2020届江西省信丰中学高三(13)班上学期数学(理A 层)第五次周考
命题人:
一选择题(50分)
)23
sin(
2.1x y -=π
单调增区间为( )
A.)(125,12z k k k ∈??????+-ππππ
B.)(1211,125z k k k ∈?????
?++ππππ C.)(6,3z k k k ∈??????+-ππππ D.)(32,6z k k k ∈??
????
++ππππ 2已知函数()()()sin 20,0f x A x A ??π=+><<的图像经过点,012??-
???和122?? ???,,当0,2x ??
∈????
时,方程()23f x a =-有两个不等的实根,则实数a 的取值范围是( )
A.3,2????
B.1,32??????
C.[]1,2
D.33,3????? 3.已知()2cos f x x x =+,x ∈R ,若()()1120f t f t ---≥成立,则t 的范围是( ) A .20,3?? ???
B .20,3??????
C .()
(
)
2,0,3-∞+∞ D .(]2,0,03??-∞????
4.函数,若有8个不相等的实数根,则的范围是( ) A.
B.
C.
D.
5已知△ABC 中,内角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,若A =π
3,b =2a cos B ,c =1,则△ABC 的面积等于( )
A.32
B.34
C.36
D.38
6如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]的图像大致为( )
7.已知ln ln3ln ,3a c bd -==-,则22()()a b d c -+-的最小值为( )
A 310
B .
185
C .
165
D .
125
8若函数f (x )=sin(ωx +φ)????ω>0,且|φ|<π2在区间????
π6,2π3上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,
则f ????
π4=( )
A.12
B.2
2 C.32 D .1
9已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ω?ω?=>≤
=-
,为()f x 的零点,4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴,且
()f x 在51836ππ??
???
,单调,则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
10.如图,1F ,2F 是椭圆22
22: 1 (0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段2PF 与圆222
x y b +=相切于点Q ,且点Q 为线段2PF 的中点,则
22
e 3a b
+(e 为椭圆的离心率),的最小值为
A
B
C
D
二填空题(20分)
11.设函数f (x )=(x +1)2+sin x
x 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M+m =____
12.已知0w >,顺次连接函数sin y wx =与cos y wx =的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形,则
w =______
13在平面直角坐标系中,已知A (1,0),B (0,-1),P 是曲线21x y -=上一个动点,则?的取值范围是 .
14设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,且4sin ,3cos ==A b B a .若△ABC 的面积S=10,则△ABC 的周长为 .
三。解答题(36分)
15平面直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ?
??=?>>?
=?
为参数),以O 为极点, x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线1C 上的点(M 对应的参数,3
4
π
π
?
θ=
=
与曲线2C 交于点4D π?
??
. (1)求曲线1C ,2C 的普通方程;
(2)()12,,,2A B πρθρθ??+ ???是曲线1C 上的两点, 求2212
11ρρ+的值.
16.(12分) 如图在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且满足
.
(1)证明:b+c=2a ;
(2)若点O 是△ABC 外一点,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,当b=c 时,求平面四边形OACB 面积的最大值.
17已知函数f (x )=e x +m -x 3,g (x )=ln(x +1)+2.
(1)若曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线斜率为1,求实数m 的值; (2)当m ≥1时,证明:f (x )>g (x )-x 3.
2019年高三(13)班第五次数学周考卷参考答案
10.A 【解析】连接1F P ,OQ ,因为点Q 为线段2PF 的中点,所以1||2||2F P OQ b ==
,
由椭圆的定义得2||22PF a b =-,由12F P
F P ⊥,得222
(2)(22
)(2)b a b c +-=,
解得23a
b =,e =,所以2225151
9()32292a a e a b a a ++==+?≥
(当且仅当a =
A .
11.2 12
2
13[0,1+
14.10
15(1)将(
m 及时对应的参数,,34ππ?θ==, 代入cos sin x a y b ??=??=?得2cos
43,2sin
3a a b b ππ?
=?=??∴?=?=, 所以1C 的方程为221164
x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()2
22x R y R -+=),
将点4D π???代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()22
11x y -+=).
16(1)证明:∵,
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA,∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA,
∴sinC+sinB=2sinA,
∴b+c=2a;
(2)解:∵b+c=2a,b=c,
∴a=b=c,∴△AB C为等边三角形,
∴S
△OACB =S
△OAB
+S
△OBC
==sinθ+
==.
∵0<θ<π,
∴,
当且仅当,即时取最大值,最大值为.
17[解](1)因为f(x)=e x+m-x3,
所以f′(x)=e x+m-3x2.
因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1,
所以f′(0)=e m=1,解得m=0.
(2)证明:因为f(x)=e x+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2,
所以f(x)>g(x)-x3等价于e x+m-ln(x+1)-2>0.
当m ≥1时,e x +m -ln(x +1)-2≥e x +1-ln(x +1)-2. 要证e x +m -ln(x +1)-2>0, 只需证明e x +1-ln(x +1)-2>0. 设h (x )=e x +1
-ln(x +1)-2,则h ′(x )=e x +1
-1x +1.
设p (x )=e
x +1
-1
x +1,则p ′(x )=e x +1+
1x +1
2>0,
所以函数p (x )=h ′(x )=e
x +1
-1
x +1在(-1,+∞)上单调递增.
因为h ′? ????-12=e 1
2-2<0,h ′(0)=e -1>0, 所以函数h ′(x )=e
x +1
-1x +1在(-1,+∞)上有唯一零点x 0,且x 0∈? ????
-12,0.
因为h ′(x 0)=0,所以ex 0+1=1
x 0+1, 即ln(x 0+1)=-(x 0+1). 当x ∈(-1,x 0)时,h ′(x )<0, 当x ∈(x 0,+∞)时,h ′(x )>0,
所以当x =x 0时,h (x )取得最小值h (x 0), 所以h (x )≥h (x 0)=ex 0+1-ln(x 0+1)-2 =1
x 0+1+(x 0+1)-2>0.
综上可知,当m ≥1时,f (x )>g (x )-x 3.