2011年全国高中数学联赛安徽省预赛
安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责，预赛试题所涉及的知识范围，完全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高，主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况，以及灵活运用知识的综合能力.
试题包括8道填空题，4道解答题，满分150分，考试时间为2小时.
印制试卷严格按照联赛的要求，秘密印卷，采用大包30份，小包10份的包装，通过保密渠道，在9月9日左右寄达各市教研室. 各市教研员在收到试题后派专人保管，并在考前5分钟拆封.
安徽省预赛于2011年9月10日举行，在这个值得庆贺日子“教师节”，我省17各地市的高中数学老师都在认真地监考. 共有31078名学生在各地、县中学参加考试. 初赛结束后，各地教研员认真组织改卷、初评和复评工作，坚持公开、公正、公平的原则，最终复评后确定了1130人有参加10月16日到中国科学技术大学参加全国高中数学复赛的资格.
试 题
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，
40=A C ，则C B A 的最大可能值为 .
2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，
则=a .
3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，
则)4()0(f f +的所有可能值集合为 .
4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,max (102011n a a a a =，则
=n .
5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩
形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE 于点Q . 若
3
=AB ，
2
=AD ，
1
=AE ，
则
=PQ .
6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外
侧滚动，其扫过区域的面积为 . 7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对
应. 若点B A ,分别对应复数1
,-z z （R ?z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数 （用z 表示）.
8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率
为 .
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分） 9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4
12
1-++-
=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.
10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：
2
111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可
能值.
12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交
双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线2
1
=
x 上
.
第5题
第6题
解答
1. 10.
2. 2.
3. {32}.
4. 2413.
5.
4
17. 6. 2π46r ar +. 7. z z z
z ++1. 8.
)
3)(1(3
--n n .
9．1221144n n n n a a a
a a ---++=-
=-
1211112222
n n n n n a a a a ----???-
=-== ??? 1
1212
122----=
?==+=?n n n n n n n a n a a .
10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2
k k p a ≥. 于是
2
11222211114(21)114(21)1111242
n
n
k k k k n k n
k a p k k n ====≤≤+-≤
+--=-<∑∑∑
∑
11
．由(0)(1)f c f a b c
f c ?=??
=++??=+??
可知
2(1)1)(0)b f f =--≤)()(3233x x x f -=
满足题设，b 的最大可能值为233.
12．设),(),(),(2211y x P y x E y x D ，，，直线CD 的方程)2(-=x k y ，则
222(2)1x k x --=，所以
2212121222
4145
1()114k k x x x x x x k k -++==-=-++--， ， ① 1212(1)(1)11
y y
x y x x x +==-+-， 所以
21
2121211212
21
2121212122
111123223411
11
y y
x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x --++
-+-+--==
=
-----
-
-+-+。 把①代入上式，得2
1=
x .