几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似） 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型（90°含45°） 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF； ②△CEF的周长是正方形周长的一半； ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD； ③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的 是．
2.在Rt△ABC中，AB=AC，D?E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°； ③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． 4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是． 5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交
.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF= 2 1 ∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45° ，连结EF ，求证：DE +BF =EF ． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ． 请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ）， F E D A B C B E D A G F D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4 F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 如图①： （1）∠2=2 1 ∠AOB ；（2）OA=OB 。 如图②： 连接 FB ，将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1．（2019秋?九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD 中，∠B +∠ADC ＝180°，AB ＝AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =1 2 ∠BAD ，求证：EF ＝BE ﹣FD ． 【点睛】在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，根据∠EAF =1 2∠BAD ，可知∠GAE ＝∠EAF ，可证明△AEG ≌△AEF ，EG ＝EF ，那么EF ＝
GE ＝BE ﹣BG ＝BE ﹣DF ． 【解析】证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ． ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． 在△ABG 和△ADF 中， {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF ， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ． ∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD ＝∠EAF =1 2∠BAD ． ∴∠GAE ＝∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE ， ∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG ＝EF ，
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt △ABC 中，点 D , E 在斜边上，∠DAE = 45? ，将 连接 EF ．则△ADE ≌△AFE ， DE 2 = BD 2 + CE 2 △ABD 旋转至△ACF ， 2、如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E , F 分别在边 BC , CD 上，∠EAF = 45? ，将△ABE 旋转至△ADG ，则△AEF ≌△AGF ， EF = BE + DF 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例 1 如图，已知等边△ABC 的边长为1 ， D 是△ABC 外一点且∠BDC =120? ， BD = CD ， ∠MDN = 60? ．求△AMN 的周长．
解 延长 AC 到 E ，使CE = BM ，连接 DE ． 易证 所以 可得 所以 从而 所以△AMN 周长为 △BMD ≌ △CED (SAS). ∠BDM = ∠CDE , DM = DE . ∠NDE = ∠NDM = 60?, △MDN ≌△EDN (SAS). MN = EN = CN + CE = CN + BM , C △AMN = AB + AC = 2. 例 2 如图，正方形 ABCD 的边长为 a ， BM , DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 ∠MAN = 45? ，连接 MC , NC , MN ． （1） 填空：与△ABM 相似的三角形是 ， ；（用含a 的代数式表示） （2） 求∠MCN 的度数； （3） 猜想线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论．
旋转与全等、相似中的线段数量关系 基本例题：1、如图，△ABC中，∠C＝90°.（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长 变式1,如图Rt△AB'C'是由Rt△ABC,绕点A顺时针旋转得到的，连接C C'交AB于E, (1)证明：△CA C'∽△BA B' (2)延长C C'交B B'于F，证明：△CA E∽△FBE 变式2，△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、BC、CD的数量关系是 变式3，△ABC绕点B逆时针旋转a°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、
BC、CD的数量关系是 变式4、Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD、CD、BD的数量关系 变式5、Rt△ABC中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD、CD、BD的数量关系 变式6、如图，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=KOD（K＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补，试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论。 变式7.如图AB∥CD,BC∥ED, ∠BCD+∠ACE=180°。 (1)当BC=CD 且∠ACE=90°时如图3探究线段AC和CE之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC和CE之间的数量关系 （3）当BC=kCD时如图1探究线段AC和CE之间的数量关系（用含k的式子表示） E B C A D C A D B
80中田凌志老师提供 1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。如图（1）（2）(3)探究PE 与PF 之间的数量关系，并证明 P N M F E C B A _ P _ N _ M _F _E _ C _ B _ A 图1 图2
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
半角模型专题专练
半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√2 2EF （可由相似得到） 结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明： 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论6的证明： 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形：
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明： 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9的证明： 因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角） 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且?=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF . 一、全等关系 （1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 （2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ?=2；⑤HG BG AG ?=2；⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 （4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BE AB HCF =∠tan . （5)、和差关系 求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.
《旋转的应用—半角模型》教学设计 一、教学目标： 1、 知识与技能：理解掌握“半角”模型，明确符合旋转类型题的两个特征； 2、 过程与方法：用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”、“分类”、“化归”的研究思想，发展学生观察、比较、分析、推理能力； 3、 情感、态度与价值观：通过自我学习与合作交流，明确辅助线的构造原理，进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力。教 学重点、难点： 重点: “半角”模型的辨别及灵活应用。 难点: ：辅助线的添加及说明能力。 二、教学流程： （一）常规积累： 如图将AC ，AE 顺时针旋转90o ，∠BAC=900，∠EAF=450 将会得到哪些相等的角？请写出来 ： 设计意图：半角模型, ∠BAC=900，∠EAF=450 通过旋转，将另一个半角的的两部分拼在一起，即∠DAF= ∠CAE+∠BAF=450从而构造出一对等角，即∠DAF=∠EAF 为本节 课的学习奠定了基础。
（二）典例解析 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF.求证：DE+BF=EF 1、先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论， 2、让学生讲解思路，互相补充，用多种方法解答。 3、让学生择优选择一种方法整理证明过程，找一名中等生板演证明 过程。其他同学点评错误。 （三）变式训练 1、如图，在四边形ABCD中，2∠EAF=∠BAD AB=AD，∠B=∠D＝90° BF、DE、EF三条线段之间的数量关系 是否仍然成立,请证明 本题是对典例解析题目的变式，由旋转角是90度变为任意∠DAB 先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论，找一名同学板演解 题过程。师生共同点评纠错。
半角模型例题 已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦ 45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF 结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3：AH﹦ AD 结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小 22 2 结论 6：BM﹢DN﹦MN 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9：四点共圆 结论 10：△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论 11： MN﹦EF（可由相似得到） 结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到） 结论 5 的证明： 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小 结论 6 的证明： 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中，由勾股定理可得： 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形： △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明： 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3＝∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3＝∠ 4 ∴∠ 2＝∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1＝∠ 4 ∴∠ 1＝∠ 2 结论 9 的证明： 因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45° ∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定 理：共边同侧等顶角） 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF. 一、全等关系 （）求证：① 2 2 2 平分，平分 DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 （2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG . （3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 （4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB . （5) 、和差关系 BE 求证：① BG DG 2BE ；② AD DF 2DH ； ③ | BE DF | 2 | BH DG | .
01 分点突破 知识点1中心对称与中心对称图形 1. 图形的是 C 1) 2.（齐齐哈尔屮考）下列汉字或字母既是屮 心对称图形又是轴对称图形的是 知识点2平面直角坐标系与旋转 （阜新屮考）ri 章末复习 旋转 A. Bl cH D Z （济宁中考）下列图形是中心对称 如图，正方形OABC 在平面直角坐标系屮，点 A 的坐标为 （2, 0）,将正方形OABC 绕点0顺时针旋转45 0得到正方形 标为（ ） OA B' C 则点C'的坐 A. ( .2, .2) C. ( . 2, — . 2) B. (— 2, . 2) D. (2 .2, 2 .2) 3. 4. （宁夏中考）如图，在平面直角坐标系xOy
中，△ A'B'由込ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 . 5. __________________________ （北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中, 4AOB可以看作是AOCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的, 写出一种由△ OCD得到△ AOB的过程:
知识点 3 6.（天津 屮考）如图, 将厶 ABC 绕 点B 顺时针 旋转60 ° E 恰好落在AB 的延长线上，连 接AD.下列结论一定正确的是（） AC = 5 cm, BC = 12 cm. 将厶ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△ BDE ，连接DC 交AB 于点F,则厶ACF 和厶BDF 的周长之和为 cm. 8?（徐州中考）如图，已知AC 丄BC,垂足为C, AC 二4, BC 二3. 3,将线 段AC 绕 点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD,连接DC, DB. (1)线段 DC 二 4; （2）求线段DB 的长度. 02 中考题型演练 9. （聊城中考）如图，将AABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点 B'处，此时，点A 的对应点A'恰好落在BC 的延长线上，下列结论错误的是（） 得"DBE,点 C 的对应点 旋转屮的让算问题 4 A. Z ABD 二Z E B. Z CBE 二Z C C. AD II BC D. AD =BC E B
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC △中，点D ,E 在斜边上，45DAE ∠=?， 将ABD △旋转至ACF △，连接EF ．则ADE △≌AFE △，222DE BD CE =+ 2、如图所示，在正方形ABCD 中，点E ,F 分别在边BC ,CD 上，45EAF ∠=?，将ABE △旋转至ADG △，则AEF △≌AGF △，EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例1 如图，已知等边ABC △的边长为1，D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?，BD CD =，60MDN ∠=?．求AMN △的周长．
解 延长AC 到E ，使CE BM =，连接DE ． 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ,DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=?，连接MC ,NC ,MN ． （1）填空：与ABM △相似的三角形是_______，_______；（用含a 的代数式表示） （2）求MCN ∠的度数； （3）猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．
一 ) 弦图模型 基本图形】已知正方形 ABCD,过 B,D 两点分别向过点 C 的直线作垂线 , 垂足分别为点 E,F, 则△ BCE ≌△ CDF h, 正方形 ABCD 的四 个顶点分 (1) 当 a=45 °时, 求△EAD 的面积 (2) 当 a=30 °时, 求△EAD 的面积 (3) 当0° 变式训练 】如图，分别以 ABC 的AC 和BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l 于点P. 求证:2EP+AD=2CD 二）半角模型 半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】基本结论：在正方形ABCD中，若M、N 分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+ DN，则有以下基本结论（需记忆）：① . ∠MAN4=5°；② . C CMN 2AB；③ . AM、AN分别平分 ∠BMN和∠DNM. 同样，在正方形ABCD中,若已知∠MAN4=5°，则会有：① . MN=B+MD N; ②C CMN 2AB;③.AM、AN分别平分∠BMN 和∠DNM④; 若继续作AH⊥MN于点H, 则有AH=AB. F 典型例题一 例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ?顺时针旋转45°，画出图形． 分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来． 解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''?就是按题目要求得到的旋转后的图形． 说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心． 典型例题二 例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ?绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答： （1）图中有哪些等线段和等角？ （2）哪两个三角形形状、大小都一样？ 分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使?='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '?就是ADE ?按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形． 答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,． （2）ADE ?与E AB '?的形状和大小都一样． 典型例题三 例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置． （1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？ （2）指出图中的对应线段． 分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段． 答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°． （2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,． 典型例题四 例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图． （2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°． 解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='?='∠ ②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='?='∠ ③作.,60AD D A AD D ='?='∠ 连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形． （2）①连结AP ，作?='∠60PA A ，使.AP P A =' ②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、． 图形旋转练习题 1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。 2. 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。 A B C D P 3.设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450， A P ⊥EF 于点P （1） 求证：AP=AB ，（2）若AB=5，求ΔECF 的周长。 4.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF=45o．求证：EF=BE+DF ． （2）若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45o，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？ （3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数． 5ABC 中，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数； ⑵当AB=4，AD ∶DC=1∶3时，求DE 的长. F E D C B A A A F P P B B C C 6．如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，使AB 落到AC 上，则P 落到点P '处。如果AP=1，则PP '=___________． 7．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD ＝ 。 8．如图所示，已知P 是正方形ABCD 内一点，以B 为 旋转中心，把△PBC 沿逆时针方向旋转90°得到△P BA '，连接PP '， 则∠P PB '的度数是______。 9、如图，将△ABC 绕点A 旋转一定角度后能与△ADE 重合，如果△ABC 的面积是 12cm 2 ，那么△ADE 的面积是 。 10、如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD ＝15°， △ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转角的度数是 . 11、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__________。 E D C B A 11 专题15 角含半角模型 破题策略 1． 等腰直角三角形角含半角 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA （2）BD 2＋CE 2＝DE 2 ． 45° E A B C D 证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ， 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ． （2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ． 45° F E A B C D 则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ， 所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）． 所以DE ＝ EF ． 而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°， 所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2 ． 方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ． 45° E A B C D 因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ， 又因为∠BAD ＝∠DAF ， 则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ， 所以△FAE ∽△CAE （SAS ）． 所以EF ＝ E C ． 而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°， 所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2 ． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的 延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2 ． E D 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： E A D F E A D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在 BC 上，且∠DAE ＝1 2 ∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180° －∠BA C ． B 可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图： B C E B D 几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm． 4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶 片F 1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ，再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程，解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标； (2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2 ； (3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？ 7.如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1 ；又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°， 长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2 ；如此下去，得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n （n为正整数）. （1）求点P 6 的坐标； （2）求△P 5OP 6 的面积； （3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜 想点P n 的“绝对坐标”，并写出来． 8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想． 半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段 BC 、DC 于点 E 、 F ，且∠EAF﹦45 结论 1：BE ﹢DF ﹦EF 结论 2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦ S △AEF 结论 3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当 BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论 6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8： EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论 9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形 （可通过共圆得到） 结论 11：MN ﹦√2EF （可由相似得到） 结论 12：S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到） 结论5 的证 明： 设正方形 ABCD 的边长为 1 则 S △ AEF ﹦ 1 ﹣ S 1 ﹣ S 2 ﹣ S 3 ﹦ 1 ﹣ x ﹣ y ﹣ (1 ﹣ x)(1 ﹣ y) 11 结论6 的证明： 将△ADN 顺时针旋转 90°使 AD 与 AB 重合 ∴DN﹦BN ′ 易证△AMN≌△AMN ′ ∴MN﹦MN ′ 在 Rt △ BMN ′ 中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即 BM 2 ﹢ DN 2 ﹦ MN 2 所以当 x ﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论7 的所有相似三角形： △AMN∽△DFN △AMN∽△BME △AMN∽△BAN △AMN∽△DMA △AMN∽△AFE 结论8 的证明： 因为△AMN∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9 的证明： 因为∠EAN﹦∠EBN＝45° ∴A、 B、E、N 四点共圆（辅圆定理： 共边同侧等顶角）同理可证 C、 E、N、F 四点共圆 A、M、 F、D 四 点共圆 C、E、M、F 四点共圆 **必会结论 ---- 图形研究正方形半角 模型已知：正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且EAF = 45，AE、AF分别交BD于H、G，连EF. 一、全等关系 （1）求证：① DF + BE = EF；②DG2﹢BH2﹦HG2；③ AE平分BEF，AF平分DFE . 二、相似关系 （2）求证：①CE = 2DG；②CF = 2BH；③ EF = 2HG. （3）求证：④ AB2=BG DH；⑤AG2= BG HG；⑥ BE DF = 1. CE CF 2 三、垂直关系 （4）求证：① AG⊥EG；② AH⊥FH；③ tan HCF = AB. BE （5）、和差关系 求证：① BG - DG = 2BE；② AD + DF = 2DH； 中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE， word. 旋转的模型及例题 （一）夹半角模型 已知：正方形ABCD 中，∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF ；（2）△EFC 周长等于2倍边长； 方法：将△ADF 绕A 点顺时针旋转90°，使得AD 与AB 重合，然后证△AEF ≌△AEG ；证得 BE+DF=EF 例题：已知∠BAC=45°BD=4，CD=6，求△ABC 的面积？ A B C D A B C E F 解析：将△ABD 和△ADC 分别关于AB 、AC 对称，构造夹半角模型 例题：如图1 ，正方形ABCD 中，M N ，分别是BC CD ，边上的两点，且45MAN ∠=?， 连结MN ，请写出BM MN DN ，，之间的熟练关系并证明； 如图2，ABC △中，90AB AC BAC =∠=，?，M N ，为BC 上两点，且45MAN ∠=?，请写出线段BM MN CN ，，之间的数量关系，并证明； （3） 如图3，在（1）中，若点M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，其他条件不变， (1)中的结论变化吗？ （4） 如图4，在(2)中若点M 在CB 的延长线上，其它条件不变，(2)中的结论还成立吗？请证明你的结论； 解析：都是通过旋转得来！ C A B G D C B D word. 推广：一般的夹半角模型 B 例题：边长为2m 的等边ABC △的两边AB AC 、上分别有两点M N 、，点D 为平面内 一点，60MDN ∠=?，120BDC BD CD ∠=?=，．当点M 在线段AB 上运动时，探索AMN △的周长与ABC △边长的关系． ⑴ 如图1，当点D 在ABC △外时，AMN △的周长是否发生变化？请证明你的结论． ⑵ 如图2，当点D 在ABC △内时，⑴中的结论是否成立？若成立，请求出此时AMN △的周长；若不成立，请说明理由． ⑶ 如图3，ABC △是满足60BAC ∠=?的任意三角形，其中BC a AC b AB c ===，，．D 是ABC ∠ 与ACB ∠平分线的交点，M N 、分别在AB AC 、上，且60MDN ∠=?．当点M 在线段AB 上运动时，猜想AMN △的周长是否发生变化？若不变，请直接写出AMN △的周长（用 a b c ，，表示，不需要化简） ；若变化，请说明理由． 图3 图2图1A B C D M N N M D B A N M C B A （二）手拉手模型 等边三角形 条件：AB=AD ，∠B+∠D=180°， 2∠MAN=∠BAD 结论：BM+DN=MN 条件：△ABC 是等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120° ∠MDN=60° 结论：BM+CN=MN △AMN 的周长=2倍边长 结论： （1） △BCE ≌△ACD ，△BCM ≌△CAN ， △MCE ≌△NCD （2）AD=BE,∠AFB=60° （3）△MCN 为等边三角形 （4）MN ∥BD (5)CF 为∠BFD 的角平分线 （6）FC+FE=FD 结论：（1） △BCE ≌△ACD （2） AD=BE,∠AFB=60° （3） CF 为∠BFD 的角平分线旋转 典型例题(精品解析)
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