2013年高三数学试题（文科）10.19
一、本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．52
3
-co s (π)=
B.-12
C.1
2
2. 将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位,再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是
A ．cos 2y x =
B ．2
2sin y x = C ．)4
2sin(1π
+
+=x y D ．2
2cos y x =
3.已知2,{43U A x x x ==-+R ≤10},{()1},2x
U B y y A B ==+ 则()=e
A.[3,+∞）
B.（3，+∞）
C.[1，3]
D.（1，3）
4.设f(x)=cos 22x ，则f ′（π
8
）=
A. 2
C.-1
D.-2
5.已知:p x ≤1，条件1
:1,q x
<则p 是q ?成立
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
6.已知321
233
y x bx b x =++++()是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是
A.-1≤b ≤2
B.b ≤-1或b ≥2
C.-1＜b ＜2
D.b ＜-1或b ＞2 7. 已知函数)0,0)(sin(2)(π?ω?ω<<>+=x x f 的图象如图所示，则ω等于
A. 13
B. 32
C. 1
D. 2
8.已知函数y=Asin(ωx +?)+b 的一部分图象如图所示，如图A ＞0，ω＞0，｜?｜＜
π
2
，则 A.A=4 B.b=4 C.ω=1
D.?=
π
6
9. 在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，
，若sin A =
，2a =，
ABC S =△，则b 的值为 A.3
B.
C
． D
．10. 若定义在R 上的奇函数)(x f 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则有
A. (25)(80)(11)f f f -<<
B. (11)(80)(25)f f f <<-
C. (25)(11)(80)f f f -<<
D. (80)(11)(25)f f f <<- 11.已知对数函数()lo g a f x x =是增函数，则函数y=f （｜x ｜+1)的图象大致是
12.设a ∈R ，函数()e e x x f x a -=+?的导函数是f ′（ x ），且 f ′（ x ）是奇函数，若曲
线y f x =()的一条切线的斜率是
3
2
，则切点的横坐标为 A.ln 22- B.-ln2 C.ln 22
D.ln2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c,若（a+c ）(a-c)=b(b+c)，则A= .
14．已知命题p ：“ [0,1],x a ?∈≥e x ”，命题q ：“240,x x x a ?∈++=R ”，若命题“p
∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是
.
15．设x ，y 满足约束条件3
123
x y x y x y +≥??-≥-?
?-≤?
，若目标函数x y
z a b =+（a ＞0,b ＞0）的最大值为10，则5a+4b 的最小值为 .
16．下面有五个命题：
① 函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ② 终边在y 轴上的角的集合是k {|=
,k Z}2
π
αα∈； ③ 在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点；
④若1cos 22α= 则2()6
k k Z π
απ=±∈；
⑤ 函数sin()0)2
y x π
π=-在(，上是减函数．
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数
223
.x x x x -+
-π
in co s co s ()co s （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若函数f(x)的图像向右平移m(m ＞0)个单位后，得到的图像关于原点对称，求实数m 的最小值.
18．（本小题满分12分）
已知函数22()cos(2)sin cos 3f x x x x π
=-+-.
（I ）求函数()f x 的单调减区间；
（II ）若3
()5
f α=,2α是第一象限角，求sin 2α的值．
19．（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a,b,c
，且2.b A C -=()co s co s （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若角6
,B BC π
=边上的中线AM
，求△ABC 的面积.
20．（本小题满分12分）
已知不等式201x x +<-的解集为A ，
关于x 的不等式21
()2()2x a x a -->∈R 的解集为B ，全集U =R ，求使U A B B = e的实数a 的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知在函数3()f x ax x =-的图象上，以(1,)N b 为切点的切线的倾斜角为45 . （I ）求,a b 的值；
（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1996f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？ 若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分）
已知a ≠0，函数23212
133()(),,.f x a x ax g x ax x =-+=-+∈R
（Ⅰ）求函数f x ()的单调递减区间；
高三数学试题（文科）参考答案及评分标准1-5 BDBDB 6-10 ABDAA 11-12 BD
13、1200 14、[e,4] 15、 8 16．①．
三、解答题：
17.解：
（Ⅰ）
ππcos21 ()2(cos2cos sin2sin)
2332
x
f x x x x
+ =---
1
2cos2
2
x x
=--
π1
2sin(2).
62
x
=--…………………………………2分
∴f(x)的最小正周期T =仔 .…………………………… 4分
当
πππ
222π()
262
,
k x k k
π-≤-≤+∈Z
ππ
ππ(),(),
63
k x k k f x
-≤≤+∈时函数单调递增
Z
ππ
[π,π]()
63
k k k
-+∈
故所求区间为Z…………………………………7分
（Ⅱ）函数f(x)的图像向右平移m(m＞0)个单位后得
π1
()2sin[2()]
62
g x x m
=---，………………………………………10分
π
(),π
6
g x m k
=
要使的图像关于原点对称只需-2-，…………………………11分
π
π,π.
212
k
m m
=-
5
即所以的最小值为
12
……………………………………… 12分
18.解：（I）因为22
()cos(2)sin cos
3
f x x x x
π
=-+-
1
cos22cos2
2
x x x
=
-
1
2cos2sin(2)
26
x x x
π
=-=-. .............3分
所以，当
3
222()
262
k x k k Z
πππ
ππ
+-+∈
≤≤，
即
5
()
36
k x k k Z
ππ
ππ
++∈
≤≤时，函数()
f x递减.
故，所求函数()
f x的减区间为
5
[,]()
36
k k k Z
ππ
ππ
++∈. ...........................6分
（II）因为2α是第一象限角，且
3
s i n(2)
65
π
α-=，所以
222()
663
k k k Z
πππ
παπ
-<-<+∈
.
由
3
()sin(2)
65
f
π
αα
=-=得
4
cos(2)
65
π
α-=. ………………………9分
所以sin2sin[(2)]
66
ππ
αα
=-+=. …………………………12分
19.解：
（Ⅰ）因为2,
b A C
-=
()co s co s
所以2B C A A C
=
(s in in)co s in co s……………………………2分
2B A A C C A
=
s in co s in co s in co s
2B A A C
=+
s in co s in()
，则2,
B A B
=
s in co s in又0￡,
B≠
s in
所以A=
cos
6
A=
π
………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
6
A B
==
π
，所以
2
3
,
AC BC C
==
π
…………………………7分
设AC x
=，则
1
2
MC x
=又
.
在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC·MCcosC=AM2,
即22
2
x
x+(
)2120
2
x
x
-???=2
co s,
解得 x=2，………………………………………………………………………… 10分
故2
12
23
ABC
S x
?
=
π
=s in………………………………………………………12分
20. . 解：由
2
1
x
x
+
<
-
解得21
x
-<<，(2,1)
A=-. …………………………….3分
所以(,2][1,)
U
A=-∞-+∞
e. …………………………………….5分
由2
1
()2
2
x a x
--
>得2
11
()()
22
x a x
+
>，即2x a x
<+，解得x a
<.
所以(,)
B a
=-∞. …………………………………………………………9分
因为
U
A B B
=
e，所以
U
B A
?e，故有2
a-
≤.
即a的取值范围是(,2]
-∞-. …………………………………………..12分
21. 解：依题意，得(1)tan 45f '= ，即2
311,.3
a a -==
因为(1)f b =，所以1
.3b =- ……………………………………………..4分
（II ）由（I ）知3
2()3
f x x x =
-. 令.22,012)(2±==-='x x x f 得 因为.15)3(,3
2
)22(,32)22(,31)1(=-==-=-f f f f
所以， 当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为(3)15f =. ………………………8分 要使得不等式()1996f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519962011.k +=≥
所以，存在最小的正整数2011k =，使得不等式()1996f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立. ………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）由23212
33
f x a x ax =-+()求导得，f ′
222.x a x ax =-()……………2分 ①当a ＞0时，由f ′22222x a x ax a x x a =-=-()()＜0，解得0＜x ＜2
a
所以2321233()f x a x ax =-+在（0，2
a
）上递减.…………………………………4分
②当a ＜0时，由f ′22222x a x ax a x x a =-=-()()＜0，可得2
a
＜x ＜0
所以2321233()f x a x ax =-+在（2
a
，0）上递减.……………………………6分
综上，当a ＞0时，f(x)单调递减区间为（0，2
a
）；
当a ＜0时，f(x)单调递减区间为（2
a
，0）……………………………………7分
（Ⅱ）设2321133F x f x g x a x ax ax -+-()=()-()= x ∈(0,1
2
］.
对F(x)求导，得F ′
x a x ax a a x a x 2222()=-2+=+(1-2),…………………………8分 因为x ∈(0,
1
2
],a ＞0，所以F ′12x a x a x -22()=+()＞0，……………10分 F （x ）在区间(0,
1
2
]上为增函数，则12F x F =m a x ()().………………………11分
依题意，只需F x m a x ()＞0，即211111
38423
a a a ?-?+?-＞0，