高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、选择题
1.(2010·山东日照模考)a =??0
2x d x ,b =??02e x d x ,c =??0
2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A .a B .a C .c D .c [答案] D [解析] a =??0 2x d x =1 2x 2|02=2,b =??0 2e x d x =e x |02=e 2-1>2,c =? ?0 2sin x d x =-cos x |02=1 -cos2∈(1,2), ∴c 2.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1 12 B.14 C.13 D.712 [答案] A [解析] 由????? y =x 2y =x 3 得交点为(0,0),(1,1). ∴S =? ?0 1(x 2-x 3)d x = ??????13x 3-14x 401=1 12. [点评] 图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分,请再做下题: (2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y =x 2上从原点到A (2,4)移动,如果把由直线OP ,直线y =x 2及直线x =2所围成的面积分别记作S 1,S 2.如图所示,当S 1=S 2时,点P 的坐标是( ) A.????43,169 B.???? 45,169 C.????43,157 D.????45,137 [答案] A [解析] 设 P (t ,t 2)(0≤t ≤2),则直线 OP :y =tx ,∴S 1=?? t (tx -x 2)d x = t 3 6;S 2=? ?t 2(x 2-tx )d x =83-2t +t 36,若S 1=S 2,则t =4 3 ,∴P ????43,169. 3.由三条直线x =0、x =2、y =0和曲线y =x 3所围成的图形的面积为( ) A .4 B.43 C.18 5 D .6 [答案] A [解析] S =? ? 2x 3d x = ??x 4402 =4. 4.(2010·湖南省考试院调研)? ?1-1(sin x +1)d x 的值为( ) A .0 B .2 C .2+2cos1 D .2-2cos1 [答案] B [解析] ??1-1(sin x +1)d x =(-cos x +x )|-11=(-cos1+1)-(-cos(-1)-1)=2. 5.曲线y =cos x (0≤x ≤2π)与直线y =1所围成的图形面积是( ) A .2π B .3π C.3π 2 D .π [答案] A [解析] 如右图, S =∫02π(1-cos x )d x =(x -sin x )|02π=2π. [点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为 ??? ?π6,π,则对称性就无能为力了. 6.函数F (x )=??0 x t (t -4)d t 在[-1,5]上( ) A .有最大值0,无最小值 B .有最大值0和最小值-32 3 C .有最小值-32 3,无最大值 D .既无最大值也无最小值 [答案] B [解析] F ′(x )=x (x -4),令F ′(x )=0,得x 1=0,x 2=4, ∵F (-1)=-73,F (0)=0,F (4)=-323,F (5)=-25 3. ∴最大值为0,最小值为-32 3 . [点评] 一般地,F (x )=??0 x φ(t )d t 的导数F ′(x )=φ(x ). 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,函数f (x )=??1 x 1 t d t ,若f (x ) 值范围是( ) A.?? ? ?36,+∞ B .(0,e 21) C .(e -11 ,e ) D .(0,e 11) [答案] D [解析] f (x )=??1 x 1 t d t =ln t |1x =ln x ,a 3=S 3-S 2=21-10=11,由ln x <11得,0 e 11. 8.(2010·福建厦门一中)如图所示,在一个长为π,宽为2的矩形OABC 内,曲线y =sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A.1π B.2π C.3π D.π4 [答案] A [解析] 由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得S =??0 π sin x d x =-cos x |0π=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率P =S S 矩形OABC = 22π=1π . 9.(2010·吉林质检)函数f (x )=???? ? x +2(-2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.3 2 B .1 C .4 D.12 [答案] C [解析] 面积S =∫π2-2f (x )d x =? ?0-2(x +2)d x +∫π 202cos x d x =2+2=4. 10.(2010·沈阳二十中)设函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数g (x )=-x 3,f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ,f (x )与g (x ) 的图象交点的个数记为n ,则??m n g (x )d x 的值是( ) A .-52 B .-43 C .-54 D .-76 [答案] A [解析] 由题意可得,当0 m n g (x )d x = ??1 4??? ?-x 3d x = ??-x 2 614=-52. 11.(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等),若关于x 的方程x 2+2bx +c =0有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) A.1 3 B.23 C.12 D.34 [答案] A [解析] 方程x 2+2bx +c =0有实根的充要条件为Δ=4b 2-4c ≥0,即b 2≥c , 由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为p = ??01b 2 db 1×1 =13 . 12.(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0),A (1,0),B (1,1),C (0,1),曲线y =x 2(x ≥0)与x 轴,直线x =1构成区域M ,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在区域M 内的概率是( ) A.12 B.14 C.13 D.25 [答案] C [解析] 如图,正方形面积1,区域M 的面积为S =??0 1x 2d x =13x 3|01=13,故所求概率p =13 . 二、填空题 13.(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )=3x 2+2x +1,若? ?1-1f (x )d x =2f (a )成立,则a = ________. [答案] -1或13 [解析] ∵??1-1f (x )d x =??1-1(3x 2+2x +1)d x =(x 3+x 2+x )|-11=4,? ?1-1f (x )d x =2f (a ), ∴6a 2+4a +2=4, ∴a =-1或1 3 . 14.已知a =∫π20(sin x +cos x )d x ,则二项式(a x -1 x )6的展开式中含x 2项的系数是 ________. [答案] -192 [解析] 由已知得a =∫π20(sin x +cos x )d x =(-cos x +sin x )|π20=(sin π2-cos π 2)-(sin0-cos0) =2, (2x - 1x )6 的展开式中第r +1项是T r +1=(-1)r ×C 6r ×26-r ×x 3-r ,令3-r =2得,r =1,故其系数为(-1)1×C 61×25=-192. 15.抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解析] 由方程组????? y 2=2x y =4-x 解得两交点A (2,2)、B (8,-4),选y 作为积分变量x =y 2 2 、 x =4-y ∴S =? ? 2-4[(4-y )- y 22]dy =(4y -y 22-y 3 6 )|-42=18. 16.(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2=ax (a >0)与直线x =1围成的封闭图形的面积为4 3, 若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x -y +6=0,则l 的方程为______. [答案] 16x -8y +1=0 [解析] 由题意知? ?0 1ax d x =2 3,∴a =1, 设l :y =2x +b 代入y 2=x 中,消去y 得, 4x 2+(4b -1)x +b 2=0, 由Δ=0得,b =1 8, ∴l 方程为16x -8y +1=0. 17.(2010·福建福州市)已知函数f (x )=-x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1 12,则a 的值为 ________. [答案] -1 [解析] f ′(x )=-3x 2+2ax +b ,∵f ′(0)=0,∴b =0,∴f (x )=-x 3+ax 2,令f (x )=0,得x =0或x =a (a <0). S 阴影=-? ?a 0(-x 3+ax 2)d x =112a 4=1 12,∴a =-1. 三、解答题 18.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线y =x 2,试在此区间内确定t 的值,使图中阴影部分的面积S 1+S 2最小. [解析] 由题意得S 1=t ·t 2-? ?0 t x 2d x =2 3t 3, S 2=? ?t 1x 2d x -t 2(1-t )=23t 3-t 2+1 3, 所以S =S 1+S 2=43t 3-t 2+1 3(0≤t ≤1). 又S ′(t )=4t 2-2t =4t ????t -1 2, 令S ′(t )=0,得t =1 2 或t =0. 因为当0 2 所以S (t )在区间????0,12上单调递减,在区间????1 2,1上单调递增. 所以,当t =12时,S min =1 4. 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积. 定积分 练习与解析1 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义,dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析:由求定积分的四个步骤:分割,近似代替,求和,取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为( ) A 0 B 4 π C 2 D 4 解析:?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2, 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是( ) A 15 B 16 C 17 D 18 解析:直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体,ts 时刻的速度 21040t v -= ,则此物体达到最高时的高度为( ) A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析:由 2 1040t v -==0,得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F (力单位:N ,位移单位:m )作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是( )定积分与微积分基本定理练习题及答案
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
微积分基本定理(17)
高中数学 定积分练习与解析1 苏教版选修2-2
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