2021年高三上学期第五次周考(理)数学试题 含答案

2021年高三上学期第五次周考（理）数学试题含答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则是（）
A． B． C． D．
2.设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则等于（）
A． B． C． D．
4.奇函数的定义域为，若为偶函数，则（）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
5.已知二次函数的两个零点分别在与内，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
6.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A． B． C． D．
7.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知()sin(2014)cos(2014)63f x x x ππ
=++-的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．2
10.如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.已知定义的上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
（）
A． B． C． D．
12.定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线在点处的切线方程的一般形式为 .
14.数列中，且（是正整数），则数列的通项公式 .
15.已知非零向量满足，向量与的夹角为，且，则下列与的夹角为 .（用弧度制表示）
16.已知函数，下列关于函数（其中为常数）的叙述中：
①对，函数至少有一个零点；
②当时，函数有两个不同零点；
③，使得函数有三个不同零点；
④函数有四个不同零点的充要条件是.
其中真命题有 .（把你认为的真命题的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，.
（1）求的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
18. （本小题满分12分）
甲、乙两位同学从共所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学特别喜欢高校，他除选高校外，再在余下的所中随机选1所；同学乙对所高校没有偏爱，在所高校中随机选2所. 若甲同学未选中高校且乙选中高校的概率为.
（1）求自主招生的高校数；
（2）记为甲、乙两名同学中未参加高校自主招生考试的人数，求的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知分别为椭圆的上、下焦点，是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且. （1）求椭圆的方程；
（2）与圆相切的直线交椭圆于，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知函数，，其中为实数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：
111
ln(1)ln(2)ln()()
n
m m m n m m n
+++>
++++
，对于任意的正整数成立.
请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数），（为参数）.
（1）化的方程为普通方程；
（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）解不等式；
（2）设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案DCACD BBAAA BD
13. 14. 15. 16.②④
17.（1）由正弦定理得：
sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C ⇔+=+
sin cos 3sin sin sin()sin A C A C A C C ⇔+=++
（2）由已知：由余弦定理
22222231492cos ()3()()()344
b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ （当且仅当时等号成立），∴，又，∴，
从而的周长的取值范围是.
17.解：（1）由已知得，甲同学选中高校的概率为，
.
整理得，，
∵，解得，故自主招生的高校数为5所.
（2）的所有可能取值为0,1,2
，，
，
则的分布列为：
X 0 1 2
P
∴的数学期望.
19.建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设.
（1）证明：连结，交于点，连结，依题意得，
因为底面是正方形，所有点是此正方形的中心，
故点的坐标为，且，.
所以，即，而平面，且平面，
因此平面.
（2），又，故，所以.
由已知，且，所以平面.
所以平面的一个法向量为，，，
不妨设平面的法向量为，则，
不妨取，则，即，
设求二面角的平面角为，
，因为，所以，
二面角的正弦值大小为.
20.（1）由题意，所以，又由抛物线定义可知，得，于是易知，从而，
由椭圆定义知，，得，故，
从而椭圆的方程为.
（2）设，则由知，
，，且①
又直线与圆相切，所以有，
由，可得②
又联立，消去得
且恒成立，且，，
所以，所以得，
代入①式得，所以，
又将②式代入得，，，
易知，且，所以，
所以的取值范围为.
21.（1）因为
2
'
(1)()(1) ()(1)
a x a x a x a x
f x x a
x x x
-++--=+-+==
当时，令得；得，
此时，函数的增区间是，减区间是
当时，令得或；得，
此时，函数的增区间是和，减区间是
当时，对任意恒成立，
此时，函数的增区间是，无减区间，
当时，令得或；得，
此时，函数的增区间是和，减区间是.
（2）由于，显然当时，，此时，对定义域内的任意不是恒成立的；当时，根据（1）函数在区间上的极小值（也是最小值）是，此时只要即可，解得，故实数的取值范围是.
（3）当时，（当且仅当时等号成立）
则，当时，此不等式可以变形为，
分别令， 则1111ln(1)ln(2)ln(3)ln()m m m m n ++++++++ 11111111()()()1121()
n m m m m m n m n m m n m m n >-+-++-=-=++++-+++ 所以1111ln(1)
ln(2)ln(3)
ln()
()n m m
m m n m m n +
+++>+++++ 22.（1）由，得，所以，
由，得，所以
（2）当时，，，故，
为直线，到的距离
|4cos 3sin 13||5cos()13||513|5555
d θθθϕ=--=+-≥-= （其中，）
当且仅当时，取得最小值.
23.解：（1）由条件知：4,1()|3||1|22,134,3x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪->⎩
，
由，解得.
（2）由得，由函数图象可知的取值范围是.
30771 7833 砳K|Y36129 8D21 贡20863 517F 兿 23542 5BF6 寶26137 6619 昙32834 8042 聂35960 8C78 豸22288 5710 圐 23904 5D60 嵠。