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港澳台联考数学模拟题(5)

中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题（5）

数学

满分150分，考试用时120分钟

考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做一、二题，在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2

+ x －6=0}，则下

图中阴影表示的集合为（）

A ．{2}

B ．{3}

C ．{－3，2}

D ．{－2，3} 2．已知命题p: "x ?R ，cos x ≤1，则（）

A ．1cos ,:≥∈??x R x p

B ．:p ?" x ∈R ，cos x ≥1

C ． 1cos ,:>∈??x R x p

D ．:p ?" x ∈R ，cos x ＞1

3.若复数

a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( )

A 、-6

B 、13 C.

D.13 4.若5

)1(-ax 的展开式中3

x 的系数是80，则实数a 的值是（） A ．-2 B. 22 C.

4 D. 2

5、在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且2

3b c bc a ++=，则A ∠等于（） A ．

6π B ．3π C ．23π D ．56

6．如图，目标函数u=ax －y 的可行域为四边形OACB(含边界). 若点24(,)35

C 是该目标函数的最优解，则a 的取值范围是（）

A ．]125,310[--

B ．]103

,512[--

C ．]512,103[

D ．]10

3,512[-

7．若函数1()ax f x e b

=-的图象在x =0处的切线l 与圆

C: 221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是（） A ．在圆外

B ．在圆内

C ．在圆上

D ．不能确定

8．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是111AA A D →→ ，黄“电子狗”爬行的路线是1AB BB →→ ，它们都遵循如下规则：所

爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）

A ． 0

B ．1

C ．

2 D ．

9．已知函数2()f x x x c =++，若(0)f ＞0，()f p ＜0，则必有（）

A ．(1)f p +＞0

B ．(1)f p +＜0

C ．(1)f p +=0

D ．(1)f p +的符号不能确定

10．曲线3

2y x x =-在横坐标为-1的点处的切线为l ，则点(3,2)P 到直线l 的距离为（）

A ．

722 B ．922 C ．1122 D ．910

11．已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点

落在区域A 的概率为

（） A ．

13 B ．23 C ．19 D ．29

12．对于函数①()|2|f x x =+，②2

()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个

命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；

命题乙：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数；能

使

命

题

甲

、

乙

均

为

真

的所有函数的序号是

（） A ．①② B ．①③ C ．② D ．③

二、填空题：（本大题共8题，每小题4，共32，把答案填写在题横线上）.

13、曲线所围成的封闭图形的面积为_________ 14．在平面直角坐标系xoy 中已知△ABC 的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B 在双曲线的左支上，

15．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……

试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________n a =. 16、三位同学在研究函数 f (x ) =

1 + | x |

(x ∈R ) 时，分别给出下面三个结论： ① 函数 f (x ) 的值域为 (－1,1) ② 若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)

③ 若规定 f 1(x ) = f (x )，f n +1(x ) = f [ f n (x )]，则 f n (x ) =

x 1 + n | x |

对任意 n ∈N *

恒成立. 你

认为上述三个结论中正确的个数有 17、如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 P A 于点F ，且△COF ∽△PDF ，PB = OA = 2，则PF = 。 18、极坐标系中，点P (2,)6π

到直线：:sin()1

l π

ρθ-=的距离是．

19、不等式|1||3|2x x +--≥的解集是

20、求过点M （1，-1，2）,N （-1，0，3）且平行于z 轴的平面方程

A C

F B

D P

,1,2,0y x x y x

===

=sin sin sin A C B 则-=22

12511x y -=

三、解答题：在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 21、（本小题满分14分）在ABC ?中，已知内角3

A π

，边23BC =.设内角B x =,面积为y .

(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域； (2) 求y 的最大值.

22．（本小题满分14分）

旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率. （3）求选择甲线路旅游团数的期望.

23．（本小题满分14分）

如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱

形，AC∩BD=O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，E 是O 1A 的中点. （1）求二面角O 1－BC －D 的大小；（2）求点E 到平面O 1BC 的距离.

24．（本小题满分15分，文史类考生不做）

设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值；

25. （本小题满分15分，文史类考生不做）

设函数()ln 1f x x px =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；

E O 1

D 1

C 1

B 1

A 1

26．（本小题满分15分，理工类考生不做）

设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值；

27. （本小题满分15分，文史类考生不做）

设函数()ln 1f x x px =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；

数学试题参考答案

一、选择题（本大题12，共6分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

二、填空题：（本大题共须作8题，每小题4，共32，把答案填写在题横线上）.

13、 ln 2 14、

15、1

34n -′ 16、3 17、3 ；18、13+。；19、}{

x x ≥ 20、x+2y+1=0

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21、（本小题满分14分）解：（1）ABC ?的内角和A B C π++=

3A π

203B π

∴<<

…………………1分

sin 4sin sin BC AC B x A == 2sin 4sin()sin 3

BC AB C x A π

∴==-……………5分

12sin 43sin sin()23

y AB AC A x x π

∴=?=- 2(0)3x π<<…………………7分（2）y = 231

43sin sin(

)43sin (cos sin )322

x x x x x π-=+……………9分 26sin cos 23sin x x x =+723sin(2)3,(2)6666

x x ππππ

=-+-<-<

…………12分当262

x ππ-=即3x π

=时，y 取得最大值33 ………………………14分

22（本小题满分14分）

解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P 1=83

4=A …………3分

（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P 2=169

22324=??A C C ……6分（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………7分

P （ξ=0）=6427

4333= P （ξ=1）=64274

332

13=?C

P （ξ=2）= 649433

13=?C P （ξ=3）= 641

4333=C ………………9分

∴ξ的分布列为：

………………10分

∴期望E ξ=0×

6427+1×6427+2×649+3×641=4

………………12分 23．（本小题满分14分）

解法一（1）过O 作O F ⊥BC 于F ，连接O 1F ，

∵OO 1⊥面AC ，∴BC ⊥O 1F ，

∴∠O 1F O 是二面角O 1－BC －D 的平面角，………………3分

∵OB=2，∠OB F =60°，∴O F =3.

在Rt △O 1O F 在，tan ∠O 1F O=133,3

OO OF ==

∴∠O 1F O=60° 即二面角O 1—BC —D 为60°………………6分

（2）在△O 1AC 中，OE 是△O 1AC 的中位线，∴OE ∥O 1C ∴OE ∥O 1BC ，∵BC ⊥面O 1OF ，∴面O 1BC ⊥面O 1O F ，交线O 1F . 过O 作OH ⊥O 1F 于H ，则OH 是点O 到面O 1BC 的距离，………………10分 ∴OH=3

.2∴点E 到面O 1BC 的距离等于3.2

………………12分

解法二：（1）∵OO 1⊥平面AC ，

∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，又OA ⊥OB ，………………2分

建立如图所示的空间直角坐标系（如图） ∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=23，OB=2，

则A （23，0，0），B （0，2，0），C （－23，0，0），O 1（0，0，3）………3分

设平面O 1BC 的法向量为1n

=（x ，y ，z ），

则1n ⊥1O B ，1n ⊥1OC

，

∴230

2330

y z x z -=???

--=??，则z=2，则x =－3，y=3，

∴1n =（－3，3，2），而平面AC 的法向量2n =（0，0，3）………………5分

ξ 0 1 2 3

6427 6427 649 641

∴cos<1n ，2n

>=2

436|

|||212

1=?=

??n n n n ，设O 1－BC －D 的平面角为α， ∴cosα=

∴α=60°. 故二面角O 1－BC －D 为60°. ………………6分

（2）设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，

∵E 是O 1A 的中点，∴1EO =（－3，0，3

），………………9分

则d=232

3)3(|

)2,3,3()23

,0,3(|||||22211=

++--?-=?n n EO ∴点E 到面O 1BC 的距离等于32。……………12分

24、26．（本小题满分14分）解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 2分

设P （x ，y ），则1),1(),1(2

221-+=--?---=?y x y x y x PF PF

1544222+=--

+x x x ………………4分 ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3；

当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 ……6分

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y ……………………8分

由方程组22

22221(54)5012520054

(5)x y k x k x k y k x ?+

=?+-+-=??=-?

，得依题意2

20(1680)055

k k ?=->-

，得 …………10分当5

55<<-

k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则4

5252,455022

2102

221+=+=+=+k k x x x k k x x .4

520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k

k k k x k y

又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F

1204204

5251)4520(02

222-=-=+-+-

-?=?∴k k k k k k

k k k R

F …………13分 ∴20k 2

=20k 2

－4，而20k 2

=20k 2

－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| …………14分

25、27．（本小题满分14分）解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，

p x x f -=-=

'11)( …………2分当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点 …………3分

当p>0时，令x x f x f p

x x f 随、，

)()(),,0(1

0)('+∞∈=∴='的变化情况如下表： x

(0，

) 1p

(,)p

+? '()f x + 0 － ()f x

↗

极大值

↘

从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点p

x 1

………………7分（Ⅱ）当p>0时在1x=

p 处取得极大值11

()ln f p p

=，此极大值也是最大值，要使()0f x ￡恒成立，只需1

()ln

0f p

=?， ∴1p 3 ∴p 的取值范围为[1，+∞) …………………10分

港澳台联考试卷

伟鹏教育金圆梦教育港澳台联考测试中文满分150分，考试用时150分钟。第一部分本部分为选择题，共18题，每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内。一、语文基础知识（30分） 1.下列各句中，加点的虚词使用正确的是（） A.保护知识产权是为了促进创新，促进发展，如果．．做好了这项工作，研究人员会更有动力创造出新的成果。 B.熟悉王厂长的人都摸到了一条规律：如果上午十点找他，不要到厂长办公室，而要到车间和．图书资料室。 C.那些在求职简历里弄虚作假甚至伪造证书的学生，只要．．被用人单位录用，一旦查出，也要立刻停止协议 D.不可否认，中国正在成为全球经济的重要参与者，不仅在亚洲地区，即便．．在全世界，也具有日益重要的影响力。 2.依次填入下面横线处的词语，恰当的一项是 ( ) 学校网络中心报告说，电子邮件已经跃升为计算机病毒的主要传播________。他几次提起出国深造的话题，希望与父亲好好谈谈，可是父亲的_________却很冷淡。掀开到稻草，铲去浮土，搬开下面的青砖，她发现了一个_________得很巧妙的洞口。 A．媒体反应隐匿 B. 媒介反应隐蔽 C．媒介反映隐蔽 D. 媒体反映隐匿 3.下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是（） A.在导游的领导下，这批游客便登堂入室．．．．，津津有味地欣赏起博物馆的文物来。 B.虽然室外又闷又热，但由于工作间安装了空调，舒适的温度使大家如坐春风．．．．。 C.喜好在名胜古迹上刻字留言，这种不文明之风不知起于何时，始作俑者．．．．是谁。 D.当年他只身闯京城，前倨后恭．．．．，凭借过人的毅力和吃苦精神，创下这份家业。 4.下列各句中，有病句的一句是（） A．谢灵运又称大谢，谢朓又称小谢，他们叔侄两人都擅长山水诗的写作，大谢在宋，小谢在齐，俱为南北朝时一代诗宗。 B．随着改革开放的进一步深入，我国人民的消费观念、消费水平和消费方式都有了明显的提高和转变。 C．语文教师应具有“大语文”、“大课堂”的理念，不断引导学生在平时的社会实践中学习语文，应用语文。 D．这几年他事业有成，开了一家广告公司，手下都是些大学毕业生，平均年龄在25岁左右。 5．下列各句中，语意明确，合乎逻辑的一句是

2017年港澳台联考数学真题

2017年港澳台联考数学（真题）一：选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。 1.若集合{ }{},4,3,2,3,2,1==B A 则)(=?B A {}{}{} {}4,3,2,1.4,3.3,2.2.D C B A 2.)( 25sin 20sin 25cos 20cos =??-?? 2 2.0.2 1. 2 2 . - D C B A 3.设向量()() 1,3,1,3- == → → b a ，则→ →b a 和的夹角为（） ?? ? ? 150.120.60.30.D C B A 4.)( 232 =??? ? ??+i i D i C i B i A 2 321.2321.2321.2 3 21.+-+- -- 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,,46451S S S a ≥≥=则公差d 的取值范围是（） []0,1.54,98.54,1.98,1.-?? ? ???-? ????? --? ????? --D C B A 6.椭圆C 的焦点为),0,1(),0,1(21F F -点P 在C 上，,3 2,2212π =∠=P F F P F 则C 的长轴长为（） 322.32.32.2.++D C B A

7.函数)(x f y =的图像与函数)1ln(-=x y 的图像关于y 轴对称，则)( )(=x f )1ln(.) 1ln(.) 1ln(.) 1ln(.+--+---x D x C x B x A 8.设10<> 9.4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（）个 256.140.70.16.D C B A 10.正三棱锥111C B A ABC -各棱长均为1，D 为1AA 的中点，则四面体BCD A 1的体积是（） 24 3. 12 3. 8 3. 4 3 . D C B A 11.已知双曲线)0,0(1:22 22>>=-b a b y a x C 的右焦点为)0,(c F ，直线)(c x k y -=与 C 的右支有两个交点，则（） a c k D a c k C a b k B a b k A > < > < .... 12.函数)(x f 的定义域()+∞∞-,，若)1()(+=x f x g 和)1()(-=x f x h 都是偶函数，则（） )5()3(.) 4()2(.)(.)(.f f D f f C x f B x f A ==是奇函数是偶函数