旋转综合之角含半角模型
初三中考复习在即,在数学中考中,几何变换往往是中考中最令人头痛的题型,其辅助线的添加非常灵活,和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中,旋转是最为常见、也是最为重要的变换,本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型,这部分是本期内容的第三讲:旋转综合之角含半角模型,希望各位同学能从中收益。
基本图形
1、如图所示,在等腰Rt ABC △中,点D ,E 在斜边上,45DAE ∠=?,
将ABD △旋转至ACF △,连接EF .则ADE △≌AFE △,222DE BD CE =+
2、如图所示,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,45EAF ∠=?,将ABE △旋转至ADG △,则AEF △≌AGF △,EF BE DF =+
角含半角模型的解题步骤
1、找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转;
2、证全等;
3、利用全等、相似得到边角的关系.
例1 如图,已知等边ABC △的边长为1,D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?,BD CD =,60MDN ∠=?.求AMN △的周长.
解 延长AC 到E ,使CE BM =,连接DE .
易证
BMD △≌(SAS).CED △ 所以
,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得
60,NDE NDM ∠∠=?= 所以
MDN △≌(SAS).EDN △ 从而
,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为
2.AMN C AB AC =+=△
例 2 如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM ,DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=?,连接MC ,NC ,MN .
(1)填空:与ABM △相似的三角形是_______,_______;(用含a 的代数式表示)
(2)求MCN ∠的度数;
(3)猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论.
第二十一章 一元二次方程 1.一元二次方程 预习归纳 1.等号两边都是整式,只含有一个 ,并且未知数的最高次数是 的方程,叫一元二次方程. 2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 . 3.一元二次方程的一般形式是 . 例题讲解 【例】把方程(3x -2)(2x -3)=x 2-5化成一元二次方程的一般形式,并写出方程的二次项,一次项及常数项和二次项系数,一次项系数. 基础训练 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A .21 10x x =++ B .2110x x =++ C .210xy -= D .22 0x xy y =-+ 2.方程()45x x -=化为一般形式为( ) A .2450x x =-+ B .2450x x =++ C .2450x x =-- D .2 450x x =+- 3.方程23740x x =-+中二次项的系数,一次项的系数及常数项分别是( ) A .3、7、4 B .3、7、﹣4 C .3、﹣7、4 D .3、﹣7、﹣4 4.(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 +ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.(2014哈尔滨)若x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为 . 6.把一元二次方程2(x 2+7)=x +2化成一般形式是 . 7.下列数中-1,2,-3,-2,3是一元二次方程x 2-2x =3的根是 . 8.若方程x 2-2x +m =0的一个根是-1,求m 的值. 9.(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0(a ≠0)的解是x =1,求2013-a -b 的值.
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1(b a b ab b -÷-- (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题)
(3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.
.内容:半角旋转模型,三垂直模型,以及旋转相似模型 探究:(1)如图1,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°,试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果: ; (2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF= 2 1 ∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由; (3)在(2)问中,若将△AE F 绕点A 逆时针旋转,当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时, 如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题:如图1,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点,∠EAF =45° ,连结EF ,求证:DE +BF =EF . 小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG (如图2),此时GF 即是DE +BF . 请回答:在图2中,∠GAF 的度数是 . 参考小伟得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题: (1)如图3,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC (AD >BC ), F E D A B C B E D A G F D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4 F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即,在数学中考中,几何变换往往是中考中最令人头痛的题型,其辅助线的添加非常灵活,和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中,旋转是最为常见、也是最为重要的变换,本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型,这部分是本期内容的第三讲:旋转综合之角含半角模型,希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示,在等腰Rt △ABC 中,点 D , E 在斜边上,∠DAE = 45? ,将 连接 EF .则△ADE ≌△AFE , DE 2 = BD 2 + CE 2 △ABD 旋转至△ACF , 2、如图所示,在正方形 ABCD 中,点 E , F 分别在边 BC , CD 上,∠EAF = 45? ,将△ABE 旋转至△ADG ,则△AEF ≌△AGF , EF = BE + DF 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转; 2、证全等; 3、利用全等、相似得到边角的关系. 例 1 如图,已知等边△ABC 的边长为1 , D 是△ABC 外一点且∠BDC =120? , BD = CD , ∠MDN = 60? .求△AMN 的周长.
解 延长 AC 到 E ,使CE = BM ,连接 DE . 易证 所以 可得 所以 从而 所以△AMN 周长为 △BMD ≌ △CED (SAS). ∠BDM = ∠CDE , DM = DE . ∠NDE = ∠NDM = 60?, △MDN ≌△EDN (SAS). MN = EN = CN + CE = CN + BM , C △AMN = AB + AC = 2. 例 2 如图,正方形 ABCD 的边长为 a , BM , DN 分别平分正方形的两个外角,且满足 ∠MAN = 45? ,连接 MC , NC , MN . (1) 填空:与△ABM 相似的三角形是 , ;(用含a 的代数式表示) (2) 求∠MCN 的度数; (3) 猜想线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论.
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形(包含正方形) 等边三角形(包含费马点) 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换(与圆相关) 【练1】(2013北京中考)在ABC △中,AB AC =,BACα ∠=(060 α ?<),将线段BC 绕点B逆时针旋转60°得到线段BD. (1)如图1,直接写出ABD ∠的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,15060 BCE ABE ∠=?∠=? ,,判断ABE △的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE,若45 DEC ∠=?,求α的值. 真题演练 知识关联图
【练2】 (2012年北京中考)在ABC △中,BA BC BAC α=∠=, ,M 是AC 的中点,P 是线段上的动点,将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60?且点P 与点M 重合(如图1),线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形,并写出CDB ∠的度数; (2)在图2中,点P 不与点B M ,重合,线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,猜 想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示),并加以证明; (3)对于适当大小的α,当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ,M 重合)时,能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,且PQ QD =,请直接写出α的范围.
考点1:手拉手模型:全等和相似 包含: 等腰三角形、等腰直角三角形(正方形)、等边三角形伴随旋转出全等,处于各种 位置的旋转模型,及残缺的旋转模型都要能很快看出来 (1)等腰三角形旋转模型图(共顶点旋转等腰出伴随全等) (2)等边三角形旋转模型图(共顶点旋转等边出伴随全等) (3)等腰直角旋转模型图(共顶点旋转等腰直角出伴随全等) (4)不等边旋转模型图(共顶点旋转不等腰出伴随相似) 例题精讲
《旋转的应用—半角模型》教学设计 一、教学目标: 1、 知识与技能:理解掌握“半角”模型,明确符合旋转类型题的两个特征; 2、 过程与方法:用心经历探究模型演变过程,体会“从特殊到一般”、“分类”、“化归”的研究思想,发展学生观察、比较、分析、推理能力; 3、 情感、态度与价值观:通过自我学习与合作交流,明确辅助线的构造原理,进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力。教 学重点、难点: 重点: “半角”模型的辨别及灵活应用。 难点: :辅助线的添加及说明能力。 二、教学流程: (一)常规积累: 如图将AC ,AE 顺时针旋转90o ,∠BAC=900,∠EAF=450 将会得到哪些相等的角?请写出来 : 设计意图:半角模型, ∠BAC=900,∠EAF=450 通过旋转,将另一个半角的的两部分拼在一起,即∠DAF= ∠CAE+∠BAF=450从而构造出一对等角,即∠DAF=∠EAF 为本节 课的学习奠定了基础。
(二)典例解析 在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,连接EF.求证:DE+BF=EF 1、先让学生在学案上独立完成,然后小组交流讨论, 2、让学生讲解思路,互相补充,用多种方法解答。 3、让学生择优选择一种方法整理证明过程,找一名中等生板演证明 过程。其他同学点评错误。 (三)变式训练 1、如图,在四边形ABCD中,2∠EAF=∠BAD AB=AD,∠B=∠D=90° BF、DE、EF三条线段之间的数量关系 是否仍然成立,请证明 本题是对典例解析题目的变式,由旋转角是90度变为任意∠DAB 先让学生在学案上独立完成,然后小组交流讨论,找一名同学板演解 题过程。师生共同点评纠错。
专题16 相似三角形的性质 阅读与思考 相似三角形的性质有: 1. 对应角相等; 2. 对应边成比例; 3. 对应线段(中线、高、角平分线)之比等于相似比; 4. 周长之比等于相似比; 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题,性质5进一步丰富了面积的有关知识,拓展了我们研究面积问题的视角. 如图,正方形EFGH 内接于△ABC ,AD ⊥BC ,设BC a =,AD h =,试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解 【例1】如图,已知□ABCD 中,过点B 的直线顺次与AC ,AD 及CD 的延长线相交于E ,F ,G ,若5BE =,2EF =,则FG 的长是 . (“弘晟杯”上海市竞赛试题) 解题思路:由相似三角形建立含FG 的关系式,注意中间比的代换. G E F D C B A
【例2】如图,已知△ABC 中,DE ∥GF ∥BC ,且::1:2:3AD DF FB =, 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形( ) (黑龙江省中考试题) A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路:△ADE ,△AFG 都与△ABC 相似,用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图,在△ABC 的内部选取一点P ,过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线,这样所得的三个三角形t 1,t 2,t 3的面积分别为4,9和49,求△ABC 的面积. (第二届美国数学邀请赛试题) 解题思路:由于问题条件中没有具体的线段长,所以不能用面积公式求出有关图形的面积,可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示,经过三角形内一点向各边作平行线(也称剖分三角形),我们可以得到: ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ; ② 1HG IE DF BC AC AB ++=; ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=; ④ 2ABC S =△. 上述性质,叙述简捷,形式优美,巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题,简明而迅速,奇特而匠心独
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即,在数学中考中,几何变换往往是中考中最令人头痛的题型,其辅助线的添加非常灵活,和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中,旋转是最为常见、也是最为重要的变换,本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型,这部分是本期内容的第三讲:旋转综合之角含半角模型,希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示,在等腰Rt ABC △中,点D ,E 在斜边上,45DAE ∠=?, 将ABD △旋转至ACF △,连接EF .则ADE △≌AFE △,222DE BD CE =+ 2、如图所示,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,45EAF ∠=?,将ABE △旋转至ADG △,则AEF △≌AGF △,EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转; 2、证全等; 3、利用全等、相似得到边角的关系. 例1 如图,已知等边ABC △的边长为1,D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?,BD CD =,60MDN ∠=?.求AMN △的周长.
解 延长AC 到E ,使CE BM =,连接DE . 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM ,DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=?,连接MC ,NC ,MN . (1)填空:与ABM △相似的三角形是_______,_______;(用含a 的代数式表示) (2)求MCN ∠的度数; (3)猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论.
一元二次方程 概念、解法、根的判别式(讲义) 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程,并且都可以化成 _______________(____________________)的形式,这样的方程叫做一元二次方程. 思考次序:______________、__________、_______________. 2. 我们把____________________(____________________)称为一元二次方程 的_______形式,其中____,____,____分别称为二次项、一次项和常数项,_____,_____分别称为二次项系数和一次项系数. 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理.主要 解法有:________________,________________,_____________,_____________等. 4. 配方法是配成_______公式;公式法的公式是_____________; 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式,然后把方程左边进行____________________,根据_________________________,解出方程的根. 5. 通过分析求根公式,我们发现___________决定了根的个数,因此 _________被称作根的判别式,用符号记作_________;当__________时,方程有两个不相等的实数根(有两个解);当__________时,方程有两个相等的实数根(有一个解); 当__________时,方程没有实数根(无根或无解). 二、精讲精练 1. 下列方程:①3157x x +=+;② 21 10x x +-=; ③2 5ax bx -=(a ,b 为常数);④322 =-m m ;⑤2 02 y =;⑥2(1)3x x x +=-;⑦22250x xy y -+=.其中为一元二次方程的是____________. 2. 方程221x =-的二次项是________,一次项系数是____,常数项是 ______. 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程,则m 的值为 ___________.
初中数学几何经典模型 范文 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
如图,正方形ABCD DE=2CE,过点C作CF 如图,ABC中,∠如图,在边长为6 ,连接EG,
中,AB=AD,
H G F C B D A E H G F B C A D E 点E 旋转,旋转过程中,线段DE 与线段A B 相交于点P ,射线EF 与线段AB 相交于点G ,与射线CA 相交于点Q .若AQ =12,BP =3,则PG =. 【例12】如图,在菱形ABCD 中,AB =BD ,点E 、F 分别在AB 、AD 上,且AE =DF .连接 BF 与DE 交于点G ,连接CG 与BD 交于点H ,若CG =1,则BCDG S =四边形. 一线三等角模型【条件】EDF B C DE DF ∠=∠=∠=,且【结论】BDE CFD ? 【例13】如图,正方形ABCD 中,点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点,EB =3,GC =4,连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为 . 最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马 2、费马点【垂线段最短】 【两边之差小于第三边】 【例16】如图,矩形ABCD 是一个长为1000米,宽为600米的货场,A 、D 是入 口.现拟在货场内建一个收费站P ,在铁路线BC 段上建一个发货站台H ,设铺设公路l .求l 的最小值. AP 、DP 以及PH 之长度和为【例17】如图,E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点,满足AE =DF ,连接CF 交BD 于G ,连接 BE 交AG 于点H ,若正方形的边 长为2,则线段DH 长度的最小值是. 中,4,42AB AD ==,E 是线【例18】如图所示,在矩形ABCD 段AB 的中点,F 是线段BC 上的动点,BEF ?沿直线EF 翻折到'B EF ?,连接'DB ,'DB 最短为 . 《三垂直模型》 课后练习题 【练习1】 问题1:如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =BC =CD ,点M ,N 分别在AD ,CD 上,∠MBN =12 ∠ABC ,试探究线段MN ,AM ,CN 有怎样的数量关系请直接写出你的猜想; 问题2:如图2,在四边形ABCD 中,AB =BC ,∠ABC +∠ADC =180°,点M ,N 分别在 DA ,CD 的延长线上,若∠MBN =12 ∠ABC 仍然成立,请你进一步探究线段MN ,AM ,CN 又有怎样的数量关系写出你的猜想,并给予证明. 【练习2】已知:如图1,正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .
第一讲 一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点 函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数,其函数图像是一条直线。若0b =时,则称函数y kx =为正比例函数,故正比例函数是一次函数的特殊情况。 当0k >时,函数y kx b =+是单调递增函数,即函数值y 随x 增大(减小)而增大(减小);当0k <,y kx b =+是递减函数,即函数值y 随x 增大(减小)而减小(增大)。 函数(0)k y k x =≠称为反比例函数,其函数图像是双曲线。 当0k >且0x >时,函数值y 随x 增大(减小)而减小(增大);当0k >且0x <,函数 值y 随x 增大(减小)而减小(增大),也就是说:当0k >时,反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数;当0k <时,函数k y x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。 若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时,12b b ≠时,两面直线平行。 当12k k =时,12b b =时,两面直线重合。 当12k k ≠时,两直线相交。 当121k k =-时,两直线互相垂直。 求一次函数、反比例函数解析式,关键是要待定解析式中的未知数的系数;其次,在解题过程中要重视数形相结合。 例题精讲 例1:在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ,求c 为何值时AC BC +取最小值。 解 显然,当点C 在线段AB 内时,AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+,代入(1,2)A --、(4,2)B 得242,k b k b -+=-??+=?解得456,5k b ?=????=-?? 所以线段AB 为46(14),55 y x x =--≤≤ 代入(1,)C c ,得4621.555 c =?-=- 例2:求证:一次函数211022 k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点,并求这个定点。 解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得 (21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立,所以得 2102100,x y x y --=??+-=?解得12519,5x y ?=????=??当125x =,195y =时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图像过定点1219,55?? ??? .
word. 旋转的模型及例题 (一)夹半角模型 已知:正方形ABCD 中,∠EAF=45°,求证:(1)BE+DF=EF ;(2)△EFC 周长等于2倍边长; 方法:将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°,使得AD 与AB 重合,然后证△AEF ≌△AEG ;证得 BE+DF=EF 例题:已知∠BAC=45°BD=4,CD=6,求△ABC 的面积? A B C D A B C E F 解析:将△ABD 和△ADC 分别关于AB 、AC 对称,构造夹半角模型 例题:如图1 ,正方形ABCD 中,M N ,分别是BC CD ,边上的两点,且45MAN ∠=?, 连结MN ,请写出BM MN DN ,,之间的熟练关系并证明; 如图2,ABC △中,90AB AC BAC =∠=,?,M N ,为BC 上两点,且45MAN ∠=?,请写出线段BM MN CN ,,之间的数量关系,并证明; (3) 如图3,在(1)中,若点M 在CB 延长线上,N 在DC 延长线上,其他条件不变, (1)中的结论变化吗? (4) 如图4,在(2)中若点M 在CB 的延长线上,其它条件不变,(2)中的结论还成立吗?请证明你的结论; 解析:都是通过旋转得来! C A B G D C B D
word. 推广:一般的夹半角模型 B 例题:边长为2m 的等边ABC △的两边AB AC 、上分别有两点M N 、,点D 为平面内 一点,60MDN ∠=?,120BDC BD CD ∠=?=,.当点M 在线段AB 上运动时,探索AMN △的周长与ABC △边长的关系. ⑴ 如图1,当点D 在ABC △外时,AMN △的周长是否发生变化?请证明你的结论. ⑵ 如图2,当点D 在ABC △内时,⑴中的结论是否成立?若成立,请求出此时AMN △的周长;若不成立,请说明理由. ⑶ 如图3,ABC △是满足60BAC ∠=?的任意三角形,其中BC a AC b AB c ===,,.D 是ABC ∠ 与ACB ∠平分线的交点,M N 、分别在AB AC 、上,且60MDN ∠=?.当点M 在线段AB 上运动时,猜想AMN △的周长是否发生变化?若不变,请直接写出AMN △的周长(用 a b c ,,表示,不需要化简) ;若变化,请说明理由. 图3 图2图1A B C D M N N M D B A N M C B A (二)手拉手模型 等边三角形 条件:AB=AD ,∠B+∠D=180°, 2∠MAN=∠BAD 结论:BM+DN=MN 条件:△ABC 是等边三角形,BD=CD ,∠BDC=120° ∠MDN=60° 结论:BM+CN=MN △AMN 的周长=2倍边长 结论: (1) △BCE ≌△ACD ,△BCM ≌△CAN , △MCE ≌△NCD (2)AD=BE,∠AFB=60° (3)△MCN 为等边三角形 (4)MN ∥BD (5)CF 为∠BFD 的角平分线 (6)FC+FE=FD 结论:(1) △BCE ≌△ACD (2) AD=BE,∠AFB=60° (3) CF 为∠BFD 的角平分线
初中数学几何模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线; 2、倍长类中线; 3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点,构造中位线 1、 直接连接中点; 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中,∠ABC =60°,G 是DF 的中点,连接GC 、GE . (1)如图1,当点E 在BC 边上时,若AB =10,BF =4,求GE 的长; (2)如图2,当点F 在AB 的延长线上时,线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系,写出你的猜想;并给予证明; (3)如图3,当点F 在CB 的延长线上时,(2)问中关系还成立吗?写出你的猜想,并给予证明. 图3 图2图1G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 中点模型
【例2】如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是BC、CD上一点,连接DE、EF,且AE=AF,BAF DAE∠ = ∠. (1)求证:CE=CF; (2)若? = ∠120 ABC,点G是线段AF的中点,连接DG,EG.求证:DG上GE. 【例3】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为BC、AD中点,BA交EF延长线于G,CD交EF于H.求证:∠BGE=∠CHE. H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 角平分线模型