考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法
核心母题如图，在正方形ABCD中?E、F分别是BC.CD边上的点.ZEAF列5°?求证:EF二BE+DF.
CW2XE明题.
【分析如囹，作辅助首先证明厶人△好G,遊而得到EF二FG问题即可解决.
CKS1E明：VAB=A D P
???把厶A耽绕点人逆时针施转90。至△AUG,可使AB与刈重合，如圉:
VZBAD =90° , ZEAF二45。,
ZBAE + ZDAF=45° , ???ZEAXZFAG, V ZADC = ZB=90'& ,
ZFDG=180°，点F . IK G共线. 在AAFE和2UFG中，
!A￡ = A(r jz￡.lF=ZZJG，
\AF-AF
???△AFEW△人FG (SAS) ?
???EF 二FG.
即；EF二BE+DF
【空评於査正方形的性质、全等三角形的判走及其性歸为核心构査而成；鯛题的关龍是作辅助线，构渣全等三甬形. 变式一：如图.E. F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD ±的点，若AECF的周长是
2,求,EAF的度数？
【考点整等三甬形的判走与性质；正方形的性质.
【分析JE长CD至使得DH=BE5连接人比得出△ABE^AkDM.可得FH二EF.即可证明213 E^AATHi 可得ZEAF二ZHAF,根tgZHAE=ZBAII=90o即可網題.
【笛咅潮：延长CD至｝G使fgDH=BE ,连接MB
VCE+CF+ED=25 BC+CD=2,
/. ET=EE+FD,
-A ADH是A ABE逆时针选转go度°形成，AABE^AADH,
??? ZDA2NBAE, AE=AH, BE=DH,
FK=DF+DH=DF+BE=EF, ZKAE= Z BAB=90°■
AE+H
???在ZkAFE和AAFH中，? EF?FH ,
AF^AF
AAFE^AAFH, (SSS)
??? ZEAy = ZHA.F,
??? ZMAE 二90°?
/. ZEAF=45° .
【点评苹题考查了全等三角形的判走，考察了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证AAJE^AkFK是解题的关健. 变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45°, AG丄EF, 求证：AG=AB.
【考点就转的性质,全等三角形的判走与性质,正方形的性质?
【专題证明题.
【分析洗根据正方形的性质箒吩AD, ZBAT=90°,则可杷△ADE续点晰时軒施转90。得到△ABQ,如圉，根拥施转的性质得AQ=AE, ZEAQ=90Q , ZABQ=ZD=90° ,则可判断点Q在CB的延长线上，由ZEAF二45。得到Z&Af二90。-ZEAF 二屿° ,然后根据叱判断△AFQWZiAFE.得到FQ=FE,再根拥全等三角形对应边上的高相等得到结论.
【第咅证明：丫四边形ABCD为正方形，
A AB=AD , ZBAJ=90° ,
.?.把△ADE绕点A顺时针社转90 °得S'JAABQ,如囹,
A AQ=AE, ZIAQ=9O° , ZABQ=ZH=90° ,
而ZABC=90° ,
???空Q在CB的延长线上，
???ZEAF=45° ,
A ZQAF=90° -ZEAF=45° ,
A ZEAF=ZQAF,
在AATQ和AAFE中，
f AF^AF
｛乙QAF= ZEAF ,
AAFQ^ AAFE (SAS〉,
AFQ=FE5
V AB± FQ ? AG丄FE,
??- AB-AG ?
【点评茸题考查了旋转的性质：对应点到血转中心的距鬲相等；对应点与就转中心所连线段的夹角等于旋转角；验转前、后的囹形全等.也考查了全等三角形的判定与性质?正方形的性质.
综合：在正方形宓9中，若弘片分别在边应；仞上移动，且满足MN=BM+ZZV；求证：?. ^MAN=^?. C^cwv = 2AB?. AM. 4V分别平分刁tfV和ZDNM.
练习
1、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC, ZA=ZC=90° , ZB二135° , K、N 分别是AB、BC 上的点，若△BKN的周长是AB的2倍，求ZKDN的度数？
2、己知：正方形ABCD中，ZMAN=45°, ZMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点'I、N.当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN二MN?（1）当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当ZMAN绕点A旋转到如图3的位遂时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.
【考点】龍转的性质；全等三角形的判定2性质；正方形的性质.
【分析】(1 ) BM^DN=WN咸立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM^AANM＞从而证得ME=MN.
(2) DN-BM=MN?证明方法与(1)类并
K解苔】解：(1 ) BM+DNMN成立?
证明：如图，吃AADN线点AI帧旳针谁转90。，
猬到AAEE.则可证得E、B、M三点共线(图形瓯正确)?
ZEAM=90° -ZKAM=90o -45° =45° >
)
又VZNAM=45°，
AE=AN
Z EAM=A NAM
AM=AM
???△AEM 空△ANM〈SAS)，
??? ME-MN^
??? ME=BE4-BM=DN+EM，
ADn+BM=MN；
(2) DM-BM=MN?
右线段DN上载取DQ=BM，右ZiADQ与AABM中，
AD=AB
1
Z-ADO- A A BM?DQ = BM
A AADQS AABM (SAS)，
??? NDAQ 二ZtAM，
A ZQAW=ZNAN.
15^AMN^flAAQN4 >
AO=AM
ZQAN= Z3L4X
AN=AN
A AAMN^ AAQN (SAS)，???MN=QN，
???DN BM=MN?
【点评】本题考查了族转的性质，解决此类问题的关键是正礦的利用施转不变蛍.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD- ZB+ZD二180°? E、F分别是边BC. CD上的点，且2 ZEAF 二ZBAD,
(1)求证：EF二BE+FD
(2)如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，共他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。
【分析】(1)延长CB 至阳，使BM=DF,连按Wb 证/LADF^AABM, iJAFAE^AMAE,即可得出營案；
(2)在 CB 上截取 BM 二 DF,连接 AM,证厶 ABM^ AADF,推出 AF=AM , ZDAF = ZBAM,求出 ZEA ?4=^E AF,证厶FAE^AMAE,推出EF 二EM 即可.
【解音】(1〉证明：延长CB 至M,使BM=DF,连接⑷
9
??? ZABC+ZD = 180° , ZABC4-ZABM=180°
??? ZD=ZA.BM ,
在厶ABM^flAADF 中，
{AB-AD ZABM = ZZ >
,BM=DF
AABM^ AADF (SAS),
???AF 二AM, ZDAF=ZBAf^
??? ZBAD=22EAF,
??? ZDAF+ZBAE=ZEAF,
??? ZEAB+ZBAM=ZEAM=ZEAF, 在AFAE 和△MAE 中， fAE=AE
"F= AM /. AJAE^ ANAE (SIS), ??? EF = EM = BE+BM=BE+DF, 即EF=BE+DF. B D C 囹1 ?2
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