2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1.如果集合.A B 同时满足{}1.
2.
3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，
()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
64
8
6
2A
B
C
D
２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=
方程的解为( )
()()()()2222.log lg21
.lg log 101
.lg lg21.log log 101
A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )
4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.
,,1
AD a BD b CD a b ===-=.
设数列
{}
k u 的通项为
()1221,1,2,3,
,k
k k k k k u a a b a b b k --=-+-
+-=则( )
2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007
.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==
5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见
123451,3,7,9,13
a a a a a =====那么
2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597
6.
设
A B ==1+cos871-cos87
则():A B =
78
36
6
0A
B
C
D
..
.A B C D 2
2
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.
8.设2007n ≥,且n
为使得n
n a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为
9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.
10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.
函数
()()
,f x g x 的迭代的函数定义为
()()()()
()()()1
2,,f x f x f x f f x ==
()()()()()
()()()()()()()()()()()
()
1121,,,
n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…
设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()
()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ?=??=??=??
的解为
_________________
12.设平行四边形ABCD
中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形
ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________
三．解答题
13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).
1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.
2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.
3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由. 14. 数列{}n x 由下式确定: 112
,1,2,3,,121
n
n n x x n x x +=
==+,试求
[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数
部分.)
15. 设给定的锐角
ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足
,ayz bzx cxy
p x y z
++=其中
p
为给定的正实数,试求
()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大
值时, ,,x y z 的取值.
2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题
1.C.
2.A.
3.C.
4.A.
5.B
6.D. 第1题解答过程
逐个元素考虑归属的选择.
元素1必须同时属于A 和B .
元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A . 同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .
所以4个元素满足条件的选择共有62222=-??种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C. 第2题解答过程
令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ， )110lg(--=y x .从而)110lg()(1
--=-x x f . 令t x =2，则题设方程为
)()(1
t f
t f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，
1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，解得 2lg 2
1
2=
=t x . 从而 1)2(lg log )2lg 2
1
(log 22-==x . 答：A.
第3解答过程
注意 972126??=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, ）
（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷?+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）. （1） 又
因
为1
103-≡，n
n )1(103-≡（mod7）,所以
i
i i A 34000
10)500(?-=∑=i i i ）（1)500(4000
-?-≡∑=
100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）.
(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：