面面垂直→线面垂直几个条件
线面垂直是一种很常见的几何概念，它们构成了许多日常用品，如
陶瓷盘子或家具去磨光而不破坏平面等等。要使线面垂直有几个关键
条件：
一、垂直线必须完全垂直
要使一条直线与一个平面完全垂直，它必须与该平面的法线完全垂直。此外，曲线和近似垂直的直线也不能算做垂直，因为它们还是与法线
有一些角度的，例如，95度而不是90度。
二、射线与平面相交
当射线与平面相交时，这条射线的方向与平面的法向量是垂直的。例如，如果有一条射线正在垂直地穿过一个平面，那么该射线将与该平
面的法线完全垂直。
三、平行线段与平面
当平行线段被投射到一个平面上时，它们将与平面的法线完全垂直。
比如，如果一个平行线段被投影到一个平面上，那么该射线也是垂直的。
四、曲线与平面
当一个曲线与一个平面相交时，曲线的某些点也将与该平面的法线完全垂直。比如，在一个圆的锥面上，沿锥面的曲线上的每个点都与该平面完全垂直。
以上就是使线面垂直的几个关键条件。此外，无论是使用射线、平行线段还是曲线，都可以确保线面永远垂直。因此，使用射线、平行线段和曲线都可以是最好的方法，以确保满足垂直的要求。
面面垂直的判定、面面垂直的性质 1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论： (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 4．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义． (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 5．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 6.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理． (2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． 2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题 ①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β. 其中正确的命题是() A．①②B．②③ C．②④D．③④ 解析：选D对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确． 4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A B1C1中，∠BAC＝ 90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在() A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部
立体几何综合复习 一、直线与平面垂直 1．定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直 数学描述：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a b P =⇒l⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行 数学描述：a b α α ⊥⎫ ⎬ ⊥⎭ ⇒a b ∥ 4．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面 上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 ．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角 ．．．．．．．．．α．的范围是 ．．．．π [0,] 2 .
5．常用结论（熟记） （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、平面与平面垂直 1．定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ ⊥. 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面 垂直 图形语言 符号语言l⊥α，lβ ⊂⇒α⊥β 作用判断两平面垂直 3．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行 图形语言 =l a a a l αβ αβ βα ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ ⎬ ⊂⎪ ⎪ ⊥⎭ ⊥ ⊥
线面、面面垂直的判定与性质 知识回顾 1．直线与平面垂直的判定 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α． （2）判定定理 文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号表述： ? ????l ⊥a l ⊥b ?l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质 文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号表述： ???? ?a ⊥αb ⊥α? a ∥b 3. 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．平面与平面的垂直的判定 （1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直． （2）面面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示： ? ??? ?a ⊥β ?α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β． 6．二面角
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 二面角的平面角： 如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角． 题型讲解 题型一 例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 答案：C 例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为() A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB． 证明在平面B1BCC1中， ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
垂直关系 一、知识点： 1、线线垂直： 1）线线垂直：三垂线定理及逆定理 2）线面垂直：如果a ⊥α，b ?α，那么a ⊥b 3）面面垂直：如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直 4）平行关系：如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c 2、线面垂直： 1）线线垂直：如果a ⊥b ，a ⊥c ，b ?α，c ?α，b ∩c=P ，那么a ⊥α 2）面面垂直: 如果α⊥β，α∩β=b ，a ?α,a ⊥b ，那么a ⊥β 3) 平行关系: 如果a ⊥α，b ∥a ，那么b ⊥α 3、面面垂直： 1）定义（二面角等于900 ） 2）线面垂直：如果a ⊥α，a ?β，那么β⊥α 4、距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。 1）异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。 2）线面距离，面面距离常化归为点面距离。 5、角：直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。 1）直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。 2）二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。 二、例题讲解： 例1、在棱长为6厘米的正方体中，P 是A 1A 上一点，且1A P=2，在AB 上是否存在点Q ，使得1C P ⊥PQ ？ 例2、如图，已知AEFG SC ABCD SA 截面所在平面，正方形⊥⊥， 求证：（1）SD AG SB AE ⊥⊥，；（2）GE AF ⊥ 、 例3、SA ⊥面ABCD ，AN ⊥SC ，∠ABC=90°，M 为SD 的中点，AB=CD=1，SA=AD=2，BC=2，求证：MN ⊥SD 。 例4、设S 是△ABC 所在平面外一点，且SA=SB=SC ，D 是BC 的中点，∠BAC=90° ，求证：SD ⊥面ABC 。
立体几何中线、面垂直的证明问题 重要知识 1、直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 线面垂直的判定定理可概括为有“线线垂直”则“线面垂直”. 推论：一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线。 2、直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。 数学语言： a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b 两个重要结论： （1）垂直于同一条直线的两个平面平行。 （2）如果两条平行线中有一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 3、平面与平面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 数学语言：a β⊂， a α⊥面 ⇒ βα⊥ 面面垂直的判定定理可概括为有“线面垂直”则“面面垂直”。 4、平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 面面垂直的判定定理可概括为由“面面垂直”则“线面垂直”。 a l ⊥b l ⊥α ⊂a α ⊂b A b a = α⊥⇒⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎬⎫l ⇒⎪ ⎭⎪⎬⎫ ⊂αb β α⊥l =βα l b ⊥β ⊥ b
P E D C B A 重要关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 重要方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1）通过“平移”。 （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3）利用勾股定理。 （4）利用直径所对的圆周角是直角。 典型例题 题型一、通过“平移”.（根据若则a//b, 且b⊥平面α,a⊥平面α） 例1、在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 变式1、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ； E F B A C D P
线面垂直与面面垂直(总15 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
第3讲线面垂直与面面垂直 考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求． 知识梳理 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直，则该直 线与此平面垂直 ⎭⎪ ⎬ ⎪⎫ l⊥a l⊥b a∩b＝O a⊂α b⊂α ⇒l ⊥α 性质定理两直线垂直于同一 个平面，那么这两 条直线平行 ⎭ ⎬ ⎫ a⊥α b⊥α ⇒a∥b (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂
直． (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理一个平面经过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂 直 ⎭ ⎬ ⎫ l⊥α l⊂β ⇒α⊥β 性质定理如果两个平面互相垂直，则在 一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面⎭ ⎬ ⎫ α⊥β α∩β＝a l⊥a l⊂β ⇒l⊥α 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行．() (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．() (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.() 2．给出下列命题： ①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β； ②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ； ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. 其中错误的命题是________(填序号)．
1.命题方向预测： 1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主. 2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有. 2.课本结论总结： 1.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类??? 共面直线??? ?? 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02 π?? ?? ? ，. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定与性质 8.面面平行的判定与性质 9.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 10.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 11.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法
线面垂直 ●知识点 1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例1】 如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点， ∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的 射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC . 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF ⊥SC 成立，结合AF ⊥SC 可推证SC ⊥平面AEF ，这样 SC ⊥AE ，结合AE ⊥SB ，可推证AE ⊥平面SBC ，因此证明 AE ⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA ⊥平面ABC ， ∠ABC =90°，可以推证BC ⊥AE ，结合AE ⊥SB 完成AE ⊥平 面SBC 的证明. 【规范解答】 【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键 . 例1题图
【例2】 已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB . 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c ?b ⊥c ;(2)a ⊥α,b ?α?a ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1. 【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法 （对称原理） 例3题图解(1)
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判断定理：假如，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：订交成的两个平面叫做相互垂直的平面。 两平面垂直的判断定理：（线面垂直面面垂直） 假如，那么这两个平面相互垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直） 若两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转变为线面垂直来剖析解决，其关系为：线线垂直判断判断 线面垂直面面垂直．这三者之间的关系特别亲密， 性质性质 能够相互转变，以前面推出后边是判断定理，而从后边推出前面是性质定理．同 学们应该学会灵巧应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中 包含着低一级的垂直关系，下边举例说明．
例题： 1．如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA⊥平面 ABC．（1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC； （2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的双侧，试写出图中全部相互垂直的各对平面． 2、如图，棱柱ABC A 1 BC 11 的侧面 BCC 1 B 1 是菱形，B1C A1B 证明：平面 AB1C平面 A1 BC1 3、如下图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M 和 C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面 A1B1M 1
4、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面 ABC．若 AE⊥ PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是 PB 上随意一点，求证：平面 AEF⊥平面 PBC． 5、如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1中，AC ＝ BC ＝1，∠ACB ＝ 90°，AA1＝2 ， D是 A1B1中点．（ 1）求证 C1D ⊥平面 A1B ；（2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面 C1DF 并证明你的结论
空间中的垂直关系 1线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ___________________________ ，那么这条直 线垂直于这个平面。 推理模式： _______________________ 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 ________ 。 2. 面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 ______________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：(线面垂直 面面垂直) 如果 ____________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式： _______________________ 两平面垂直的性质定理：(面面垂直 线面垂直) 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ___________ 的直线垂直于另 一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同 学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中 蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明. 例题：1.如图，AB 是圆0的直径，C 是圆周上一点，P 从平面ABC (1) 求证：平面 PACL 平面PBC (2) 若D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互 相垂直的各对平面. 2、 如图，棱柱ABC A1BC 1的侧面BCC i B i 是菱形，BC AB 证明：平面AB i C 平面ABC i 3、 如图所示，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1 AA=2, M 是棱CC 的中点 (I)求异面直线AM 和GD 所成的角的正切值； (U)证明：平面ABML 平面A 1B 1M 4、 如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA 平面ABC 若AE L PC ，E 为垂足，F 是PB 上任意一点，求证：平面 AEF L 平面PBC 5、 如图，直三棱柱 ABC — A B1C 1 中，AC = BC = 1，/ ACB = 90°，AA = ?- 2 ， D 是A 1B 1中点.(1)求证GD 丄平面A 1B ； (2)当点F 在BB 上什么位置时，会使 为：线线垂直 判定 性质 线面垂直 判定 性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,
一、 空间中的垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1、 直线与直线垂直 定义：两条直线所成的角为︒90，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直。 2、 直线与平面垂直 ①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α⊂都有l a ⊥，且l α⊄，则l α⊥. ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ,a b a b O l l l a l b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪ ⊥⎪⎭ （线线垂直⇒线面垂直） ③性质：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直 ,l a l a αα⊥⊂⇒⊥（线面垂直⇒线线垂直）； （2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于同一个平面 a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α （3）垂直于同一个平面的两条直线平行 ,//a b a b αα⊥⊥⇒； ④证明或判定线面垂直的依据： （1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭ （较常用）；（4） //a a αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；（5）⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎬⎫ ⊥⊂=⋂⊥b a a b αβαβα（面面垂直⇒线面垂直）（常用）； ⑤三垂线定理及逆定理： （I ）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中， PO α⊥（1）斜线相等⇔射影相等；（2）斜线越长⇔射影越长；（3）垂线段最短。【如图】PB PC OB OC =⇔=；PA PB OA OB >⇔> （II ）三垂线定理及逆定理：已知PO α⊥，斜线PA 在平面α内的射影 为OA ，a α⊂， ①若a OA ⊥，则a PA ⊥——垂直射影⇒垂直斜线，此为三垂线定理；
（一）空间中的垂直关系 1. 两条直线互相垂直 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 2. 直线与平面垂直 （1）定义：直线与平面垂直是指直线和平面相交且和这个平面过交点的任何直线都垂直。 这里的“任何直线”能代表平面内的所有直线．需要注意的是：无数条直线不能代表所有直线，即一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，直线不一定与平面垂直，因为这无数条直线可以是互相平行的。 （2）直线与平面垂直的判定方法 ①定义： ②判定定理： ③推论： （3）直线与平面垂直的性质 ①定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，即： ②定义：若线面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任一条直线，即： ③垂直于同一条直线的两个平面平行。 ④过一点和已知平面垂直的直线只有一条。 ⑤过一点和已知直线垂直的平面只有一个。 ⑥若于A，，则。 （4）学习中应注意的问题 直线与平面垂直的一般定义是根据线段的所有垂直平分线构成的集合来给出的。需要注意，如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内任意一条直线垂直。用直线和平面垂直的判定定理来证明时，需特别注意平面内的两条相交直线，否则会产生错误。 3. 平面与平面互相垂直 （1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。 平面α、β互相垂直，记作α⊥β。 画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图1，2所示。 （2）两个平面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 实质：线面垂直，则面面垂直。表示式为：。 （3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 符号表示： 说明：要特别注意定理中这一条件，这一条件易被我们忽略，而少了这一条件，定理的结论是不成立的。 （4）证明面面垂直的常用思路：
线面、面面垂直的判定与性质 一、 线面垂直 1．线面垂直：若一条直线垂直于平面内所有直线（垂直于平面中的两条相交直线即可），则直线与平面垂直． 判定定理：若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，直线与平面垂直． 2．线面垂直的证明方法：（1）判定定理； （2）如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面； （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面； （4）两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面; （5）如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直; 3．直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离． 5．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． 6． 三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 7．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫ ⎪ =⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭ 注意：（1）三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理． （2）要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用． 二、 面面垂直 1． 面面垂直：如果两个平面的所成的角为直角，则两个平面垂直． 2． 面面垂直的证明： （1）计算二面角的平面角为90︒； （2）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直． 3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 典型例题： 1. 线面垂直的判定及其应用
高中数学空间直线、平面垂直的判定及其性质解析！ 一、直线和平面垂直的判定和性质 1、证明直线和平面垂直的常用方法： ① 利用判定定理； ② 利用平行线垂直于平面的传递性（a∥b , a⊥α，则b⊥α .）; ③ 利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β , 则a⊥β .）; ④ 利用面面垂直的性质 . 注： 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任何一条直线，常用来证明线线垂直 . 【例题1】如图所示，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，点 M , N 分别是 AB , PC 的中点，若∠PDA = 45°， 求证：MN⊥平面 PCD . 例题1图 【解析】 思路：点 M , N 是中点，取 PD 中点 E，则MN∥AE , AE⊥平面 PCD，则MN⊥平面 PCD . 解答： 证明：如下图所示，取 PD 的中点 E，连接 AE , NE .
∵ 点 E , N 分别为 PD , PC 的中点， ∴ EN∥且= 1/2 CD , (三角形中位线定理) 又∵ 点 M 是 AB 的中点，四边形 ABCD 为矩形， ∴ AM ∥且= 1/2 CD , ∴ EN ∥且= AM， ∴ 四边形 AMNE 为平行四边形 . ∴ MN ∥且= AE , 又∵ PA⊥平面 ABCD，∠PDA = 45°， ∴ △PAD 为等腰直角三角形， ∴ AE⊥PD . 又∵ CD⊥AD，CD⊥PA， ∴ CD⊥平面 PAD , 而 AEㄷ平面 PAD , ∴ CD⊥AE . 又∵ CD∩PD = D , ∴ AE⊥平面 PCD ， ∴MN⊥平面 PCD . 二、平面与平面垂直的判定 1、证明面面垂直的常用方法： ① 利用判定定理；（判断垂线常用等腰三角形“三线合一”、“勾股定理”等结论 .） ② 利用定义证明；（判断两平面所成的二面角是直二面角 .） ③ 利用常用结论；（若α∥β，α⊥γ，则有β⊥γ .） 【例题2】如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB = BC , 点 D 是 AB 的中点 . (1) 求证：BC1∥平面 CA1D ; (2) 求证：平面CA1D⊥平面 AA1B1B .
直线、平面垂直的判定及其性质 知识要点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面 内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面 的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。 要点诠释：<1>定义中"平面内的任意一条直线"就是指"平面内的所有直线".这与"无数条直线"不同.注意区别。 <2>直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。 <3>若.则。 2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则 该直线与此平面垂直。 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 要点诠释：<1>判定定理的条件中："平面内的两条相交直线"是关键性词语.不可忽视。 <2>要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。 知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。 要点诠释：<1>直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。 <2>直线与平面垂直射影是点。 <3>斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 <4>一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成 的角是0°的角。知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。 表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也