第十四节 定积分与微积分基本定理(理)
时间:45分钟分值:75分
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1
2x 2dx , S 2= ;dx , S 3 = 2e x dX ,贝U S i , 1 1 1
B . S 2
解析本题考查微积分基本定理. x 3 7
51 = 2x 2dx = "3|2= 3.
1
1
52 = 2xdx = In x |2= ln2— ln1 = ln2.
1
53 = 2e^dx = e x|2 = e 2— e = e (e — 1).
1
令 e = 2.7,— S 3>3>S 1>S 2.故选 B. 答案 B
2. (2014?河南联考)已知/(x ) =2 - 1x1,则 f /(尤)d%等于
A . 3
B . 4
C . 3.5
D . 4.5
解析
1. (2013江西卷)若S 1 =
S 2, S 3的大小关系为()
A . S 1VS 2VS 3
1
(1 — x 2)dx + 2(x 2 — 1)dx
0 1
2
|x 2 — 1|dx ,故选 C.
答案 C
4. (2012湖北卷)已知二次函数y = f (x )的图象如图所示,贝S 它与 x 轴所围图形的面积为( )
/(X )=2 -
1 v l - p _x
(x^O) , r h +工 (主 /(巧 L 二 )dx +「f( x ) dx J -1 J o 2 (2-x c =3. 5. 答案 C )dr = I 2.1 + —X 0 + -1 (2 + x ) cLv -i r i 八 2x - —x 3.如图所示,图中曲线方程为 y = x 2— 1, 闭图形(阴影部分)的面积是( ) 用定积分表达围成封 A. 2 x 2— 1 dx B. 2 (x 2 — 1)dx C. 2|x 2— 1|dx D. 1(x 2 — 1)dx + 2 (x 2 — 1)dx 解析面积S = 由图象知 =1 -X \A S= (1 - J)dx 5. (2013湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情 驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) 11 A . 1 + 25ln5 B . 8 + 25ln§ C . 4+25ln5 D . 4 + 50ln2 25 解析令 v(t)= 0,7- 3t + = ??? 3t 2-4t -32 = 0,A t = 4,则汽车行驶的距离为 3 4 v(t)dt = 4 0 0 25 7 — 3t + 1 +1 dt = 3 3 7t -尹+ 25ln 1+1 14= 7X 4-寸 42 + 25ln5-0=4 + 25ln5,故选 A. 2n ~5 3 eq 解析 况而刹车,以速度v(t)= 7-3t + 25 f +否的单位: s , v 的单位: m/s) 行 答案 B 答案 C 6. (2014武汉调研)如图,设D 是图中边长分别为1和2的矩形 1 区域,E 是D 内位于函数y = 1(x >0)图象下方的区域(阴影部分), 从 ZV D 内随机取一个点M ,则点M 取自 E 内的概率为( 1 + ln 2 C . 2 解析 1 函数(.r >0)图象与j = 2的交点坐标 / 1 \ 1 为、2|,阴影部分面积可由直线x 二斗分为两 I 2丿 2 部分,故阴影部分面积为S 現彭二5】+ )二} *2 + J 二 I + (\nx ) | { - I — In * 二 1 + 1 门2.矩 形面积为2,则点M 取自E 内的概率为P 二 I ¥也 C. A. ln2 B 1-ln2 D. 2 - ln2 2 答案 C 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7. (2013湖南卷)若T x 2dx = 9,则常数T 的值为 ____________ . x 3 T 3 解析 T T x 2 dx =3 | T = ~3 = 9,二 T = 3. 答案 3 8. ___________________________________________ (2014厦门市质检)计算:Yx 2+寸1_x 2)dx= ______________________ . 解析 1 (x 2 + 1 — x 2 )dx = 1x 2 dx + 1 1— x 2 dx = 为+扛1+; 0 0 0 答案1+n 1 9. 已知函数y = f(x)的图象是折线段ABC ,其中A(0,0)、B0 5、 C(1,0).函数 y = xf(x)(0 象与x 轴围成的图形的面积为 _________ . 解析 设直线为y = kx +b ,代入A , B 两点,得y = 10x. 1 5 = c k + b , 代入 B , C 两点,贝S 2 二 k =— 10, b = 10. 0= k + b , 1 10x , 0< x < ^, 二 f(x)= 1 —10x + 10, x < 1. 10x 2, 0< x < 2 ??? y =xf(x) = 1 —10x2+ 10x, 2 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 17 f x 10. 若 f(x)是一次函数,且 4f(x)dx = 5, 1xf(x)dx ^6,求 ^"^dx 0 0 1 的值. 解 V f(x)是一次函数,.??设 f(x) = ax + b(a M 0). 1 1 由 1(ax + b)dx = 5,得 qax 2 + bx 临=qa + b = 5.① 17 17 1 xf(x)dx = ~6,得 1(ax 2 + bx)dx=~6". 0 0 解①②,得 a = 4, b = 3. — f(x) = 4x + 3. 于是 2f ^^dx = 2°x ; 3jx = 2 (4 + 3)dx 1 1 1 =(4x +3ln x)|2= 8+ 3l n2 - 4 =4+3ln2. 11. (2013日照调研)如图,直线y = kx 分抛物线y = x -x 2与x 轴 所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值. 4 1 17 即 ~ax 3+2bx 2 11 =石. 10? (10% - 10?2 ) d r 10 \2 1 1 3a + 2b = 17 6 ?② 一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名:张智 学生学号:201001164 所在班级:数学101 所在专业:数学与应用数学 指导老师:杨志林 摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,自十七世纪以来,微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理,它的建立标志着微积分的完成,成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明,建立了微分中值定理与积分中值定理的联系,在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词:微积分基本定理,发展史,定理的应用,定理的证明 ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
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