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最新港澳台联考数学模拟试题

最新港澳台地区入学考试模拟试卷

这份试卷共三个大题，共27小题. 满分150分.考试时间为120分钟.

第一部分选择题(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B = e（）

A ．?

B ．{1,2,3,4}

C ．{0,1,2,3,4}

D ．{2,3,4}

2. 复数13i z =+，21i z =-，则复数

z z 在复平面内对应的点位于（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几

何体的全面积为（）

A ．3π2

B ．2π

C ．3π

D ．4π

4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -= （）

A ．1

B ．

C ．1-

D ．114

5. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．12

6. 函数2

()ln(1)f x x x

=+-

的零点所在的大致区间是

（）

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,)e

D ．(3,4) 7. 已知命题“若p 则q ”为真，则下列命题中一定为真的是

（）

A ．若p ?则q ?

B ．若q ?则p ?

C ．若q 则p

D ．若q ?则p

8. 如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是

（）

A ．210

B ．6

C ．33

D ．25

主视图

左视图

俯视图

9电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω?

?=+ ???

（0A >，0ω≠）的图像如图所示，则当150t =时，

电流强度是

（）

A ．5-安

B ．5安

C ．53安

D ．10安 10若函数()23

k k

h x x x =-

+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2]-∞- D ．(,2]-∞

11甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是

（）

A ．

B ．

512

C ．

712

D ．13

12.在xOy 平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n *∈N ，连接原点O 与点(,4)n P n n -，用()g n 表示线段n OP 上除端点外的整点个数，则(2008)g = （）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二，填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

13. 在ABC ?中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =?，75C =?，8a =，则边b 的长等于． 14. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答） 15. 在Rt ABC ?中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则

222111

h a b

=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则． 16. 已知定义在区间[0,1]上的函数()y f x =的图像如图所示，对于满足1201x x <<<的任意1x 、2x ，给出下列结论：

① 2121()()f x f x x x ->-； ② 2112()()x f x x f x >； ③

1212()()

2f x f x x x f ++??<

???

．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上） 17. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是，它与方程π

θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是．

18. （不等式选讲选做题）已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x 、y 、z ，则x 、y 、

z 所满足的关系式为，222x y z ++的最小值是．

19. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的

方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；

()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）

20.通过点（2，-1，3）做平面x-2y-2z+11=0的垂线，则平面上的垂足为，

三、解答题：在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．

21．已知向量

(1sin2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+

，函数

()f x a b =?

．

（Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（本小题满分14分）

（Ⅱ）若8()5f θ=，求πcos 224θ??

- ???

的值．

22.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在

下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12

．（本小题满分14分）

（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ；

（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ．

23.如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===， EA AB ⊥，M 是EC 的中点．

（本小题满分14分）（Ⅰ）求证：DM EB ⊥；

（Ⅱ）求二面角M BD A --的余弦值．

24．（本小题满分15分，文史类考生不做）

在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、

PB 的斜率之积为3

-．求动点P 的轨迹C 的方程；

25．已知()ln f x x =，217

()2

g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都

相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（本小题满分15分，文史类考生不做）（1）求直线l 的方程及m 的值；

（2）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值；

26．在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、

PB 的斜率之积为3

-．求动点P 的轨迹C 的方程；

（本小题满分15分，理工类考生不做） 27．已知()ln f x x =，217

()22

g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都

相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（本小题满分15分，理工类考生不做）

（1）求直线l 的方程及m 的值；

（2）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值；

．数学（理科）参考答案

一、

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求

的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．三、

13．46

14．16

15．

2222

1111h a b c =++ 16．②③

17．(1,0)，π2,4?

? ??

? 18．3x y z ++=，3

19．41，4(1)n - 20.（1，1，5）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.解：（Ⅰ）因为(1sin2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+

，所以

22()1sin2sin cos 1sin2cos2f x x x x x x =++-=+-

π2sin 214x ?

?=-+ ??

?．

因此，当ππ22π42x k -

=+，即3

ππ8

x k =+（k ∈Z ）时，()f x 取得最大值21+；（Ⅱ）由()1sin 2cos2f θθθ=+-及8()5f θ=得3

sin 2cos25

θθ-=，两边平方得

91sin 425θ-=，即16

sin 425

θ=．

因此，ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ????

-=-== ? ?????

．

22.解：（Ⅰ）记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入

B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故

111

()224

P B ????=+= ? ?????，

从而13()1()144

P A P B =-=-

=；（Ⅱ）显然，随机变量34,4B ξ??

???

，故

43127(3)4464

P C ξ??==??=

???， 3

434

E ξ=?=．

23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，并设22EA DA AB CB ====，则

（Ⅰ）31,1,2DM ??=- ??

? ，(2,2,0)EB =-

，

所以0DM EB ?=

，从而得

DM EB ⊥；（Ⅱ）设1(,,)n x y z =

是平面BD M 的

法向量，则由1n DM ⊥ ，1n DB ⊥

及

31,1,2DM ??=- ??

? ，(0,2,2)DB =-

得

302220n DM x y z n DB y z ??=+-=?????=-=?

可以取1(1,2,2)n = ．显然，2(1,0,0)n =

为平面ABD 的法向量．

设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值

121212||1

cos |cos ,|3

||||n n n n n n θ?=<>==?

． 24.（26.）解：（Ⅰ）依题意，有3

224

PA PB y y k k x x ?=

?=--+（2x ≠±）

，化简得 22

143

x y +=（2x ≠±），这就是动点P 的轨迹C 的方程；

25.（27.）解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率

(1)11

k f '===，

所以直线l 的方程为1y x =-．

又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由

221

19(1)0172222y x x m x y x mx =-??

?+-+=?=++??

，

得2(1)902m m ?=--=?=-（4m =不合题意，舍去）；

（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以

1()111

h x x x -'=

++．当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．

因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；

．

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

2017年港澳台联考数学真题

2017年港澳台联考数学（真题）一：选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。 1.若集合{ }{},4,3,2,3,2,1==B A 则)(=?B A {}{}{} {}4,3,2,1.4,3.3,2.2.D C B A 2.)( 25sin 20sin 25cos 20cos =??-?? 2 2.0.2 1. 2 2 . - D C B A 3.设向量()() 1,3,1,3- == → → b a ，则→ →b a 和的夹角为（） ?? ? ? 150.120.60.30.D C B A 4.)( 232 =??? ? ??+i i D i C i B i A 2 321.2321.2321.2 3 21.+-+- -- 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,,46451S S S a ≥≥=则公差d 的取值范围是（） []0,1.54,98.54,1.98,1.-?? ? ???-? ????? --? ????? --D C B A 6.椭圆C 的焦点为),0,1(),0,1(21F F -点P 在C 上，,3 2,2212π =∠=P F F P F 则C 的长轴长为（） 322.32.32.2.++D C B A

7.函数)(x f y =的图像与函数)1ln(-=x y 的图像关于y 轴对称，则)( )(=x f )1ln(.) 1ln(.) 1ln(.) 1ln(.+--+---x D x C x B x A 8.设10<> 9.4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（）个 256.140.70.16.D C B A 10.正三棱锥111C B A ABC -各棱长均为1，D 为1AA 的中点，则四面体BCD A 1的体积是（） 24 3. 12 3. 8 3. 4 3 . D C B A 11.已知双曲线)0,0(1:22 22>>=-b a b y a x C 的右焦点为)0,(c F ，直线)(c x k y -=与 C 的右支有两个交点，则（） a c k D a c k C a b k B a b k A > < > < .... 12.函数)(x f 的定义域()+∞∞-,，若)1()(+=x f x g 和)1()(-=x f x h 都是偶函数，则（） )5()3(.) 4()2(.)(.)(.f f D f f C x f B x f A ==是奇函数是偶函数