半角旋转问题
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?
M
N
C
A B
几何变换中的半角旋转问题
例题:已知:△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝9０°，M ，N 为斜边AB 上两
点，如果∠M ＣN=４５°. 求证: AM 2+BN 2=ＭN 2
变式1：由此问题可以产生如下问题．
△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=９0°, M,N 为斜边A Ｂ上两点,满足AM 2＋BN 2=M Ｎ2.求∠ＭC Ｎ的度数．
是上面例2的逆问题,建议利用图形的旋转.
变式2：正方形AB ＣD 中,边长为4，点E 在射线BC 上,且ＣＥ=2,射线AM 交射线BD 于Ｎ点，且∠ＥAN=45°，则ＢＮ的长为 3 √2 或5√2 或√2 。
方法1：图1：正方形的边长为4，BD=4√2，AE ＝2√5 ， 由△ＡOD ∽△BOE ，相似比为2：1， 则BO ＝
4√2
3
,设ON=x , ＤN=
8√2
3
– x,由旋转得：OB 2＋ＤN 2=O Ｎ２， ∴
A
C
B E M
N N
M
2
2
4
45
O
B
D A
C
E
O
B
D
A
C
E
N
N
O
B
D
A
C
E
M
N'
E
D O F
C G
B
A x
y 图2图3方法同上
方法２:用旋转相似来解
变式3：
如图１,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形△ABC 和△AFG 摆放在一起,Ａ为公共顶点，∠BAC=∠ＡGF=９0°,它们的斜边长为2,若△ABC 固定不动,△AF Ｇ绕点A 旋转,ＡF,AG 与边BC 的交点分别为Ｄ、E(点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合)，设B Ｅ＝ｍ ,CD=n.
(1) 求ｍ与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围;
(2) 以△ＡＢＣ的斜边B Ｃ所在直线为ｘ轴,BC 边上的高所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图２)。在边BC 上找一点D,使B Ｄ＝CE ，求出D 点的坐标,并通过计算验证BD ２+C Ｅ2=ＤE 2 ;
(3) 在旋转过程中，(2）中的等量关系ＢD 2＋ＣＥ2=ＤE 2是否始终成立,若成立,请证明，若不成立,请说明理由。
N
M
2
2
4
45
O
B
D A
C
E
N O
B
D
C
E
M
A
O
B
D
E
C
A
N
E
D
F
C
A B
G
M N C
A B M N C
A B
学生卷
例题：已知：△ＡＢC 是等腰直角三角形,∠ACB=9０°,M,N 为斜边ＡB 上两
点，如果∠MCN=45°． 求证： AM 2+BN 2=ＭN 2
变式1：
已知：△ＡB Ｃ是等腰直角三角形,∠A ＣB ＝9０°, M ，N 为斜边AB 上两
点,满足AM 2+ＢN 2＝MN 2. 求∠MCN 的度数.
变式2：
已知：正方形ＡBCD 中，边长为4，点E 在射线BC 上，且CE=2,射线AM 交射线ＢD 于N 点，且∠EAN ＝45°，则BN 的长为
E
D O F
C G
B
A x
y F
G E B
D
A
C
Q
P
变式3：
如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形△ABC 和△AFG 摆放在一起，Ａ为公共顶点,∠BAC ＝∠AGF=90°,它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动,△AFG 绕点A 旋转,AF,AG 与边ＢC 的交点分别为D 、E(点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合)，设ＢＥ=m ,CD=n.
(4) 求m 与ｎ的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围；
(5) 以△ＡBC 的斜边BC 所在直线为x 轴，BC 边上的高所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系（如图2)。在边BC 上找一点D ，使BD ＝ＣE,求出D 点的坐标，并通过计算验证B Ｄ2+ＣE 2=ＤE 2 ;
(6) 在旋转过程中，(2)中的等量关系ＢD ２+CE 2=DE 2是否始终成立,若成立，请证明,若不成立，请说明理由。
1． 如图①正方形ABCD 中,以A 为顶点做∠ＰA Ｑ=4５°，AP,A Ｑ分别交直线BC ，CD
于E ，F 。
（1） 求证：△ＣEF 的面积=正方形ＡBCD 的面积（或者问ＡＣ,CE,CF 三者的
数量关系)
（2） 把∠P ＡQ 绕点Ａ旋转到如图②所示的位置时，设此时AQ 的反向延长
线交直线CD 于F,（1）中的结论是否还成立,如果成立,请证明你的结
论,如果不成立，试说明理由。
（3） 在(２)的条件下，若设ＡQ 交直线BC 于G,若BG=３,ＢＥ=2，
求EF 的长。（提示在2页）
E
D
F
C A
B
G
2． 已知正方形ABCD ，一等腰直角三角板的一个锐角顶角与A 点重合,将此三角板绕A 点
旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M,Ｎ
（1） 当Ｍ，N 分别在边BC,C Ｄ上时，如图1,求证：BM+ＤＮ＝MN
（2） 当M,N 分别在边BC,CD 所在的直线上（如图2，３）时，线段BM ，ＭN 之间又
有怎样的数量关系,请直接写出结论。
（3） 在图中,作直线ＢD 交直线ＡM,AN 于P,Q 两点,若ＭN=１０，ＣＭ＝８，求AP 的
长．
E
F
B
D
A
C
Q
P
(1)N
M
B D A
C M N
(3)B D A
C
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?????? ?? ?? ??? ???? ? ????????等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】 （2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
例题精讲 考点1：手拉手模型：全等和相似 包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF= 2 1 ∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45° ，连结EF ，求证：DE +BF =EF ． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ． 请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ）， F E D A B C B E D A G F D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4 F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4
角度旋转问题 半角旋转 1. 正方形ABCD 中，边长为4，点E 在射线BC 上，且CE=2，射线AM 交射线BD 与N 点，且 45=∠EAN ，则BN 的长为_______或_______或________. 2、如图①正方形ABCD 中，以A 为顶点做 45=∠PAQ ，AP ，AQ 分别交直线BC ，CD 于E ，F. ()1求证：CEF ?的面积=正方形ABCD 的面积(或者问AC ，CE ，CF 三者的数量关系) ()2把PAQ ∠绕点A 旋转到如图②所示的位置时，设此时AQ 的反向延长线交直线CD 于F ，()1中结论是否还成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，试说明理由. ()3在()2的条件下，若设AQ 交直线BC 于G ，若BG=3，BE=2，求EF 的长. 变式一：当AD AB 2 1 = 时，BE 、DF 、GE 存在怎样的数量关系并证明.
变式二：若AB=6，DF=4，BG 延长线交AF 于H ，求GH 长. 变式三：ABC ?为等边三角形，BDC ?为顶角为 120的等腰三角形， 60=∠EDF ，当E 、 F 在射线BA 、AC 上时，探究EF 、BE 、CF 的数量关系，直接写出你的结论. 变式四：连接AD ，请写出图中的相似三角形
3、 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC ?和AFG ?摆放在一起，A 为公共顶点， 90=∠=∠AGF BAC ，它们的斜边长为2，若A B C ?固定不动，AFG ?绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE ＝m ，CD ＝n. ()1求m 和n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围； ()2以ABC ?的斜边BC 所在直线为x 轴，BC 边上的高所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系（如图2）. 在边BC 上找一点D ，使BD=CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证； ()3在旋转过程中，()2中的等量关系222DE CE BD =+是否始终成立，若成立，请证明， 若不成立，请说明理由. 4、 已知正方形ABCD ，一等腰直角三角板的一个锐角顶角与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ． ()1当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，如图1，求证：BM+DN=MN. ()2当M ，N 分别在边BC ，CD 所在的直线上（如图2，3）时，线段BM ，MN 之间又有怎 样的数量关系，请直接写出结论. ()3在图中，作直线BD 交直线AM ，AN 于P ，Q 两点，若MN=10，CM=8，求AP 的长.
《旋转的应用—半角模型》教学设计 一、教学目标： 1、 知识与技能：理解掌握“半角”模型，明确符合旋转类型题的两个特征； 2、 过程与方法：用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”、“分类”、“化归”的研究思想，发展学生观察、比较、分析、推理能力； 3、 情感、态度与价值观：通过自我学习与合作交流，明确辅助线的构造原理，进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力。教 学重点、难点： 重点: “半角”模型的辨别及灵活应用。 难点: ：辅助线的添加及说明能力。 二、教学流程： （一）常规积累： 如图将AC ，AE 顺时针旋转90o ，∠BAC=900，∠EAF=450 将会得到哪些相等的角？请写出来 ： 设计意图：半角模型, ∠BAC=900，∠EAF=450 通过旋转，将另一个半角的的两部分拼在一起，即∠DAF= ∠CAE+∠BAF=450从而构造出一对等角，即∠DAF=∠EAF 为本节 课的学习奠定了基础。
（二）典例解析 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF.求证：DE+BF=EF 1、先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论， 2、让学生讲解思路，互相补充，用多种方法解答。 3、让学生择优选择一种方法整理证明过程，找一名中等生板演证明 过程。其他同学点评错误。 （三）变式训练 1、如图，在四边形ABCD中，2∠EAF=∠BAD AB=AD，∠B=∠D＝90° BF、DE、EF三条线段之间的数量关系 是否仍然成立,请证明 本题是对典例解析题目的变式，由旋转角是90度变为任意∠DAB 先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论，找一名同学板演解 题过程。师生共同点评纠错。
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC △中，点D ,E 在斜边上，45DAE ∠=?， 将ABD △旋转至ACF △，连接EF ．则ADE △≌AFE △，222DE BD CE =+ 2、如图所示，在正方形ABCD 中，点E ,F 分别在边BC ,CD 上，45EAF ∠=?，将ABE △旋转至ADG △，则AEF △≌AGF △，EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例1 如图，已知等边ABC △的边长为1，D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?，BD CD =，60MDN ∠=?．求AMN △的周长．
解 延长AC 到E ，使CE BM =，连接DE ． 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ,DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=?，连接MC ,NC ,MN ． （1）填空：与ABM △相似的三角形是_______，_______；（用含a 的代数式表示） （2）求MCN ∠的度数； （3）猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．
B C E D A 45 F B C H E D A F 全等三角形的综合运用（2） 【知识要点】 一、全等三角形、等腰三角形的综合运用； 二、特殊的构造手法：半角旋转、截长补短. 构造专题二：半角旋转问题 1.如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的两点，且∠EAF =45°. （1）求证：BE +DF=EF ；（若正方形的连长为a ，则△CEF 的周长等于2a ） （2）求证：AE 平分∠BEF ；AF 平分∠DFE ； （3）作AH ⊥EF ，求证：AH =AB . （4）如图2，若E 在CB 的延长线上，F 在DC 的延长线上，且∠EAF =45°，试探索线段BE 、DF 与线段EF 的数量关系. 2.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，沿直线AE 折叠正方形ABCD ，使点B 落在形内 的点H ，延长EH 交CD 于点F. （1）求证：∠EAF =45°； （2）求证：BE +DF =EF ； （3）求证：AF 平分∠DFE .
图 1E M B A C D A D E C F B E A 3.如图1，∠POQ=90°，OD 平分∠POQ，将边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在 OP 、OQ 上，线段AB 交OD 于点M ，线段BC 交OQ 于点N.. （1）现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在OD 上时停止旋转，则边 OA 在旋转过程中所扫过的面积为 ； （2）如图2，在（1）中的旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数； （3）设△BMN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化请证明你的 结论. 4.已知：如图，正方形ABCD ，BM 、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =45°，连 接MN ，猜想线段BM 、DN 和线段MN 之间有何确定的数量关系写出你的结论并证明. 5.如图1，在等腰Rt△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，M 为BC 的中点，D 、E 分别在两腰AB 、 AC 上，且∠DME =45°. （1）求证：AD +DE =CE （即△ADE 的周长等于AB ）； （2）如图2，若点D 在BA 的延长线上时，其它条件不变，探索线段AD 、DE 与线段CE 之间的数量关系. 6.如图，在等腰Rt△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 、E 为BC 上的两点，∠DAE =45°，求证：以BD 、CE 、DE 为边的三角形为直角三角形（直角三角形的勾股定理：BD 2+CE 2=DE 2）. 7.已知△ABC 为等边三角形，△BCD 为顶角为120°的等腰三角形，DB=DC ，∠BDC=120°. （1）如图1，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF=60°，求证：BE+CF=EF （△AEF 的周长等于2AB ）； （2）如图2，E 为BA 延长线上一点，F 为BC 延长线上一点，且∠EDF=60°，试探索线段BE 、CF 与线段EF 之间的数量关系.
【例1】 在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小 （用含α的代数式表示），并加以证明；BM α （3）对于适当大小的，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围． （2012北京中考） 【答案】（1）补全图形，见图1；30CDB ∠=?； D 图1 B C Q A M (P ) M A Q C B 图2 P （2）猜想：90CDB α∠=?-． 证明：如图2，连结AD PC ，． BA BC M =，是AC 的中点， BM AC ∴⊥． 点D P ，在直线BM 上， 真题链接 对角互补和角含半角旋转
PA PC DA DC ∴==，． 又 DP 为公共边， ADP CDP ∴???． .DAP DCP ADP CDP ∴∠=∠∠=∠， 又PA PQ =， PQ PC ∴=． .. 180180. DCP PQC DAP PQC PQC DQP DAP DQP ∴∠=∠∴∠=∠∠+∠=?∴∠+∠=?， ∴在四边形APQD 中，180ADQ APQ ∠+∠=?． 21802. 1 90. 2 APQ ADQ CDB ADQ ααα∠=∴∠=?-∴∠=∠=?-， （3）α的范围是4560α?<
半角旋转模型 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结 果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝ 180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=2 1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45°，连结EF ，求证：DE +BF =EF ． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ． 请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ）， ∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，若∠BAE =45°， DE =4，则BE = ． （2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B 是x 动点，且点A （3 ，2），连结AB 和AO ，并以AB 为边向上作 正方形ABCD ，若C （x ，y ），试用含x 的代数式表示y C D O A B 图4x y F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1图2图3C D A O B x y 图4
M N C A B 几何变换中的半角旋转问题 例题：已知：△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M ，N 为斜边AB 上 两点，如果∠MCN ＝45°． 求证: AM 2＋BN 2＝MN 2 变式1：由此问题可以产生如下问题． △ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， M ，N 为斜边AB 上两点，满足AM 2＋BN 2＝MN 2．求∠MCN 的度数． 是上面例2的逆问题，建议利用图形的旋转． 变式2：正方形ABCD 中，边长为4，点E 在射线BC 上，且CE=2,射线AM 交 射线BD 于N 点，且∠EAN=45°，则BN 的长为 3 或5 或 。 M E
方法1：图1：正方形的边长为4，BD=4，AE=2 , 由△AOD ∽△BOE ，相似比为2：1， 则BO=，设ON=x , DN= – x ，由旋转得：OB 2+DN 2=ON 2, ∴x= 图2图3方法同上 方法2：用旋转相似来解 变式3： 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形△ABC 和△AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF,AG 与边BC 的交点分别为D 、E(点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合)，设BE=m ,CD=n. (1) 求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围； (2) 以△ABC 的斜边BC 所在直线为x 轴，BC 边上的高所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）。在边BC 上找一点D ，使BD=CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2+CE 2=DE 2 ; (3) 在旋转过程中，（2）中的等量关系BD 2+CE 2=DE 2是否始终成立，若成立，请 E C
旋转特殊角度 1.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是（）． ． 2.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时 3.如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△
半角模型 一．角在内部 1.线段之和 1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF．
2.线段平方之和 （1）已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠EAF 与BC 交于E 、F 两点，∠EAF=45°，求证：222EF CF BE =+ （2）在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且满足AE=4，BD=3，∠DCE=45°，则直角边AC 的长度为（ ） （3）如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连结EF ，则下列结论正确的个数有（ ） ①∠EAF=45°；②△EBF 为等腰直角三角形；③EA 平分∠CEF ；④222DE CD BE =+ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（4）在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论①△AEF ≌△AED ；②∠AED=45°；③BE+DC=DE ；④222DE CD BE =+，其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③
半角旋转模型 模型结论 ①BE+DF=EF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE 1、已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与点A重合，将此三角板绕点A旋转时，两边分别交直线BC;CD于点M, N. （1）当点M, N分别在边BC, CD上时(如图①），求证:BM+DN=MN. （2）当点M, N分别在边BC, CD所在的直线上时(如图②），线段BM, DN, MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出结论.（不用证明） （3）当点M, N分别在边BC, CD所在的直线上时(如图③)，线段BM, DN, MN之间又有怎样的数量关系?请写出结论和证明过程，
2、在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ?外一点，且60MDN ∠=?， 120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M N ， 分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系 （1）如图①，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系式 ； （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？若成立请证明，若不能成立写出你的猜想并加以证明； （3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时， 猜想(1)问的两个结论还成立吗？若成立请证明，若不能成立写出你的猜想并加以证明； 图①M N D C B A 图②M N D C B A N 图③ M D C B A
3、已知四边形ABCD中，AB⊥AD, BC⊥CD, AB=BC, ∠ABC=120°, ∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD, DCX或它们的延长线)于点E, F （1）当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时(如图①），求证:AE+CF=EF. （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，在图②这种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，线段AE, CF, EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明. （3）当∠MBN绕点B旋转到图③这种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，线段AE, CF, EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.
此文档下载后即可编辑 .内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF= 2 1 ∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45° ，连结EF ，求证：DE +BF =EF ． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ． 请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ． F E D A B C B E D A G F D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4 F E D A B C B E D A G F E D A B C C C D A O B x y
参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC）， ∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°， DE=4，则BE= ． （2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一 动点，且点A（3 -，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作 正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y， 则y= ． 已知：正方形ABCD中，45 MAN ∠=o，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当MAN ∠绕点A旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠绕点A旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； （2）当MAN ∠绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． 24．如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q. （1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围； C D O A B 图4 x y
中考中常用几何模型--半角旋转 一、角含半角模型（旋转） （1）角含半角模型90°---1 【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF =45°； 【结论】：① ；② ； 也可以这样： 【条件】：①正方形ABCD ；②EF =DF +BE ； 【结论】：①∠EAF =45°； A B C D E F A C D E F G （2）角含半角模型90°---2（E 、F 在延长线上） 【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF =45°； 【结论】：① ； （3）角含半角模型90°---3 【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE =45°； 【结论】： （如图1） 若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论 仍然成立（如图2） A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A F
（4）角含半角模型90°（变形） 【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF =45°； 【结论】： ； 【例题讲解】 例1.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上,顶点O 在原点(如图1).现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转一定角度，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转。旋转过程中，AB 边交直线y =x 于点M ，BC 边交x 轴于点N . (1)当点A 第一次落在直线y =x 上时停止旋转，此时图形旋转了___度； (2)旋转过程中,当MN 和AC 平行时(如图2)，求旋转角∠NOC 的度数； (3)设△MBN 的周长为P ,在旋转正方形OABC 的过程中(如图3)，P 值是否变化?请判断并证明你的结论。 A B C D G H F E A B C D G H F E
B 半角旋转型问题 旋转的条件：①有相等的两条线段. ②有公共的端点. 1.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且 ∠BDC=120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为___________ 2. 已知：如图，在△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC 。 操作：将三角板的45°角的顶点与点A 重合,并绕着点A 旋转,角的两边分别与边BC 相交与点E 、F 。 探究：以线段BE 、EF 、FC 构成的三角形是什么三角形?请证明你的猜想。
3．已知：如图，在△ABC 中,∠BAC=90°,D 为BC 的中点。 操作：将三角板的90°角的顶点与点D 重合,并绕着点D 旋转,角的两边分别与边AB 、AC 相交于点E 、F 。 探究：以线段BE 、EF 、FC 构成的三角形是什么三角形?请证明你的猜想。 4.已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ． （1）当∠MAN 绕点A 旋转到如图1的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图2的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． B
5.在平面直角坐标中，边长为2的正方形O A B C 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形O A B C 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，A B 边交直线y x =于点M ，B C 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边O A 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当M N 和A C 平行时，求正方形O A B C 旋转的度数； （3）设M B N ?的周长为p ，在旋转正方形O A B C 的过程中， p 值是否有变化？请证明你的结论. x x
90绕180旋转 60绕120旋转 30绕60旋转 45绕90 旋转 E B C D A F F E C D B A F E C D A B F E D A C B M N C N M E B C A D A B F 半角旋转专题训练 1、半角绕着倍角旋转 2、倍角的两个边相等 二、 常见的半角旋转图形 三、 半角旋转 的阶段式结论 第一阶段：线段和差关系 1、已知如图所示，正方形ABCD ， ∠EAF=45°，交边BC,DC 于点E 、F, 求证：EF=BE+DF 2、已知:四边形ABCD ，AB=AD ，∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,∠EAF=30°, 求证：EF=BE+DF 3、已知:四边形ABCD ，AB=AD ，∠B=∠D=90°,∠BCD=120°,∠ECF=60°, 求证：EF=BE+DF 4、已知，△ABC 中，∠BAC=120°，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上 一点，且∠EDF=90°，若BE=10，CF=16，求线段EF 的长（应用勾股定理） 第二阶段：线段间的“平方”关系（应用勾股定理） 1、已知如图所示，正方形ABCD ， ∠EAF=45°，交对角线BD 于M 、N, 试说明MN 、BM 、DN 三条线段之间的数量关系
N M C N M F E C D A B A B N M C N M F E C D B A B A O N M E B C D A F O N M E B C D A F O N M E B C D A F O N M E B C D A F O N M E B C D A F O N M E B C D A F O N M F E C D B A O N M F E C D B A O N M F E C D B A O N M F E C D B A O N M F E C D B A O N M F E C D B A 2、已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,∠EAF=30°, 试说明MN、BM、DN三条线段之间的数量关系 3、已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠BCD=120°,∠ECF=60°, 试说明MN、BM、DN三条线段之间的数量关系 第三阶段：图形中的形状相同的三角形 1、已知如图所示，正方形ABCD，∠EAF=45°，交对角线BD于M、N,连接AC，交BD于点O，请寻找图形中形状相同的三角形，并用阴影标注出来 2、 已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,∠EAF=30°,连接AC，交BD于点O，请寻找图形中形状相同的三角形，并用阴影标注出来
B C E D A 45 F B C H E D A F B C D F E A 全等三角形的综合运用（2） 【知识要点】 一、全等三角形、等腰三角形的综合运用； 二、特殊的构造手法：半角旋转、截长补短. 构造专题二：半角旋转问题 1.如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的两点，且∠EAF =45°. （1）求证：BE +DF=EF ；（若正方形的连长为a ，则△CEF 的周长等于2a ） （2）求证：AE 平分∠BEF ；AF 平分∠DFE ； （3）作AH ⊥EF ，求证：AH =AB . （4）如图2，若E 在CB 的延长线上，F 在DC 的延长线上，且∠EAF =45°，试探索线段BE 、DF 与线 段EF 的数量关系. 2.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，沿直线AE 折叠正方形ABCD ，使点B 落在形内的点H ， 延长EH 交CD 于点F. （1）求证：∠EAF =45°； （2）求证：BE +DF =EF ； （3）求证：AF 平分∠DFE .
3.如图1，∠POQ=90°，OD平分∠POQ，将边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在OP、OQ 上，线段AB交OD于点M，线段BC交OQ于点N.. （1）现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在OD上时停止旋转，则边OA在旋转过程中所扫过的面积为； （2）如图2，在（1）中的旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设△BMN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 4.已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN， 猜想线段BM、DN和线段MN之间有何确定的数量关系？写出你的结论并证明.
考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法 核心母题如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF. 变式一：如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,若△ECF的周长是2，求∠EAF的度数?
变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，AG⊥EF，求证：AG=AB.
综合：在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 求证：①.∠MAN=②. ③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM. 练习 45AB C CMN 2= ?
1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长是AB的2倍，求∠KDN的度数？ 2、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD， （1）求证：EF=BE+FD （2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。
提分专练相似与旋转---- 角含半角模型 一、基本模型： 习惯上把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型. 常见的图形主要为正方形、正三角形、等腰三角形，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系. 1.等边三角形内半角模型 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，若将△ABD经过逆时针旋转后到△ACP 位置，则旋转中心是点A，旋转角等于60°，AD 与AP的夹角是60°，△ADP是等边三角形。 2.直角内的半角模型 （1）在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则EF=BE+DF （2）在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC延长线上的点，且∠EAF＝45°，则EF= DF -BE
变形：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD 上的点，且 1 2 ∠=∠ EAF BAD，则EF=BE+DF 如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=AB，点D、E在斜边BC上，且∠DAE=45°,则222 =+ DE BD CE 二、针对训练 1.6.如图D、E是等腰直角三角形△ABC的斜边BC上两点，且满足 222 BD CE DE +=.则∠DAE= .45°
2.如图，射线AE 、AF 分别交正方形ABCD 边BC 、CD 于E 、F 两点，射线AE 、AF 的夹角∠EAF=45°.连结EF ，试说明EF 与BE 、DF 的数量关系.若AM 为△AEF 的高，试说明AM 与正方形边长的数量关系. 解：将△ADF 绕着点A 按顺时针方向旋转90°，得△ ABF ′，易知点F ′、B 、E 在一直线上．如图1， ∵AF ′ =AF ，∠F ′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF ， 又∵AE=AE ，∴△AF ′E ≌△AFE ．∴EF=F ′E=BE+DF ； 已知：如图（1），在平面直角坐标xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1 A B E C F D 第2题 E 第1题
如何短时间突破期中数学压轴题 ?? ? ??共顶点旋转旋转：相邻等线段绕公角平分线或垂直或半角 对称：平行四边形 平行等线段平移： 全等变换 )( 一、旋转： ?? ? ??等线段，直接寻找旋转全共旋转：有两对相邻等等 线段，需要构造旋转全自旋转：有一对相邻等一角及相邻等线段有一个角含一个二分之角：半旋转 ??? ?? ? ?，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形 旋遇自旋转构造方法0000018090906060 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 E D C A B E D C A B 2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图：
E D C B A C C C A B D E A B D E E D B A E D C B A E D C B A A B C D E E D C B A 3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°) (2) 等腰直角三角形(旋转 90°) A'D C B A F' D' F E D C A (3) 等边三角形旋转(旋转60°) (4) 正方形旋转(旋转90°)
② ①F E D C B A P F E D C B A G F E D C B A 4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF =45°， AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N .求证： N M F E D C B A G O A H N M F E D C B (1) BE +DF =EF ； (2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2 +DN 2 =MN 2 ； (6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)； (7) S △AMN =S 四边形MNFE ； (8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ； (9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；：AN =1：2) 解题技巧： 1.遇中点，旋180°，构造中心对称