，B 两点，圆3O 分别与圆1O ，圆2O 外切于C ，D ，直线EF 分别与圆1O ，圆2O 相切于E ，F ，直线CE 与直线DF 相交于G ，证明：A ，B ，G 三点共线。 08年安徽省高中数学竞赛初赛答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．m n C 8．?? ? ??-10,1054 9．2008 tan π k ，正整数1003≤k 且与2008互素。 10．4/1 11．023=++y x 12．1338 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．3,1,0=ξ。 （2分） 15 1 3151)()3(=?= ==球同色盒①中球同色，盒②中P P ξ。 （6分） 5 2 )311(513)(3)1(=-??===球异色盒①中球同色，盒②中P P ξ。 （6分） 15 8 )1()3(1)0(= =-=-==ξξξP P P 。 （6分） 14．????1312123121≥=≥=≥a a a a a ，，。 （2分） 当4≥n 时，利用数学归纳法，得????2)3(1-≥-≥=-n n n na a n n 。 （5分） 令n a b n n -=，则有???? ? ? ??-≤-+-=≤---21)1(211n n n b n b n n b 。 （5 分） 当11-=-n b 时，??1)2(-<--=n n n b n 。 （5分） 故当n 充分大时，2-=n b ，不在数列}{n a 中的正整数只有有限多个。 （3分） 15．以EF 为x 轴，E O 1为y 轴，建立平面直角坐标系。设)0,0(E ，)0,(c F ， （1分） 212121)(:r r y x O =-+⊙， （1分） 222222)()(:r r y c x O =-+-⊙， （1分） 23223)()(:r b y a x O =-+-⊙， （1分） 其中b a ,满足???+=-+-+=-+② ①2 322222 31212) ()()()()(r r r b c a r r r b a （2 分） 于是，0)(22:122=-+-y r r c cx AB ， （2分） 3 1313113113) ,(),(),0(: r r b r a r r r b a r r r r r C ++=+++， （2分） 3 22323223223) ,(),(),(: r r b r c r a r r r b a r r r r c r D ++=+++， （2分） 0)(:3=-+ay x b r CE ， （2分） 0)())((:3=---+y c a c x b r DF ， （2分） ),(:3b r a G +。 （2分） 由①－②知，点G 的坐标满足直线AB 的方程。 （2分） 注：对于几何证法，如果无法列举所有情形，得分减半。 2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.函数()2f x x =. 2.函数y =的图象与x y e =的图象关于直线1x y +=对称. 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于. 4.设椭圆 22 111 x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t =. 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于. 6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是. 7.设O 是ABC ?的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于. 8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是. 二、解答题（共86分） 9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，1 2 1n n a a -= +，2n ≥.求n a 的通项公式. 10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除. 11.（22分）已知ABC ?的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠， B ∠， C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ?的面积小于DEF ?的面积. 12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由. 10年安徽省高中数学竞赛初赛答案 1. 答案：4??-??. 提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤）， 则4cos 2sin 4)4y ααα?=-+=++ （其中cos ?= ，sin ?= ，?为锐角）， 所以当0α=时，max 8y =，当α?π+= 时，min 4y =- ，故 4y ??∈-??. 2.答案：1ln(1)x -- 提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-， 1y x →-， ∴11y x e --=，解得1ln(1)y x =--. 3.答案：1 3 - 提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵ tan 2α=，∴22 11 cos 1tan 3 αα= =+，则21 cos 22cos 13 αα=-=-. 4.答案：5 提示：由椭圆方程 22 111 x y t t +=+-知，1t >， 设其参数方程为1cos 1sin x t y t θ θ ?=+??=-??（θ为参数）代入双曲线方程1xy =， 得2 sin 21 t θ= -. 因两曲线相切，∴2 11 t =-，故5t =. 5.答案：13+ 提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ?的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为 32323 113- ++=+. 6.答案：213 a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则 32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---， 2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1 2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 高中数学值得推荐的辅导书看完都上清华北大 很多同学进入高中后都会想要几本好的教辅书，下面是小编推荐的高中数学最好的辅导书，希望能对大家有所帮助。 ? ?高考数学最好的辅导书 1.《高中数学精编?代数》《高中数学精编解析 几何、立体几何》郑日锋浙江教育出版社这套书上世纪八十年代就已经风靡一时了，堪称经典。之前一直是四本，后来改成了两本，内容上也有更新，目前还是四校学生争先恐后刷掉的第一套书，可见其在高中教辅之中的地位。可作为同步教辅。2.《多功能题典?高中数学》(第三版)况亦军华东师范大学 出版社该书主编况亦军为上海中学数学教研组组长，各章编写者大多为华东师范大学第二附属中学的老师，可以保证该书品质。该书非常厚(1000页)，每个题目后配有详细解析，非常适合有一定基础之后再进行阅读，否则只看解析不动笔做容易造成眼高手低的状况。3.《高中五星级题库?数学(课改版)》《高中五星级题库难题解析数学(课改版)》(红皮)沈子兴上海科技教育出版社还有一套蓝皮的五星级题库不推荐给各位，因为那本书是全国教材的编写顺序，而红皮的是上海教材的编写顺序。该书为华师大二附中学生用于提高的教辅，部分五星题目达到高中联赛难度。4.《华东师大版一课一练》华东师 范大学出版社该书为部分中学同步教辅，号称改革开放以来最具影响力的300本书之一，经常遇到学生问到该书上的问题，如果学校要求做就做，不 要求做的话建议刷《精编》。5.《龙门专题高中数学》(12本专题+1思想方法)付荣强龙门书局高中教辅精五门之一(精编，五星级题库，龙门专题)，这是 高中常规体系教辅材料里面少有的分专题呈现的教辅，专题之间穿插很多，综合性强，不适合作为同步教辅，当然学习能力非常强的学生可用该书自学。 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线 段AC1相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n，第一行是1,2,…,n. 例如： 3123 894 765 T设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P 的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: 222 y z xy yz zx. x233 （2）是否存在实数k>3，使得对于任意实数x.y,z下式恒成立？ 222 y z k xy yz zx，试证明你的结论. x23 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB = No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题） 乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min 你知道数学竞赛怎么学 点击：248次，时间：2016-11-12 14:08:55 搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。 1、学习进度方面 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。 2、入门书单 首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。接下来的书就是建立在此基础上的。我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。 1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。 2）《奥数教程》 经典奥数蓝皮书。优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。) 3、提高书单 1）《奥赛小丛书》 专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。 2）《奥赛经典》 内容比较全面，例题选取也比较新，难度也较高，适合着眼于联赛二试和冬令营的同学们；代数部分可以做为《奥赛小丛书》的补充。几何还可以，但定理可以只记最基本的，拓展的可以不记。组合，数论有时间可以看看,不过很多都和小丛书重复，没时间就算了。 3）《命题人讲座》 适合系统学习，冲刺冬令营，但没必要每本都做，挑其中较好的做便可。如《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《三角函数与复数》、《向量与立体几何》、《初等数论》。 其中《初等数论》是目前数论方面非常系统、难度较高的一本书，很多学生读后也感觉受益匪浅。数论方面当然不能不提两位先生，一位是潘承彪教授，一位是余红兵教授，潘老师的《初等数论》是我们读书时的必读教材，也是大学里的教材，不仅仅局限于竞赛范畴；余老师关于数论的小册子《数学竞赛中的数论问题》，非常经典！ 另外华罗庚的《数论导引》则非常优秀，适合看完《初等数论》后再深化学习。此外非常值得推荐的是《哈代数论》，值得永世珍藏。 4）《数学竞赛研究教程(套装上下册)》 本书是参加数学竞赛的教练员和选手的必备用书。国内数学竞赛研究方面的权威参考书。 5）关于几何 《初等数学复习及研究平面几何》、《初等数学复习及研究立体几何》。有助于深化系统自己的几何基础。 6)关于组合 推荐单樽老师的《组合几何》《趣味图论》，以上均为上面提到过的数学奥赛辅导丛书的书，那一个系列基本上都非常出色，适合永世珍藏。 2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题 一.选择题 1.如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对 (),A B 为“好集对” 。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862A B C D ２.设函数()() lg 101x f x -=+,()() 122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101 A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺 序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角 ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1 AD a BD b CD a b ===-=. 设数列 {} k u 的通 项 为 ()1221,1,2,3, ,k k k k k k u a a b a b b k --=-+- +-=则( ) 20082007200620082007200620082007 20082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的 顺序排成一个新的数列 {} n a ,易见123451,3,7,9,13 a a a a a =====那么 2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 6. 设 A B ==1+cos871-cos87 则():A B = .. .A B C D 2 2 7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n 为使得n n a = 取实数值的最小正整数,则对应此n 的 n a 为 783660 A B C D 江苏省高中数学竞赛校本教材[全套] (共30讲，含详细答案)-苏教版 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143) §19立体图形，空间向量 (161) §20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？ 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星） 2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》余红兵19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+2 2，b y x =+2 2 ，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的 最大值为 （ ） A ．2 b a + B ．ab C ．22 2b a + D ．2 2 2b a + 2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），?? ? ??41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1 x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N 3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数 列，那么z y x ++的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是 222C B A ?的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形 B ．111 C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形 C ．111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形 D ．111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形 5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A ．不存在 B ．有且只有一对 C ．有且只有两对 D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．设集合[]{}{} 222 <==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B =___________________. 7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写 成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 _________________. 9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10．在ABC ?中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2 2 2c b a +=______________. 1 2 0.5 1 x y z 高一数学竞赛辅导练习题3 环县一中高一数学竞赛辅导练习题(3) 一、选择题 ,(设则( ) SxyxyTxyxy,,,,,{(,)|0},{(,)|0,0}, A B C D STS,STT,STS,STS, 1fx(),,(若的定义域为A，的定义域为B，那么( ) gxfxfx()(1)(),，,x A B ,, , , ABR,AB,AB,,3. 区间所得的象集区间为，若区间的长度比区间[,0]:2mfxxm在映射,，[,]ab[,]ab 的长度大,，则,( ) [0,]mm , , , 10 , 2.5 , , 2-1-x4.给出下列几个函数:?y= 3x-5 , ? y=-x ,? y=-(x) ,? y= log(-x), ? y=(0.5) 2其中在区间上递减的函数个数是( ) (,0),, A. 0 B. 1 C.2 D.3 5.已知集合M={2010，3，25}，则M的所有子集的个数是( ) A(5 B(6 C(7 D(8 6(函数( ) yxx,，,(2)(6) A(有最小值，没有最大值， B(有最大值，没有最小值， C(有最小值，也有最大值， D(没有最小值，夜没有最大值， 7.以a,b,c顺次表示方程 x+logx=2 , x+logx =2 , x+logx=1的根，则它们的大小关系232 是 abc,,bac,,cab,,cba,, A( B( C( D( 32x，x1,xy,log(a,0且a,1);8. 下列4个函数中:?y=3x,1，? ?y,， a1，xx，1 11y,x(，)(a,0且a,1).? 其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( ) ,x2a,1 A(? B(?? C(?? D(?? 1a,f(log),9(函数f(x)、f(x+2)均为偶函数，且当x?[0，2]时，f(x)是减函数，设b= 82f(7.5)，c= f(,5)，则a、b、c的大小关系是( ) abc,,acb,,bac,,cab,, A( B( C( D( 1133,,,12222A,B,xx，xx，10. 已知，，，则的值分别为( ) AB,xx，,3 ,5,25,25,5 A(， B(， 255525 C(， D(， 二、填空题: 11. 边长为2的正三角形的面积是_________. 12.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M为对角线AD上一点，N为对角线BD 上1111111的一点，则线段MN的长度的最小值是 xy，2yx,113.若2(2),并且，则 x+y= _______________. 93, yxx,，,3的最大值是_____________ ; 14.函数 x15.函数的定义域是___________ y,2log()xx,2 1f(x),f()16. 设二次函数f(x)，对x?R有=25，其图象与x轴交于两点，且这两点的横2 坐标的立方和为19，则f(x)的解析式为 2f(x),ax，2ax，117(已知二次函数在区间[,3，2]上的最大值为4，则a的值为 218(a > 0，当时，函数的最小值是,1，最大值是1. 求f(x),,x,ax， bx,[,1,1] 学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表 全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n = d n n na a a n n 2 ) 1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有 a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数 列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a n n =+1 ，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时， S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即 b 2=a c (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极 限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为 q a -11 （由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
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