高中数学常见题型解法归纳 空间直线、平面垂直位置关系的证明
【知识要点】
一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明
空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.
方法一（几何法）：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.
方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,,),
(,,)a x y z b x y z ==
向量,m n 是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m x y z n x y z ==
1200(,1212z z a b a b a b x x y y a b a b +⊥⇔⊥⇔=⇔+=直线直线其中分别为直线，的方向向量）,,31313(1x y y z z a a m x a a m λλλαα===⊥⇔⇔直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量）
3400(3434z z m n m n x x y y m αβαβ+⊥⇔⊥⇔=⇔+=平面平面其中,n 分别为平面，的法向量） 二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.
三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直. 【方法讲评】
【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC
平面BDE DE =，
所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以1
12
DE PA =
=，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC .
所以三棱锥E BCD -的体积1163
V BD DC DE =
⋅⋅=. 【点评】（1）本题的第1问证明PA ⊥BD ，转化成证明PA ⊥平面ABC ，第2问证明平面BDE ⊥平面
PAC 转化成证明BD ⊥平面PAC .（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成
最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面.
【例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD
AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．
（Ⅲ）
A
B
C
D
P
E
A
B
C
D
P
E
M
⊥的关键是证明CD垂直AE所在的平面PCD.(2)证明PD⊥平面ABE的【点评】（1）证明CD AE
PC CD
关键是证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线,.
【反馈检测1】【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.
【例3】如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点. （1）证明：1A G ⊥面EFD ；（2）求二面角E DF C --的余弦值.
(2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量 设1
AG 与CE 夹角为θ，则11cos A G CE A G CE
θ⋅==
⋅231-⋅2
3
=- 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ- ∴二面角E DF C --的余弦值为
2
3
. 【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接. 当然，也可以选择几何法.
【反馈检测2】如图，已知多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AE ⊥平面ABCD ，
,1,AE CF AB AE AF BE ==⊥．
（1）求证：AF ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第60讲： 空间直线、平面垂直位置关系的证明参考答案
【反馈检测1答案】(1)证明略；.
（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位
长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()
()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的
1
2
，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距
离的
1
2，即E 为DB 的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
故()()11,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫
=-=-=- ⎪
⎪⎝
⎭
.
【反馈检测2答案】（1）见解析;(2）所求二面角得余弦值为
5
． 【反馈检测2详细解析】（1）设AC BD O ⋂=以O 为空间直角坐标系原点，以OB 为x +轴，以OC 为y +
轴，以过O 点平行于AE 的射线为z +轴建立空间直角坐标系xOy ∵1AB AE ==，且菱形ABCD 中60ABC ∠=︒
∴1110,,0,,0,,0,,0,,122222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ ∵AE
CF 且()0,0,1AE =，∴设()()0,0,0CF λλ=> ∴1
0,,2
F λ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
又∵AF BE ⊥
∴102AF BE λ⋅=-
+=，∴12λ=，∴110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
又∵()
10,1,
02AF BD ⎛⎫
⋅=⋅= ⎪⎝
⎭
∴AF BD ⊥，又AF BE ⊥且BD BE B = ∴AF ⊥平面BDE
（2）设⊥m 平面BEF ，(),,x y z =m
∴()11,,,1022
BE x y z x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭m
设所求二面角为θ，则有cosθ=.
空间直线和平面的位置关系 一、考纲要求 1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念. 2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离. 3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题. 4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系. 5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题. 二、知识结构 1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线. 若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线. 若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的. 平面通常用一个平行四边形来表示. 平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC. 在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如： A∈l—点A在直线l上； A?α—点A不在平面α内； l?α—直线l在平面α内； a?α—直线a不在平面α内； l∩m=A—直线l与直线m相交于A点； α∩l=A—平面α与直线l交于A点； α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l. 2.平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3.证题方法 直接证法
高中数学常见题型解法归纳 空间直线、平面垂直位置关系的证明 【知识要点】 一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明 空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法. 方法一（几何法）：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想. 方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,,), (,,)a x y z b x y z ==
向量,m n 是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m x y z n x y z == 1200(,1212z z a b a b a b x x y y a b a b +⊥⇔⊥⇔=⇔+=直线直线其中分别为直线，的方向向量）,,31313(1x y y z z a a m x a a m λλλαα===⊥⇔⇔直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量） 3400(3434z z m n m n x x y y m αβαβ+⊥⇔⊥⇔=⇔+=平面平面其中,n 分别为平面，的法向量） 二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系. 三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直. 【方法讲评】 【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． （III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =， 所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以1 12 DE PA = =，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC .
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
立体几何与空间向量 03 空间点、线、面的位置关系 一、具体目标： 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理； 2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理； 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 二、知识概述： 1.平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2. 空间两直线的位置关系 直线与直线的位置关系的分类??? 共面直线??? ?? 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3.异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：. 4.异面直线的判定方法： ]2 , 0(π 【考点讲解】
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查． 1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD， M是线段ED的中点，则（） A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD ⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD ⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，, EO CD EO ⊥?平面CDE，EO ∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB ∴△与EON △均为直角 三角形．设正方形边长为2，易 知12 EO ON EN === , ， 5 , 2 MF BF BM ==∴=， BM EN ∴≠，故选B． ] 2 ,0( π【真题分析】
知识图谱 -利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直 错题回顾 利用向量证明空间中的平行关系 知识精讲 一．直线的方向向量与直线的向量方程 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量． 2．直线的方向向量 空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定，如图，点是直线上的一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上任一点，有，这样点和向量，不仅可以确定直线的位置，还
可具体表示出上的任意点；直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量． 3．直线的向量方程 直线上任意一点，一定存在实数，使得①，①式可以看做直线的参数方程，直线的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点，点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式 ②，如果在上取，则上式可以化为 ③；①②③都叫做空间直线的向 量参数方程． 二．平面的法向量 1．平面法向量的定义 已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交．
2．平面法向量的性质 （1）平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 三．用向量方法证明空间中的平行关系 1．线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明或与重合，只需要证明，即． 2．线面平行 （1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明； （2）根据线面平行的判定定理：如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可； （3）根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行．已知两个不共线向量与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或在内存在两个实数，使．
第七篇 立体几何与空间向量 专题7.05 用向量法证明平行与垂直 【考纲要求】 1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义． 2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系． 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 【命题趋势】 空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题. 【核心素养】 本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量 的方程组为⎩⎪⎨ ⎪⎧ n·a ＝0，n· b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 . (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔ 存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2 . (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔ v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β ⇔ u 1∥u 2 . 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2， 则l 1⊥l 2⇔ v 1⊥v 2 ⇔ v 1· v 2＝0 . (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ， 则l ⊥α⇔ v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β ⇔ u 1⊥u 2 ⇔ u 1·u 2＝0 .
高中数学立体几何解题技巧 许多高中生认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。下面是整理的高中数学立体几何解题技巧，供参考。 高中数学立体几何解题技巧 1.平行、垂直位置关系的论证的策略: (1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 (2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。 (3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。 2.空间角的计算方法与技巧: 主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。 (1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法： (2)直线和平面所成的角 ①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。 ②用公式计算. (3)二面角 ①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法： (i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式. 点击查看：数学答题技巧及常用解题方法 3.空间距离的计算方法与技巧: (1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。 (2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。 (3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。 4.熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。 5.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。 6.与球有关的题型，只能应用“老方法”，求出球的半径即可。 7.立体几何读题：
证明面面垂直的方法及定理五篇 证明面面垂直的方法1 CD=BD-BC,AC=BC-BA,AD=BD-BA. 对角线的点积：AC·BD=(BC-BA)·BD=BC·BD-BA·BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(BD-BC)2=AB2+BD2+BC2-2BD·BC AD2+BC2=(BD-BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2BD·BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于BD·BC=BD·BA等价于AC·BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的'垂线在另一个平面内，即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 平面平行与平面垂直的知识点2 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行。 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行。(“线面平行，面面平行”) 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行。 [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面。 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。(“面面平行，线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条
直线的平面垂直于这个平面。(“线面垂直，面面垂直”) 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系。 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面。 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于， 因为则。 6. 两异面直线任意两点间的距离公式：(为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有) 面面垂直学生如何证明3 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析 二、考点梳理 考点一直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理
考点二平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 考点三知识拓展 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 四、题型分析 重难点题型突破1 线面垂直 例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( ) A.若m⊂α，则m⊥β B.若m⊂α，n⊂β，则m⊥n C.若m⊄α，m⊥β，则m∥α
D.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C 【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误. 【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n B.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β C.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B 【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误. 例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1 2 AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证： (1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB. 【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD. 因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME. 因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝1 2AB ，DF ∥AB ， 所以ME ＝DF ，ME ∥DF ， 所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.
第四节直线、平面垂直的判定及其性质 【知识点15】直线与平面垂直的判定 1.直线与平面垂直的定义 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线和平面垂直的判定定理 典型例题： 【例1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是________． ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 【反思】(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线． 【变式1】(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()
A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC (2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径； ④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号) 【变式2】已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是() A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β 【变式3】下列说法中，正确的有() ①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直； ②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直； ③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面； ④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面； ⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内． A．2个B．3个 C．4个D．5个 例2(线面垂直的判定)如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【反思】(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 ①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
高中数学立体几何经典常考题型 题型一:空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝π 4 ，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC， 2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝π4 ， ∴∠OCB＝π 4 ，∴∠BOC＝ π 2 . ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC?平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设OA＝1，则PO＝OB＝OC＝2，DA＝1.
则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1). 设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0， ∴⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0， 令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪PD →·n |PD → ||n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝222 11. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为222 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【变式训练】 如图所示，在多面体A 1B 1D 1-DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为 B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F . (1)证明：EF ∥B 1 C . (2)求二面角E -A 1D -B 1的余弦值. (1)证明 由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D?面A 1DE ，B 1C?面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C?面B 1CD 1，面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1. 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且
立体几何—直线与平面的位置关系（平行、垂直、异面） 知识精要 1、证明直线与平面的平行的思考途径: （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2、证明直线与平面垂直的思考途径: （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 3、证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直； (3) 转化为两平面的法向量平行。 4、 空间向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则： (1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 5、 夹角公式： 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=. 6、 异面直线间的距离 ： || || CD n d n ⋅= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12 ,l l 间的距离). 7、点B 到平面α的距离：
|| || AB n d n ⋅= （n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 热身练习： 1、A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ C ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, ()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈A l A l ,内不在 ()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 2、对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ B ）（1和4） ()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个 3、在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与 HG 相交于一点M ，那么 （ A ） ()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上 ()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 4、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ B ） （A ） 共线 （B ） 共面 （C ） 不共面 （D ） 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。 5、下列四个命题： （1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系 ［考纲解读]1。理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点) 2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点) [考向预测］从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础,但却很少独立命题．预测2021年高考会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系;②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型. 1．空间两条直线的位置关系 （1）位置关系分类 错误!错误! （2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
②范围:错误!(0°，90°]． (3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角错误!相等或互补． 2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言符号语 言 公共点 直线与平面 相交 错误!a∩α ＝A □021个平行错误!a∥α错误!0个在平面 内 错误!a⊂α 错误!无 数个 续表 图形语言符号语言公共点 平面与平面平 行 错误!α∥β错误!0个相 交 错误!α∩β＝l错误!无数个 3．必记结论
（1)唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)异面直线的判定定理 平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线． 1．概念辨析 (1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．（) （2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．() (3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b 不可能是平行直线．(） （4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α，β相交于过A点的任意一条直线．() 答案(1)×(2）×（3）√（4)× 2．小题热身 （1）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）
直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳(总16页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳 知识点精讲： 1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相 互垂直. 2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13） 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ,a b a l l b l a b P αα ⊂⎫ ⎪⊥⎪ ⇒⊥⎬⊥⎪⎪=⎭ 面⊥面⇒ 线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 αββαβα⊥⇒⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎬⎫ ⊥⊂=⋂⊥b a b b a 平行与垂直的关系1 一条直线与两平行平 面中的一个平面垂 直，则该直线与另一个平面也垂直 βαβα⊥⇒⎭ ⎬⎫ ⊥a a // 平行与垂直的关系2 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一 条直线与该平面也垂直 αα⊥⇒⎭ ⎬⎫ ⊥b a b a // 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-14） 表8-14 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 b a b a a ////⇒⎪⎭⎪ ⎬⎫=⋂⊂βαβα 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的关系 垂直于同一直线 的两个平面平行 βαβα//⇒⎭⎬⎫ ⊥⊥a a _ a α β _b _a β α b _a _b _a _ a α β
线垂直于面的性质 如果一条直线垂 直于一个平面， 则该直线与平面 内所有直线都垂 直 , l a l a αα ⊥⊂⇒⊥ 1.斜线的定义 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足. 2.射影的定义 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影. 3.直线与平面所成的角 平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我 们说它们所成的角是00的角，故直线与平面所成的角的范围是 0, 2 π ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 如图8-122所示，PA是平面α的斜线，A为斜足；PO是平面α的垂线，O为垂足；AO是PA在平面α的射影，PAO ∠的大小即为直线PA与平面α所成的角的大小. 三、平面与平面垂直 1.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角 l αβ --的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和 OB构成的AOB ∠叫做二面角的平面角，二面角的范围是[] 0,π .平面角是直角的二面角叫做直二面角.
2020高中数学高考复习垂直关系
2020高中数学高考复习垂直关系 1． 直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法． ②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 2． 二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角． 3． 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法． ②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α. ( × ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直． ( √ ) (3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，π2 ]． ( × )
(4)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. (√) (5)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. (×) (6)a⊥α，aβ⇒α⊥β. (√) 2．(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n B．若α∥β，mα，nβ，，则m∥n C．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案D 解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故D正确． 3．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是() A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，aα，bβ C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α 答案C 解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b. 4．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是() A．相交且垂直B．相交但不垂直 C．异面且垂直D．异面但不垂直 答案C 解析在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC. 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：