倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1.作二倍角的平分线，构成等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形. 2.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形. 例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90o. 【解答】见解析 【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D. 则∠ACE＝∠A，AE＝CE， ∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC， 又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90o； 【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE.
由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90o， ∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D， ∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD， 又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90o. 【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E， 又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90o. 二、倍半角综合 1.由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可. 如图，若（） 2.由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可. 如图，在Rt△ABC（∠A＜45o）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，
半角模型 已知如图：①∠2=1 2 ∠AOB；②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′. （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 模型实例 例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ． ∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ． ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ． （2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ． 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?． 又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．
.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF= 2 1 ∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45° ，连结EF ，求证：DE +BF =EF ． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ． 请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ）， F E D A B C B E D A G F D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4 F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt △ABC 中，点 D , E 在斜边上，∠DAE = 45? ，将 连接 EF ．则△ADE ≌△AFE ， DE 2 = BD 2 + CE 2 △ABD 旋转至△ACF ， 2、如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E , F 分别在边 BC , CD 上，∠EAF = 45? ，将△ABE 旋转至△ADG ，则△AEF ≌△AGF ， EF = BE + DF 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例 1 如图，已知等边△ABC 的边长为1 ， D 是△ABC 外一点且∠BDC =120? ， BD = CD ， ∠MDN = 60? ．求△AMN 的周长．
解 延长 AC 到 E ，使CE = BM ，连接 DE ． 易证 所以 可得 所以 从而 所以△AMN 周长为 △BMD ≌ △CED (SAS). ∠BDM = ∠CDE , DM = DE . ∠NDE = ∠NDM = 60?, △MDN ≌△EDN (SAS). MN = EN = CN + CE = CN + BM , C △AMN = AB + AC = 2. 例 2 如图，正方形 ABCD 的边长为 a ， BM , DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 ∠MAN = 45? ，连接 MC , NC , MN ． （1） 填空：与△ABM 相似的三角形是 ， ；（用含a 的代数式表示） （2） 求∠MCN 的度数； （3） 猜想线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论．
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
知识目标 第 6 讲 夹半角模型 知识导航 夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。 这类题目有其固定的做法，当 取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。夹 半角的常见分类： （1）90 度夹 45 度 （2）120 度夹 60 度 （3）2α夹α 题型一 90 度夹 45 度 【例 1】 如图，正方形 ABCD 中， E 在 BC 上，F 在 CD 上，且∠EAF ＝45°，求证：（1）BE ＋DF ＝EF （2）∠AEB ＝∠AEF 【练习】在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上，F 在 DC 延长线上，其余条件不变，证明： （1）DF －BE ＝EF （2）∠AEB ＋∠AEF ＝180°
夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如： （1）已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N 是AB 上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝MN2 （2）如图，正方形ABCD 中，F 为CD 中点，点E 在BC 上，且∠EAF＝45°，求证：点E 为线段BC 靠近B 的三等分点． 题型二120 度夹60 度 【例2】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N 分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN． 【练习】如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F 分别在AD、DC 延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．
真题演练 在等边△ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N ．D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系以及 △AMN 的周长 Q 与等边△ABC 的周长 L 的关系． （1）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且 DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； Q 此时 ＝ ；（不必证明） L （2）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且当 DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）当 M 、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN ＝2，则 Q ＝ （用含有 L 的式子表示）
《旋转的应用—半角模型》教学设计 一、教学目标： 1、 知识与技能：理解掌握“半角”模型，明确符合旋转类型题的两个特征； 2、 过程与方法：用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”、“分类”、“化归”的研究思想，发展学生观察、比较、分析、推理能力； 3、 情感、态度与价值观：通过自我学习与合作交流，明确辅助线的构造原理，进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力。教 学重点、难点： 重点: “半角”模型的辨别及灵活应用。 难点: ：辅助线的添加及说明能力。 二、教学流程： （一）常规积累： 如图将AC ，AE 顺时针旋转90o ，∠BAC=900，∠EAF=450 将会得到哪些相等的角？请写出来 ： 设计意图：半角模型, ∠BAC=900，∠EAF=450 通过旋转，将另一个半角的的两部分拼在一起，即∠DAF= ∠CAE+∠BAF=450从而构造出一对等角，即∠DAF=∠EAF 为本节 课的学习奠定了基础。
（二）典例解析 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF.求证：DE+BF=EF 1、先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论， 2、让学生讲解思路，互相补充，用多种方法解答。 3、让学生择优选择一种方法整理证明过程，找一名中等生板演证明 过程。其他同学点评错误。 （三）变式训练 1、如图，在四边形ABCD中，2∠EAF=∠BAD AB=AD，∠B=∠D＝90° BF、DE、EF三条线段之间的数量关系 是否仍然成立,请证明 本题是对典例解析题目的变式，由旋转角是90度变为任意∠DAB 先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论，找一名同学板演解 题过程。师生共同点评纠错。
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的 半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2 AD=，求AG． 【解析】：作GM⊥BD，垂足为M． 由题意可知∠ADG=GDM， 则△ADG≌△MDG． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM． 而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）． 例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10 ==，并且P点到CD边的距离也 PA PB 等于10，求正方形ABCD的面积？ 【解析】：过P作EF AB ⊥于F交DC于E．
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC △中，点D ,E 在斜边上，45DAE ∠=?， 将ABD △旋转至ACF △，连接EF ．则ADE △≌AFE △，222DE BD CE =+ 2、如图所示，在正方形ABCD 中，点E ,F 分别在边BC ,CD 上，45EAF ∠=?，将ABE △旋转至ADG △，则AEF △≌AGF △，EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例1 如图，已知等边ABC △的边长为1，D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?，BD CD =，60MDN ∠=?．求AMN △的周长．
解 延长AC 到E ，使CE BM =，连接DE ． 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ,DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=?，连接MC ,NC ,MN ． （1）填空：与ABM △相似的三角形是_______，_______；（用含a 的代数式表示） （2）求MCN ∠的度数； （3）猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．
中考模型解题系列之大角夹半角模型 满分100分 答题时间30分钟 1.(本小题100分) （2010重庆改编）等边的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为外一点，且 ,,BD=DC.探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及 的周长Q 与等边的周长L 的关系． （I ）如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_____________；此时___________； （II ）如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=，则Q=_________（用、L 表示）． 核心考点: 全等三角形的判定与性质 旋转的性质
单选题(本大题共8小题，共100分) 1.(本小题10分)Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0 32 H A B F E 1G E F D C B A D C B A O G A B C D A B C 初中几何之截长补短模型 模型 截长补短 如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。 补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中 截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法 构造全等三角形来完成证明过程。 模型实例 例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D 。 求证：AB=AC+CD 。 例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD 求证AO+BO=2CO 。 精练1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且 AC=AB+BD 。 求∠ABC 的度数。 E A B C D E A B C D F E A B C D A O E A B C D 2．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD 。求证：AB+CD=BC 。 3．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB 。求证AC=AE+CD 。 4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°， BE ⊥AD 于点E 。求证：AC-AB=2BE 。 5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于点E 。求证：AD=2DF+CE 。 6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AC ，BC+DE=CD ，∠B+∠E=180°。求证：AD 平分∠CDE 。 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ． 而（-1）， ∴AG=BM=2）． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1 (10)2BF x =+． 由222PB PF BF =+． 可得：2221 10(10)4 x x =++． 故6x =． 216256ABCD S ==． 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ． 由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， 正方形角含半角模型提升 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 例4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点 O ,90AOF ?∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的面积为________2cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。 求证：FN EC =。 5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+． 【纵向应用】 6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2 1 = 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 2 1= 8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥ 9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , 图2 D G A E B C F 13 A D E F C G B word. 旋转的模型及例题 （一）夹半角模型 已知：正方形ABCD 中，∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF ；（2）△EFC 周长等于2倍边长； 方法：将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°，使得AD 与AB 重合，然后证△AEF ≌△AEG ；证得 BE+DF=EF 例题：已知∠BAC=45°BD=4，CD=6，求△ABC 的面积？ A B C D A B C E F 解析：将△ABD 和△ADC 分别关于AB 、AC 对称，构造夹半角模型 例题：如图1 ，正方形ABCD 中，M N ，分别是BC CD ，边上的两点，且45MAN ∠=?， 连结MN ，请写出BM MN DN ，，之间的熟练关系并证明； 如图2，ABC △中，90AB AC BAC =∠=，?，M N ，为BC 上两点，且45MAN ∠=?，请写出线段BM MN CN ，，之间的数量关系，并证明； （3） 如图3，在（1）中，若点M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，其他条件不变， (1)中的结论变化吗？ （4） 如图4，在(2)中若点M 在CB 的延长线上，其它条件不变，(2)中的结论还成立吗？请证明你的结论； 解析：都是通过旋转得来！ C A B G D C B D word. 推广：一般的夹半角模型 B 例题：边长为2m 的等边ABC △的两边AB AC 、上分别有两点M N 、，点D 为平面内 一点，60MDN ∠=?，120BDC BD CD ∠=?=，．当点M 在线段AB 上运动时，探索AMN △的周长与ABC △边长的关系． ⑴ 如图1，当点D 在ABC △外时，AMN △的周长是否发生变化？请证明你的结论． ⑵ 如图2，当点D 在ABC △内时，⑴中的结论是否成立？若成立，请求出此时AMN △的周长；若不成立，请说明理由． ⑶ 如图3，ABC △是满足60BAC ∠=?的任意三角形，其中BC a AC b AB c ===，，．D 是ABC ∠ 与ACB ∠平分线的交点，M N 、分别在AB AC 、上，且60MDN ∠=?．当点M 在线段AB 上运动时，猜想AMN △的周长是否发生变化？若不变，请直接写出AMN △的周长（用 a b c ，，表示，不需要化简） ；若变化，请说明理由． 图3 图2图1A B C D M N N M D B A N M C B A （二）手拉手模型 等边三角形 条件：AB=AD ，∠B+∠D=180°， 2∠MAN=∠BAD 结论：BM+DN=MN 条件：△ABC 是等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120° ∠MDN=60° 结论：BM+CN=MN △AMN 的周长=2倍边长 结论： （1） △BCE ≌△ACD ，△BCM ≌△CAN ， △MCE ≌△NCD （2）AD=BE,∠AFB=60° （3）△MCN 为等边三角形 （4）MN ∥BD (5)CF 为∠BFD 的角平分线 （6）FC+FE=FD 结论：（1） △BCE ≌△ACD （2） AD=BE,∠AFB=60° （3） CF 为∠BFD 的角平分线 正方形角含半角模型提升 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？ 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使 45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ? ∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的 面积为________2 cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。 求证：FN EC =。 图 2 半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段 BC 、DC 于点 E 、 F ，且∠EAF﹦45 结论 1：BE ﹢DF ﹦EF 结论 2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦ S △AEF 结论 3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当 BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论 6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8： EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论 9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形 （可通过共圆得到） 结论 11：MN ﹦√2EF （可由相似得到） 结论 12：S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到） 结论5 的证 明： 设正方形 ABCD 的边长为 1 则 S △ AEF ﹦ 1 ﹣ S 1 ﹣ S 2 ﹣ S 3 ﹦ 1 ﹣ x ﹣ y ﹣ (1 ﹣ x)(1 ﹣ y) 11 结论6 的证明： 将△ADN 顺时针旋转 90°使 AD 与 AB 重合 ∴DN﹦BN ′ 易证△AMN≌△AMN ′ ∴MN﹦MN ′ 在 Rt △ BMN ′ 中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即 BM 2 ﹢ DN 2 ﹦ MN 2 所以当 x ﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论7 的所有相似三角形： △AMN∽△DFN △AMN∽△BME △AMN∽△BAN △AMN∽△DMA △AMN∽△AFE 结论8 的证明： 因为△AMN∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9 的证明： 因为∠EAN﹦∠EBN＝45° ∴A、 B、E、N 四点共圆（辅圆定理： 共边同侧等顶角）同理可证 C、 E、N、F 四点共圆 A、M、 F、D 四 点共圆 C、E、M、F 四点共圆 **必会结论 ---- 图形研究正方形半角 模型已知：正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且EAF = 45，AE、AF分别交BD于H、G，连EF. 一、全等关系 （1）求证：① DF + BE = EF；②DG2﹢BH2﹦HG2；③ AE平分BEF，AF平分DFE . 二、相似关系 （2）求证：①CE = 2DG；②CF = 2BH；③ EF = 2HG. （3）求证：④ AB2=BG DH；⑤AG2= BG HG；⑥ BE DF = 1. CE CF 2 三、垂直关系 （4）求证：① AG⊥EG；② AH⊥FH；③ tan HCF = AB. BE （5）、和差关系 求证：① BG - DG = 2BE；② AD + DF = 2DH； 中考数学几何模型5：角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.. 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠ C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1 2 ∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 几何图形之半角模型 主题半角模型 教学内容 教学目标 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 知识结构 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 典型例题精讲 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ． 而BM=BD-DM=2 2-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1 (10)2 BF x =+． 由2 22PB PF BF =+． 可得：2 221 10 (10)4 x x =++． 故6x =． 2 16256ABCD S ==． 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥， ?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ． 由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ． 同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ． ∴EF=ME+MF=BE+DF ． 半角旋转模型 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 .内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结 果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝ 180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=2 1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45°，连结EF ，求证：DE +BF =EF ． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ． 请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ）， ∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，若∠BAE =45°， DE =4，则BE = ． （2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B 是x 动点，且点A （3 ，2），连结AB 和AO ，并以AB 为边向上作 正方形ABCD ，若C （x ，y ），试用含x 的代数式表示y C D O A B 图4x y F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1图2图3C D A O B x y 图4 半角例题： 如图，将CBN 绕点C 顺时针旋转90，得CAD ，连结MD ，则AD BN n，CD CN ，∠ACD ∠ BCN ， ∴∠MCD ∠ACM ∠ACD ACM ∠BCN 90 45 45MCN ． ∴MDC ≌MNC ， ∴MD MN x 又易得DAM 45 45 90， ∴在Rt AMD 中，有m 2 n 2 x2 ，故应选(B) C A M N B 练习： 1、如图，正方形ABCD 的边长为 1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若APQ 的周长为 2，求PCQ 的度数． D C Q A P B 2、E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF 45，AH EF ，H 为 垂足，求证：AH AB ． A D F B E C H 3、如图所示，在等腰直角ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使MCN 45，记AM m ，MN x ，BN n ，求证：以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是直角三角形. C A m M x N n B 4、已知：如图 1 在Rt ABC 中，BAC 90，AB AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若DAE 45．探究线段BD、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE，连结 E D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴猜想BD、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图 2，其它条件丌变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． A B D E C 图1 A C D B E 图22018北师大版下册数学截长补短和半角模型[原创]
2019年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
中考数学旋转模型及例题#精选.
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)
半角模型专题专练
第5讲角含半角模型(解析版)
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
半角旋转模型
2020中考数学几何-半角模型
相关主题
文本预览